第11章 二次根式（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材苏科版八年级下册

第11章 二次根式（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（25-26八年级下·河南新乡·月考）代数式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 【答案】B 【详解】解：∵代数式要有意义，需满足所有二次根式的被开方数非负，且分母不为0， ∴可得不等式组化简得∴两个不等式解集的公共部分为． 2．（25-26八年级下·湖北黄冈·期中）下列各式中属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项：，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故A选项不符合题意； B选项：，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故B选项不符合题意； C选项：中被开方数不含分母，也不含有能开得尽方的因数，是最简二次根式，故C选项符合题意； D选项：中被开方数含有分母，不是最简二次根式，故D选项不符合题意． 3．（25-26八年级下·江苏·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，计算错误； B、当时，，，计算正确； C、，计算错误； D、与不是同类二次根式，不能直接合并，，计算错误． 4．（2026·江苏南京·一模）已知某物体的质量，其体积，则它的密度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解∵密度公式为，已知，，∴． 5．（25-26八年级上·福建漳州·期中）要使算式的运算结果最小，则表示的运算符号是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， ，．∵．∴表示的运算符号是． 6．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，、同号，并且、都是负数， 解得：，或，， 当，时，； 当，时，，则的值是，故选：B． 7．（2025·重庆·模拟预测）估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】D 【详解】解：原式， 不等式同乘得 ，不等式同加得 原式的值在和之间． 8．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 又∵∴；将代入变形后的式子得原式． 9．（25-26八年级上·河北邢台·期末）在化简时，甲、乙两位同学化简的方法分别是（   ） 甲：原式；乙：原式 下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两种方法均正确 B．甲方法正确，乙方法错误 C．甲方法错误，乙方法正确 D．甲、乙两种方法均错误 【答案】A 【详解】解：∵ 甲的方法：原式，使用了分母有理化，正确； ∵ 乙的方法：原式，通过分子分母同乘使分母化为完全平方数，再开方，正确；∴ 甲、乙两种方法均正确，故选：A． 10．（2026·河北石家庄·一模）已知等式成立，则的值为（   ） A．5 B． C． D．8 【答案】B 【详解】∵， ∵ 等式成立，等式两边有理部分和无理部分对应相等， ∴ 可得，解得，， 将代入第一个方程验证：，等式成立∴． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（25-26八年级下·湖北武汉·月考）化简：_____． 【答案】 【详解】解：． 12．（25-26八年级下·甘肃陇南·月考）计算：________． 【答案】 【详解】解：． 故答案为：2026． 14．（25-26八年级上·山西晋中·月考）如果是有理数，那么正整数的最小值是__________． 【答案】5 【详解】解：∵是有理数，∴是平方数， ∵，∴是平方数，∴正整数的最小值是5，故答案为：5． 15．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）定义新运算：，则的运算结果是______． 【答案】 【详解】解：由可得：． 16．（25-26九年级上·福建漳州·期末）某小区做园林规划设计时，将图纸上的一块长为，宽为的长方形的花坛改成等面积的圆形，则这个圆形花坛的半径是_____． 【答案】 【详解】解：长方形的面积为 设圆的半径为，则圆的面积为，由题意可知，即，， ∴（半径为正数，舍去负根）故答案为：． 17．（25-26九年级下·山东淄博·月考）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，化简_________． 【答案】 【详解】解：由数轴可知，， ∴． 18．（25-26八年级上·陕西西安·期末）观察：，2，，，，…．按此规律排列，第40个数是________． 【答案】 【详解】解：根据给出数据的规律可得，数列的第项为， 当时，，故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-24题每题10分，25-26题每题11分，答案写在答题卡上） 19．（24-25八年级上·辽宁沈阳·月考）计算： (1)；(2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 20．（25-26七年级上·山东泰安·期末）定义：形如“”的数称为“族”数（其中m，n为有理数，．），并规定：两个“族”数之间可以进行“，，，”等运算，运算符合二次根式的相关要求． (1)试判断，，，2中哪些属于“族”的数；(2)若（其中a，b为有理数，）是“族”数，求A的倒数的值，并判断其是否为“族”的数． 【答案】(1)，属于“族”的数(2)；为“族”的数． 【详解】（1）解：，属于“族”的数； （2）解：， ，为有理数，，为“族”的数． 21．（25-26八年级下·陕西安康·月考）是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答下列问题． (1)化简：______，______；(2)已知实数在数轴上的对应点如图所示． ①化简：______，______；②化简：． 【答案】(1)7，(2)①，；② 【详解】（1）解：，． （2）解：①由数轴可得：，，∴，， 而数轴上b在右侧且更靠近，∴不成立，即， ∴，； ②∵，，∴，， ∴． 22．（25-26八年级上·江西·期末）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）． 材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S． (1)利用材料1解决下面的问题：当时，求这个三角形的面积： (2)利用材料2解决下面的问题：已知三条边的长度分别是，记的周长为．①当时，请直接写出中最长边的长度________； ②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 【答案】(1)(2)①；② 【详解】（1）解：∵，∴， ∴． （2）解：①当时，，，， ∴中最长边的长度为． ②∵，∴，， ∴， ∵，，为整数，∴当时，三边为，，， ∵，∴不合题意，舍去， 当时，三边为，，，符合题意，此时取最大值，∴， ∴． 23．（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）阅读理解： 我们将与称为一对“对偶式”，应用“对偶式”的特征可以解某些含有根号的方程．例如：在解这个方程时，可采用如下方法： 解：， ． 又……①， ，即……②． 由得：，即， 在这个方程的两边同时平方得：，解得：． 将代入原方程检验，可得是原方程的解． 请根据上述材料回答下面的问题：(1)若，则的“对偶式”为_____，__________； (2)解方程：． 【答案】(1)，；(2) 【详解】（1）解：根据“对偶式”的定义，，其“对偶式”； ；故答案为：，． （2）解：， ∴． 又∵①，∴②， 得：，即，两边同时平方得：，解得； 检验：将代入原方程检验，可得是原方程的解． 24．（25-26八年级上·山东青岛·期中）我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用．其实，还有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消除分子中的根式． 比如：＝． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较：和的大小可以先将它们分子有理化如下：：，． 因为，所以，． 再例如，求y＝的最大值、做法如下： 解：由x＋2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝＝． 当x＝2时，分母有最小值2.所以y的最大值是2 利用上面的方法，完成下面问题：（1）比较﹣和﹣的大小；（2）求y＝﹣＋2的最大值． 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）∵﹣＝，﹣＝， ∵，∴，即； （2）∵，，∴， ∵y＝﹣＋2＝，∴当时，分母有最小值， ∴则的最大值为：． 25．（25-26八年级下·云南昭通·月考）阅读材料： （一）如果我们能找到两个正整数x，y，使且， 这样， 那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”． 例如：． （二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：， 我们称这个过程为分母有理化（分母化为有理式）． 根据阅读材料解决下列问题： (1)①化简“和谐二次根式”：_________；②分母有理化：_________． (2)求的值； (3)设的小数部分为b，求证：． 【答案】(1)①；②(2)(3)见解析 【详解】（1）解：①， ②， （2）解：，，…… ， ∴原式． （3）证明：根据“和谐二次根式”的定义得，， ∵，∴， ∵的小数部分为b，∴，， ∴，∴． 26．（25-26八年级下·吉林四平·月考）【阅读材料】 小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：，． 【类比归纳】(1)请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方的形式； (2)请运用小明的方法化简； (3)将式子化成另一个式子的平方的形式为______（，）． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：； （2）解：， ∴； （3）解：． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章 二次根式（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（25-26八年级下·河南新乡·月考）代数式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 2．（25-26八年级下·湖北黄冈·期中）下列各式中属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏南京·一模）已知某物体的质量，其体积，则它的密度为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·福建漳州·期中）要使算式的运算结果最小，则表示的运算符号是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·重庆·模拟预测）估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 8．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·河北邢台·期末）在化简时，甲、乙两位同学化简的方法分别是（   ） 甲：原式；乙：原式 下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两种方法均正确 B．甲方法正确，乙方法错误 C．甲方法错误，乙方法正确 D．甲、乙两种方法均错误 10．（2026·河北石家庄·一模）已知等式成立，则的值为（   ） A．5 B． C． D．8 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（25-26八年级下·湖北武汉·月考）化简：_____． 12．（25-26八年级下·甘肃陇南·月考）计算：________． 14．（25-26八年级上·山西晋中·月考）如果是有理数，那么正整数的最小值是__________． 15．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）定义新运算：，则的运算结果是______． 16．（25-26九年级上·福建漳州·期末）某小区做园林规划设计时，将图纸上的一块长为，宽为的长方形的花坛改成等面积的圆形，则这个圆形花坛的半径是_____． 17．（25-26九年级下·山东淄博·月考）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，化简_________． 18．（25-26八年级上·陕西西安·期末）观察：，2，，，，…．按此规律排列，第40个数是________． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-24题每题10分，25-26题每题11分，答案写在答题卡上） 19．（24-25八年级上·辽宁沈阳·月考）计算： (1)；(2) 20．（25-26七年级上·山东泰安·期末）定义：形如“”的数称为“族”数（其中m，n为有理数，．），并规定：两个“族”数之间可以进行“，，，”等运算，运算符合二次根式的相关要求． (1)试判断，，，2中哪些属于“族”的数；(2)若（其中a，b为有理数，）是“族”数，求A的倒数的值，并判断其是否为“族”的数． 21．（25-26八年级下·陕西安康·月考）是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答下列问题． (1)化简：______，______；(2)已知实数在数轴上的对应点如图所示． ①化简：______，______；②化简：． 22．（25-26八年级上·江西·期末）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）． 材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S． (1)利用材料1解决下面的问题：当时，求这个三角形的面积： (2)利用材料2解决下面的问题：已知三条边的长度分别是，记的周长为．①当时，请直接写出中最长边的长度________； ②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 23．（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）阅读理解： 我们将与称为一对“对偶式”，应用“对偶式”的特征可以解某些含有根号的方程．例如：在解这个方程时，可采用如下方法： 解：， ． 又……①， ，即……②． 由得：，即， 在这个方程的两边同时平方得：，解得：． 将代入原方程检验，可得是原方程的解． 请根据上述材料回答下面的问题：(1)若，则的“对偶式”为_____，__________； (2)解方程：． 24．（25-26八年级上·山东青岛·期中）我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用．其实，还有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消除分子中的根式． 比如：＝． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较：和的大小可以先将它们分子有理化如下：：，． 因为，所以，． 再例如，求y＝的最大值、做法如下： 解：由x＋2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝＝． 当x＝2时，分母有最小值2.所以y的最大值是2 利用上面的方法，完成下面问题：（1）比较﹣和﹣的大小；（2）求y＝﹣＋2的最大值． 25．（25-26八年级下·云南昭通·月考）阅读材料： （一）如果我们能找到两个正整数x，y，使且， 这样， 那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”． 例如：． （二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：， 我们称这个过程为分母有理化（分母化为有理式）． 根据阅读材料解决下列问题： (1)①化简“和谐二次根式”：_________；②分母有理化：_________． (2)求的值； (3)设的小数部分为b，求证：． 26．（25-26八年级下·吉林四平·月考）【阅读材料】 小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：，． 【类比归纳】(1)请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方的形式； (2)请运用小明的方法化简； (3)将式子化成另一个式子的平方的形式为______（，）． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $