专题07图形的旋转期末复习讲义（22大核心题型+知识点全归纳+进阶练习）-2025-2026学年浙教版数学八年级下学期.

专题07图形的旋转期末复习讲义 理解图形旋转的定义、三要素，能准确识别旋转中心、旋转方向、旋转角度。 掌握旋转的性质，会利用性质求线段长度、角度、全等关系。 能画出简单图形旋转后的图形，会用旋转解决几何证明、计算问题。 区分平移、轴对称、旋转三种图形变换的异同。 清核心题型归纳 题型1判断生活中的旋转现象 题型2判断由一个图形旋转而成的图案 题型3找旋转中心、旋转角、对应点 题型4根据旋转的性质求解 题型5根据旋转的性质说明线段或角相 题型6旋转的性质辨析 等 题型7旋转中的规律问题 题型8画旋转图形 题型9利用旋转设计图案 题型10求绕原点旋转90度的点的坐标 题型11求绕某点（非原点）旋转90 题型12坐标与旋转规律问题 度的点的坐标 题型13线段问题（旋转综合题） 题型14面积问题（旋转综合题） 题型15角度问题（旋转综合题） 题型16坐标系中的旋转 题型17中心对称图形的识别 题型18中心对称图形规律问题 试卷第1页，共3页 题型19成中心对称 题型20根据中心对称的性质求面积、 长度、角度 题型21求关于原点对称的点的坐标 题型22已知两点关于原点对称求参数 苏重点知识心梳理 知识点1链转的定义 把一个图形绕着一个定点，按一定方向（顺时针/逆时针）转动一个角度的图形 变换叫做旋转。 定点：旋转中心 转动的角：旋转角 关键点：旋转不改变图形的形状和大小，只改变位置。 知识点2旋转三要素 旋转中心：固定不动的点（可在图形内、图形上、图形外） 旋转方向：顺时针、逆时针 旋转角度：对应点与旋转中心连线的夹角 知识点3旋转的性质 旋转前后的图形全等； 试卷第1页，共3页 对应点到旋转中心的距离相等； 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 对应线段相等，对应角相等。 知识点4旋转作图步骤 定：确定旋转中心、方向、角度； 找：找出图形的关键点； 转：将每个关键点绕旋转中心按要求旋转，得到对应点； 连：顺次连接对应点，得到旋转后的图形。 知识点5中心对称（特殊的旋转） 定义：把一个图形绕某一点旋转180°，能与另一个图形重合，称这两个图形成 中心对称。 B A 中心对称图形：自身绕某点旋转180°后与自身重合（如平行四边形、圆）。 性质：对称点连线经过对称中心，且被对称中心平分。 常见中心对称图形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆； 注意：等腰三角形、等边三角形不是中心对称图形。 知识点6三种变换对比 变换 不变量 核心特点 试卷第1页，共3页 平移 形状、大小方向 沿直线移动 轴对称 形状、大小 翻折，对称轴两侧对称 旋转 形状、大小 绕定点转动，方向可变 知识点七、易错点提醒 旋转角是对应点与旋转中心的夹角，不是图形内角： 旋转方向：顺时针、逆时针不能搞反； 中心对称是两个图形的关系，中心对称图形是一个图形； 旋转后线段、角度相等，常结合勾股定理、等腰三角形解题。 题型解析◆精准备者 题型1判断生活中的旋转现象 1.时钟上的分针旋转一周需要60min,则经过15min,分针旋转了() A.30° B.60° C.90° D.120° 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，明确分针旋转一周为360°是解题的关 键。 先求出分针每分钟旋转6°，再求得经过15min,分针旋转的度数即可. 【详解】解：根据题意知，分针旋转一周360°需要60min,则分针每分钟旋转 6°， .经过15min,分针旋转了15×6=90°. 故选C. 2.在体育课上，当老师下达口令“向右转时，右脚正确的动作应是以 (填“脚跟”或脚尖”)为旋转中心，沿着 （填顺”或逆”)时针方向旋 试卷第1页，共3页 转 度 【答案】 脚跟 顺 90 【分析】本题考查了旋转的相关概念，掌握旋转的相关概念，结合生活经验解决 问题是解题的关键.根据旋转的相关概念，结合生活经验即可解答， 【详解】解：在体育课上，当老师下达口令“向右转时，右脚正确的动作应是以 脚跟为旋转中心，沿着顺时针方向旋转90度. 故答案为：脚跟；顺；90， 3.将数字6旋转180°，得到数字9”，将数字9旋转180°，得到数字6”，现 将数字689整体旋转180°，得到的数字是 【答案】689 【分析】直接利用中心对称图形的性质结合689的特点得出答案. 【详解】解：将数字689”整体旋转180°，得到的数字是：689. 故答案为：689. 【点睛】此题主要考查了生活中的旋转现象，能够想象出旋转后的图形是解题关 键。 题型2判断由一个图形旋转而成的图案 1.陶瓷器具是我国古代劳动人民的重要发明之一，是中国人民勤劳与智慧的结 晶.如图是一个陶瓷花瓶，下列平面图形绕虚线旋转一周，能大致形成这个陶瓷 花瓶表面的是() 试卷第1页，共3页 【答案】A 【分析】本题主要考查了面动成体，解题关键在于能够通过几何直观得出选项.通 过丰富的空间想象力类比选项中各图形绕对应的直线旋转一周所得几何体的形 状即可得到答案. 【详解】解：观察四个选项中的图形可知，只有A选项中的图形绕直线旋转一 周后的几何体与题干的陶瓷花瓶外表最为相似， 故选：A 2.关于如图的形成过程：(1)由一个三角形平移形成的；(2)由一个三角形绕 中心依次旋转形成的；(3)由一个三角形作轴对称形成的；(4)由一个三角形先 平移再旋转形成的，说法正确的有；（填序号） 【答案】(2)，(3)，(4) 【详解】解：由题意可知，原图形可以由一个三角形绕中心依次旋转形成：或由 一个三角形作轴对称形成的；或由一个三角形先平移再旋转形成的. 故(2)、(3)、(4)正确， 故答案为：(2)、(3)、(4)· 【点睛】本题考查平移、旋转等知识，解题的关键是掌握旋转变换、平移变换的 性质。 3.如图，在三角形CDB中，已知CA是DB上的高，AC=AB=a,点E是 AC的一点，AE=AD=b,a>b>0. 试卷第1页，共3页 A (1)求阴影部分的面积（用含a、b的式子表示）. (2)当a=10.75,b=5.25时，求阴影部分的面积的值. (3)三角形CAD可以通过一种运动与三角形BAE完全重合，请写出具体的运动 方法： 【答案】=a+ba-例 (2)44 (3)△CAD绕点A顺时针旋转90° 【分析】本题考查旋转的性质，列代数式，代数式求值，解决本题的关键的掌握 旋转的性质。 (1)根据阴影部分的面积=三角形BCD的面积-三角形BED的面积，代入α，b 计算即可； (2)结合(1)代入值计算即可； (3)根据旋转的性质即可解决问题. 【详解】(1)解：阴影部分的面积=三角形BCD的面积-三角形BED的面积 =xBD·AC-BD·AE 2 2BD(4C-AE) =D+AB(4C-AE到 试卷第1页，共3页 a+b0a-6: (2)解：当a=10.75,b=5.25时， 阴影部分的面积=a+b(a-b) =(10.75+5.25)(10.75-5.25) ×16×5.5 2 =44; (3)解：三角形CAD可以通过一种旋转运动与三角形BAE完全重合， 具体的运动方法：三角形CAD可以绕着点A顺时针旋转90度与三角形BAE完 全重合 故答案为：三角形CAD可以绕着点A顺时针旋转90度与三角形BAE完全重合， 题型3找旋转中心、旋转角、对应点 1.如图，在等边三角形网格中，以某个格点为旋转中心，将△EFG旋转，得到 △EFG,则旋转中心是() A.点A B.点B C.点C D.点D 【答案】B 【分析】本题考查了旋转中心，熟练掌握旋转中心的定义，学会构造旋转对应点 连线的垂直平分线找出旋转中心是解题的关键. 试卷第1页，共3页 连接FF',EE',GG,分别作FF',EE',GG'的垂直平分线交点即为所求. 【详解】解：如图，连接FF',EE'、GG',分别作FF',EE',GG的垂直 平分线交点为点B,即点B是旋转中心， 故选：B 2.如图，点A、B、C、D分别在正方形网格的格点上，设A点的坐标为 (0,5),B点的坐标为4,3)，小明发现，线段AB与线段CD存在一种特殊关系， 即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的 坐标是 【答案】2,1或(5,4 【分析】分点A的对应点为C或D两种情况考虑：①当点A的对应点为点C时， 连接AC、BD,分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E,点E即为旋转 中心；②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC,分别作线段AD、BC的 垂直平分线交于点M,点M即为旋转中心. 【详解】解：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD,分别作线段 AC、BD的垂直平分线交于点E,如图1所示， 试卷第1页，共3页 .'A点的坐标为0,5)，B点的 图1 图2 坐标为4,3)， E点的坐标为(2,1)； ②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC,分别作线段AD、BC的垂直平 分线交于点M,如图2所示， A点的坐标为0,5)，B点的坐标为4,3， M点的坐标为5,4) 综上所述：这个旋转中心的坐标为2,1)或(5,4). 【点睛】利用分类讨论的思想方法，理解对应点连线的线段垂直平分线的交点就 是旋转中心是解题的关键. 3,如图所示的正方形网格中，ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系 中按要求画图和解答下列问题： (I)请画出ABC关于坐标原点O成中心对称的△A,B,C1: (2)若ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB,C,,写出点C,的坐标： 试卷第1页，共3页 (3)若将ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A(1,0),B,(3,-1), C,（2,-3),则旋转中心的坐标为 【答案】(1)画图见解析； (2-2,3)； (3)0,1 【分析】本题考查中心对称图形的绘制、旋转的坐标变换及旋转中心的确定，涉 及的知识点有中心对称点的坐标特征、旋转的性质、垂直平分线的求法 (1)先确定△ABC各顶点坐标，再根据关于原点中心对称点的坐标规律找到对 应点，最后依次连线得到对称图形； (2)画出ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB,C2,从图中直接读出C2 的坐标； (3)根据旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点，依次作出两组对应点连 线的垂直平分线，从而得到交点即旋转中心的坐标. 【详解】(1)解：画出ABC关于坐标原点O成中心对称的△AB,C,如图所示： (2)解：画出ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB,C,如图所示： 试卷第1页，共3页 B 得到C2的坐标为(-2,3)； 故答案为：（-2,3)； (3)解：根据旋转的性质，旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点，作图 如图所示： 旋转中心的坐标为0,1). 故答案为：（0,1) 题型4根据旋转的性质求解 1.如图，将AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△AOB',若 ∠AOB=25°，则∠A0B的度数是() 试卷第1页，共3页 ⊙ B A.25° B.35° C.40° D.85° 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可知，对应边OB与OB'的夹角即为旋转角，从而 可以得到∠BOB的度数，由∠AOB=25°结合角的和差关系可以得到 ∠AOB的度数. 【详解】解：：△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△A'OB', .∠BOB'=60°， ∠AOB=25°， .∠AOB′=∠BOB'-∠AOB=60°-25°=35°. 2.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4,BC=6,点D是BC边上一 动点，连接AD并将AD绕点D顺时针旋转90°得到ED,连接CE,若 △DCE是等腰三角形，则BD的长是 B D 【答1孩45-4 【分析】设BD=x,由旋转的性质可知，∠ADE=90°，AD=DE,分类讨论： ①当DC=DE时，②当CD=CE时，③当DE=CE时，逐个分析求解即可. 【详解】解：设BD=x,则CD=BC-BD=6-x, 试卷第1页，共3页 由旋转的性质可知，∠ADE=90°，AD=DE, ①当DC=DE时，△DCE是等腰三角形，则AD=DE=DC=6-x, B D 在Rt△ABD中，AB2+BD2=AD2, .42+x2=(6-x)2, 16+x2=36-12x+x2, 5 解得x= ②当CD=CE时，△DCE是等腰三角形，如图，过点E作EF⊥BC的延长线 于点F, ∠ABD=∠ADE=90°， B D .∠BAD+∠ADB=90°，∠ADB+∠EDF=90°， :ZBAD Z EDF 在△ABD和△DFE中， ∠BAD=∠FDE ∠ABD=∠DFE=90°， AD=DE ∴.△ABD≌△DFE(AAS, .AB=DF=4,EF=BD=x, ..CF=DF-CD=4-(6-x)=x-2, 在Rt△CEF中，EF2+CF2=CE2, x2+(x-2)2=(6-x)2, 试卷第1页，共3页 整理得：x2+8x-32=0, 解得x=4V3-4(负值舍去)， ③当DE=CE时，过点E作EF⊥BC于点F,如图 D C :DE=CE,EF⊥BC, DF=CF=1CD=6-x 2 2 同理可得△ABD≌△DFEAAS), .DF=AB, 即6x=4, 2 解得x=-2<0,不符合题意，舍去； 5 综上可知，BD的长为三或4√3-4. 3 3.如图，等腰ABC中，AB=AC,∠A=36°，ABC绕点B逆时针方向 旋转一定角度后到△EBD的位置，点D恰好落在边AC上.求旋转角的度数. 【答案】36° 【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到 ∠ABC=∠C=180°，∠4=72，根据旋转的性质得到8D=BC,进而求出 2 试卷第1页，共3页 ∠DBC的度数，即可得出旋转角的度数. 【详解】解：AB=AC,∠A=36°， ∠ABc=∠0=180°∠4-72. 2 由旋转的性质得，BD=BC, .∠C=∠BDC=72°， .∠DBC=180°-72°-72°=36°， .旋转角的度数是36°. 题型5根据旋转的性质说明线段或角相等 1.如图，在ABC中，∠B=40°，将ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C ,点A、B的对应点分别是A'、B,边A'B'经过点A,若∠B'CA=35°，则 ∠BAC的度数为() A.15° B.35° C.40° D.75° 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，由旋 转前后对应边，对应角相等，可得∠B=∠B'=40°，∠BAC=∠B'A'C, AC=A'C,由三角形外角的性质可得∠CAA'=∠B'+∠B'CA=75°，由等边对等 角得出∠BAC=∠CAA'=75°，即可求解. 【详解】解：将ABC绕点C逆时针旋转得到△AB'C, .∠B=∠B'=40°，∠BAC=∠B'A'C,AC=A'C, .∠B'A'C=∠CAA', :∠CAA'=∠B'+∠B'CA=75°， .∠BAC=∠B'A'C=∠CAA'=75°， 故选：D 试卷第1页，共3页 2.如图，将ABC绕点C顺时针旋转50°得到△A'B'C,连接AA',若 A'B'⊥AC,则∠AAB的度数为 【答案】25 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角及三角形内角和，掌握旋转的性质 是关键；根据旋转的性质得∠ACA'=50°，AC=A'C,根据等边对等角可得 ∠CAA',再根据直角三角形两锐角互余可得答案. 【详解】解：如图，设A'B'交AC于点D, B 将ABC绕点C顺时针旋转50°得到△AB'C, .∠ACA=50°，AC=A'C, 2Cr=2Ca1=l80-∠4c0-×180-509=65, 又A'B'⊥AC, .∠ADA'=90°， .∠AA'B′=90°-∠CAA'=90°-65°=25°， 即∠AA'B'的度数为25°. 故答案为：25. 3.如图1，已知在ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=CD,连接AD,DB. 试卷第1页，共3页 D D D 图1 图2 备用图 (I)求∠ADB的度数； (2)如图2，点E在ABC内部，满足AE=AD,BE=BD,求证： ∠CAE=∠ABE; (3)在(2)的条件下，连接CE,若∠AEC=135°，CE=3,求△CBE的面积. 【答案】(1)135 (2)证明见解析 (3)9 【分析】(1)设∠ACD=2x,则∠BCD=90°-2x,利用等边对等角和三角形 内角和定理分别求出∠ADC,∠BDC的度数即可得到答案； (2)证明△ADB≌△AEB得到∠AEB=∠ADB，根据三角形内角和定理得到 ∠BAE+∠ABE=45°，再证明∠CAE+∠BAE=45°，即可证明结论； (3)将△ACE绕点C逆时针旋转90度得到BCF,连接EF,证明△CEF是 等腰直角三角形，推出∠EFB=90°，再证明△EBF是等腰直角三角形，得到 ∠FEB=45°，则∠BEC=90°，由勾股定理求出BE的长，再利用三角形面积 计算公式求解即可. 【详解】(1)解：设∠ACD=2x,则∠BCD=90°-2x, .CA=CB=CD, 180°-∠ACD :.∠CDA=∠CAD= =90°-x, 2 ∠CDB=∠CBD=I80°-∠BCD 2 =45°+X, 试卷第1页，共3页 :.∠ADB=∠ADC+∠BDC=135°； (2)证明：AE=AD,BE=BD,AB=AB, :.△ADB≌AAEB(SSS), .∠AEB=∠ADB=135°， .∠BAE+∠ABE=45°， ∠ACB=90°，CA=CB, ·.∠CAB=45°， .∠CAE+∠BAE=45°， ∴.∠CAE=∠ABE; (3)解：如图所示，将△ACE绕点C逆时针旋转90度得到BCF,连接EF, ·∠ECF=90°，CE=CF=3,∠CFB=∠AEC=135°，∠CBF=∠CAE, ∴.△CEF是等腰直角三角形， .∠CEF=∠CFE=45°， .∠EFB=90°， ∠CAE=∠ABE, ∠CBF=∠ABE, .∠CBF+∠CBE=∠ABE+∠CBE, ·∠FBE=∠ABC=45°， :△EBF是等腰直角三角形， ∴.∠FEB=45°， .∠BEC=90°： 在Rt△CEF中，由勾股定理得EF2=CE2+CF2=18, 在Rt△BEF中，由勾股定理得BE2=EF2+BF2=36, ∴.BE=6或BE=-6(舍去)， SAMC -TCE.BE=-x3x6= 试卷第1页，共3页 D 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形内 角和定理，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角 形是解题的关键， 题型6旋转的性质辨析 1.一个图形无论经过平移还是旋转，以下说法不正确的是() A.对应线段平行； B.对应线段相等； C.对应角相等： D.不改变图形的形状和大小， 【答案】A 【分析】本题考查了平移和旋转的性质，熟知平移和旋转的性质是解题的关键， 根据平移和旋转的性质分析即可得出答案. 【详解】A.平移后对应线段平行或共线，旋转对应线段不一定平行，故本选项 说法错误，符合题意； B.无论平移还是旋转，对应线段相等，故本选项正确，不符合题意； C.无论平移还是旋转，对应角相等，故本选项正确，不符合题意； D.无论平移还是旋转，图形的形状和大小都没有发生变化，故本选项正确，不 符合题意； 故选：A 2.一个图形无论经过平移还是旋转，以下说法：①对应线段平行；②对应线段 相等；③对应角相等；④图形的形状和大小都没有发生变化.其中说法正确的 是 【答案】②③④ 试卷第1页，共3页 【分析】根据平移和旋转的性质解答即可. 【详解】解：根据平移的性质可知：平移变换对应线段平行或共线；对应线段相 等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化： 根据旋转的性质可知：旋转后对应线段不平行；对应线段相等；对应角相等；图 形的形状和大小没有发生变化， 所以②③④正确。 【点睛】本题主要考查了图形平移的性质和图形旋转的性质，熟记平移和旋转的 性质是解题的关键 3.如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b分别与x轴，y轴交于点 A-1,0),B(0,2),过点C(2,0)作x轴的垂线，与直线AB交于点D. A B A/O C Fx 图1 图2 (1)求点D的坐标： (2)点E是线段CD上一动点，直线BE与x轴交于点F. (i)若BDF的面积为8，求点F的坐标： (ii)如图2，当点F在x轴正半轴上时，将直线BF绕点B逆时针旋转45°后 的直线与线段CD交于点M,连接FM,若OF=MF+1,求线段MF的长， 【答案】(1)2,6 (2)(i)-5,0)或3,0；(ii)MF=5 【分析】(1)将A-1,0),B(0,2)代入y=kx+b求出解析式即可： (2)(1)设点Fm,0),分类讨论当点F在x轴的正半轴和负半轴的情况，根 试卷第1页，共3页 Sr=SDe-S E=AFx(DC-BO即可求解；)作MN轴 GB⊥BM交x轴于点G,证MNB≌BOG、FBM≌FBG即可求解. -k+b=0 【详解】(1)解：由题意得： b=2 「k=2 解得： b=2 y=2x+2 当x=2时，y=2×2+2=6 .D(2,6) (2)解：设点Fm,0) ()①当点F在x轴的正半轴时，如图所示： y个 2 E 1 S wDF=S ADr-S Amr =3x AFx(DC-BO)=x(m+1)x(6-2)=2(m+1), 2(m+1=8, 解得：m=3 F(3,0) ②当点F在x轴的负半轴时，如图所示： 试卷第1页，共3页 E Cx 5m=5m-5m-×4r×DC-80=-1-×6-2到-2a+ -2m+1=8, 解得：m=-5 F-5,0) 综上所述：F(-5,0)或F(3,0) (ii)作MN⊥y轴，GB⊥BM交x轴于点G,如图所示： y个 y 门--- M ∠NMB+∠NBM=∠GBO+∠NBM=90 B E A/OG C ∴.∠NMB=∠GBO :MN⊥y轴 .MN =2=OB ∠MNB=∠BOG=90°， 试卷第1页，共3页 ∴.MNB≌BOG ∴.NB=OG,BM=BG :将直线BF绕点B逆时针旋转45°后的直线与线段CD交于点M, ·.∠FBM=45 .∠FBG=45=∠FBM BF=BF .FBM≌FBG ∴.MF=GF OF=GF+OG=MF+1 ∴.OG=1=NB ∴.ON=MC=3 设MF=t,则CF=OF-2=t+1-2=t-1 在Rt△MCF中，MF2=MC2+CF2 2=32+(t-12 解得：t=5, .MF=5 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合问题.正确作出辅助线，掌握分类讨论 的数学思想是解题关键， 题型7旋转中的规律问题 1.风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好 地利用.如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成120°角的叶片，以三个叶 片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开 始时其中一个叶片的外端点的坐标为A(5,5),在一段时间内，叶片每秒绕原点 O顺时针转动90°，则第2024秒时，点A的对应点A24的坐标为() 试卷第1页，共3页 A.(5,5) B.5,-5 C.-5,-5 D.(-5,5) 【答案】A 【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、4s时，点A的对应点A、A2、 A?、A4的坐标，找到规律，进而得出第2024s时，点的对应点A23的坐标. 【详解】解：如图 X46,5), ∴.A在第一象限的角平分线上， .叶片每秒绕原点O顺时针转动90°， A(5,-5),A(-5,-5),A(-5,5),A,(5,5), ∴.A点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， .2024÷4=506, ·第2024s时，点的对应点A2024的坐标与A,相同，为(5,5). 故选：A· 2.已知直线AB和CD交于点O,∠AOC=30°，∠BOE=90°，OF平分 ∠AOD.射线OE以每秒10°的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF也以每 秒4°的速度绕点O顺时针转动，当射线OE转动一周时，射线OE、OF也停 止转动.在射线OE转动一周的过程中.当OE⊥OF时，射线OE转动的时间 试卷第1页，共3页 为秒. E 75 255435 【答案】 4或 或 14 14 【分析】先依次求得∠AOD,∠AOF,∠EOF,再“OE'与OF'重合前， ∠FOE'=90°”、“OE'与OF'重合后，∠F'OE'=90°”、“OE'与OF'重合后， OF'在∠BOE内，且OE'在∠BOF内，即∠E'OF'=370°分三种情况讨论， 分别列出一元一次方程求解即可。 【详解】解：：直线AB和CD交于点O,∠AOC=30°， .:∠A0D=180°-∠A0C=150°， .OF平分∠AOD, ∠AOF=∠AOD=75°， .∠EOF=∠AOE+∠AOF=165°， 当OE与OF'重合前，∠FOE=90°时，如图， E ,10t+4t+90=165, D F 解得：1=75 14 (秒)： 当OE'与OF'重合后，∠FOE'=90°时，如图， 试卷第1页，共3页 E B101+4t=165+90, 255 解得：t= (秒)； 14 当OE'与OF'重合后，OF'在∠BOE内，且OE在∠BOF内，即 ∠E'OF'=370°时，如图， 此时10t+4t=270+165, 435 解得：t= (秒)， 14 综上所述，射线OE转动的时间为 75 255 秒或 秒或435 秒， 14 14 14 75.255 故答案为： 或 14×14 或435 14 【点睛】本题考查了几何问题（一元一次方程的应用），几何图形中角度计算问题， 角平分线的有关计算，垂线的定义理解，旋转中的规律性问题，根据旋转的性质 求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解， 3.图形变换大观园：请阅读各小题的要求，利用你所学的平移与旋转知识作答， (1)如图1，是某产品的标志图案，要在所给的图形图2中，把A,B,C三个菱 形通过一种或几种变换，均可以变为与图1一样的图案.你所用的变换方法是 试卷第1页，共3页 图1 图2 ①将菱形B向上平移半径的长度；②将菱形B绕点O旋转120°；③将菱形B绕 点O旋转180°. (在以上的变换方法中，选择一种正确的填到横线上.) (2)分析图①、②、④中阴影部分的分布规律，并按此规律在图③中画出其中的 阴影部分. ① ② ③ ④ (3)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0,2、B(2,2、C(1,1. 4 3 B 2 A -1 C -5-4321 O1■ 2345 - C3 3 ①若将ABC先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到 △A,B,C,请画出△A,B,C,并写出点C的坐标为 ②若将ABC绕点O按顺时针方向旋转180°后得到△A,B,C,,直接写出点C,的 试卷第1页，共3页 坐标为 ③若将ABC绕点P按顺时针方向旋转90°后得到△A,B,C;,则点P的坐标是 【答案】(1)将菱形B绕点O旋转180° (2)见解析 3)①图见解打，(-1，-1)②(-1，-1)③-2,0 【分析】此题主要考查了图形变化规律，作图一一平移和旋转，点的坐标，关键 是掌握平移与旋转的性质， (1)根据图形直接得出结论； (2)从图中可以观察变化规律是，正方形每次绕其中心顺时针旋转90°，每个 阴影部分也随之旋转90°. (3)①首先确定A、B、C三点平移后的对应点位置，再连接，然后写出点点 C的坐标即可； ②根据关于原点对称的点的坐标特点可得C,的坐标； ③根据旋转的性质确定点P的位置. 【详解】(1)解：观察分析①②的不同，变化前后，AC的位置不变， 而B的位置由O的下方变为O的上方，进而可得两者对应点的连线交于点O, 即进行了中心对称变化，变换方法是将菱形B绕点O旋转180°， 故答案为：菱形B绕点O旋转180°. (2)解：如图： 试卷第1页，共3页 ① ② ③ ④ (3)解：①如图所示，△ABC,即为所求，C的坐标为(-2,0)， 本y 5 4 3 A B ABi C 54321012345x A -- C B3 5 ②将 ABC绕点O按顺时针方向旋转180°后得到△A,B,C,,点C,的坐标为 (-1,-1), 故答案为：(1，-1)： ③将ABC绕点P按顺时针方向旋转90°后得到△A,B,C,则点P的坐标是 （-2,0), 故答案为：（-2,0. 题型8画旋转图形 1.下列图案中，可以通过把一个基础图形平移得到的是() 试卷第1页，共3页 C D 【答案】C 【分析】本题考查了图形的旋转和平移，能理解图形的旋转及平移是解题的关键， 【详解】解：A.可以由圆旋转得到，故不符合题意： B.可以由菱形旋转得到，故不符合题意； C.可以由菱形平移得到，故符合题意： D.可以由等腰直角三角形旋转得到，故不符合题意； 故选：C 2.如图，△AB0三个顶点的坐标分别为A(1,4),B(2,1),0(0,0),如果将 △ABO绕点O按逆时针方向旋转90°，得到△A'B'O,那么点A,B的对应点 A',B的坐标分别是 O 【答案】（-4,1)，（-1,2) 【分析】本题考查坐标与图形变化~旋转，根据题意画出旋转后的三角形即可解 决问题，能根据题意画出旋转后的图形是解题的关键， 【详解】解：△ABO的绕点O逆时针旋转90°后所得图形如图所示， 试卷第1页，共3页 B 所以点A'的坐标为(-4,1)，点B的坐标为(-1,2). 故答案为：(-4,1)，(-1,2). 3.如图，在边长均为1的正方形网格中，ABC的顶点均在格点上，O为直角 坐标系的原点，ABC三个顶点坐标分别为A1,2),B(0,1),C(2,0). B (1)以O为旋转中心，将ABC逆时针旋转90°，请在网格中画出旋转后的 △AB,C1: (2)画出与ABC关于原点对称的△A,B,C2: (3)直接写出点A,和点C,的坐标. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)A(-2,1),C2(-2,0) 【分析】(1)根据旋转方式找到对应点，顺次连接即可； (2)找到各顶点关于原点对称的对应点，顺次连接即可； 试卷第1页，共3页 (3)根据所作图形写出点的坐标即可. 【详解】(1)解：如图，△ABC,即为所求， B A (2)解：如图，△A,B,C,即为所求， (3)解：点A和点C,的坐标分别为(-2,1)，（-2,0). 题型9利用旋转设计图案 1.如图，将甲图经图形变换到乙图，下列说法错误的是() 甲图 乙图 A.可以通过平移和旋转实现 B.可以通过轴对称和旋转实现 C.必须通过旋转才能实现 D.不必通过旋转就能实现 【答案】D 【分析】结合图形特点可得甲图形变为乙图形可以经过旋转、平移或旋转、轴对 称实现，从而可得出答案 【详解】甲图形变为乙图形必须通过旋转变换， 所以D选项错误， 故选D, 【点睛】本题考查了几何变换的类型，属于基础题，掌握各几何变换的特点是解 试卷第1页，共3页 答本题的关键， 2.如图，线段AB可以看成是线段CD先绕点C 旋转90°，再向 平移 小格得到的. D B C 【答案】 逆时针 左 1 【分析】本题考查了线段的旋转，平移，根据题意和旋转的相关知识即可得；掌 握旋转角度，旋转方向，平移是解题的关键， 【详解】解：由图可知，线段AB可以看成是线段CD先绕点C逆时针旋转90° ,再向左平移1小格得到的， 故答案为：逆时针；左；1. 3.如图，ABC三个顶点的坐标分别为A2,4),B1,1,C(4,3). 3 -5-4-3-2-11Q1 2345 (1)请画出ABC关于y轴对称的△AB,C,并写出点A的坐标： (2)请画出ABC绕点B顺时针旋转90°后的△A,BC2; (3)求出(2)中△A,BC2的面积. 【答案】(1)图见解析，（-2,4) (2)图见解析 (3)3.5 试卷第1页，共3页 【分析】(1)根据纵坐标不变，横坐标变为相反数，确定变换后的坐标， A-2,4,B-1,1),C(-4,3),画图即可. (2)根据顺时针旋转的要求求出对应坐标，画图即可. (3)根据分割法计算面积解答即可， 本题考查了坐标的对称，旋转，分割法求面积，熟练掌握相应的知识是解题的关 键. 【详解】(1)解：如图，根据题意，得A-2,4),B（-1,1),C（-4,3), B △ABC,为所求，且点A的坐标A-2,4; -5-43-2-1012345 (2)根据题意，得A2,4),B(1,1),C(4,3),ABC绕原点O顺时针旋转 90°得到△A,B,C2,新坐标分别为A,（4,0,B2(1,1,C2（3,-2).画图如下： 3 B(B2) -5-4-3-2-1Q1 则△A,B,C,即为所求. C3)解：△ABC,的面积=3x3-×3x1-×2x1-x3×2=3.5 1 2 2 题型10求绕原点旋转90度的点的坐标 试卷第1页，共3页 1.如图，点A的坐标是-2,3)，将△ABO绕点O顺时针旋转90°得到△A'B'O ,点A'的坐标是() B A.(2,3 B.(3,2 C.（-3,-2) D.（-2,-3 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形的变化一旋转，作出旋转后的图形，由图可知， A'的横坐标为AB的值，A'的纵坐标为OB的值，即可得到A'的坐标.掌握旋 转的性质是解题的关键。 【详解】解：将△ABO绕点O顺时针旋转90°得到△A'B'O,如图， B' -2A B :AB'=AB,OB'=OB, :点A的坐标是-2,3)，在第二象限，且绕点O顺时针旋转90°， 点A'在第一象限，AB=3,OB=2, A(3,2. 故选：B 2.在平面直角坐标系xOy中，点A是一次函数y=-3x+6图像上一点，将线 段OA绕点O顺时针方向旋转90°后，点A的对应点B恰好落在一次函数 y=-3x+6图像上，则点A的坐标是 试卷第1页，共3页 612 【答案】 55 【分析】先设出点A的坐标，利用一次函数表达式表示其纵坐标，再根据点 x,y)绕原点顺时针旋转90°后的对应点坐标为y,-x)得到点B的坐标，最后将 B代入一次函数解析式，解方程求出参数，进而得到点A的坐标. 【详解】解：因为点A在一次函数y=-3x+6的图像上， 设点A的坐标为a,-3a+6, 则点A旋转后的对应点B的坐标为-3a+6,-a, 因为点B在一次函数y=-3x+6的图像上， 6 所以-a=-3-3a+6+6,解得a= 6 路0令代入点A的级坐标表达式，得-3x:+ 12 612 故点A的坐标为 55 3.按照要求画图： 图1 图2 图甲 图乙 (1)如图甲，在平面直角坐标系中，将ABC绕原点O顺时针旋转90°得到 △A,B,C,点A,B,C的对应点为点A,B,C.画出旋转后的△A,B,C,; (2)如图乙，3×3网格都是由9个相同小正方形组成，每个网格图中有3个小正 试卷第1页，共3页 方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，选取1个涂上阴影，使4 个阴影小正方形组成一个中心对称图形（画出两种即可） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)根据旋转的性质，找出点A、B、C的对应点即可； (2)根据中心对称图形的性质进行画图即可. 【详解】(1)解：如图所示： 图甲 (2)解：如图所示： 图1 图2 图乙 题型11求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 1.如图，在平面直角坐标系中，己知A(-3,0)、B(0,2),把AOB绕点A逆 时针旋转90°后得到△ACD,则点D的坐标是() 试卷第1页，共3页 A.(-5,3) B.(-2,3 C.(3,2 D.（-5,2 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质. 根据旋转的性质得出相等的边和角，然后根据点的坐标得出线段的长度，即可求 解。 【详解】解：根据旋转的性质得，AC=AO,CD=OB,∠C=∠AOB=90°， A-3,0)、B0,2, .0A=3,0B=2, 则AC=3,CD=2, 点C坐标为-3,3)， 又CD⊥AC, 点D坐标为(-5,3)， 故选：A 2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为1,0，点P的坐标为-3,2).如 果将线段AP绕点A逆时针旋转90°，得到线段AP',点P的坐标为 试卷第1页，共3页 【答案】（-1，-4) 【分析】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、点的坐标等知识.过 点P作PB⊥x于点B,过点P作P'B⊥x于点C,证明 △APB≌△P'40(AAS),则P'C=AB=4,AC=PB=2,则 OC=AC-OA=1,即可得到答案. 【详解】解：如图，过点P作PB⊥x于点B,过点P作PB⊥x于点C, .∠PBA=∠ACP'=90°， ∠APB+∠PAB=90°， :点A的坐标为(1,0)，点P的坐标为-3,2). :AB=1-（-3=4,PB=2, :将线段AP绕点A逆时针旋转90°， ∠PAB+∠OAP'=90°，AP=AP .∠APB=∠OAP' .△APB≌△P'A0(AAS), :P'C=AB=4,AC=PB=2 .OC=AC-0A=1, P(-1,-4), 故答案为：(-1，-4) 3.如图，平面直角坐标系x0y中，A-2,-1,B(-4,-3),C(-1,-3), A'2,1. 试卷第1页，共3页 A (I)若△A'B'C'与ABC成中心对称（点A、B分别与A'、B对应），试在图中画 出△A'B'C'; (2)将(1)中的△A'B'C'绕点C顺时针旋转90°，得到△A"B"C",试在图中画 出△A"B"C"; (3)若△A"B"C"可由ABC绕点G旋转90°得到，则点G的坐标为 【答案】(1)见解析 (2)见解析 3)-3,1 【分析】(1)根据中心对称的定义分别作出点A、B、C变换后的对应点，再顺 次连接可得； (2)分别作出点A、B绕点C顺时针旋转90°得到的对应点，再顺次连接可得： (3)连接AA”、BB”,分别作出其中垂线，交点即为点G. 【详解】(1)解：如图，△A'B'C'即为所求 试卷第1页，共3页 (2)解：如图，△A"B"C"即为所求 (3)解：如图所示点G坐标为-3,1). 题型12坐标与旋转规律问题 1.如图，在等边△ABO中，边OA在x轴上，OA=2,将△OAB绕原点O顺时 针旋转，每次旋转60°，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为() A A.(1,V5B.-1,-3 C.（-l,V5 D.（-2,0) 【答案】B 【分析】本题考查了坐标规律的探索，等边三角形的性质及勾股定理，找到规律 是关键；规律是每6次一个循环，由此即可求解， 【详解】解：由题意知，边OA经过6次旋转后回到起始位置，即每6次一个循 环， 而2025÷6=337…3， 则边OA经过337次旋转后回到起始位置，再旋转3次则到了x轴的负半轴上， 此时OB在第三象限，且与x轴负半轴的夹角为60°， 试卷第1页，共3页 如图，旋转前，过点B作BC⊥OA于C, :△ABO是等边三角形， .OC=二OA=1, 由勾股定理得BC=V0B2-0C2=√5， :点B的坐标为山，V3: :边OB经过337次旋转后回到起始位置1，V3,再经过3次旋转后与点1，V3 关于原点对称； ·第2025次旋转结束时，点B的坐标为-1，-V3): 故选：B 2.如图，边长为2的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x 轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺 时针旋转，每次旋转45°，那么经过第2026次旋转后，顶点D的坐标为 【答案】2V5,-3 【分析】本题主要考查了正六边形的性质、平面直角坐标系中图形规律问题、全 等三角形的判定与性质等知识点，正确分析出点D坐标的规律是解题的关键， 如图：连接AD、BD,由勾股定理可得BD,求出∠OFA=30°，得到OA的值， 试卷第1页，共3页 进而求得OB的值，得到点D的坐标，由题意可得8次一个循环，即顶点D的 坐标与旋转2次得到的点D的坐标相同；如图：连接OD,将OD绕O旋转 90°得到OD,,过D作D,G⊥y轴于G,过D作DH⊥y于H,则 ∠D,G0=∠DH0=∠D,OD=90°，OD2=OD,DH=3,BD=25,易 证△OGD,≌△DHO,再根据全等三角形的性质以及坐标与图形求得D的坐标 即可解答 【详解】解：如图，连接AD,BD, 以 在正六边形ABCDEF中，AB=AF=2,AD=4,∠ABD=90°， :BD=VAD2-AB2=V42-22=2N3, 在Rt△AOF中，AF=2,∠OAF=60°， .∠OFA=30°， .OA=-AF=1, 2 .OB=OA+AB=3, D3,25 :将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转45°， .8次一个循环， 2026÷8=253…2, .经过第2026次旋转后，顶点D的坐标与旋转2次得到的点D,的坐标相同， 试卷第1页，共3页 D 如图：连接OD,将OD绕O旋转90°得到OD,,过D作D,G⊥y轴于G,过 D作DH⊥y于H,则∠D,G0=∠DH0=∠D,OD=90°，OD,=OD, DH =3,BD =23, .∠D,0G+∠0D,G=90°，∠D,0G+∠H0D=90°， .∠OD,G=∠HOD, △OGD,≌△DHO(AAS, .OG=DH=3,D,G=0H=25, D2V3,-3. 故答案为：（2V3,-3. 3.在平面直角坐标系中，O为原点，点A3,0),点B(0,4,把△ABO绕点A 顺时针旋转，得AB,O,点B,O旋转后的对应点为B,O,记旋转角为α. 试卷第1页，共3页 VA 图1 图2 A 备用图 (1)如图1，若=90°，请利用网格画出AB,O1,并求B的坐标： (2)如图2，若0=60°，求点O的坐标： (3)若M为OB边上的一动点，在OA上取一点N1,0),将△ABO绕点A顺时针 旋转一周，求MN的取值范围（直接写出结果即可）. 【答案】(1)图见解析，B的坐标为7,3) 335 (2) 2’2 (3)1≤MN≤7 【分析】(1)作出图形，利用图象法解决问题即可： (2)连接OO,过点O作O,H⊥OA于点H,由旋转的性质及直角三角形的性 质可求出OH,OH的长，则可得出答案； (3)画出图形，得出MN的最大值和最小值，则可得出答案. 试卷第1页，共3页 【详解】(1)解：△ABO绕点A顺时针旋转90°得AB,O,如图所示； Q 图1 :点A3,0),点B(0,4)，A0=A0,=3,O,B,=OB=4 B的坐标为(7,3) (2)解：连接OO,过点O作OH⊥OA于点H, 图2 :A0=A01=3,∠0A01=60°， :.△OAO,是等边三角形， :OH⊥OA, 3 :OH =HA= 试卷第1页，共3页 3V3 2 333 则点O的坐标为 22 (3)解：观察图形可知，当M与O重合时，MN的最小，最小值为1，当M 与T重合时，MN的值最大，最大值为7， ·.MN的取值范围是1≤MN≤7. 图3 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股 定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键. 题型13线段问题（旋转综合题） 1.在Rt△ABC中，AC=BC,点D为AB中点，∠GDH=90°，∠GDH绕 点D旋转，DG,DH分别与边AC,BC交于E,F两点.下列结论：① AE+BF- 1 AB:②AB2+BF2=EF2:③S达eCr=25aMac:① △DEF始终为等腰直角三角形，其中正确的个数有(). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 试卷第1页，共3页 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的 运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，连接CD,根据等腰直角三 角形的性质就可以得出△ADE≌△CDF,就可以得出AE=CF,进而得出 CE=BF,就有AE+BF=AC,由勾股定理就即可求出结论. 【详解】解：连接CD, H.AC=BC, B 点D为AB中点，∠ACB=90°， 4D=CD=D=4B.∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45, ∠ADC=∠BDC=90°. ∴.∠ADE+∠EDC=90°， ,∠EDC+∠FDC=∠GDH=90°， ∴.∠ADE=CDF. 在ADE和CDF中， ∠A=∠DCB AD=CD ∠ADE=∠CDF ∴.△ADE≌ACDF(ASA, AE=CF,DE=DF,S。ADE=S.CDF· AC=BC, .AC-AE BC-CF, ∴.CE=BF. AC=AE+CE, .AC=AE+BF. AC2+BC2=AB2, 试卷第1页，共3页 AC= AB, 2 AE+BF= 2 -AB. DE=DF,∠GDH=90°， ∴△DEF始终为等腰直角三角形. .CE2+CF2=EF2, .AE2+BF2=EF2. :S四边形CEDF=SEDC+SEDF, 1 .S四边形CEDF=SEDC十SADE=S。MBC· .正确的有4个. 故选：D 2.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=10,BC= 3 CDLAB 40 ,垂足为D,点E是点D关于AC的对称点，连接AE,CE.现将△ACE绕 着点A按顺时针方向旋转a(0°<a≤90).如图2，记旋转后的△ACE为 ACE',在旋转过程中设CE'所在的直线与直线BC交于点P,与直线AB交 于点Q,当BPQ为等腰三角形时，AQ=一 D 图1 图2 【答案】6v10或25 【分析】由勾股定理可求AB的长，由面积法可求CD的长，由勾股定理可求 试卷第1页，共3页 AD的长；根据题意画出满足条件的图形，根据勾股定理和等腰三角形的性质直 接求解. 【详解】解：：∠ACB=90°，AC=10,BC=40 ， .AB=AC2+BC2 :S△HBc=5×ACx BC=×ABxCD, 2 4050 .10× -x CD, 33 ∴.CD=8, AD=√AC2-CD2=102-82=6, ,点E是点D关于AC的对称点， :AE=AD=6,CD=EC=8, ①旋转的过程中，CE'和线段BC、线段AB的延长线相交时，此时BP=BQ, 如图2， 图2 由旋转得，AC'=AC=10,∠CAE'=∠BAC', :∠AE'C'=∠C=90°，∠AFE'=∠PFC, ∴.∠CAE'=∠CPF, .∠BAC'=∠CPF, :∠CPF=∠BPQ, .∠BAC'=∠BPQ, :△BPQ为等腰三角形，BP=BQ, 试卷第1页，共3页 ∠BPQ=∠BQP, .∠BAC'=∠BQP, C'9=AC'=10, 在Rt△AE'Q中，AE'=AE=AD=6,E'Q=E'C'+C'Q=EC'+AC'=8+10=18, A0=VAE2+E'Q2=6V10; ②如图3，当P9=BQ时， 、 G B△BPQ为等腰三角形，PQ=BQ, C 图3 ∴∠PBQ=∠BPQ, :∠BPQ+∠PFC=90°，∠E'AF+∠E'FA=90°，∠E'FA=∠PFC, .∠EAF=∠ABC, 由旋转得，AC'=AC=10,AE=AE'=6,EC=E'C=8,∠CAE'=∠BAC', .∠CAE'=∠ABC=∠CAB, :AC'∥BC, ∴.∠CAC'=∠BCA=90°，∠P=∠C'=∠ABC=∠CAB, ,AQ=C'Q,∠QAF=∠QFA, ∴.AQ=QF=CQ, AF2=C'F2-C'A2,AF2=EF2+E'A2, :.C'F2-C'A2=E'F2+E'A2, ∴.(8+E'F)2-102=EF2+36, 试卷第1页，共3页 、EF=2 9 .C℉= 25 2 1 ∴.AQ=CF= 25 4 25 即满足条件的AQ的长为6√10或 4 故答案为： 6v10或2 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，化为最简二次 根式，旋转的性质，解本题的关键是用等腰三角形的性质求AQ，根据题意画出 图形是本题的难点， 3.在平面直角坐标系中，O为原点，点A0,8),点B(6,0),把△ABO绕点A 逆时针旋转，得△ACD,点B,O旋转后的对应点分别为点C,D,记旋转角 为o. AV 图① 图 B B ② 备用图 (1)如图①，若=90°，求BC的长； (2)如图②，若=45°，求点D的坐标： (3)边OB上有一点P旋转后的对应点为P,在(2)的条件下，当DP+AP'取得 最小值时，写出点P的坐标.（直接写出结果即可）. 【答案】(1)BC=10W2 试卷第1页，共3页 (24V2,8-4V2） 16v2+8 (3)点P的坐标为 0 7 【分析】(1)利用点A、B的坐标表示出线段OA、OB的长度，延长CD交x轴 于点M,利用旋转的性质得到AD=OA=8,CD=OB=6,再利用勾股定理 即可解答： (2)过点D作DE⊥OA于点E,利用旋转的性质和等腰直角三角形的性质求 出DE,OE的长度，即可求解； (3)作点A关于x轴的对称点A',连接DA,交x轴于点P,设点P旋转后的 对应点为P,连接AP,AP,在线段OB上任取异于点P的一点P",设点P 旋转后的对应点为P,连接P"A,P"A',P"D,利用轴对称的性质和三角形的 三边关系得到此时点P使得DP+AP取得最小值，利用待定系数法求出直线 DA的解析式，令y=O,即可求解 【详解】(1)解：延长CD交x轴于点M,如图， A D 点A(0,8),点B(6,0), x BM ∴.OA=8,OB=6, .0=90°， .AD∥x轴，CM∥y轴， .四边形AOMD矩形， ∴.DM=OA=8,OM=AD, ,'把△ABO绕点A逆时针旋转得△ACD, 试卷第1页，共3页 ∴.△ABO≌△ACD, ..AD=OA=8,CD=OB=6, .OM=AD=8,CM=CD+DM=6+8=14, ∴.BM=OM-OB=8-6=2, ∴.BC=VBM2+CM2=V22+142=10W2; (2)过点D作DE⊥OA于点E,如图， E B 由(1)知：AD=OA=8, .0=45°， .∴.∠0AD=45°， .DE⊥OA, ∴.ADE为等腰直角三角形， ∴.AE=DE= √2 AD=42, 2 .0E=OA-AE=8-4v2, ∴点D的坐标为4V2,8-4V2); (3)作点A关于x轴的对称点A',连接DA,交x轴于点P,设点P旋转后的 对应点为P,连接AP,AP,在线段OB上任取异于点P的一点P",设点P 旋转后的对应点为，连接P"A,P"A',P"D,如图， 试卷第1页，共3页 E O P"PB 则A'(0,-8), 由旋转的性质可得：AP=AP', ,点A关于x轴的对称点是A', x轴是AA'的垂直平分线， ∴.P"A=P"A,PA=PA', .DP+AP'=DP+AP=DP+PA'=DA', .DP"+AP DP"+AP"=DP"+A'P">DA', ∴此时的点P使得DP+AP'取得最小值，设直线DA的解析式为y=x+b, D点的坐标为4v2,8-42),A(0,-8), 4V2k+b=8-4√2 b=-8 k=2√2-1 解得： b=-8 ∴直线DA的解析式为：y=2V2-1x-8, 令y=0,则22-1x-8=0, 16√2+8 7 点P的坐标为 【点睛】本题考查了几何变换的综合，旋转的性质，轴对称的性质，勾股定理， 次函数的图像与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质和利用点 试卷第1页，共3页 的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键. 题型14面积问题（旋转综合题） 1.如图，P是等边三角形ABC内一点，将△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ AB2,若PA=2,PB=4,PC=2√5，则四边形APBQ的面积为() B A.2√5 B.35 C.45 D.53 【答案】B 【分析】如图，连接PO.由题意△POA是等边三角形，利用勾股定理的逆定理 证明∠POB=90°即可解决问题. 【详解】解：如图，连接PQ :△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ, :AP=AQ=2,PC=BQ=2√5，∠PAQ=60°， .△PAQ是等边三角形， .P9=PA=2, PB=4, :PB2 =B02+PO2, .∠PQB=90°， 试卷第1页，共3页 00B+5P4=x2x25+5x4=35, 1 S四边形P8=SAPB0+SA4P= 2 4 故选：B. 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质以及勾股定理的逆定理， 熟练掌握相关内容是解题的关键。 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,点D是AC的中点， 将CD绕着点C逆时针旋转，在旋转的过程中点D的对应点为点E,连接AE、 BE,则△AEB面积的最小值是 C 【答案】1 【分析】作CH⊥AB于H,如图，先利用勾股定理计算出AB=5,再利用面 积法计算出CH=12 再根据旋转的性质得CE=2,然后利用E点在线段HC 上时，点E到AB的距离最小，从而可计算出△AEB的面积的最小值. 【详解】解：作CH⊥AB于H,如图， ∠ACB=90°，AC=4,BC=3, .AB=V32+42=5, 时cm8= 1 AC.BC, :CH=6×812 10=5, ,点D是AC的中点， ∴.CD=2, ,将CD绕着点C逆时针旋转，在旋转过程中点D的对应点为点E, 试卷第1页，共3页 .CE=2,即点E在以C为圆心，2为半径的圆上， ,点E在线段HC上时，点E到AB的距离最小， 1×2-2)x5=1. :△4EB的面积的最大值为×（行 故答案为：1. D B 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转 中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了勾股定理. 3.已知△ABC和点P在网格图中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为 备用图 (1)将△ABC向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到△AB,C, 请在网格图中作出△A,B,C,: (2)接第(1)小问，将△AB,C绕点P顺时针旋转180°之后得到的△A,B,C,请 在网格图中作出△A,B,C2; (3)在上述信息下，求△AB,B,的面积. 试卷第1页，共3页 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)9 【分析】本题考查平移，旋转，网格图中求三角形的面积，掌握知识点是解题的 关键 (1)根据平移的性质，作图即可； (2)根据旋转的性质，作图即可； (3)根据三角形的面积等于矩形的面积减去周围三角形的面积，即可解答 【详解】(1)解：作图如图，△ABC,为所求作； (2)作图如图，△A,B,C,为所求作： (3)如下图： 试卷第1页，共3页 :,=S长方形MNB,0-S4MB4-SBN,-SA04, 1 1 1 S448,=6×4-7×2×3-5×2×6- 2 ×3×4=9. 题型15角度问题（旋转综合题） 1.将一副三角板如图放置(ABC为含60°的直角三角板，∠BAC=90°， ∠B=60°，ADE为含45°的直角三角板，∠DAE=90C)将三角板ADE绕点 A逆时针旋转a(0°<a<90°)，使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂 直，则的度数为() A A.15° B.60° C.15°或60° D.15°或75° 【答案】C 【分析】本题主要考查的是旋转的性质，根据旋转的性质和已知条件进行分类讨 论是解题的关键.根据题目要求，需要分两种情况讨论，第一种情况是当 DE⊥BC时，第二种情况是当AD⊥BC时，再根据已知条件求解即可. 【详解】解：当DE⊥BC时，如图， 试卷第1页，共3页 :∠BAC=90°，∠B=60°， E B A ∴.∠C=30°， .∠CFD=60°， .∠ADE=45°， .旋转角为∠a=∠CAD=60°-45°=15°； 当AD⊥BC时，如图， E .∠BAC=90°，∠B=60°， D B ∴.∠C=30°， .旋转角为∠=∠CAD=90°-30°=60°； 故选：C. 2.将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN,现将三角板ABC绕点A 以每秒2°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒4°的速度顺时针 旋转，设旋转时间为t秒，如图2，∠BAH=2t°，∠FDM=4t°，且 0≤t≤90，当BC与三角板DEF的一条直角边（边DE或DF)平行时，则满 足条件的t的值为 试卷第1页，共3页 图1 图2 【答案】15或60 【分析】当DE∥BC时，延长AC交MN于点P,分两种情况讨论：①DE在 MN上方时，②DE在MN下方时，∠FDP=4t°-180°，列式求解即可；当 DF∥BC时，延长AC交MN于点I,①DF在MN上方时， ∠FDN=180°-4t°，②DF在MN下方时，∠FDN=4t°-180°，列式求解 即可 【详解】解：由题意得，∠HAC=∠BAH+∠BAC=2t°+30°，∠FDM=4t° ,如图1， 当DE∥BC时，延长AC交MN于点P, ①DE在MN上方时， A G B .DE∥BC,DE⊥DF,AC⊥BC, 图1 .AP∥DF, ∴.∠FDM=∠MPA, .MN∥GH, .∠MPA=∠HAC, ∴.∠FDM=∠HAC, 即4t°=2t°+30° 解得t=15; 试卷第1页，共3页 ②DE在MN下方时，∠FDP=4t°-180°， G A -H B DE∥BC,DE⊥DF,AC⊥BC, 图1 .AP∥DF, .∠FDP=∠MPA, .MN∥GH, ∴.∠MPA=∠HAC, .∠FDP=∠HAC,即4t°-180°=2t°+30°， .t=105; .0≤t≤90， .t=105(舍去，不符合题意) 当DF∥BC时，延长AC交MN于点I, DF在MN上方时，∠FDN=180°-4°， G A H B F M NDF∥BC,AC⊥BC, 图2 ∴.AC⊥DF, ∠FDN+LMIA=90°， .MN∥GH, ∴.∠MIA=∠HAC, .∠FDN+∠HAC=90°，即180°-4t°+2t°+30°=90°， 试卷第1页，共3页 t=60; ②DF在MN下方时，∠FDN=4t°-180°， G H N'DF∥BC,AC⊥BC,DE⊥DF, 图2 ∴.AC∥DE, .∠AIM=∠MDE, .MN∥GH, .∠MIA=∠HAC, .∠MDE=∠HAC,即4t°-180°-90°=2t°+30°， ∴.t=150(不符合题意，舍去)， 综上，所有满足条件的t的值为15或60， 故答案为：15或60， 【点评】本题主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是掌 握相关知识的灵活运用 3.如图，在平面直角坐标系，点A、B的坐标分别为a,0),（0,b),且 a-26+V8-b=0,将点B向右平移24个单位长度得到C. D 0A A 0 A 备用图 备用图 (1)求A,B两点的坐标： 试卷第1页，共3页 (2)点P,Q分别为线段BC,OA两个动点，P自B点向C点以2个单位长度/秒 向右运动，同时点Q自A点向O点以4个单位长度/秒向左运动，设运动的时间 为t,连接PQ,当PQ恰好平分四边形BOAC的面积时，求t的值： (3)点D是直线AC上一点，连接QD,作∠QDE=120°，边DE与BC的延长 线相交于点E,DM平分∠CDE,DN平分∠ADQ,当点Q运动时，∠MDN的 度数是否变化？请说明理由. 【答案】(1)A(26,0),B0,8) 1 (2)t= 2 (3)∠MDN=60°或150°，理由见解析 【分析】(1)根据绝对值和算术平方根的非负性，求出α、b的值即可得到答案； (2)根据P2平分四边形BOAC的面积，即可得到S梯形OBP0=S梯形O4CP根据梯 形面积公式即可得到BP+OQ=CP+QA,然后列式求解即可得到答案； (3)分三种情况：当D在线段CA的延长线上时；当D在线段AC的延长线上 时；当D在线段CA上时；利用角平分线的定义求解即可. 【详解】(1)解：：a-26+V8-b=0,a-26≥0，⑧-b≥0， a-26=0,√8-b=0 a-26=0 8-b=0 a=26 解得： b=8 A26,0),B(0,8): (2)解：点B向右平移24个单位长度得到C, .C(24,8), 试卷第1页，共3页 设BP=2t,PC=24-21,00=26-41,AQ=41, :PQ平分四边形BOAC的面积， :.S稀形OBPQ=S梯形0ACP BP+00.BO-CP+04.BO 2 .BP+00=CP+OA .2t+26-4t=4t+24-2t 1 解得t=2 (3)解：当点Q运动时，∠MDN的度数有变化，理由如下： 如图，当D在线段CA的延长线上时， :DM平分∠CDE,DN平分∠ADQ, ∠NDC=0D1,∠MDc=∠CDE. ∠MDN=∠NDC+∠MDC-∠QDM+∠CDE-ODE, ∠0DE=120°， .∠MDN=60°； yA M B 0 D 同理求得当D在线段AC的延长线上时，∠MDN=60°； D D IN M 0() 试卷第1页，共3页 当点D在线段AC上时， y M o DM平分∠CDE,DN平分∠ADQ, ∠ND0=}∠QDA,∠MDC=∠CDE, 设∠CDE=x :∠QDE=120° ∠QDC=120°-x, :∠ADQ=180°-∠QDC=60°+x, A∠MDN=∠MDC+∠QDC+∠ND0=x+120°-x+(60°+=150°， 综上所述：∠MDN=60°或150°. 【点睛】本题主要考查了算术平方根和绝对的非负性，梯形面积公式，角平分线 的定义，利用分类讨论的思想是解题的关键 题型16坐标系中的旋转 1.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为0,6)，点C的坐标为3,0)，以 OA、OC为边作矩形OABC,若将矩形OABC绕点O逆时针旋转90°，得到矩 形OA'B'C',则点B的坐标为() A B B A 试卷第1页，共3页 A.（-9,6) B.（-6,2) C.（-6,4) D.（-6,3 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化一旋转，矩形的性质，熟练掌握矩形的 性质和旋转的性质是解题的关键. 先根据题意得到OA=6,OC=3,再由矩形的性质可得AB=OC=3, OA=BC=6,∠OAB=∠ABC=∠BCO=90°，由旋转的性质可得 A'B′=AB=3,BC=BC=6,∠OA'B′=∠A'B'C'=∠B'CO=90°，据此 可得第二象限内B的坐标， 【详解】解：：点A的坐标为0,6，点C的坐标为3,0)， .0A=6,OC=3, .AB=OC=3,OA=BC=6,∠OAB=∠ABC=∠BCO=90°， 将矩形OABC绕点O逆时针旋转，得到矩形OA'B'C',点B在第二象限， .A'B′=AB=3,B'C'=BC=6,∠OA'B'=∠A'B'C'=∠B'CO=90°， .点B的坐标为-6,3)， 故选：D 2.已知点A(0,2),点B1,0),将线段AB绕点B顺时针旋转90°，则点A的对 应点的坐标为 【答案】(3， 【分析】此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，掌握旋转前后对应 边相等，对应边的夹角等于旋转角，全等三角形对应角相等是解题的关键， 设点A的对应点为A',过点A作x轴的垂线AC,垂足为点C,由旋转的性质 得到AB=A'B,∠ABA'=90°，进而证明△AOB≌△A'CB(AAS),得出 BC=OA=2,A'C=OB=1,即可求解. 【详解】解：如图所示，设点A的对应点为A',过点A'作x轴的垂线AC,垂 试卷第1页，共3页 足为点C, A(0,2),B(1,0), .0A=2,0B=1. 由旋转性质得，AB=AB,∠ABA'=90°， .∠ABO+A'BC=90°， ∠ABO+∠OAB=90°， ∴.∠A'BC=∠OAB. 在AOB和△A'CB中， ∠AOB=∠A'CB=90° ∠A'BC=∠OAB AB=A'B .∴△AOB2△A'CB(AAS, .BC=OA=2,A'C=OB=1, .OC=OB+BC=1+2=3, .A'(3,1. 故答案为(3,1). 3.在平面直角坐标系中，△AB0的顶点A24,0),B(0,10),O0,0).点C,D分 别为边AO,AB的中点，连接CD,将△ACD绕点D按顺时针方向旋转，得到 △ACD,点A,C对应点分别为A',C',旋转角记为0°<a<360). 试卷第1页，共3页 图1 图2 (1)当线段AO与线段AC'有交点时，记线段AO与线段A'C'的交点为E. ①如图1，求证：CE=CE; ②如图2，连接BA',点C恰好在线段BA'上时，求线段CE的长： (2)整个旋转过程中，在线段A'C'上取点F,使得CF=5,连接FB,FO,记 △FBO的面积为S, 填空： ①S的取值范围是 ②当S的值最大时，此时点A'的坐标为 【答案】(1)①见解析：②CE=25 12 (2)60-25√2≤S≤60+25V2; 12+1727V2 2 ,5+ 【分析】(1)①连接DE,利用三角形中位线定理和旋转性质即可证得 Rt△DEC'≌Rt△DEC(HL),利用全等三角形性质即可证得结论： ②利用勾股定理可得AB=26,由旋转得： A'D=AD,∠A'CD=∠ACD=90°，A'C'=AC=12,设CE=CE=x,则 BE=x+12,OE=12-x,运用勾股定理建立方程求解即可； (2)①当DF∥x轴，且点F在直线CD右侧时，此时S最大，当DF∥x轴， 且点F在直线CD左侧时，此时S最小，分别求得最大值和最小值即可； ②过点A'作A'K⊥x轴于K,延长DF交AK于L,利用矩形性质和等腰直角三 试卷第1页，共3页 角形性质即可求得答案。 【详解】(1)①证明：如图1，连接DE, 点C,D分别为边AO,AB的中点， ○ 图1 .CD是△ABO的中位线， .CD∥BO, ∴.∠ACD=∠AOB=90°， ∴.∠DCE=90°， 由旋转得：∠C'=∠ACD=90°，CD=CD, .DE=DE, .RtADEC≌RtADEC(HL), .C'E=CE; ②解：A24,0,B0,10, .0A=24,0B=10, .AB=V0A2+0B2=V242+102=26, ,点C,D分别为边AO,AB的中点， D=BD=)4B=13,AC=0C=)0A=12, 由旋转得：A'D=AD,∠A'C'D=∠ACD=90°，A'C'=AC=12, .A'D=BD, 点C恰好在线段BA'上， .BC'=A'C'=12, 由①知CE=CE,设CE=CE=x, 试卷第1页，共3页 则BE=x+12,OE=12-x, 在Rt△BE0中，OB2+OE2=BE, 102+12-x)2=(x+122, 25 解得：x= 12 25 ∴.CE= 12 (2)解：①当DF∥x轴，且点F在直线CD右侧时，如图3，延长FD交y轴 于G, B 图3 则FG⊥y轴，此时S最大， :DF=V52+52=5√2， .FG=12+5V2, S=x10x12+5V2)=60+25V2: 当DF∥x轴，且点F在直线CD左侧时，如图4，延长DF交y轴于G, B D G H 图4 则FG=12-5√2，此时S最小， 试卷第1页，共3页 5=7x10×2-52)=60-255, 故答案为：60-25√2≤S≤60+25√2； ②如图5，过点A'作A'K⊥x轴于K,延长DF交AK于L, 图5 则四边形CDLK是矩形， .CK=DL,C'D=C'F=5,A'F=7, 又△C'DF和△A'FL是等腰直角三角形， DF=5,FL=AL=12 2 0K=12+172 K=5+迈 2 4y9 2 1,17V2 故答案为： 12 2 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查平面直角坐标系中三角形旋转，熟 练掌握点的坐标，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，勾 股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键 题型17中心对称图形的识别 1.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是() A.等边三角形 B.平行四边形 试卷第1页，共3页 C.矩形 D.正五边形 【答案】C 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各个选项进行逐一判断即可. 【详解】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符 合题意； B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意. 2.在线段、角、正方形、圆中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是 【答案】角 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟记定义是解题关键， 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐个判断即可得. 【详解】解：线段是轴对称图形，也是中心对称图形， 角是轴对称图形，不是中心对称图形， 正方形是轴对称图形，也是中心对称图形， 圆是轴对称图形，也是中心对称图形， 故答案为：角， 3.在平面直角坐标系中，ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个 单位长度的正方形) 试卷第1页，共3页 B (I)将ABC向左平移5个单位长度，得到△A,B,C1,画出△A,BC1； (2)△A,B,C,与△AB,C,关于原点成中心对称，画出△A,B,C2; (3)ABC和△A,B,C,是否成中心对称图形？若成中心对称图形，请直接写出对 称中心的坐标；若不成中心对称图形，请说明理由. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)ABC和△AB,C,是成中心对称图形，对称中心的坐标为2.5,0 【分析】本题考查了作图一平移变换，画中心对称图形，熟练掌握以上知识点并 灵活运用是解此题的关键， (1)根据平移的性质作图即可； (2)根据成中心对称图形的性质作图即可： (3)连接AA,、BB,、CC,它们相交于一点，结合中心对称图形的定义得出 ABC和△A,B,C,是成中心对称图形，再结合图形写出坐标即可. 【详解】(1)解：如图，△AB,C,即为所作， 试卷第1页，共3页 B (2)解：如图：△A,B,C,即为所作， B C B2 (3)解：如图，连接AA,、BB2、CC,,它们相交于一点，则ABC和 △A,B,C,是成中心对称图形， B C B、 A 由图形可得，对称中心的坐标为(2.5,0). 题型18中心对称图形规律问题 1.已知点E(xo,yo),点F(x2,y2),点M(x,y)是线段EF的中点，则 试卷第1页，共3页 七=十之，片=山十业.在平面直角坐标系中有三个点A1,-1, 2 2 B(-1,-1,C0,1),点P(0,2)关于点A的对称点乃（即P,A,P三点共线， 且PA=PA),P关于点B的对称点P,P关于点C的对称点卫，按此规律 继续以A,B,C三点为对称点重复前面的操作.依次得到点P,P,P, 则点P22的坐标是() A.(0,2 B.2,0 C.(2,-4) D.（-4,2) 【答案】A 【分析】先利用定义依次求出各点，再总结规律即可求解， 【详解】解：由题意，P2,-4),P（-4,2),P(4,0),P(-2,-2), P(0,0),P。(0,2),P（2,-4, 可得每6次为一个循环， 2022÷6=337, “点B22的坐标是(0,2)， 故选：A 【点睛】本题考查了数式规律，解题关键是理解题意并能发现规律， 2.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O,△BOC与△B,O,C关于点 C成中心对称，连接AB,若AC=2,AB,=5,则OB的长度为· A D 【答案】4 【分析】根据菱形的性质、旋转的性质，得到OA=OC=O,C=1,OB⊥OC, BC=B,C,根据AB,=5,利用勾股定理计算OB即可. 试卷第1页，共3页 本题考查了菱形的性质、旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的基本 性质并灵活运用勾股定理是解题的关键。 【详解】解：，四边形ABCD是菱形，且△BOC与△BO,C关于点C成中心对 称，AC=2, ..0A=OC=0C=1,OB LOC,BC=BC, 0,B1⊥0，C,0A=AC+O,C=2+1=3, AB1=5, 0,B,=V√AB,2-0,A=V52-32=4, 故答案为：4. 3.如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别为A(2,2)、B(4,1、 C(3,3,将ABC绕原点O旋转180°得到△A'B'C'. 5 4 2 6-5-4-3-2-1Q 3 56 (1)在平面直角坐标系中画出△A'B'C',并写出点A'、B、C的坐标： (2)作△A'B'C'关于x轴对称的△A"B"C",并写出C"的坐标. 【答案】(1)△A'B'C'见解析，点A'、B、C的坐标分别为A'-2,-2), B'-4,-1,C-3,-3 (2)△A"B"C”见解析，C"的坐标为C"(-3,3 【分析】本题考查平面直角坐标系中图形的旋转与轴对称变换，核心是掌握绕原 试卷第1页，共3页 点旋转180°和关于x轴对称的坐标变化规律： (1)绕原点旋转180°：点(x,y)的对应点为-x,-y): (2)关于x轴对称：点x,y的对应点为x,-y 【详解】(1)解：如图，△A'B'C'即为所求： 6 5 3 6-54-321912.34.支61 点A、B、C的坐标分别为A(-2,-2,B(4,-1,C(-3,-3) (2)解：如图，△A”B"C"即为所求，C"的坐标为C"(-3,3: 6 5 B 6 4-3-2-10 123456x 题型19成冲心对称 1.如图，若ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是() 试卷第1页，共3页 A.AB=AB B.BO=BO C.AB∥AB D.∠ACB=∠C'A'B' 【答案】D 【分析】本题考查中心对称，根据中心对称的性质，逐一进行判断即可. 【详解】解：：ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称， AB=AB,BO=BO,AB∥AB,∠ACB=∠A'C'B'; 故只有选项D不成立； 故选D 2.在数轴上表示1、2的点分别为A,B,点B关于点A的对称点为C,则 C点表示的数是 【答案】2-√2/-√2+2 【分析】本题考查了二次根式的加减，解题的关键是根据题意列出算式 先根据题意，列出算式，再计算 【详解】解：：在数轴上表示1、√2的点分别为A,B,点B关于点A的对称 点为C, .C点表示的数是1-(2-1=1-V2+1=2-V2. 故答案为：2-√2. 3.在平面直角坐标系中，已知一次函数y=x+bk≠0)的图象经过点A2,5). 试卷第1页，共3页 5 2 6-5-4-3-2-10123456x -2 -3 A -6 (1)b= (2)点B在此一次函数图象上，其横坐标为-3，请求出AOB的面积； (3)点M在此一次函数的图象上，其横坐标为mm≠2)，直线上A、M两点间 的部分（包括A、M两点）记为图象G. ①当图象G所对应函数的最大值与最小值之差为1时，求m的值； ②平面内有一点Cm+2,m+2),以点O为对称中心构造矩形CDEF,使得 CD⊥x轴，当图象G与矩形CDEF的边有2个交点时，直接写出m的取值范围. 【答案】(1)3 5 2 60m=3或m=1:②-7≤m<-7 【分析】本题考查求一次函数解析式，一次函数与几何综合，中心对称. (1)把点A的坐标代入y=x+b,即可得b的值； (2)把点B的横坐标代入一次函数解析式，可得点B的纵坐标，从而可得OB, 代入三角形面积公式计算即可； (3)①根据题意可得Mm,m+3),由图象G所对应函数的最大值与最小值之 试卷第1页，共3页 差为1，可得m+3-5=1,解方程即可得m的值；②根据题意可得四边形 CDEF为正方形，点C一定在点M的右下方，由图象G与矩形CDEF的边有 2个交点，可知线段AM在点D下方，且在点E上方，可得 m+2+3<-m-2≤5，从而可得m的取值范围. 【详解】(1)解：：一次函数y=x+bk≠0的图象经过点A2,5), 2+b=5, b=3. 故答案为：3. (2)解：·点B在一次函数y=x+3的图象上，其横坐标为-3， yg=-3+3=0, .OB=3, 又：A2,5), 115 ·S40B=3×5×7= 22 15 AOB的面积为 (3)解：①在y=x+3中，当x=m时，y=m+3, .Mm,m+3, :图象G所对应函数的最大值与最小值之差为1， m+3-5=1, .m-2=±1， .m=3或m=1. ②：Cm+2,m+2)在直线y=x上，且矩形CDEF以点O为对称中心， 试卷第1页，共3页 :.四边形CDEF为正方形， :m+3>m+2,m<m+2, ∴点C一定在点M的右下方， :图象G与矩形CDEF的边有2个交点， .线段AM在点D下方，在点E上方， .m+2+3<-m-2≤5， 7 .-7≤m<- 2 5 A(2,5) E 1 $-2-1 012 456 6 题型20根据中心对称的性质求面积、长度、角度 1.P,Q,M,N如图，正方形的对称中心为点O,点A,P,Q,M,N均在正方形的 边上，四点中有一点是点A关于点O的对称点，则该对称点是() M A A.点P B.点Q C.点M D.点N 试卷第1页，共3页 【答案】C 【分析】本题主要考查中心对称的性质（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图 形，这个点叫做它的对称中心；关于中心对称的两个点，它们的连线都经过对称 中心，并且被对称中心平分)来分析点A关于点O的对称点. 【详解】解：正方形的对称中心O是对角线的交点， 关于点O成中心对称的两个点，需要满足连线经过O且被O平分， 观察图形，点A在正方形的底边，其关于O的对称点应在正方形的顶边，对应 图中的点M. 故选：C. 【点睛】 2.如图， ABC和△DEC关于点C成中心对称，若 AC=2,AB=3,∠BAC=90°，则AE的长是 D B 【答案】5 【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质，勾股定理，由中心对称图形的性 质可得A、C、D三点共线，DC=AC=2,DE=AB=3,∠D=∠BAC=90° ,据此求出AD的长，再利用勾股定理可得AE的长. 【详解】解：ABC和△DEC关于点C成中心对称， A、C、D三点共线，DC=AC=2,DE=AB=3,∠D=∠BAC=90°， ∴.AD=AC+CD=4, :.AE=VAD2+DE2=V32+42=5, 试卷第1页，共3页 故答案为：5. 3.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC的顶点均 为格点（网格线的交点）. (I)若△A'B'C'与ABC关于格点O成中心对称，请在网格中画出△A'B'C': (2)在网格中画出ABC绕格点O按顺时针方向旋转90°后，得到的△A"B"C"; (3)由旋转可知，OA OA”.（填>”、<或=”) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)月 【分析】本题考查了画中心对称图形、画旋转图形、中心对称与旋转的性质，根 据题意正确作图是解题的关键， (1)根据中心对称的性质作图即可； (2)根据旋转的性质作图即可； (3)根据中心对称和旋转的性质即可解答， 【详解】(1)解：如图所示，△A'B'C即为所求： ○ 试卷第1页，共3页 (2)解：如图所示，△A"B”C"即为所求： (3)解：由中心对称的性质得，OA=OA', 由旋转的性质得，OA=OA”, OA'=OA”, 故答案为：= 题型21求关于原点对称的点的坐标 1.点M1,-3)关于原点中心对称的点的坐标为() A.（-1,3 B.(1,3 C.(-1,-3) D.（-3,1 【答案】A 【详解】解：平面直角坐标系中，任意一点P(x,y)关于原点中心对称的点的坐 标为-x,-y), :点M的坐标为(1，-3)， .点M关于原点中心对称的点的坐标为-1,3)： 2.写出点P 关于原点对称的点的坐标是 【答案】 【分析】根据平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征，即可求解 【详得】解：点P天于原点对的点的坐足行- 试卷第1页，共3页 3.如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，ABC的三个顶点 均在格点上 A (1)点C关于原点对称点的坐标为 (2)画出ABC绕点A逆时针旋转90°得到的△AB,C2,并写出点B2、C,的坐标； (3)若点P为x轴上一点，则PA+PC的最小值为 【答案】(1)-5，-3) (2)作图见解析，B21,4),C2-1,5 (3)4V2 【分析】本题考查了点的中心对称、作图旋转变换、轴对称最短路线问题、勾股 定理，掌握相关知识及将军饮马”问题是解答本题的关键。 (1)根据点C关于原点对称，横纵坐标互为相反数可解答； (2)根据旋转的性质作图，即可得出答案： (3)作点A关于x轴的对称点'，连接AC,交x轴于点P,连接AP,则 PA+PC的最小值为PA'+PC=A'C,再由勾股定理计算可得答案. 【详解】(1)解：点C5,3, .点C关于原点对称的点的坐标为-5，-3). 故答案为：-5，-3)： 试卷第1页，共3页 (2)解：：ABC绕点A逆时针旋转90°得到的△AB,C2, A1,1,B(4,1,C(5,3, △AB,C2的点的坐标分别为A1,1),B2(1,4),C2(-1,5). .△AB,C2如图1所示； YA B 图1 (3)解：如图2，作点A关于x轴的对称点A',连接AC,交x轴于点P,连 接AP,则PA+PC的最小值为PA'+PC=AC. 图2 由勾股定理，得A'C=V42+42=4√2. 故答案为：4√2. 题型22已知两点关于原点对称求参数 1.若点P(m,5)与点Q-3,)关于原点成中心对称，则m+n的值是() 试卷第1页，共3页 A.2 B.-2 C.-8 D.8 【答案】B 【分析】两个点关于原点中心对称时，横纵坐标分别互为相反数，利用该性质计 算即可求解， 【详解】解：点Pm,5)与点Q-3,n)关于原点成中心对称， .m=--3=3,n=-5, ∴.m+n=3+-5=-2. 2.在平面直角坐标系中，若点P2,1与点Q-2,m关于原点对称，则m的值 是 【答案】-1 【分析】根据关于原点对称的两个点的坐标特征，即横、纵坐标分别互为相反数， 进行求解即可」 【详解】解：点P(2,与点Q(-2,m关于原点对称， .m=-1 3.如图，△DEF是由ABC经过某种变换得到的图形， y 6 4-3-2-10 12/3456x -5 (1)分别写出点A与对应点D,点B与对应点E,点C与对应点F的坐标； (2)从对应点的坐标中你发现了两三角形之间的什么特征？请用文字语言表达出 来； 试卷第1页，共3页 (3)根据你发现的特征，解答下列问题：经过变换后，若ABC内一点 P(1-2a,1-b)在ADEF内的对应点为P'(a+l,3b+),求关于x,y的方程组 bx-ay=1 ax+by=4 的解. 02 【答案】(1)点A(-2,3,D(2,-3,点B-5,1,E(5,-1,点 C-3,-2),F(3,2 (2)ABC与△DEF关于坐标原点对称 x=3 (3) y=-2 【分析】(1)根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可； (2)从横坐标与纵坐标两个方面考虑求解； (3)先根据关于原点对称的点的特征，求出α、b的值，然后代入方程组中，再 解关于x、y的二元一次方程组即可. 【详解】(1)解：由图可知，A-2,3,D(2,-3,B-5,1,E(5,-1, C-3,-2),F(3,2): (2)解：观察可知，对应点的横纵坐标均互为相反数，故对应点关于原点对称， ·.ABC与△DEF关于坐标原点对称； (3)解：由(2)可知，点P1-2a,1-b)和Pa+1,3b+1)关于原点对称， .1-2a+a+1=0,1-b+3b+1=0, a=2,b=-1, bx-ay=1 -x-2y=1 .方程组 a+by=4化为2x-y=4' 2 2 x=3 解得 y=-2 试卷第1页，共3页 进阶练习培优 一、 单选题 1.依次观察三个图形： 并判断照此规律从 左向右第四个图形是(】 女文☆☆ 【答案】D 【分析】根据图形规律可知，从左到右是依次顺时针旋转图形，据此即可求解 【详解】解：由图形规律可得从左到右是依次顺时针旋转图形， .第四个图形是D. 故答案为：D 【点睛】本题考查了旋转的性质，根据三个图形找出旋转的规律是解题关键， 2.在图形的平移和旋转变换中，下列说法正确的是() A.对应点所连线段都平行 B.对应线段都平行 C.对应点所连线段都相等 D.对应线段都相等 【答案】D 【分析】本题考查平移的性质，旋转的性质，掌握平移和旋转的性质是解题关键 根据平移和旋转后的对应线段都相等解答即可. 【详解】解：平移的性质：对应点所连线段平行（在同一直线上）、对应点所连 线段相等、对应线段平行（在同一直线上)、对应线段相等、对应角相等： 旋转的性质：对应线段相等、对应角相等、对应点到旋转中心的距离相等， 故选D. 试卷第1页，共3页 3.如图在小正方形网格中，将△PMN绕某一点旋转变化得到△PM,N,,则旋 转中心为() M E F G H P M A.点E B.点F C.点G D.点H 【答案】C 【分析】本题考查了旋转中心的定义，在平面内，图形绕某一点旋转时，该点到 对应点的距离相等，因此旋转中心是对应点所连线段的垂直平分线的交点，分别 连接两组对应点作其垂直平分线，确定两条垂直平分线的交点，该交点即为旋转 中心，熟练掌握旋转中心的定义是解此题的关键， 【详解】解：如图：分别作线段PP和NW的垂直平分线， 由图可得，旋转中心为点G, 故选：C 4.如图，△DEC是ABC绕点C顺时针旋转得到的，若∠B=22°，∠1=76° ,则∠ACD的度数是() 试卷第1页，共3页 A.22° B.76° C.82° D.92° 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质、三角形内角和定理.理解旋转的性质是解题的 关键.利用旋转的性质得到对应角相等，结合三角形内角和定理求出∠ACD的 度数. 【详解】解：△DEC是△ABC绕点C旋转得到的， ∴.∠E=∠B=22°，∠ACD=∠BCE :∠1=76°， .∠BCE=180°-∠B-∠1=82° ∠ACD=82° 故选：C 5.如图，ABC中，∠BAC=55°，将ABC绕点A逆时针旋转 (0°<a<55°)，得到ADE,DE交AC于点F.当=40°时，点D恰好 落在BC上，此时∠AFE等于() A.75° B.78° C.80° D.85 【答案】D 试卷第1页，共3页 【分析】根据旋转的性质得出∠BAD=∠CAE=40°，AB=AD, ∠B=∠ADE,根据等腰三角形的性质得出∠B=∠ADB=∠ADE=70°，根据 角的和差关系得出∠DAF=15°，根据三角形外角性质即可得答案. 【详解】解：将ABC绕点A逆时针旋转a(0°<a<55°)，得到ADE, 0=40°， ∴.∠BAD=∠CAE=40°，AB=AD,∠B=∠ADE,∠BAC=∠DAE=55°， .∠B=∠ADB=∠ADE=二×(180°-40)=70°， .∠DAE=55°， ∴.∠DAF=∠DAE-∠CAE=55°-40°=15°， .∠AFE=∠ADE+∠DAF=70°+15°=85°. 二、填空题 6.如图，正六边形ABCDEF是由边长为2厘米的六个等边三角形拼成，那么 图中 (1)三角形AOB沿着 方向平移 厘米能与三角形FEO重合； (2)三角形AOB绕着点 顺时针旋转 度后能与三角形EOF重合： (3)三角形AOB沿着BE所在直线翻折后能与 重合； (4)写一对中心对称的三角形： 【答案】 射线BO 2 120 △COB AOB与 △DOE 试卷第1页，共3页 【分析】(1)根据平移的性质解答即可； (2)根据旋转的定义，结合图形即可得出答案； (3)根据轴对称的定义，结合图形可得出翻折后与△CBO重合； (4)根据中心对称的定义，结合图形写出一对即可. 【详解】解：(1)△AOB经过平移得到△FEO, .平移的方向是沿着射线BO方向，点A与点F是一组对应点， .平移的距离为AF的长， .△AOF是边长为2厘米的等边三角形， .AF=2厘米， ∴.三角形AOB沿着射线BO的方向平移2厘米能与三角形FEO重合， 故答案为：射线BO,2; (2)三角形AOB绕着点O顺时针旋转120度后能与三角形EOF重合， 故答案为：O、120; (3)三角形AOB沿着BE所在直线翻折后能与△COB重合， 故答案为：△COB; (4)AOB与△DOE是中心对称的两个三角形， 故答案为：AOB与△DOE(答案不唯一). 【点睛】本题考查了几何变换的类型，涉及的知识点有：图形的平移、旋转、轴 对称、中心对称，属于基础题，熟练掌握几种变换的定义和特点是解题的关键. 7.如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，其中有3个小等边三角形已 涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小 等边三角形组成一个中心对称图形.满足条件的小等边三角形有个. 试卷第1页，共3页 【答案】2 【分析】本题考查了中心对称图形，平行四边形的性质，它是中心对称图形，两 对角线的交点是其对称中心；根据这一性质即可完成. 【详解】解：如图1、如图2所示，添加后的空白小等边三角形与原来的3个小 等边三角形组成平行四边形，因而是中心对称图形. 图1 图2 故答案为：2. 8.如图，将ABC绕点C(0,1旋转180°得到△AB'C,设点A的坐标为 (a,b),则点A'的坐标为 【答案】(-a,2-b) 【分析】本题考查中心对称，坐标与图形的性质等知识.根据将ABC绕点 C(0,1)旋转180°得到△A'B'C,可知这两个三角形关于C(0,1)中心对称，设 A'm,n,利用中点坐标公式计算即可得到答案 【详解】解：设A'(m,n, 试卷第1页，共3页 由题意AC=CA',即C为AA'的中点， m+a=0 C(0,1,A(a,b),则有 2 n+b =1 2 m=-a 解得 n=2-b' A'(-a,2-b, 故答案为：（-a,2-b). 9.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴 上，B(0,-2).若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到正方形AB'C'D' ,则点D'的坐标为 B 【答案】-3,5) 【分析】本题主要考查了点的坐标，图形的旋转变换及其性质，依题意得 AB=BC=CD=AD=5,根据点B0,-2)得OA=3,由旋转的性质得 OA'=OA=3,且点A'在x轴的负半轴上，正方形A'B'CD'的边长为5，由此 即可得出点D'的坐标， 【详解】解：四边形ABCD是正方形，且边长为5， .AB=BC=CD=AD=5, 点B(0,-2, .OB=2, 试卷第1页，共3页 .0A=AB-0B=3, 由旋转的性质得：OA'=OA=3,且点A'在x轴的负半轴上，正方形AB'C'D'的 边长为5， “点D'的坐标为-3,5. 故答案为：（-3,5). 10.将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN,现将三角板ABC绕点A 以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针 旋转，设时间为t秒，如图2，∠BAH=t°，∠FDM=2t°，且0≤t≤150，若 边BC与三角板的一条直角边（边DE,DF)平行时，则所有满足条件的的 值为 G D D 图1 图2 【答案】30或120 【分析】延长BC交GH于点Q,交MN于点P,由题意可得，∠ABC=60°， ∠BAC=30°，∠EDF=∠ACB=90°，分两种情况：当BC∥DE时，当 BC∥DF时，根据平行线的性质得出角的关系，进而得到关于t的方程，即可 求解。 【详解】解：延长BC交GH于点Q,交MN于点P, 由题意可得，∠ABC=60°，∠BAC=30°，∠EDF=∠ACB=90°， 当BC∥DE时， .'∠BAH=t°，∠FDM=2t°， .∠3=180°-∠EDF-∠FDM=90°-2t°，∠1=∠ABC-∠BAH=60°-t°， .GH∥MN, 试卷第1页，共3页 .∴.∠1=∠2=60°-t°， .BC∥DE, ∴.∠2=∠3=90°-21°， .∴.60°-t°=90°-2t°， 解得t=30 G A H M 3 ,2 D P 当BC∥DF时， .∠BAH=t°，∠FDM=2t°， ∴.∠CAQ=180°-∠BAC-∠BAH=150°-t°，∠FDP=2t°-180°， ∠ACB=90°， ∴.∠AQC=∠ACB-∠CAQ=90°-(150°-t)=t°-60°， .GH∥MN, .∠AQC=∠BPD=t°-60°， .BC∥DF, .∴.∠FDP=∠BPD=2t°-180°， .t°-60°=2t°-180°， 解得t=120: 综上，满足条件的t的值为30或120. 2 G D M 试卷第1页，共3页 专题07图形的旋转期末复习讲义 期末复习◆目标 理解图形旋转的定义、三要素，能准确识别旋转中心、旋转方向、旋转角度。 掌握旋转的性质，会利用性质求线段长度、角度、全等关系。 能画出简单图形旋转后的图形，会用旋转解决几何证明、计算问题。 区分平移、轴对称、旋转三种图形变换的异同。 核心题型◆归纳 题型1判断生活中的旋转现象 题型2判断由一个图形旋转而成的图案 题型3找旋转中心、旋转角、对应点 题型4根据旋转的性质求解 题型5根据旋转的性质说明线段或角相等 题型6旋转的性质辨析 题型7旋转中的规律问题 题型8画旋转图形 题型9利用旋转设计图案 题型10求绕原点旋转90度的点的坐标 题型11求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 题型12坐标与旋转规律问题 题型13线段问题（旋转综合题） 题型14面积问题（旋转综合题） 题型15角度问题（旋转综合题） 题型16坐标系中的旋转 题型17中心对称图形的识别 题型18中心对称图形规律问题 题型19成中心对称 题型20根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型21求关于原点对称的点的坐标 题型22已知两点关于原点对称求参数 题型23进阶练习 重点知识◆梳理 知识点1 旋转的定义 把一个图形绕着一个定点，按一定方向（顺时针/逆时针）转动一个角度的图形变换叫做旋转。 定点：旋转中心 转动的角：旋转角 关键点：旋转不改变图形的形状和大小，只改变位置。 知识点2 旋转三要素 旋转中心：固定不动的点（可在图形内、图形上、图形外） 旋转方向：顺时针、逆时针 旋转角度：对应点与旋转中心连线的夹角 知识点3 旋转的性质 旋转前后的图形全等； 对应点到旋转中心的距离相等； 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 对应线段相等，对应角相等。 知识点4 旋转作图步骤 定：确定旋转中心、方向、角度；  找：找出图形的关键点； 转：将每个关键点绕旋转中心按要求旋转，得到对应点； 连：顺次连接对应点，得到旋转后的图形。 知识点5 中心对称（特殊的旋转） 定义：把一个图形绕某一点旋转180°，能与另一个图形重合，称这两个图形成中心对称。 中心对称图形：自身绕某点旋转180°后与自身重合（如平行四边形、圆）。 性质：对称点连线经过对称中心，且被对称中心平分。 常见中心对称图形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆； 注意：等腰三角形、等边三角形不是中心对称图形。 知识点6 三种变换对比 变换 不变量 核心特点 平移 形状、大小、方向 沿直线移动 轴对称 形状、大小 翻折，对称轴两侧对称 旋转 形状、大小 绕定点转动，方向可变 知识点七、易错点提醒 旋转角是对应点与旋转中心的夹角，不是图形内角； 旋转方向：顺时针、逆时针不能搞反； 中心对称是两个图形的关系，中心对称图形是一个图形； 旋转后线段、角度相等，常结合勾股定理、等腰三角形解题。 题型解析◆精准备考 题型1判断生活中的旋转现象 1．时钟上的分针旋转一周需要，则经过，分针旋转了（   ） A． B． C． D． 2．在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以________（填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着________（填“顺”或“逆”）时针方向旋转________度． 3．将数字“6”旋转，得到数字“9”，将数字“9”旋转，得到数字“6”，现将数字“689”整体旋转，得到的数字是______． 题型2判断由一个图形旋转而成的图案 1．陶瓷器具是我国古代劳动人民的重要发明之一，是中国人民勤劳与智慧的结晶．如图是一个陶瓷花瓶，下列平面图形绕虚线旋转一周，能大致形成这个陶瓷花瓶表面的是（    ） A． B． C． D． 2．关于如图的形成过程：（1）由一个三角形平移形成的；（2）由一个三角形绕中心依次旋转形成的；（3）由一个三角形作轴对称形成的；（4）由一个三角形先平移再旋转形成的，说法正确的有_______；（填序号） 3．如图，在三角形中，已知是上的高，，点E是的一点，，． (1)求阴影部分的面积（用含a、b的式子表示）． (2)当，时，求阴影部分的面积的值． (3)三角形可以通过一种运动与三角形完全重合，请写出具体的运动方法：________． 题型3找旋转中心、旋转角、对应点 1．如图，在等边三角形网格中，以某个格点为旋转中心，将旋转，得到，则旋转中心是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 2．如图，点、、、分别在正方形网格的格点上，设点的坐标为，B点的坐标为，小明发现，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是____． 3．如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)请画出关于坐标原点成中心对称的； (2)若绕点顺时针旋转后得到，写出点的坐标_____； (3)若将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为_____． 题型4根据旋转的性质求解 1．如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，点D是边上一动点，连接并将绕点D顺时针旋转得到，连接．若是等腰三角形，则的长是______． 3．如图，等腰中，，，绕点B逆时针方向旋转一定角度后到的位置，点D恰好落在边上．求旋转角的度数． 题型5根据旋转的性质说明线段或角相等 1．如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A、B的对应点分别是、，边经过点A，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2.如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为_______． 3．如图1，已知在中，，连接． (1)求的度数； (2)如图2，点E在内部，满足，求证：； (3)在（2）的条件下，连接CE，若，求的面积． 题型6旋转的性质辨析 1．一个图形无论经过平移还是旋转，以下说法不正确的是（   ） A．对应线段平行； B．对应线段相等； C．对应角相等； D．不改变图形的形状和大小， 2．一个图形无论经过平移还是旋转，以下说法：①对应线段平行；②对应线段相等；③对应角相等；④图形的形状和大小都没有发生变化．其中说法正确的是________． 3．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线分别与x轴，y轴交于点，，过点作x轴的垂线，与直线交于点D．    (1)求点D的坐标； (2)点E是线段上一动点，直线与x轴交于点F． （i）若的面积为8，求点F的坐标； （ii）如图2，当点F在x轴正半轴上时，将直线绕点B逆时针旋转后的直线与线段交于点M，连接，若，求线段的长． 题型7旋转中的规律问题 1．风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．已知直线和交于点O，，，平分．射线以每秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线也以每秒的速度绕点O顺时针转动，当射线转动一周时，射线、也停止转动．在射线转动一周的过程中．当时，射线转动的时间为_____秒． 3．图形变换大观园：请阅读各小题的要求，利用你所学的平移与旋转知识作答． (1)如图1，是某产品的标志图案，要在所给的图形图2中，把A，B，C三个菱形通过一种或几种变换，均可以变为与图1一样的图案．你所用的变换方法是________． ①将菱形B向上平移半径的长度；②将菱形B绕点O旋转；③将菱形B绕点O旋转． （在以上的变换方法中，选择一种正确的填到横线上．） (2)分析图①、②、④中阴影部分的分布规律，并按此规律在图③中画出其中的阴影部分． (3)如图，在平面直角坐标系中，已知点、、． ①若将先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，请画出，并写出点的坐标为________； ②若将绕点O按顺时针方向旋转后得到，直接写出点的坐标为________； ③若将绕点P按顺时针方向旋转后得到，则点P的坐标是________． 题型8画旋转图形 1．下列图案中，可以通过把一个基础图形平移得到的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，三个顶点的坐标分别为，，，如果将绕点按逆时针方向旋转，得到，那么点，的对应点，的坐标分别是_______． 3．如图，在边长均为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，为直角坐标系的原点，三个顶点坐标分别为，，． (1)以为旋转中心，将逆时针旋转，请在网格中画出旋转后的； (2)画出与关于原点对称的； (3)直接写出点和点的坐标． 题型9利用旋转设计图案 1．如图，将甲图经图形变换到乙图，下列说法错误的是(    )    A．可以通过平移和旋转实现 B．可以通过轴对称和旋转实现 C．必须通过旋转才能实现 D．不必通过旋转就能实现 2．如图，线段可以看成是线段先绕点C___________旋转，再向___________平移___________小格得到的． 3．如图，三个顶点的坐标分别为． (1)请画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； (2)请画出绕点B顺时针旋转后的； (3)求出（2）中的面积． 题型10求绕原点旋转90度的点的坐标 1．如图，点的坐标是，将绕点顺时针旋转得到，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点是一次函数图像上一点，将线段绕点顺时针方向旋转后，点的对应点恰好落在一次函数图像上，则点的坐标是______ 3．按照要求画图： (1)如图甲，在平面直角坐标系中，将绕原点O顺时针旋转得到，点A，B，C的对应点为点．画出旋转后的； (2)如图乙，网格都是由9个相同小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形（画出两种即可）． 题型11求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，已知、，把绕点A逆时针旋转后得到，则点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点P的坐标为．如果将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，点的坐标为________． 3．如图，平面直角坐标系中，，，，． (1)若与成中心对称（点A、B分别与、对应），试在图中画出； (2)将（1）中的绕点顺时针旋转，得到，试在图中画出； (3)若可由绕点G旋转得到，则点G的坐标为________． 题型12坐标与旋转规律问题 1．如图，在等边中，边在轴上，，将绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，边长为2的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，每次旋转，那么经过第2026次旋转后，顶点的坐标为___________． 3．在平面直角坐标系中，O为原点，点，点，把绕点A顺时针旋转，得，点B，O旋转后的对应点为，，记旋转角为α． (1)如图1，若，请利用网格画出，并求的坐标； (2)如图2，若，求点的坐标； (3)若M为边上的一动点，在上取一点，将绕点A顺时针旋转一周，求MN的取值范围（直接写出结果即可）． 题型13线段问题（旋转综合题） 1．在中，，点D为中点，，绕点D旋转，分别与边交于E，F两点．下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图1，在中，，，，，垂足为，点是点关于的对称点，连接，．现将绕着点按顺时针方向旋转．如图2，记旋转后的为，在旋转过程中设所在的直线与直线交于点，与直线交于点，当为等腰三角形时，_____． 3．在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点逆时针旋转，得．点，旋转后的对应点分别为点，，记旋转角为．        图①                  图②               备用图 (1)如图①，若，求的长； (2)如图②，若，求点的坐标； (3)边上有一点旋转后的对应点为，在（2）的条件下，当取得最小值时，写出点的坐标．（直接写出结果即可）． 题型14面积问题（旋转综合题） 1．如图，P是等边三角形ABC内一点，将△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ，若PA＝2，PB＝4，，则四边形APBQ的面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AC的中点，将CD绕着点C逆时针旋转，在旋转的过程中点D的对应点为点E，连接AE、BE，则△AEB面积的最小值是_______． 3．已知和点在网格图中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1． (1)将向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，请在网格图中作出； (2)接第（1）小问，将绕点顺时针旋转之后得到的，请在网格图中作出； (3)在上述信息下，求的面积． 题型15角度问题（旋转综合题） 1．将一副三角板如图放置（为含的直角三角板，，，为含的直角三角板，）将三角板绕点逆时针旋转，使得三角板的一边所在的直线与垂直，则的度数为（    ）    A． B． C．或 D．或 2．将一副三角板如图1所示摆放，直线，现将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，如图2，，，且，当与三角板的一条直角边（边或）平行时，则满足条件的t的值为__________ ． 3．如图，在平面直角坐标系，点A、B的坐标分别为，，且，将点B向右平移24个单位长度得到C．    (1)求A,B两点的坐标： (2)点P，Q分别为线段，两个动点，P自B点向C点以2个单位长度/秒向右运动，同时点Q自A点向O点以4个单位长度/秒向左运动，设运动的时间为t，连接，当恰好平分四边形的面积时，求t的值： (3)点D是直线上一点，连接，作，边与的延长线相交于点E，平分平分，当点Q运动时，的度数是否变化?请说明理由． 题型16坐标系中的旋转 1．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以、为边作矩形，若将矩形绕点逆时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知点，点，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为______． 3．在平面直角坐标系中，的顶点．点分别为边的中点，连接，将绕点按顺时针方向旋转，得到，点对应点分别为，旋转角记为． (1)当线段与线段有交点时，记线段与线段的交点为． ①如图，求证：； ②如图，连接，点恰好在线段上时，求线段的长； (2)整个旋转过程中，在线段上取点，使得，连接，记的面积为． 填空： ①的取值范围是________； ②当的值最大时，此时点的坐标为________． 题型17中心对称图形的识别 1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．等边三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正五边形 2．在线段、角、正方形、圆中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是________． 3．在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．    (1)将向左平移5个单位长度，得到，画出； (2)与关于原点成中心对称，画出； (3)和是否成中心对称图形？若成中心对称图形，请直接写出对称中心的坐标；若不成中心对称图形，请说明理由． 题型18中心对称图形规律问题 1．已知点，点，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于点的对称点（即，，三点共线，且），关于点的对称点，关于点的对称点，…按此规律继续以，，三点为对称点重复前面的操作．依次得到点，，…，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．如图，菱形的对角线、交于点，与关于点C成中心对称，连接，若，则的长度为____． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、，将绕原点旋转得到． (1)在平面直角坐标系中画出，并写出点、、的坐标； (2)作关于轴对称的，并写出的坐标． 题型19成中心对称 1．如图，若与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．在数轴上表示、的点分别为，，点关于点的对称点为，则点表示的数是________． 3．在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点． (1)_________； (2)点在此一次函数图象上，其横坐标为，请求出的面积； (3)点在此一次函数的图象上，其横坐标为，直线上、两点间的部分（包括、两点）记为图象． ①当图象所对应函数的最大值与最小值之差为时，求的值； ②平面内有一点，以点为对称中心构造矩形，使得轴，当图象与矩形的边有2个交点时，直接写出的取值范围． 题型20根据中心对称的性质求面积、长度、角度 1．如图，正方形的对称中心为点，点均在正方形的边上，四点中有一点是点关于点的对称点，则该对称点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．如图，和关于点成中心对称，若，则的长是_____． 3．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)若与关于格点成中心对称，请在网格中画出； (2)在网格中画出绕格点按顺时针方向旋转后，得到的； (3)由旋转可知，_____________．（填“>”、“<”或“=”） 题型21求关于原点对称的点的坐标 1．点关于原点中心对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．写出点关于原点对称的点的坐标是________． 3．如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． (1)点C关于原点对称点的坐标为___________； (2)画出绕点A逆时针旋转得到的，并写出点、的坐标； (3)若点P为x轴上一点，则的最小值为___________． 题型22已知两点关于原点对称求参数 1．若点与点关于原点成中心对称，则的值是（　　） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则m的值是________． 3．如图，是由经过某种变换得到的图形． (1)分别写出点A与对应点D，点B与对应点E，点C与对应点F的坐标； (2)从对应点的坐标中你发现了两三角形之间的什么特征？请用文字语言表达出来； (3)根据你发现的特征，解答下列问题：经过变换后，若内一点在内的对应点为，求关于x，y的方程组的解． 进阶练习◆培优 一、单选题 1．依次观察三个图形：，并判断照此规律从左向右第四个图形是（    ） A． B． C． D． 2．在图形的平移和旋转变换中，下列说法正确的是（    ） A．对应点所连线段都平行 B．对应线段都平行 C．对应点所连线段都相等 D．对应线段都相等 3．如图在小正方形网格中，将绕某一点旋转变化得到，则旋转中心为（   ） A．点E B．点F C．点G D．点H 4．如图，是绕点顺时针旋转得到的，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，中，，将绕点逆时针旋转（），得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，正六边形是由边长为厘米的六个等边三角形拼成，那么图中    （1）三角形沿着___________方向平移_________厘米能与三角形重合； （2）三角形绕着点______顺时针旋转________度后能与三角形重合； （3）三角形沿着所在直线翻折后能与________重合； （4）写一对中心对称的三角形：_________． 7．如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，其中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．满足条件的小等边三角形有____个． 8．如图，将绕点旋转得到，设点A的坐标为，则点的坐标为 ___________．    9．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上，．若将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，则点的坐标为________． 10．将一副三角板如图1所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，如图2，，，且，若边与三角板的一条直角边（边，）平行时，则所有满足条件的的值为_____． 三、解答题 11．如图，在平面直角坐标系中，线段端点的坐标分别为，． (1)只用直尺，在图中作出线段绕点按顺时针方向旋转后得到的线段；点坐标为__________，点坐标为__________； (2)在轴上找一点，使得最小，标记点并写出点坐标为__________． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B，C    (1)画出． (2)若与关于原点O成中心对称，则点的坐标是______，的面积是______． 13．如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在的延长线上，点在线段上，连接，且，求证：． 14．如图，平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，A（﹣1，4），B（﹣4，1）．解答下列问题： (1)将线段AB绕原点O旋转180°得到线段CD，再将线段CD向下平移2个单位长度得到线段EF，画出线段CD和线段EF，请说明你的画法． (2)在（1）的条件下，线段AB上存在点Q（a，b），则其在线段EF上的对应点Q1的坐标为 　 　； (3)如果线段AB可以通过一次旋转得到线段EF，则旋转中心P的坐标为 　 　． 15．已知中，，将绕着点C顺时针旋转，得到． (1)如图1，当点M落在边上时，求线段的长； (2)如图2，当绕着点C顺时针旋转到的位置时，连接． ①判断线段与的位置关系并说明理由； ②求的值； ③在的旋转过程中，直接写出的面积与的面积之和的最大值为________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $