专题12 平行四边形的判定定理（5知识点+11题型+过关检测） 2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（浙教版）

本讲义聚焦平行四边形的判定定理，从定义出发，系统梳理边（两组对边分别相等、一组对边平行且相等）、对角线（互相平分）等4种核心判定方法，明确与性质的互逆关系，结合易错点辨析和辅助知识点（全等、面积公式等），构建从基础到综合的学习支架。 资料通过11类题型（如证明、添加条件、综合压轴等）分层设计，典例与跟随训练结合，培养学生几何直观与推理能力。实际应用题型（如测量距离）体现数学应用意识，易错点提示帮助规范思维，课中辅助教师教学，课后检测助力学生查漏补缺。

专题12 平行四边形的判定定理 （5知识点+11题型+过关检测） 【题型1 证明四边形是平行四边形】 3 【题型2 判断能否构成平行四边形】 4 【题型3 添一个条件成为平行四边形】 4 【题型4 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 5 【题型5 全等三角形拼平行四边形问题】 6 【题型6 利用平行四边形判定与性质求角度】 6 【题型7 利用平行四边形判定与性质求线段长度】 7 【题型8 利用平行四边形判定与性质求相关面积】 8 【题型9 利用平行四边形性质和判定证明】 9 【题型10 平行四边形性质和判定的应用】 10 【题型11 平行四边形性质和判定综合压轴题】 12 1. 理解平行四边形的判定定理的推导过程，明确判定定理与平行四边形性质定理的互逆关系，掌握“从边、角、对角线”三个维度判定平行四边形的方法。 2. 熟记平行四边形的4种核心判定方法（定义法、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分），能准确区分判定方法的适用场景，用规范的几何符号语言表示判定过程。 3. 能运用平行四边形的判定定理，解决“证明四边形是平行四边形”“判断能否构成平行四边形”“添加条件构造平行四边形”等基础题型，提升几何推理能力。 4. 能综合运用平行四边形的判定定理与性质定理，解决角度、线段长、面积相关计算，以及全等三角形拼接、坐标系、综合压轴等进阶题型，培养综合应用知识的能力。 知识点1：平行四边形的定义03 知识•梳理 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 符号表示：若四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形（记作▱ABCD）。 关键提醒：定义的双重作用——① 性质：平行四边形的两组对边一定分别平行；② 判定：只要一个四边形的两组对边分别平行，就可判定为平行四边形，这是所有判定方法的基础。 知识点2：平行四边形的核心判定定理 判定平行四边形需满足以下条件之一，可从“边、对角线”两个维度记忆，注意区分“角”的易错点（两组对角分别相等可作为判定，但浙教版八年级下册重点考查前4种）： 1. 判定定理1（边：两组对边分别相等） 文字表述：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 符号表示：∵ 四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形。 推导思路：可通过连接对角线，利用全等三角形证明两组对边分别平行，再结合定义判定。 2. 判定定理2（边：一组对边平行且相等）（高频考点，最常用） 文字表述：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（“平行且相等”需同时满足，缺一不可）。 符号表示：∵ 四边形ABCD中，AB∥CD且AB=CD（或AD∥BC且AD=BC），∴ 四边形ABCD是平行四边形。 易错提醒：“一组对边平行，另一组对边相等”不能判定平行四边形（可能是等腰梯形），必须强调“同一组对边”既平行又相等。 3. 判定定理3（对角线：互相平分） 文字表述：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 符号表示：∵ 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，∴ 四边形ABCD是平行四边形。 推导思路：可通过证明对角线分成的两个三角形全等，得出两组对边分别相等或平行，再判定为平行四边形。 4. 补充判定（角：两组对角分别相等）（浙教版教材拓展，可辅助解题） 文字表述：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 符号表示：∵ 四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，∴ 四边形ABCD是平行四边形。 知识点3：平行四边形的判定与性质的关系 平行四边形的性质与判定是“互逆关系”： ① 性质：已知四边形是平行四边形 → 推出边、角、对角线的关系（如对边相等、对角线互相平分）； ② 判定：已知边、角、对角线的关系 → 推出四边形是平行四边形。 解题关键：根据题意，“知图形（平行四边形）用性质，证图形（平行四边形）用判定”，避免混淆。 知识点4：常见易错点辨析 1. 错误1：“一组对边平行，另一组对边相等”判定平行四边形 → 纠正：不成立，反例：等腰梯形（一组对边平行，另一组对边相等，但不是平行四边形）。 2. 错误2：“对角线相等”判定平行四边形 → 纠正：不成立，反例：矩形（对角线相等，但矩形是特殊的平行四边形，普通平行四边形对角线不相等）。 3. 错误3：“一组对角相等，一组对边相等”判定平行四边形 → 纠正：不成立，需结合其他条件（如平行）。 4. 错误4：判定时遗漏条件，如用“一组对边平行且相等”时，只写平行或只写相等。 知识点5：辅助知识点 1. 平行四边形的性质（综合题型必备）：对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分。 2. 全等三角形的判定与性质：证明平行四边形时，常通过连接对角线构造全等三角形（SSS、SAS、ASA等），推导边或角的关系。 3. 平行四边形的面积公式：面积=底×高（S=ah），同底等高的平行四边形面积相等。 4. 平面直角坐标系：求平行四边形顶点坐标时，利用“对边平行且相等”“对角线中点重合”的性质，结合坐标规律求解。 高频易错提示：1. 混淆平行四边形的判定与性质，如已知平行四边形，却用判定定理推导边相等；2. 误用判定条件，尤其是“一组对边平行且相等”的条件遗漏；3. 证明时步骤不规范，未先说明已知条件，直接套用判定定理；4. 求解“三点构成平行四边形的点的个数”时，遗漏分类讨论，导致答案不完整；5. 综合题型中，无法灵活结合全等三角形、面积公式等知识，思路卡顿。 04 题型•汇总 【题型1 证明四边形是平行四边形】 解题思路： 根据已知条件，灵活选择4种判定方法，优先选择最简便的方法：① 已知两组对边平行 → 用定义法；② 已知两组对边相等 → 用判定定理1；③ 已知一组对边平行且相等 → 用判定定理2（最常用）；④ 已知对角线相交 → 用判定定理3；证明时需规范步骤，先列出已知条件，再结合判定定理推导结论，必要时连接对角线构造全等三角形。 【典例1】．下列说法中，①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形：②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形．正确的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 跟随训练1-1．如图，小明借助直尺和三角尺，作，然后再作，进而得到，四边形是平行四边形的依据是（    ） A．， B．， C．， D．， 跟随训练1-2．小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条法：如图所示，将两根木条，的中点重叠并用钉子固定，则四边形就是平行四边形．这种方法的依据是_____________． 【题型2 判断能否构成平行四边形】 解题思路： 根据平行四边形的4种判定方法，逐一验证题干给出的条件，判断是否满足任意一种判定条件；若不满足所有判定条件，则不能构成平行四边形；注意排查易错条件（如“一组对边平行，另一组对边相等”“对角线相等”等）。 【典例2】．下列给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B．， C．， D．， 跟随训练2-1．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C．，其中O为对角线与的交点； D． 跟随训练2-2．如图所示的是某小区门口汽车出入道闸示意图．四边形ABCD在长方形道闸（）打开的过程中，边AB固定，连杆AD，BC分别绕点A，B转动，且边DC始终与边AB平行，则在转动的过程中，AD与BC的关系为________________． 【题型3 添一个条件成为平行四边形】 解题思路： 结合题干给出的已知条件，补充一个条件，使四边形满足平行四边形的任意一种判定方法；补充的条件需简洁、合理，贴合判定定理，优先选择最简便的条件（如已知一组对边平行，可补充“这组对边相等”或“另一组对边平行”）。 【典例3】．在四边形中，已知，与交于点，则添加下列条件能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练3-1．如图，在四边形中，，添加下列条件后，仍无法判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练3-2．如图是一个已标有部分数据的四边形，若添加一个条件，能使四边形是平行四边形，则这个条件可以是：_____（写出一个即可）． 【题型4 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 解题思路： 核心思路：分类讨论，以已知三点中的任意两点为平行四边形的一边或对角线，分别确定第四点的位置，避免遗漏；具体步骤：① 连接已知三点中的任意两点，得到三条线段；② 分别以每条线段为边或对角线，利用平行四边形“对边平行且相等”“对角线互相平分”的性质，确定第四点的个数；③ 汇总所有符合条件的点，得出总数（通常为3个）。 【典例4】．在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 跟随训练4-1．在平面直角坐标系中，已知点、、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 跟随训练4-2．点、、是平面内不在同一条直线上的三个定点，点是平面内任意一点，若、、、四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点有___________个 【题型5 全等三角形拼平行四边形问题】 解题思路： 核心依据：两个全等三角形可以拼成一个平行四边形（将全等三角形的相等边重合，作为平行四边形的对角线或一边）；解题时需明确全等三角形的对应边、对应角，判断重合边的位置，结合平行四边形的判定定理（两组对边分别相等、一组对边平行且相等），证明拼成的四边形是平行四边形，或求解相关边长、角度。 【典例5】．用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（    ） A．3个 B．4个 C．3或4个 D．2或3个 跟随训练5-1．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 跟随训练5-2．如图，在中，过点作，是的中点，连接并延长，交于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【题型6 利用平行四边形判定与性质求角度】 解题思路： 步骤：① 先根据已知条件，利用平行四边形的判定定理，判定四边形为平行四边形；② 再利用平行四边形的性质（对角相等、邻角互补），结合三角形内角和、等腰三角形性质，推导所求角度；注意“判定”与“性质”的衔接，先证图形，再用性质。 【典例6】．在四边形中，，，若，则（    ） A． B． C． D． 跟随训练6-1．如图，在矩形中，对角线、相交于点O．延长至点E，使．已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 跟随训练6-2．如图，在中，．若，则的度数是_____． 【题型7 利用平行四边形判定与性质求线段长度】 解题思路： 步骤：① 先判定四边形为平行四边形；② 利用平行四边形的性质（对边相等、对角线互相平分），结合勾股定理、等腰三角形性质、中点性质，求解线段长度；若涉及对角线，注意“对角线互相平分”可推出线段相等，简化计算。 【典例7】．如图，在四边形中，，，点E为的中点，将分别平移到和的位置．若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 跟随训练7-1．如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，过点O作平行于的直线交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 跟随训练7-2．如图，，在的延长线上，在上，， ，已知，则的长是______． 【题型8 利用平行四边形判定与性质求相关面积】 解题思路： 步骤：① 先判定四边形为平行四边形；② 利用平行四边形的性质（对边相等、对角线互相平分），求出平行四边形的底和高；③ 代入面积公式S=底×高计算；若涉及多个平行四边形，注意“同底等高的平行四边形面积相等”的性质，简化计算。 【典例8】．如图，在平面直角坐标系中，将置于第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示，则的面积为（    ） A．10 B． C．5 D． 跟随训练8-1．如图，的四个顶点分别在的四条边上，，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，若四边形面积为，则的面积为（     ） A． B．a C． D． 跟随训练8-2．如图，在中，，D是边的中点，P是直线上的一个动点（点P与点A不重合）．给出下面三个结论： ①的面积与的面积相等； ②若，则； ③若的面积是的面积的一半，则点P在线段上． 上述结论中，所有正确结论的序号是 _______ ． 【题型9 利用平行四边形性质和判定证明】 解题思路： 综合运用平行四边形的判定与性质，证明线段相等、角相等、线段平行或垂直；解题时需明确“先证后用”：先通过判定定理证明一个四边形是平行四边形，再利用其性质推导结论；或先利用平行四边形的性质得出边、角关系，再证明另一个四边形是平行四边形；必要时连接对角线构造全等三角形。 【典例9】．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别是点D，E，点F是边的中点，连接．则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练9-1．如图在中，，分别是，的中点，点在上（不与点，重合），连接，按以下方式操作：①沿和剪开；②将绕点逆时针旋转，使点，重合；③将绕点顺时针旋转，使点，重合；④得到四边形． 下列条件中，能使四边形是矩形的是（   ） A．是的中点 B． C．平分 D． 跟随训练9-2．如图所示，在四边形中，，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，．若，则下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④四边形是平行四边形．其中正确的结论是______．（填序号） 【题型10 平行四边形性质和判定的应用】 解题思路： 结合生活实际场景（如测量、图形拼接、道路设计等），将实际问题转化为几何问题，利用平行四边形的判定与性质解决；核心是提炼实际问题中的边、角关系，判定四边形为平行四边形，再利用性质求解未知量（如距离、长度、角度等）。 【典例10】．如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点P处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点Q，在处的法线交于点N，处的法线为．若，，则液面从上升至的高度为______． 跟随训练10-1．【项目主题】测量距离 【项目背景】如图1，、两点被大山阻隔（、两点距离不可直接测得）．为了改善山区的交通，现拟开凿一条贯穿、的隧道，修建一条高速公路． 【实践操作】 方案一：如图2，某工程队分别以、两点为起点，朝同一方向行进相同距离，分别到达点、．测量、两点之间线段的长度，即为、两点的距离． 【问题解决】 (1)请你说明方案一的合理性； (2)请你设计与方案一不同的方案，在答题卡上画出几何图形，并表示出、两点间的距离（为使表达简洁，需要测量的角建议用、、等表示）． 跟随训练10-2．数学实践小组开展测量篮球架篮板的高度的实践活动．测量方案如下表： 课题 测量篮球架篮板的高度 测量 工具竹竿、测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）将竹竿垂直固定在地面上，从竹竿上的F点处观察篮板底部点B； （2）测量视线与竹竿的夹角，； （3）将观察点沿着竹竿向上移动到点G，测量从点G观察篮板顶部点A的视线与竹竿的夹角； （4）测量的长 测量数据 根据以上测量方案和数据求篮球架篮板的高度． 【题型11 平行四边形性质和判定综合压轴题】 解题思路 综合考查平行四边形的判定与性质、全等三角形、勾股定理、等腰三角形等知识点，解题时需理清图形结构，分步突破：① 先判定四边形为平行四边形，利用性质得出边、角关系；② 构造全等三角形，推导未知边、角；③ 结合勾股定理、面积公式等，求解最终问题；注意分类讨论、数形结合思想的运用，规范书写解题步骤。 【典例11】．如图，以的顶点为圆心，以的长为半径作弧，再以顶点为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点，分别连接，． (1)根据题意直接写出图中相等的线段； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)在（2）的条件下，若，，，求四边形的面积． 跟随训练11-1．如图，在平行四边形中，E为线段延长线上的一点，连接．请完成以下作图和填空： (1)在平行四边形的外部，用尺规作，且交直线于点F，连接，． (2)在（1）问的条件下，求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∴___①___， ∵，，∴___②___， 在和中，，∴， ∴___③___，，∴___④___，∴四边形是平行四边形． 跟随训练11-2．请完成证明中的三个填空．并参考小刚同学思考的方法，解决下列问题： (1)问题背景： 小刚遇到一个这样问题：如图1，两条相等的线段交于点，连接，求证：．通过尝试他发现通过平移可以解决这个问题． 证明：过点作且使，连接， 四边形为平行四边形，则___________， ， ___________， 又， 为等边三角形， ___________， ，即． 类比运用： (2)如图2，与相交于点，，求线段的长； 跟随训练11-3．如图，在等边中，点P为内一点，连接，，，以P为顶点作，且，连接，． (1)如图1，用等式表示与的数量关系，并证明； (2)如图2，当时， ①直接写出的度数为 ； ②若D为的中点，连接，请用等式表示与的数量关系，并证明． 跟随训练11-4．某数学学习小组要在的对角线上找点E，F，使四边形是平行四边形．现有甲、乙两种方案，如下表： 方案 甲 乙 作法 作和的平分线，与分别交于点E，F 作边，的垂直平分线，分别交于点E，F 图示 (1)请你选择其中一种方案，判断其是否可以得到四边形是平行四边形，若可以，写出证明过程；若不可以，请说明理由； (2)若，，求平行四边形的面积． 05 过关•检测 1．如图，在中，是对角线上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 2．新情境  王师傅加工了一批如图所示的平行四边形零件，交付验收时需要检查该零件是否为平行四边形，下列检查方法错误的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．在四边形中，已知，若再从下列条件：①；②；③；④中任意选取一个来判定四边形是平行四边形，则能断定四边形是平行四边形的选法共有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 4．如图，在四边形中，，对角线和交于点O，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，，，分别是，的中点，交的延长线于点，连接，则四边形的面积为（   ） A．10 B．12 C．14 D．15 6．如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形______平行四边形（填“是”或“不是”）． 7．如图，已知中，，，点为平面内一点，满足，分别以，为边作，连接，则的最小值为______． 8．如图，在四边形中，，动点P从点A开始沿边向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点B运动，P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为，连接，当______时，四边形是平行四边形． 9．如图，在平行四边形中，相交于点O，点E，F在对角线上，有下列条件：①；②；③；④．其中一定能判定四边形是平行四边形的是______． 10．如图，在梯形中，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动．设点，的运动时间为，在此运动过程中当四边形为平行四边形时，的值为___________． 11．如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且．连接，交于点H，连接．求证：四边形是平行四边形． 12．如图，在四边形中，已知，求证． (1)； (2)． 13．如图，四边形中，对角线，相交于点O，点E，F分别在，上，已知，． (1)求证：； (2)添加，求证：四边形是平行四边形． 14．在中，连接，点E在上，连接． (1)如图1，将沿平移至，连接AF，F、A、E共线，求证：； (2)如图2，当时，若，试探究、及之间的数量关系，并说明理由． 15．【教材呈现】我们在教材中已经学习过对角线互相平分的四边形是平行四边形．我们可以用演绎推理证明这一结论． 已知：如图①，四边形的两条对角线与相交于点，并且，．求证：四边形是平行四边形． （1）请写出证明过程． 【知识应用】（2）如图②，在中，是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【拓展提升】（3）在（2）的条件下，若的面积为26，求的面积． 16．在中，，P为所在平面内的一点，过点P作交于点E，作交于点D，交于点F．如图①，若点P在边上，此时P、D两点重合，易证、、与之间满足的数量关系是． (1)如图②，当点P在的内部时，猜想、、与之间满足的数量关系，然后证明你的猜想； (2)如图③，当点P在的外部时，若，，求平行四边形的周长 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 平行四边形的判定定理 （5知识点+11题型+过关检测） 【题型1 证明四边形是平行四边形】 3 【题型2 判断能否构成平行四边形】 4 【题型3 添一个条件成为平行四边形】 6 【题型4 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 8 【题型5 全等三角形拼平行四边形问题】 11 【题型6 利用平行四边形判定与性质求角度】 13 【题型7 利用平行四边形判定与性质求线段长度】 15 【题型8 利用平行四边形判定与性质求相关面积】 18 【题型9 利用平行四边形性质和判定证明】 24 【题型10 平行四边形性质和判定的应用】 28 【题型11 平行四边形性质和判定综合压轴题】 31 1. 理解平行四边形的判定定理的推导过程，明确判定定理与平行四边形性质定理的互逆关系，掌握“从边、角、对角线”三个维度判定平行四边形的方法。 2. 熟记平行四边形的4种核心判定方法（定义法、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分），能准确区分判定方法的适用场景，用规范的几何符号语言表示判定过程。 3. 能运用平行四边形的判定定理，解决“证明四边形是平行四边形”“判断能否构成平行四边形”“添加条件构造平行四边形”等基础题型，提升几何推理能力。 4. 能综合运用平行四边形的判定定理与性质定理，解决角度、线段长、面积相关计算，以及全等三角形拼接、坐标系、综合压轴等进阶题型，培养综合应用知识的能力。 知识点1：平行四边形的定义03 知识•梳理 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 符号表示：若四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形（记作▱ABCD）。 关键提醒：定义的双重作用——① 性质：平行四边形的两组对边一定分别平行；② 判定：只要一个四边形的两组对边分别平行，就可判定为平行四边形，这是所有判定方法的基础。 知识点2：平行四边形的核心判定定理 判定平行四边形需满足以下条件之一，可从“边、对角线”两个维度记忆，注意区分“角”的易错点（两组对角分别相等可作为判定，但浙教版八年级下册重点考查前4种）： 1. 判定定理1（边：两组对边分别相等） 文字表述：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 符号表示：∵ 四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形。 推导思路：可通过连接对角线，利用全等三角形证明两组对边分别平行，再结合定义判定。 2. 判定定理2（边：一组对边平行且相等）（高频考点，最常用） 文字表述：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（“平行且相等”需同时满足，缺一不可）。 符号表示：∵ 四边形ABCD中，AB∥CD且AB=CD（或AD∥BC且AD=BC），∴ 四边形ABCD是平行四边形。 易错提醒：“一组对边平行，另一组对边相等”不能判定平行四边形（可能是等腰梯形），必须强调“同一组对边”既平行又相等。 3. 判定定理3（对角线：互相平分） 文字表述：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 符号表示：∵ 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，∴ 四边形ABCD是平行四边形。 推导思路：可通过证明对角线分成的两个三角形全等，得出两组对边分别相等或平行，再判定为平行四边形。 4. 补充判定（角：两组对角分别相等）（浙教版教材拓展，可辅助解题） 文字表述：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 符号表示：∵ 四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，∴ 四边形ABCD是平行四边形。 知识点3：平行四边形的判定与性质的关系 平行四边形的性质与判定是“互逆关系”： ① 性质：已知四边形是平行四边形 → 推出边、角、对角线的关系（如对边相等、对角线互相平分）； ② 判定：已知边、角、对角线的关系 → 推出四边形是平行四边形。 解题关键：根据题意，“知图形（平行四边形）用性质，证图形（平行四边形）用判定”，避免混淆。 知识点4：常见易错点辨析 1. 错误1：“一组对边平行，另一组对边相等”判定平行四边形 → 纠正：不成立，反例：等腰梯形（一组对边平行，另一组对边相等，但不是平行四边形）。 2. 错误2：“对角线相等”判定平行四边形 → 纠正：不成立，反例：矩形（对角线相等，但矩形是特殊的平行四边形，普通平行四边形对角线不相等）。 3. 错误3：“一组对角相等，一组对边相等”判定平行四边形 → 纠正：不成立，需结合其他条件（如平行）。 4. 错误4：判定时遗漏条件，如用“一组对边平行且相等”时，只写平行或只写相等。 知识点5：辅助知识点 1. 平行四边形的性质（综合题型必备）：对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分。 2. 全等三角形的判定与性质：证明平行四边形时，常通过连接对角线构造全等三角形（SSS、SAS、ASA等），推导边或角的关系。 3. 平行四边形的面积公式：面积=底×高（S=ah），同底等高的平行四边形面积相等。 4. 平面直角坐标系：求平行四边形顶点坐标时，利用“对边平行且相等”“对角线中点重合”的性质，结合坐标规律求解。 高频易错提示：1. 混淆平行四边形的判定与性质，如已知平行四边形，却用判定定理推导边相等；2. 误用判定条件，尤其是“一组对边平行且相等”的条件遗漏；3. 证明时步骤不规范，未先说明已知条件，直接套用判定定理；4. 求解“三点构成平行四边形的点的个数”时，遗漏分类讨论，导致答案不完整；5. 综合题型中，无法灵活结合全等三角形、面积公式等知识，思路卡顿。 04 题型•汇总 【题型1 证明四边形是平行四边形】 解题思路： 根据已知条件，灵活选择4种判定方法，优先选择最简便的方法：① 已知两组对边平行 → 用定义法；② 已知两组对边相等 → 用判定定理1；③ 已知一组对边平行且相等 → 用判定定理2（最常用）；④ 已知对角线相交 → 用判定定理3；证明时需规范步骤，先列出已知条件，再结合判定定理推导结论，必要时连接对角线构造全等三角形。 【典例1】．下列说法中，①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形：②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形．正确的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理，对每个说法逐一判断，统计正确的个数即可． 【详解】解：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴①正确， ∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不是平行四边形，∴②错误， ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴③正确， ∵四边形内角和为，两组对角分别相等，则邻角和为，可推出两组对边分别平行，∴两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④正确， 综上，正确的有①③④，共3个， 故选：B． 跟随训练1-1．如图，小明借助直尺和三角尺，作，然后再作，进而得到，四边形是平行四边形的依据是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 跟随训练1-2．小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条法：如图所示，将两根木条，的中点重叠并用钉子固定，则四边形就是平行四边形．这种方法的依据是_____________． 【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定．根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可． 【详解】解：∵木条，的中点O重叠， ∴， ∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【题型2 判断能否构成平行四边形】 解题思路： 根据平行四边形的4种判定方法，逐一验证题干给出的条件，判断是否满足任意一种判定条件；若不满足所有判定条件，则不能构成平行四边形；注意排查易错条件（如“一组对边平行，另一组对边相等”“对角线相等”等）。 【典例2】．下列给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理（①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形）进行判断即可． 【详解】解：A.，则，， ，， ，但， 与不平行，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； B.，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； C.，，两组对边分别相等，可以判定四边形为平行四边形，故本项符合题意； D.，，且，可得， ，只有一组对边平行，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意． 故选：C． 跟随训练2-1．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C．，其中O为对角线与的交点； D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可． 【详解】解：A、， 四边形是平行四边形，故此选项不合题意； B、， 四边形是平行四边形，故此选项不合题意； C、， 四边形是平行四边形，故此选项不合题意； D、∵， ∴四边形是梯形或平行四边形，故此选项符合题意． 跟随训练2-2．如图所示的是某小区门口汽车出入道闸示意图．四边形ABCD在长方形道闸（）打开的过程中，边AB固定，连杆AD，BC分别绕点A，B转动，且边DC始终与边AB平行，则在转动的过程中，AD与BC的关系为________________． 【答案】平行且相等/ 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对边平行且相等是解题的关键． 根据已知条件且，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形为平行四边形，再结合平行四边形的性质，得出与的关系． 【详解】解：∵，且， ∴四边形是平行四边形， ∴且，即与的关系为平行且相等． 故答案为：平行且相等（或）． 【题型3 添一个条件成为平行四边形】 解题思路： 结合题干给出的已知条件，补充一个条件，使四边形满足平行四边形的任意一种判定方法；补充的条件需简洁、合理，贴合判定定理，优先选择最简便的条件（如已知一组对边平行，可补充“这组对边相等”或“另一组对边平行”）。 【典例3】．在四边形中，已知，与交于点，则添加下列条件能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 已知，结合各选项条件，利用平行线性质、全等三角形判定与性质、平行四边形判定定理，判断能否推出四边形是平行四边形即可． 【详解】解：∵， ∴ A、若，四边形可能是等腰梯形，不能判定为平行四边形，不符合题意； B、∵， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形，符合题意， C、由本身即可推出，无法额外判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、无法推出或，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意． 故选：B． 跟随训练3-1．如图，在四边形中，，添加下列条件后，仍无法判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出结果，熟练掌握平行四边形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、由，，可得出四边形是平行四边形，故不符合题意； B、由，，不可得出四边形是平行四边形，故符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意； D、由，，可得出四边形是平行四边形，故不符合题意； 故选：B． 跟随训练3-2．如图是一个已标有部分数据的四边形，若添加一个条件，能使四边形是平行四边形，则这个条件可以是：_____（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题先通过已知的和，计算得出，依据“同旁内角互补，两直线平行”得到，再结合平行四边形的判定定理，得出添加，或、等条件，都能判定四边形是平行四边形． 【详解】解：已知  ， ，则， 根据同旁内角互补，两直线平行，可得， 根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，或两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 因此添加，或、都可判定四边形是平行四边形． 故这个条件可以是：，答案不唯一，也可填、等． 【题型4 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 解题思路： 核心思路：分类讨论，以已知三点中的任意两点为平行四边形的一边或对角线，分别确定第四点的位置，避免遗漏；具体步骤：① 连接已知三点中的任意两点，得到三条线段；② 分别以每条线段为边或对角线，利用平行四边形“对边平行且相等”“对角线互相平分”的性质，确定第四点的个数；③ 汇总所有符合条件的点，得出总数（通常为3个）。 【典例4】．在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可求解，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： 当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： ∴符合要求的点有个， 故选：． 跟随训练4-1．在平面直角坐标系中，已知点、、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．分三种情况：①和为对角线时，②和为对角线时，③和为对角线时，设点的坐标为，利用平行四边形两对角线互相平分结合中点公式即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， 分三种情况：①和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； ②和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； ③和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，点C的坐标可能是或或，不可能是． 故选：D． 跟随训练4-2．点、、是平面内不在同一条直线上的三个定点，点是平面内任意一点，若、、、四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点有___________个 【答案】 【分析】连接、、，分别以、、为对角线，作出以、、、为顶点的平行四边形，可知符合条件的点有个，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，连接、、， 若以为对角线，可作出； 若以为对角线，可作出； 若以为对角线，可作出， 符合条件的点有个． 【题型5 全等三角形拼平行四边形问题】 解题思路： 核心依据：两个全等三角形可以拼成一个平行四边形（将全等三角形的相等边重合，作为平行四边形的对角线或一边）；解题时需明确全等三角形的对应边、对应角，判断重合边的位置，结合平行四边形的判定定理（两组对边分别相等、一组对边平行且相等），证明拼成的四边形是平行四边形，或求解相关边长、角度。 【典例5】．用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（    ） A．3个 B．4个 C．3或4个 D．2或3个 【答案】D 【分析】根据三角板不同形状分类讨论，分别以三组对应边为对角线拼成平行四边形，判断平行四边形数量． 【详解】解：三边互不相等三角板，如图，分别以三组对应边为对角线，可以拼成三个形状不同的平行四边形；    两直角边相等的三角板，如图中，平行四边形，形状一样，故分别以三组对应边为对角线，可以拼成两个不同形状的平行四边形；    故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，平行四边形的判定，注意根据三角板的不同形状分情况讨论是解题的关键． 跟随训练5-1．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的判定，以及平行四边形的判定，由是由六个全等的正三角形拼成的，可得出是正六边形，进而可得出，则四边形是平行四边形，同理可得出四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形． 【详解】解：∵是由六个全等的正三角形拼成的， ∴是正六边形， ∴，，是正六边形的对角线， 可得， ∴四边形是平行四边形， 同理：四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，共6个， 故选C． 跟随训练5-2．如图，在中，过点作，是的中点，连接并延长，交于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识，证明是解题的关键． 由，得，而，，即可根据“”证明，得，则四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【题型6 利用平行四边形判定与性质求角度】 解题思路： 步骤：① 先根据已知条件，利用平行四边形的判定定理，判定四边形为平行四边形；② 再利用平行四边形的性质（对角相等、邻角互补），结合三角形内角和、等腰三角形性质，推导所求角度；注意“判定”与“性质”的衔接，先证图形，再用性质。 【典例6】．在四边形中，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的对角相等，由此即可得到答案． 【详解】∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 跟随训练6-1．如图，在矩形中，对角线、相交于点O．延长至点E，使．已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是矩形的性质，平行四边形的性质和判定，等腰三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 证明出四边形是平行四边形，得到，，求出，然后得到，求出，进而求解即可． 【详解】四边形是矩形， ，． ， 四边形是平行四边形． ，． ． ，， ． ， ． 故选：A． 跟随训练6-2．如图，在中，．若，则的度数是_____． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 利用平行四边形性质，结合推出且，判定四边形为平行四边形，再由平行四边形对角相等得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴ ， ∵ ∴ 即 ∵ ∴ ∵且 ∴ 四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ ． 故答案为：． 【题型7 利用平行四边形判定与性质求线段长度】 解题思路： 步骤：① 先判定四边形为平行四边形；② 利用平行四边形的性质（对边相等、对角线互相平分），结合勾股定理、等腰三角形性质、中点性质，求解线段长度；若涉及对角线，注意“对角线互相平分”可推出线段相等，简化计算。 【典例7】．如图，在四边形中，，，点E为的中点，将分别平移到和的位置．若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形的平移变换及性质，平行四边形的判定和性质，首先证明四边形，四边形均为平行四边形，从而得，，进而得，据此可得出的长． 【详解】解：∵为的中点，， ∴ 根据平移的性质得：， 又∵， ∴四边形，四边形均为平行四边形， ∴， ∴， ∴． 故选：C 跟随训练7-1．如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，过点O作平行于的直线交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定． 由平行四边形的性质推出，，， 由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，因此，推出，证明，可得 ，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点P作交射线于点F， 四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选：C． 跟随训练7-2．如图，，在的延长线上，在上，， ，已知，则的长是______． 【答案】 【分析】证明，，推出，再证明是等腰直角三角形可得结论． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ． 【题型8 利用平行四边形判定与性质求相关面积】 解题思路： 步骤：① 先判定四边形为平行四边形；② 利用平行四边形的性质（对边相等、对角线互相平分），求出平行四边形的底和高；③ 代入面积公式S=底×高计算；若涉及多个平行四边形，注意“同底等高的平行四边形面积相等”的性质，简化计算。 【典例8】．如图，在平面直角坐标系中，将置于第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示，则的面积为（    ） A．10 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】根据题意，得，过点D作于点G，根据题意，得，故的面积为：． 【详解】解：根据题意，得直线向右平移3个单位长度时，直线经过点A， 此时直线的解析式为， 设直线与x轴的交点为M，与y轴的交点为N， 则， 故， ， 当直线经过点D，点B时，设过点D的直线与的交点为E，过点B的直线与的交点为F， 根据，得，又因为, 故四边形是平行四边形， 故， 根据函数图象，得， 设直线分别与x轴交于点H，点Q， 则四边形是平行四边形， 故， ， ，， ， 过点D作于点G， 根据题意，得， 故的面积为： 跟随训练8-1．如图，的四个顶点分别在的四条边上，，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，若四边形面积为，则的面积为（     ） A． B．a C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、三角形的面积公式与平行四边形的面积公式等知识正确地添加辅助线是解题的关键． 连接，，根据平行四边形的性质可得的面积的面积，再利用平行四边形的性质可得作，从而可得，进而可得的面积的面积，然后再根据作，可证四边形是平行四边形，从而可得的面积的面积，进而可得的面积的面积，即可解答． 【详解】解：连接，， 四边形是平行四边形， 的面积的面积， 四边形是平行四边形， ， ， ， 的面积的面积， ， 四边形是平行四边形， 的面积的面积， 的面积的面积， ∵四边形面积为， 的面积为， 故选：B． 跟随训练8-2．如图，在中，，D是边的中点，P是直线上的一个动点（点P与点A不重合）．给出下面三个结论： ①的面积与的面积相等； ②若，则； ③若的面积是的面积的一半，则点P在线段上． 上述结论中，所有正确结论的序号是 _______ ． 【答案】①② 【分析】本题主要考查了三角形的中线、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识以及分类讨论思想是解题的关键． ①分三种情况讨论如下：当点P在线段上时，依题意得，由此得；当点P在的延长线上时，依题意得，由此得；当点P在的延长线上时，依题意得，由此得，综上即可对该结论进行判断；②当时，则B，可依据“”判定和全等得，进而得四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可对该结论进行判断；③依题意分以下两种情况：当点P在线段上，且时，则；当点P在的延长线上，且时，则，据此即可解答． 【详解】解：①∵P是直线上的一个动点（点P与点A不重合）， ∴有以下三种情况： 当点P在线段上时，如图①1所示： ∵点D是边的中点， ∴， ∴， ∴， 此时的面积与的面积相等； 当点P在的延长线上时，如图①2所示： ∵点D是边的中点， ∴， ∴， ∴， 此时的面积与的面积相等； 当点P在的延长线上时，如图①3所示： ∵点D是边的中点， ∴， ∴， ∴， 此时的面积与的面积相等， 综上所述：当点P是直线上的一个动点时，的面积与的面积相等，故结论①正确． ②当时，如图②所示： ∴， ∵点D是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，故结论②正确： ③由结论①正确可知：， ∴当的面积是的面积的一半时，则． 此时有以下两种情况： 当点P在线段上，且时，则，如图③1所示： 理由如下： ∵的边上的高与的边上的高相同， ∴， ∴， ∴， 即当点P在线段上，且时，的面积是的面积的一半； 当点P在的延长线上，且时，则，如图③2所示： 理由如下： ∵， ∴， 同理得：， ∴， ∴， 即当点P在的延长线上，且时，的面积是的面积的一半， 综上：的面积是的面积的一半，则点P在线段上或在的延长线上， 故结论③不正确， 综上所述：正确结论的序号是①②． 故答案为：①②． 【题型9 利用平行四边形性质和判定证明】 解题思路： 综合运用平行四边形的判定与性质，证明线段相等、角相等、线段平行或垂直；解题时需明确“先证后用”：先通过判定定理证明一个四边形是平行四边形，再利用其性质推导结论；或先利用平行四边形的性质得出边、角关系，再证明另一个四边形是平行四边形；必要时连接对角线构造全等三角形。 【典例9】．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别是点D，E，点F是边的中点，连接．则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由旋转的性质可得，，，，，可证是等边三角形，可得，由“”可证，可得，，，可证四边形是平行四边形，由直角三角形的性质得到，，进而得到，，即可解答． 【详解】解：∵将绕点C按顺时针方向旋转一定角度后得到， ∴，，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，，点F是边的中点， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 在和中，， ∴， ∴，，，故B正确，不符合题意； ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，故A正确，不符合题意； ∵，， ∴，故B正确，不符合题意； ∵，， ∴，， ∵， ∴，，故C正确，不符合题意；D不正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 跟随训练9-1．如图在中，，分别是，的中点，点在上（不与点，重合），连接，按以下方式操作：①沿和剪开；②将绕点逆时针旋转，使点，重合；③将绕点顺时针旋转，使点，重合；④得到四边形． 下列条件中，能使四边形是矩形的是（   ） A．是的中点 B． C．平分 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是旋转的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，三角形的中位线的性质，由旋转可得，证明，，可得，结合三角形的中位线的性质可得，可得四边形是平行四边形，进一步可得答案． 【详解】解：当点不与点，重合时，将绕点逆时针旋转，使点，重合， ∴，， 同理可得， ∴，且，，，，共线． ∵点，分别是，的中点， ∴ ∴四边形是平行四边形， 当时， ∴， ∴四边形是矩形， 故选：D． 跟随训练9-2．如图所示，在四边形中，，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，．若，则下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④四边形是平行四边形．其中正确的结论是______．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 根据题意易证，进而得到，根据、，证得四边形是平行四边形，同理证得四边形是平行四边形，根据平行四边形对角线的性质得到． 【详解】解：、， ， ， ， ， 在和中 ， ， 故①正确； 、， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故②③正确； ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 【题型10 平行四边形性质和判定的应用】 解题思路： 结合生活实际场景（如测量、图形拼接、道路设计等），将实际问题转化为几何问题，利用平行四边形的判定与性质解决；核心是提炼实际问题中的边、角关系，判定四边形为平行四边形，再利用性质求解未知量（如距离、长度、角度等）。 【典例10】．如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点P处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点Q，在处的法线交于点N，处的法线为．若，，则液面从上升至的高度为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，关键是等腰三角形判定定理的应用． 先证明四边形是平行四边形，求得，据此求解即可． 【详解】由题意得，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 跟随训练10-1．【项目主题】测量距离 【项目背景】如图1，、两点被大山阻隔（、两点距离不可直接测得）．为了改善山区的交通，现拟开凿一条贯穿、的隧道，修建一条高速公路． 【实践操作】 方案一：如图2，某工程队分别以、两点为起点，朝同一方向行进相同距离，分别到达点、．测量、两点之间线段的长度，即为、两点的距离． 【问题解决】 (1)请你说明方案一的合理性； (2)请你设计与方案一不同的方案，在答题卡上画出几何图形，并表示出、两点间的距离（为使表达简洁，需要测量的角建议用、、等表示）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查的是平行四边形的判定和性质，全等三角形的应用． （1）证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质即可得到结论； （2）在大山外取一点O，连接，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：如图，在大山外取一点O，连接， 延长到D，使，延长到E，使，测量D、E两点之间线段的长度，即为A、B两点的距离． 在和中，， ∴， ∴． 跟随训练10-2．数学实践小组开展测量篮球架篮板的高度的实践活动．测量方案如下表： 课题 测量篮球架篮板的高度 测量 工具竹竿、测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）将竹竿垂直固定在地面上，从竹竿上的F点处观察篮板底部点B； （2）测量视线与竹竿的夹角，； （3）将观察点沿着竹竿向上移动到点G，测量从点G观察篮板顶部点A的视线与竹竿的夹角； （4）测量的长 测量数据 根据以上测量方案和数据求篮球架篮板的高度． 【答案】篮球架篮板的高度为 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质的应用．根据垂直定义可得，从而可得，再根据同位角相等，两直线平行可得，从而可得四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得，即可解答 【详解】解：，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 答：篮球架篮板的高度为． 【题型11 平行四边形性质和判定综合压轴题】 解题思路 综合考查平行四边形的判定与性质、全等三角形、勾股定理、等腰三角形等知识点，解题时需理清图形结构，分步突破：① 先判定四边形为平行四边形，利用性质得出边、角关系；② 构造全等三角形，推导未知边、角；③ 结合勾股定理、面积公式等，求解最终问题；注意分类讨论、数形结合思想的运用，规范书写解题步骤。 【典例11】．如图，以的顶点为圆心，以的长为半径作弧，再以顶点为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点，分别连接，． (1)根据题意直接写出图中相等的线段； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)在（2）的条件下，若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)， (2)证明过程见解析 (3) 【分析】（1）根据作图提示解答即可； （2）根据平行四边形的判定条件判断即可； （3）根据已知条件，证明是直角三角形，计算面积即可； 【详解】（1）解：以的顶点为圆心，以的长为半径作弧，再以顶点为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点， ，； （2）证明：，， 四边形是平行四边形； （3）解：四边形是平行四边形， ， 又，， ， 是直角三角形，， 四边形的面积为． 跟随训练11-1．如图，在平行四边形中，E为线段延长线上的一点，连接．请完成以下作图和填空： (1)在平行四边形的外部，用尺规作，且交直线于点F，连接，． (2)在（1）问的条件下，求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∴___①___， ∵，，∴___②___， 在和中，，∴， ∴___③___，，∴___④___，∴四边形是平行四边形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）根据题意作图即可． （2）根据题中思路求解即可． 【详解】（1）解：即为所求． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴①， ∵，， ∴②， 在和中，， ∴， ∴③，， ∴④， ∴四边形是平行四边形． 跟随训练11-2．请完成证明中的三个填空．并参考小刚同学思考的方法，解决下列问题： (1)问题背景： 小刚遇到一个这样问题：如图1，两条相等的线段交于点，连接，求证：．通过尝试他发现通过平移可以解决这个问题． 证明：过点作且使，连接， 四边形为平行四边形，则___________， ， ___________， 又， 为等边三角形， ___________， ，即． 类比运用： (2)如图2，与相交于点，，求线段的长； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质、平行线的性质及等边三角形的性质求解即可； （2）作，两线交于，连接，证是直角三角形，得，过点作于点，根据三线合一，勾股定理得则，根据四边形是平行四边形可得答案； 【详解】（1）证明：过点作且使．连接， ∴四边形为平行四边形，则． ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴，即． 故答案为：； （2）解：过作，过作，两直线交于，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴， 过点作于点， ∴，， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴， 四边形是平行四边形， ∴． 跟随训练11-3．如图，在等边中，点P为内一点，连接，，，以P为顶点作，且，连接，． (1)如图1，用等式表示与的数量关系，并证明； (2)如图2，当时， ①直接写出的度数为 ； ②若D为的中点，连接，请用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①；②，理由见解析 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，利用倍长中线构造平行四边形是解题的关键． （1）利用证明，即可得出答案； （2）①由三角形内角和定理知，再利用角度之间的转化对进行转化，，从而解决问题； ②延长到N，使，连接，，得出四边形为平行四边形，则且，再利用证明，得． 【详解】（1）解：， 理由：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵将线段绕点A顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：①当时， 则， ∵， ∴， ∴ ， 故答案为：60°； ②， 理由：延长到N，使，连接，， ∵D为的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，且， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵为正三角形， ∴， ∴． 跟随训练11-4．某数学学习小组要在的对角线上找点E，F，使四边形是平行四边形．现有甲、乙两种方案，如下表： 方案 甲 乙 作法 作和的平分线，与分别交于点E，F 作边，的垂直平分线，分别交于点E，F 图示 (1)请你选择其中一种方案，判断其是否可以得到四边形是平行四边形，若可以，写出证明过程；若不可以，请说明理由； (2)若，，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）可选择甲方案，由平行四边形的性质得，，，则，由角平分线的定义可得到，再通过可证明，通过全等三角形的性质得到，，进而可得到，即可证明四边形为平行四边形．另外，此题也可能选择乙方案，由垂直平分线的性质可得，，进而得到，再通过可证明，通过全等三角形的性质得到，，进而可得到，即可证明四边形为平行四边形． （2）连接交于点O，则，．由可得到，进而得到，由此可求出的面积，最后可求出平行四边形的面积 【详解】（1）解：答案一：选择甲方案，甲方案可以得到四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ，，， ． 平分，平分， ，， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 答案二：选择乙方案，乙方案可以得到四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ，， ． 由垂直平分线的性质可得，， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形． （2）解：连接交于点O，则，． ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，证明是解题的关键，还应注意本题有多种解法． 05 过关•检测 1．如图，在中，是对角线上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定，结合已知，选择适当判断方法求解即可． 【详解】解：连接交于点O， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 选项A不符合要求； ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∵， ∴     ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 选项B不符合要求． ∵，无法判定四边形是平行四边形． 选项C符合要求． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴     ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 选项D不符合要求． 2．新情境  王师傅加工了一批如图所示的平行四边形零件，交付验收时需要检查该零件是否为平行四边形，下列检查方法错误的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据平行四边形的证明方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形； B、，，一组对边平行，另一组对边相等，不能得到四边形是平行四边形； C、，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形； D、，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形． 3．在四边形中，已知，若再从下列条件：①；②；③；④中任意选取一个来判定四边形是平行四边形，则能断定四边形是平行四边形的选法共有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 由平行四边形的判定、平行线的判定与性质分别对各个条件进行判断即可． 【详解】解：如图所示， ①∵， ∴ ∵， ∴ ∴不能得到四边形是平行四边形； ②由，，不能得到四边形是平行四边形； ③∵ ∴， ∴不能得到四边形是平行四边形； ④∵ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形． 综上所述，能断定四边形是平行四边形的选法共有1种． 故选：A． 4．如图，在四边形中，，对角线和交于点O，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定定理，三角形全等的判定，平行线的性质，根据平行四边形的判定定理对选项依次判断即可． 【详解】解：A、仅且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 A错误； B、∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形．故B正确． C、由无法判定为平行四边形，故C错误； D、且，四边形可能是等腰梯形，故D错误； 故选：B． 5．如图，在中，，，，，分别是，的中点，交的延长线于点，连接，则四边形的面积为（   ） A．10 B．12 C．14 D．15 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、三角形的面积，掌握全等三角形的判定方法、平行四边形的判定条件，及三角形面积的计算是解题的关键． 先利用和是中点的条件，证明与全等，得出；再结合是中点，得到，判定四边形是平行四边形；最后通过三角形面积的关系，将四边形面积转化为的面积，计算得出结果． 【详解】解：， ． 是的中点， ． 在和中： ， ． 是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ． ， ， ． ，，， ， ． 故选：B． 6．如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形______平行四边形（填“是”或“不是”）． 【答案】是 【详解】解：由题意已知， 四边形为平行四边形， 故答案为：是． 7．如图，已知中，，，点为平面内一点，满足，分别以，为边作，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】在延长线上截取，连接，，由平行四边形的判定和性质得出四边形是平行四边形，进而得出且，再证明是等腰直角三角形，由勾股定理得出，再由三角形三边关系得出，进而可求出的最小值． 【详解】解：在延长线上截取，连接，， 四边形是平行四边形，， ， ， 四边形是平行四边形， 且， ，，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 8．如图，在四边形中，，动点P从点A开始沿边向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点B运动，P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为，连接，当______时，四边形是平行四边形． 【答案】6 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法，得到当时，四边形是平行四边形，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴，解得； 故答案为：6． 9．如图，在平行四边形中，相交于点O，点E，F在对角线上，有下列条件：①；②；③；④．其中一定能判定四边形是平行四边形的是______． 【答案】①④ 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 根据全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质分别推理论证，即可得到结论． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形； ②∵，不能判定， ∴不能判定四边形是平行四边形； ③添加不能判定四边形是平行四边形； ④∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 故答案为：①④． 10．如图，在梯形中，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动．设点，的运动时间为，在此运动过程中当四边形为平行四边形时，的值为___________． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定是解题的关键．设点，的运动时间为，根据题意，得，，，然后分类计算即可． 【详解】解：设点，的运动时间为，根据题意，得，，， 当点P到达点D时所用时间为， 根据题意，得， 当时，四边形为平行四边形，此时， 解得； 当Q第一次越过点B返回向点C运动时，此时， 根据四边形为平行四边形，此时， 解得； 当Q第一次越过点C返回向点B运动时，此时， 根据四边形为平行四边形，此时， 解得； 当Q第二次越过点B返回向点C运动时，此时， 根据四边形为平行四边形，此时， 解得，大于，舍去， 故答案为：或或． 11．如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且．连接，交于点H，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】由平行四边形的性质得到，，则可证明，据此可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 12．如图，在四边形中，已知，求证． (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）运用直接证明即可； （2）由得，则，再证四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】（1）证明：在与中， ， ∴； （2）证明：由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 13．如图，四边形中，对角线，相交于点O，点E，F分别在，上，已知，． (1)求证：； (2)添加，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】对于（1），根据“角边角”证明这两个三角形全等； 对于（2），先根据全等三角形的对应边相等得，进而得出，再根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”得出答案． 【详解】（1）证明：在和中，， ； （2）证明：由（1）得：， ． 又， ． 又， 四边形是平行四边形． 14．在中，连接，点E在上，连接． (1)如图1，将沿平移至，连接AF，F、A、E共线，求证：； (2)如图2，当时，若，试探究、及之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析． 【分析】（1）根据平移的性质得出，，则，再根据平行四边形的性质得出，则，即可证明． （2）过点B作交延长线于点F，证明四边形为平行四边形，结合已知条件得出，，证明是等边三角形，得出，即可证明． 【详解】（1）证明：根据平移的性质，，， ， 在中，， ， 在和中， ， ． （2）解：． 过点B作交延长线于点F ，， 四边形为平行四边形， ，， 又， 是等边三角形， ． 故． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平移的性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质，正确做出辅助线是解本题的关键． 15．【教材呈现】我们在教材中已经学习过对角线互相平分的四边形是平行四边形．我们可以用演绎推理证明这一结论． 已知：如图①，四边形的两条对角线与相交于点，并且，．求证：四边形是平行四边形． （1）请写出证明过程． 【知识应用】（2）如图②，在中，是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【拓展提升】（3）在（2）的条件下，若的面积为26，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）利用对角线互相平分的条件，证明三角形全等，得到两组对边平行，从而判定平行四边形； （2）利用平行四边形性质和中点条件，证明三角形全等，得到对角线互相平分，从而判定平行四边形； （3）利用平行四边形面积关系，结合等底等高的三角形面积相等，求出的面积． 【详解】解：（1）证明：在和中， ， ， ． 同理可得， 四边形是平行四边形． （2）证明：四边形是平行四边形， ， ． 是的中点， ． 在和中， ， ， 与互相平分， 四边形是平行四边形． （3）由（2）知，四边形是平行四边形， ． 四边形是平行四边形， ， ， 和等底同高， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算，掌握平行四边形的判定定理和全等三角形的性质是解题的关键． 16．在中，，P为所在平面内的一点，过点P作交于点E，作交于点D，交于点F．如图①，若点P在边上，此时P、D两点重合，易证、、与之间满足的数量关系是． (1)如图②，当点P在的内部时，猜想、、与之间满足的数量关系，然后证明你的猜想； (2)如图③，当点P在的外部时，若，，求平行四边形的周长 【答案】(1)．证明见解析 (2)14 【分析】（1）如图①，过点P作分别交，于点M，N，先证明四边形是平行四边形，得到，再证明，，即可得出结论； （2）如图②，过点P作交的延长线于点，交的延长线于点，先证明四边形是平行四边形，，再结合（1）的结论，即可求得答案． 【详解】（1）解：；证明如下： 如图①，过点P作分别交，于点M，N， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ； （2）解：如图②，过点P作交的延长线于点，交的延长线于点， 由（1）得， ，， 四边形是平行四边形， ， 又， ， 平行四边形的周长为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $