精品解析：四川省南江中学2025-2026学年高一下学期期中检测数学试题

高一数学 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上． 2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整． 3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简复数,再根据虚部定义得结果. 【详解】因为,所以复数的虚部为，选A. 【点睛】本题考查复数除法运算以及虚部定义，考查基本求解能力，属基础题. 2. 已知向量，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】向量在上的投影向量为. 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由二倍角余弦公式可知， 即. 4. 根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ） A. ，，，有两解 B. ，，，有一解 C. ，，，有一解 D. ，，，无解 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理和余弦定理依次判断A，B，C，D即可. 【详解】A中，因为，所以， 又，所以，即只有一解，故A错误； B中，因为，所以， 且，所以，故有两解，故B错误； C中，因，所以， 又，所以角B只有一解，故C正确； D中，因为,,，所以，有解，故D正确. 故选：C. 5. 在平行四边形ABCD中，为AB中点，为BC上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为是的中点，， 因为，所以，又， 由题意得，故B正确. 6. 在中，，，，为边AC上一点，且BD平分，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 因为BD平分，所以， 又因为，所以，， 在中，, 在中，， 所以． 7. 如图，设，线段DE与BC交于点，且，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，结合向量共线定理可得，即可利用基本不等式求解最值. 【详解】解：由，，又，故，所以. 因为，所以，又三点共线， 所以. 因此，当，时，， 当且仅当，即时取等号，所以最小值为. 8. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由三角函数图象平移规则求得函数，再利用正弦曲线的零点即可求得的取值范围 【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，得到 再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变， 得到函数 由函数在上没有零点，则，则 由，可得 假设函数在上有零点， 则，则 由，可得 又，则 则由函数在上没有零点，且，可得 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列代数式的值为的是（    ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】本题考查三角恒等变换的应用，需结合二倍角公式、同角三角函数基本关系，逐一计算各选项代数式的值，判断是否等于. 【详解】选项A：由二倍角余弦公式， 得，A错误. 选项B：由二倍角正弦公式， 得，B正确. 选项C：由同角三角函数关系， 代入得，C正确. 选项D：结合诱导公式和二倍角正弦公式计算：，D错误. 10. 函数的部分图象如图所示，，是相邻的两个零点，则（ ） A. B. C. 函数的图象关于直线对称 D. 若函数在区间上至少有10个零点，则实数t的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】借助图象结合余弦型函数性质可得该函数解析式，即可得A；借助零点定义计算可得B；借助余弦函数对称轴代入检验可得C；利用余弦型函数零点计算可得D. 【详解】由图可得，解得， 且有，则，即， 则，解得， 又，则，故； 对A：由上知，，故A正确； 对B：令，则， 则或， 即或， 则或，故B错误； 对C：当时，， 由不是函数的对称轴， 故不是函数的对称轴，故C错误； 对D：当时，， 令， 由B得，或， 由函数在区间上至少有10个零点， 则，解得， 故实数t的最小值为，故D正确. 11. 平面直角坐标系中，为坐标原点，点，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，，，所以，A正确； 对于B，，当时，，B错误； 对于C，， 因为， 所以， 因为向量夹角范围为，所以，C正确； 对于D，， 所以 ， 令，则， 所以，故，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的值域为______ 【答案】 【解析】 【详解】，由， 得，令，则， ，函数在上单调递减， 当时，； 当时，，故函数的值域为. 13. 水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段，和圆的优弧围成，其中，恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为________． 【答案】; 【解析】 【分析】作出辅助线，得到，，利用扇形面积公式和三角形面积公式得到答案. 【详解】取优弧所在圆的圆心，连接，，则⊥，⊥， 则，所以，则， ， 故优弧对应的圆心角为，对应的扇形面积为， 而， 所以该封闭图形的面积为. 故答案为：. 14. 如图，给定两个长度为1的平面向量和，其夹角为，点在以为圆心的圆弧上变动，若，则的最大值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，结合已知条件得出点坐标，进而得出向量的坐标，根据构建方程组得出与的关系，进而得出的三角函数表示，最后利用三角函数性质求出的最大值． 【详解】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系如下： 由已知条件可知，，，设，，则， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：2． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，满足，，，，的夹角为. （1）； （2）若与的夹角为钝角，求实数k的取值范围. 【答案】（1）； （2）且. 【解析】 【分析】（1）利用数量积的定义及运算律求解. （2）利用向量的夹角公式及向量共线列式求解. 【小问1详解】 由，，，的夹角为，得， 所以. 【小问2详解】 由与的夹角为钝角，得，且与不共线， 由，得， 即，解得； 由与共线，不共线，得，解得， 因此由与不共线，得，则且， 所以的取值范围为且. 16. 在△中，. （1）求； （2）若，且△的面积为，求的值. 【答案】（1） （2） 2 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角求解. （2）利用三角形面积公式求解. 【小问1详解】 在△中，由及正弦定理，得 ， 而 ，则，又，所以. 【小问2详解】 由及的面积为，得，解得， 因此，即为正三角形，所以. 17. 已知函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为． （1）求的值和在区间上的单调递减区间； （2）当时，关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由相邻对称轴间距为，得周期. 由，且得，即. 令， 解得. 结合定义域，对整数分类讨论： 取时，得区间，该区间完全包含在内，符合要求； 取时，得区间，与无交集，舍去； 取时，得区间，与无交集，舍去。 同理易得取非零整数时， 单调区间均与无交集. 综上所述，在上的单调递减区间为. 【小问2详解】 方程可化为， 即函数与直线的图象有个不同交点，时， . 令， 在有最大值，最小值. 故. 如图所示： 当时，一个函数值对应个不同； 当或时，一个函数值对应个. 要使有个不等实根，需满足， 解得. 18. 已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足. （1）求证：； （2）若，求的取值范围； （3）若，求三角形面积的取值范围． 【答案】（1）证明见解析； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和与三角恒等变换证明. （2）根据锐角三角形限制确定角的取值范围，通过正弦定理将转化为关于的三角函数，推导三倍角公式化简后，用单调性定义判断函数单调性，进而求得的取值范围. （3）将三角形面积转化为关于角的三角函数，用单调性定义判断单调性，进而求得面积的取值范围. 【小问1详解】 ∵ ，由正弦定理（为外接圆半径）， 得，， 代入得，即. ∵ 在中， ，∴ ， ∴ 代入上式得， 整理得，即. ∵ 为锐角三角形，∴ ，，∴ ， ∴ 若， 则或 （后者得 ，不符合三角形内角要求，舍去）， ∴ ，得证. 【小问2详解】 为锐角三角形， ∴ ，解得. 由正弦定理，，得. ∵ ，∴ ，，， . ∴ ，，且， ∴ . ∵ ，代入得. 令，∵ ，∴ ，则. 任取， 则. ∵ ，∴ ，又，∴ ， ∴ ，即，∴ 在上单调递增. ∴ 当时，； 当时，， ∴ . 【小问3详解】 三角形面积，由正弦定理，，， ∴ ，又，， ∴ . 代入， ， ∴ . 令，由 得，则， ∴ ，， 则. 令，，则， 该二次函数开口向上，对称轴为，故在上单调递增， 当； 当 ∴ ，又，故， 即三角形ABC面积的取值范围为. 19. 人工智能和大模型的领域内，文字、图象等信息常常是由向量表示的，通过计算向量之间的相似度，就可以说明两段文字或两张图片所表达内容的关联度．非零向量之间的相似度的一种定义为． （1）菱形ABCD中，，动点在直线CD上． （ⅰ）当时，求； （ⅱ）求的取值范围． （2）在信息处理的过程中，有时为了增加的相似度，会选取合适的正实数，将调整为后再纳入模型计算，证明：对任意不共线的向量，及任意正实数，总有． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）建立直角坐标系，用坐标法表示有关向量. （ⅰ）利用的定义求值； （ⅱ）先利用定义表示，再利用函数的奇偶性结合基本不等式求的取值范围. （2）先表示出，通过换元法结合基本不等式进行证明. 【小问1详解】 如图：以为原点，建立平面直角坐标系，不妨设（）. 则，，所以 （ⅰ）因为点在直线CD上，当时，，所以. 所以，，， 所以. （ⅱ）因为点在直线CD上，可设，则. 所以，，. 所以. 设，由，所以函数为奇函数. 当时，（当且仅当时取等号）. 所以. 所以. 【小问2详解】 因为， ，. 所以. 设，，，. 则，. 问题转化为证明，即. 只需证. 因为不共线，所以， 所以，即成立. 所以成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上． 2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整． 3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ） A. ，，，有两解 B. ，，，有一解 C. ，，，有一解 D. ，，，无解 5. 在平行四边形ABCD中，为AB中点，为BC上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，，为边AC上一点，且BD平分，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，设，线段DE与BC交于点，且，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. D. 8. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列代数式的值为的是（    ） A. B. C. D. 10. 函数的部分图象如图所示，，是相邻的两个零点，则（ ） A. B. C. 函数的图象关于直线对称 D. 若函数在区间上至少有10个零点，则实数t的最小值为 11. 平面直角坐标系中，为坐标原点，点，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的值域为______ 13. 水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段，和圆的优弧围成，其中，恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为________． 14. 如图，给定两个长度为1的平面向量和，其夹角为，点在以为圆心的圆弧上变动，若，则的最大值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，满足，，，，的夹角为. （1）； （2）若与的夹角为钝角，求实数k的取值范围. 16. 在△中，. （1）求； （2）若，且△的面积为，求的值. 17. 已知函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为． （1）求的值和在区间上的单调递减区间； （2）当时，关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 18. 已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足. （1）求证：； （2）若，求的取值范围； （3）若，求三角形面积的取值范围． 19. 人工智能和大模型的领域内，文字、图象等信息常常是由向量表示的，通过计算向量之间的相似度，就可以说明两段文字或两张图片所表达内容的关联度．非零向量之间的相似度的一种定义为． （1）菱形ABCD中，，动点在直线CD上． （ⅰ）当时，求； （ⅱ）求的取值范围． （2）在信息处理的过程中，有时为了增加的相似度，会选取合适的正实数，将调整为后再纳入模型计算，证明：对任意不共线的向量，及任意正实数，总有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $