四川遂宁市卓同教育集团2026届高三下学期模拟测试五数学试题（A）

**基本信息** 立足高中数学主干知识，融合文化传承与实际应用，梯度设计考查抽象能力、运算能力及推理意识，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、数列、统计|第5题以僧一行“九服晷影算法”为情境，考查三角恒等变换，体现文化传承| |多选题|3/18|函数性质、立体几何、抛物线|第10题结合正方体动态点问题，考查空间观念与几何直观| |填空题|3/15|向量基底、椭圆交点、函数零点|第14题通过函数零点关系，考查抽象能力与模型意识| |解答题|5/77|解三角形、立体几何、导数等|第18题玩具传递游戏融合概率与数列，第19题导数切线综合考查运算能力与推理能力，适配高考命题趋势|

■■■■ ■■■■ ■■■■ 卓同教育集团高2023级测试（五)试题 数学答题卡 姓 名： 班 级： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂 单项选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C]D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C]D] 7[A][B][C][D] 4[A]B][C[D] &[A][B][C][D] 二、多项选择题（每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.) 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分) 12. 13 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) ●O1 O。 B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 卓同教育集团高2023级测试五数学试题（A） 命题：苏友国 审题：郑才志 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，若，则（   ） A．4 B．2 C． D．1 2．复数的值为（    ） A． B． C．-2 D．2 3．等差数列的前项和为，满足，则（    ） A． B． C． D．均为的最大值 4．为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分，满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（   ） A．对应矩形的高度为0.016 B．样本众数估计值为75 C．样本平均数估计值为77.4 D．样本成绩的第70百分位数落在内 5．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距（）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 6．从4名男生和3名女生中选4人组成学习小组，要求男生甲和女生乙要么都选，要么都不选，则不同的选法共有（    ） A．15种 B．18种 C．24种 D．30种 7．已知在正三棱台中，，此正三棱台存在内切球，则此正三棱台的高为（    ） A．1 B． C． D．2 8．设，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法中错误的有（   ） A． B．的最小正周期为 C．平面直角坐标系中到点和的直线斜率之积为3的点构成的轨迹方程为 D．平面直角坐标系中与交于两点，的最小值为 10．在棱长为的正方体中，分别为的中点，点是正方体侧面上的一动点（含边界），则下列说法正确的是（   ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．当点为棱的中点时，直线与直线平行 C．若保持，则点在侧面内运动路径的长度为 D．过直线的平面截该正方体的内切球所得截面圆的面积的最小值为 11．已知抛物线的准线方程为．过点且斜率为的直线与交于，两个不同的点，为坐标原点．过点作轴的垂线，交直线于点．则下列说法正确的是（   ） A．曲线的方程是 B．的取值范围为 C．若，则的取值范围为 D．线段的中点在一条定直线上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．设是平面内一组基向量，且，则向量可以表示为以为基向量的线性组合，即________. 13．已知椭圆：与椭圆：在四个象限内有4个交点A、B、C、D，且这4个交点与、的4个焦点共圆，则______． 14．已知函数有三个不同的零点，且 ，则的最小值为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在三角形ABC中，内角所对的边分别为，，为的角平分线，且． (1)若，求a的大小； (2)设为中点，连接，面积取得最小值时，求线段的长度． 16．如图，PB是圆柱的母线，四边形ABCD是底面内接正方形．点E，F是棱BC，CD上的动点（E，F不与端点重合），且． (1)证明：平面PBF； (2)已知圆柱的体积为，点A到直线PF的距离是1．求CE的长度； 17．在以为坐标原点的平面直角坐标系中，直线交双曲线于A，B两点．为直线上一点且．点为直线与轴的交点． (1)求双曲线的渐近线方程和焦距； (2)若线段AB上一动点满足，求直线OM与ON的斜率之积． 18．甲、乙、丙三人进行玩具传递游戏，每次抛掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传递方式，当玩具在甲手中时，若骰子点数大于4，甲将玩具传给乙；若骰子点数不大于4，甲保留玩具；当玩具在乙手中时，若骰子点数大于3，乙将玩具传给甲；若骰子点数不大于3，乙传给丙；当玩具在丙手中时，若骰子点数大于2，丙将玩具传给甲；若骰子点数不大于2，丙传给乙.初始时，玩具在甲手中. (1)设前三次抛掷骰子后，玩具在甲手中的次数为，求的分布列和数学期望； (2)抛掷次骰子后，玩具在乙手中的概率为，求的通项公式； (3)求证：. 19．已知函数． (1)当时，证明：. (2)若存在三条不同的直线既是曲线的切线（切点为），又是曲线的切线（切点为）． （i）求实数的取值范围； （ii）是否存在，使得线段与互相平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 测试5答案 1．【详解】由已知得集合，由题意得，所以集合， 若，则，所以，解得． 2．A【详解】,选A. 3．C【详解】由题意，所以．故C正确．无法判断的正负，故A、B、D错误. 4．D【详解】设对应矩形的高度为，则，解得，A选项正确； 由图可知，的数据最多，众数的估计值为，B选项正确； 平均值为：，C选项正确；样本数据的频率为， 样本数据的频率为， 故样本成绩的第70百分位数落在内，所以D选项错误. 5．B【详解】由题可得，又，所以.即第二次的“晷影长”是“表高”的. 6．A 【详解】由题意，分成两类情况：① 男生甲和女生乙都选，则从剩余3名男生和2名女生中选2人，不同的选法共有种； ② 男生甲和女生乙都不选，则从剩余3名男生和2名女生中选4人，不同的选法共有种；由分类加法计数原理，不同的选法共有种. 7．D【详解】由题可知上下底正三角形的高分别为， 由几何体结构特征结合题意可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 如图，取BC和的中点分别为P，Q，上、下底面的中心分别为，， 则．设内切球的球心为O，半径为，则正三棱台的高，内切球与相切于点M，根据圆的性质可知，． 则，如图： 所以，即， 所以正三棱台的高为2 8．C【详解】由，，，知，， 又，所以，故，又，故，所以， 因此可得.故选：C. 9．AC【详解】对于A，，A错误；对于B，函数中，，即，因此函数的定义域为且且， 由，则是函数的周期；设函数的最小正周期为,由可得，令,可得，即,故,故函数的最小正周期为，故B正确；对于C，设动点坐标为，依题意，，即，C错误；对于D，直线恒过定点，曲线是以点为圆心，为半径的圆， 易得点在圆内，故当时，，D正确. 10．AD【详解】如图，以正方体的顶点为坐标原点建立空间直角坐标系，∴，，，，，，，因分别为的中点，则，，则，，对于A，设与所成的角为，则，故A正确；对于B，，，则，，故不存在实数使得，故B错误；对于C，∵， ∴点在侧面的运动轨迹为平面与球截面的圆弧， 球心到平面的距离为，∴圆弧的半径，故在正方体侧面的运动轨迹圆弧，其长度为，故C错误； 对于D，易得该正方体的内切球的球心，半径，则向量， ∴球心到直线的距离，∴球心到过直线的平面最大距离为，此时截面为面积最小的圆，圆的半径，∴此时截面面积，故D正确.故选：AD. 11．【答案】ACD 【详解】根据题意可知准线方程为，即的准线方程为，所以，即，所以， 则抛物线的方程为：，故A正确； 依题意得直线的方程为， 当时，直线与抛物线只有一个交点，不符合题意， 当时，代入，得， 则且，解得且， 所以的取值范围是，故B错误； 设，，根据韦达定理可得：，， 所以， 代入可得：； 若，即，则， 所以，即的取值范围是，故C正确； 因为直线的方程为，所以点的坐标为， 设线段的中点为，则，， ，所以点在直线上，故线段的中点在一条定直线上．故D正确. 12．【详解】设，∵， ∴.∵与不共线， ∴，解得，∴. 13．【详解】椭圆：的焦点坐标分别为,,椭圆：的焦点坐标分别为,, 因为两个椭圆的4个交点与、的4个焦点共圆，则共圆的圆心在原点，所以. 则，解得：,所以椭圆方程为：，共圆的方程为, 联立，解得：,将代入椭圆：方程， 可得，解得：(负值舍去)，故答案为： 14．【详解】由题意得， 所以是函数的一个零点，当时，令，可得，令，， ，所以关于对称， 若要函数有三个不同的零点， 则需满足方程有两个实数根，即函数与有两个交点，且两交点关于直线对称，又，可得，， 所以， 当且仅当，，时，等号成立，此时的最小值为． 15．【详解】（1）由正弦定理，结合，得. 因为平分，，所以. 由三角形面积关系：， 即. 代入，，化简得. 将代入上式：，解得，则. .....4 由余弦定理：.故. .............6 （2）由，根据基本不等式，得， 设，则，解得，即， 当且仅当时，取得最小值，面积最小. 此时，........9 ，因为为中点所以 . 两边平方得. 代入，，.得，故......13 16．【详解】（1）在正方形中，由，得，，，因此，由是圆柱的母线，得平面，而平面，则，又平面，所以平面............7 （2）设圆柱的底面圆半径为，圆柱的体积为，得，解得，则，显然直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，设，则，，由点到直线的距离是1，得，则，化简得，即，而，解得，所以.............15 17．【详解】（1）由双曲线，则，， 所以双曲线的渐近线方程为，又，所以焦距为．.........5 （2）设，，由，可得， 则，所以，，因为直线与双曲线交于轴上方的A，B两点，所以，解得，又为直线上一点且，即为的中点，所以，，所以，所以，由点为直线与轴的交点，即，又，可得，解得，所以，所以，所以，故直线OM与ON的斜率之积为．.........15 18．【详解】（1）由题意知，. ，， ；，      所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 随机变量的数学期望为..........6 （2）由于投掷次骰子后球不在乙手中的概率为，此时无论球在甲手中还是球在丙手中，均有的概率传给乙，故有，       变形为.又，所以数列是首项为，公比为的等比数列.所以所以数列的通项公式；..............11 （3）由（2）可得； 所以.............17 19．【详解】（1）当时，.设， ，则，是增函数，当时，单调递减；当时，单调递增， 所以，即（当且仅当时取等号）， ，当且仅当时取等号，（当且仅当时等号成立）．..........5 （2）（i）设直线与曲线切于点，与曲线切于点， 曲线的切线方程为， 曲线的切线方程为． 于是问题等价于有三组解． 由①得，代入②消去得， 由，结合①知，故， 于是上述方程可化为. 令， 则， 所以当时，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递减．又， 当时，，当时， 的大致图象如图：存在三条不同的直线既是曲线的切线（切点为），又是曲线的切线（切点为），的图象与直线有三个不同的交点， 结合的图象可知，解得． 综上，实数的取值范围为............11 （ii）不存在．理由如下：假设存在，设， 则有，由（i）可知，， 则有，所以上述方程等价于， 即，由④得或．结合且，得，代入③整理得，此时． 令，则，于是在上单调递减． 由于，故方程仅有一解，此时. 从而点与点重合，线段与重合，故不存在。............17 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 卓同教育集团高2023级测试五数学试题（A） 命题：苏友国 审题：郑才志 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，若，则（   ） A．4 B．2 C． D．1 2．复数的值为（    ） A． B． C．-2 D．2 3．等差数列的前项和为，满足，则（    ） A． B． C． D．均为的最大值 4．为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分，满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（   ） A．对应矩形的高度为0.016 B．样本众数估计值为75 C．样本平均数估计值为77.4 D．样本成绩的第70百分位数落在内 5．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距（）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 6．从4名男生和3名女生中选4人组成学习小组，要求男生甲和女生乙要么都选，要么都不选，则不同的选法共有（    ） A．15种 B．18种 C．24种 D．30种 7．已知在正三棱台中，，此正三棱台存在内切球，则此正三棱台的高为（    ） A．1 B． C． D．2 8．设，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法中错误的有（   ） A． B．的最小正周期为 C．平面直角坐标系中到点和的直线斜率之积为3的点构成的轨迹方程为 D．平面直角坐标系中与交于两点，的最小值为 10．在棱长为的正方体中，分别为的中点，点是正方体侧面上的一动点（含边界），则下列说法正确的是（   ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．当点为棱的中点时，直线与直线平行 C．若保持，则点在侧面内运动路径的长度为 D．过直线的平面截该正方体的内切球所得截面圆的面积的最小值为 11．已知抛物线的准线方程为．过点且斜率为的直线与交于，两个不同的点，为坐标原点．过点作轴的垂线，交直线于点．则下列说法正确的是（   ） A．曲线的方程是 B．的取值范围为 C．若，则的取值范围为 D．线段的中点在一条定直线上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．设是平面内一组基向量，且，则向量可以表示为以为基向量的线性组合，即________. 13．已知椭圆：与椭圆：在四个象限内有4个交点A、B、C、D，且这4个交点与、的4个焦点共圆，则______． 14．已知函数有三个不同的零点，且 ，则的最小值为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在三角形ABC中，内角所对的边分别为，，为的角平分线，且． (1)若，求a的大小； (2)设为中点，连接，面积取得最小值时，求线段的长度． 16．如图，PB是圆柱的母线，四边形ABCD是底面内接正方形．点E，F是棱BC，CD上的动点（E，F不与端点重合），且． (1)证明：平面PBF； (2)已知圆柱的体积为，点A到直线PF的距离是1．求CE的长度； 17．在以为坐标原点的平面直角坐标系中，直线交双曲线于A，B两点．为直线上一点且．点为直线与轴的交点． (1)求双曲线的渐近线方程和焦距； (2)若线段AB上一动点满足，求直线OM与ON的斜率之积． 18．甲、乙、丙三人进行玩具传递游戏，每次抛掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传递方式，当玩具在甲手中时，若骰子点数大于4，甲将玩具传给乙；若骰子点数不大于4，甲保留玩具；当玩具在乙手中时，若骰子点数大于3，乙将玩具传给甲；若骰子点数不大于3，乙传给丙；当玩具在丙手中时，若骰子点数大于2，丙将玩具传给甲；若骰子点数不大于2，丙传给乙.初始时，玩具在甲手中. (1)设前三次抛掷骰子后，玩具在甲手中的次数为，求的分布列和数学期望； (2)抛掷次骰子后，玩具在乙手中的概率为，求的通项公式； (3)求证：. 19．已知函数． (1)当时，证明：. (2)若存在三条不同的直线既是曲线的切线（切点为），又是曲线的切线（切点为）． （i）求实数的取值范围； （ii）是否存在，使得线段与互相平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 测试5答案 1．【详解】由已知得集合，由题意得，所以集合， 若，则，所以，解得． 2．A【详解】,选A. 3．C【详解】由题意，所以．故C正确．无法判断的正负，故A、B、D错误. 4．D【详解】设对应矩形的高度为，则，解得，A选项正确； 由图可知，的数据最多，众数的估计值为，B选项正确； 平均值为：，C选项正确；样本数据的频率为， 样本数据的频率为， 故样本成绩的第70百分位数落在内，所以D选项错误. 5．B【详解】由题可得，又，所以.即第二次的“晷影长”是“表高”的. 6．A 【详解】由题意，分成两类情况：① 男生甲和女生乙都选，则从剩余3名男生和2名女生中选2人，不同的选法共有种； ② 男生甲和女生乙都不选，则从剩余3名男生和2名女生中选4人，不同的选法共有种；由分类加法计数原理，不同的选法共有种. 7．D【详解】由题可知上下底正三角形的高分别为， 由几何体结构特征结合题意可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 如图，取BC和的中点分别为P，Q，上、下底面的中心分别为，， 则．设内切球的球心为O，半径为，则正三棱台的高，内切球与相切于点M，根据圆的性质可知，． 则，如图： 所以，即， 所以正三棱台的高为2 8．C【详解】由，，，知，， 又，所以，故，又，故，所以， 因此可得.故选：C. 9．AC【详解】对于A，，A错误；对于B，函数中，，即，因此函数的定义域为且且， 由，则是函数的周期；设函数的最小正周期为,由可得，令,可得，即,故,故函数的最小正周期为，故B正确；对于C，设动点坐标为，依题意，，即，C错误；对于D，直线恒过定点，曲线是以点为圆心，为半径的圆， 易得点在圆内，故当时，，D正确. 10．AD【详解】如图，以正方体的顶点为坐标原点建立空间直角坐标系，∴，，，，，，，因分别为的中点，则，，则，，对于A，设与所成的角为，则，故A正确；对于B，，，则，，故不存在实数使得，故B错误；对于C，∵， ∴点在侧面的运动轨迹为平面与球截面的圆弧， 球心到平面的距离为，∴圆弧的半径，故在正方体侧面的运动轨迹圆弧，其长度为，故C错误； 对于D，易得该正方体的内切球的球心，半径，则向量， ∴球心到直线的距离，∴球心到过直线的平面最大距离为，此时截面为面积最小的圆，圆的半径，∴此时截面面积，故D正确.故选：AD. 11．【答案】ACD 【详解】根据题意可知准线方程为，即的准线方程为，所以，即，所以， 则抛物线的方程为：，故A正确； 依题意得直线的方程为， 当时，直线与抛物线只有一个交点，不符合题意， 当时，代入，得， 则且，解得且， 所以的取值范围是，故B错误； 设，，根据韦达定理可得：，， 所以， 代入可得：； 若，即，则， 所以，即的取值范围是，故C正确； 因为直线的方程为，所以点的坐标为， 设线段的中点为，则，， ，所以点在直线上，故线段的中点在一条定直线上．故D正确. 12．【详解】设，∵， ∴.∵与不共线， ∴，解得，∴. 13．【详解】椭圆：的焦点坐标分别为,,椭圆：的焦点坐标分别为,, 因为两个椭圆的4个交点与、的4个焦点共圆，则共圆的圆心在原点，所以. 则，解得：,所以椭圆方程为：，共圆的方程为, 联立，解得：,将代入椭圆：方程， 可得，解得：(负值舍去)，故答案为： 14．【详解】由题意得， 所以是函数的一个零点，当时，令，可得，令，， ，所以关于对称， 若要函数有三个不同的零点， 则需满足方程有两个实数根，即函数与有两个交点，且两交点关于直线对称，又，可得，， 所以， 当且仅当，，时，等号成立，此时的最小值为． 15．【详解】（1）由正弦定理，结合，得. 因为平分，，所以. 由三角形面积关系：， 即. 代入，，化简得. 将代入上式：，解得，则. .....4 由余弦定理：.故. .............6 （2）由，根据基本不等式，得， 设，则，解得，即， 当且仅当时，取得最小值，面积最小. 此时，........9 ，因为为中点所以 . 两边平方得. 代入，，.得，故......13 16．【详解】（1）在正方形中，由，得，，，因此，由是圆柱的母线，得平面，而平面，则，又平面，所以平面............7 （2）设圆柱的底面圆半径为，圆柱的体积为，得，解得，则，显然直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，设，则，，由点到直线的距离是1，得，则，化简得，即，而，解得，所以.............15 17．【详解】（1）由双曲线，则，， 所以双曲线的渐近线方程为，又，所以焦距为．.........5 （2）设，，由，可得， 则，所以，，因为直线与双曲线交于轴上方的A，B两点，所以，解得，又为直线上一点且，即为的中点，所以，，所以，所以，由点为直线与轴的交点，即，又，可得，解得，所以，所以，所以，故直线OM与ON的斜率之积为．.........15 18．【详解】（1）由题意知，. ，， ；，      所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 随机变量的数学期望为..........6 （2）由于投掷次骰子后球不在乙手中的概率为，此时无论球在甲手中还是球在丙手中，均有的概率传给乙，故有，       变形为.又，所以数列是首项为，公比为的等比数列.所以所以数列的通项公式；..............11 （3）由（2）可得； 所以.............17 19．【详解】（1）当时，.设， ，则，是增函数，当时，单调递减；当时，单调递增， 所以，即（当且仅当时取等号）， ，当且仅当时取等号，（当且仅当时等号成立）．..........5 （2）（i）设直线与曲线切于点，与曲线切于点， 曲线的切线方程为， 曲线的切线方程为． 于是问题等价于有三组解． 由①得，代入②消去得， 由，结合①知，故， 于是上述方程可化为. 令， 则， 所以当时，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递减．又， 当时，，当时， 的大致图象如图：存在三条不同的直线既是曲线的切线（切点为），又是曲线的切线（切点为），的图象与直线有三个不同的交点， 结合的图象可知，解得． 综上，实数的取值范围为............11 （ii）不存在．理由如下：假设存在，设， 则有，由（i）可知，， 则有，所以上述方程等价于， 即，由④得或．结合且，得，代入③整理得，此时． 令，则，于是在上单调递减． 由于，故方程仅有一解，此时. 从而点与点重合，线段与重合，故不存在。............17 测试（五）数学试题第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年5月9日高中数学作业 整体难度：较难 考试范围：集合与常用逻辑用语,复数,数列,计数原理与概率统计,三角函数与解三角形,空间向量与立体几何,函数与导数,平面解析几何,平面向量 试卷题型 题型 数量 单选题 8 多选题 3 填空题 3 解答题 5 试卷难度 难度 题数 较易 4 适中 11 较难 2 困难 2 细目表分析 题号 难度系数 详细知识点 一、单选题 1 0.82 利用集合元素的互异性求参数；根据交集结果求集合或参数；根据集合的包含关系求参数 2 0.85 复数的除法运算；复数代数形式的乘法运算 3 0.85 利用an与sn关系求通项或项；求等差数列前n项和的最值；等差中项的应用；求等差数列前n项和 4 0.7 由频率分布直方图估计平均数；总体百分位数的估计；由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量；根据频率分布直方图计算众数 5 0.75 用和、差角的正切公式化简、求值；三角恒等变换的实际应用 6 0.85 实际问题中的组合计数问题；分类加法计数原理 7 0.44 正棱台及其有关计算；多面体与球体内切外接问题 8 0.65 比较指数幂的大小；比较对数式的大小 二、多选题 9 0.65 二倍角的正切公式；基本初等函数的导数公式；圆的弦长与中点弦；求双曲线的轨迹方程 10 0.65 点到直线距离的向量求法；异面直线夹角的向量求法；球的截面的性质及计算 11 0.25 正弦定理解三角形；正弦定理求外接圆半径；用定义求向量的数量积；余弦定理解三角形 三、填空题 12 0.75 用基底表示向量；平面向量基本定理的应用 13 0.65 根据a、b、c求椭圆标准方程；求椭圆的焦点、焦距 14 0.3 函数与方程的综合应用；根据函数零点的个数求参数范围 四、解答题 15 0.52 数量积的运算律；正弦定理边角互化的应用；三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形 16 0.52 证明线面垂直；点到平面距离的向量求法 17 0.65 求双曲线的焦距；已知方程求双曲线的渐近线；双曲线中的定值问题 18 0.65 求离散型随机变量的均值；构造法求数列通项；写出简单离散型随机变量分布列；分组（并项）法求和 19 0.15 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题；利用导数证明不等式；利用导数研究方程的根；求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 知识点分析 序号 知识点 对应题号 1 集合与常用逻辑用语 1 2 复数 2 3 数列 3,18 4 计数原理与概率统计 4,6,18 5 三角函数与解三角形 5,9,11,15 6 空间向量与立体几何 7,10,16 7 函数与导数 8,9,14,19 8 平面解析几何 9,13,17 9 平面向量 11,12,15 难度分布 较易 适中 较难 困难 21.05 57.89 10.53 10.53 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( ) 卓同教育集团高2023级测试（五）试题 ( 准考证号： 姓 名： _______ __ 班 级： _________ _ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 注意事项 )数学答题卡 ( 一、 单项 选择题 （每小题5分，共 4 0分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、 多项选择 题 （每小题 6 分，共 18 分 ， 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 全部选对的得 6 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 ． ） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三 、填空题（每小题5分，共 15 分 ） 12 ． ____________________ 1 3 ． ____________________ 1 4 ． ____________________ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 四 、解答题 （共7 7 分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算 步骤 ） 1 5 ．（1 3 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 6 ．（1 5 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17 ．（1 5 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( （1 7 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19 . （1 7 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $卓同教育集团高2023级测试五数学试题（A) 命题：苏友国 审题：郑才志 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的， 1.已知集合A={y=2x3,-1≤x≤，B={xa-x2≥}，若A=B,则a=() A.4 B.2 C.√2 D.1 2.复数1+ 的值为() A.-2i B.2i C.-2 D.2 3.等差数列{a}的前n项和为S,满足%<S,So>S!,则（) A.4,+40=0 B.4o<0C.S,>0D.Sg,S均为Sn的最大值 4.为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分 满分100分)，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是() 个频率/组距 0.034 8矀 0.006 5060708090100数学成绩 A.[90,100]对应矩形的高度为0.016 B.样本众数估计值为75 C.样本平均数估计值为77.4D.样本成绩的第70百分位数落在[70,80)内 5.我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长1与太阳 天顶距日(0°≤日<90°)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根 据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距O正切值的乘积，即l=htan6.对 同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，B,若第一次的“晷影 长是“表高的2倍，且tan(a-月)=)，则第二次的~晷影长~是表高的（） A.子倍 c D.4倍 6.从4名男生和3名女生中选4人组成学习小组，要求男生甲和女生乙要么都选， 要么都不选，则不同的选法共有() A.15种 B.18种 C.24种 D.30种 7.已知在正三棱台ABC-AB,C中，AB=6,AB=2,此正三棱台存在内切球，则 此正三棱台的高为() A.1 B.2 C.5 D.2 8.设a=2匠，b=log2兀，c=√元，则() A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分 9.下列说法中错误的有() A. 4 B了利的最小正周期为 C.平面直角坐标系中到点(L,0)和（←10）的直线斜率之积为3的点构成的轨迹方程为x_上=1 3 D.平面直角坐标系中1：x+y+m=0与C:x2+y2=4交于A,B两点，AB的最小值为2W3 10.在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，M,N,O分别为AB,CC,AC1的中点，点P是正方体侧面 ADDA上的一动点（含边界），则下列说法正确的是() A.异面直线W与4G所成角的余弦值为y5 D C 2 B.当点P为棱A4的中点时，直线PO与直线MN平行 A B C.若保持|MP上2，则点P在侧面ADDA内运动路径的长度为√5π D.过直线MN的平面截该正方体的内切球O'所得截面圆的面积的最小 D 值为号 M 11.已知抛物线C:y2=心的准线方程为2x+1=0.过点(0，-1)且斜率为k的 直线I与C交于A,B两个不同的点，O为坐标原点.过点A作x轴的垂线，交直线OB于点D.则下列 说法正确的是（) A.曲线C的方程是y2=2x B.k的取值范围为2+” 71 C.若k>m,则OA.OB的取值范围为-，0 D.线段AD的中点在一条定直线上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.设e,e2是平面内一组基向量，且a=g+22,b=-e,+e2,则向量g+e2可以表示为以a,b为基向量 的线性组合，即e+e2= 2+ 3己知椭圆工：+y1a>V2与随圆工：+31仍≠0)在四个象限内有4个交点A、B、一 C、D,且这4个交点与「1、T2的4个焦点共圆，则b2= 14.己知函数f(x)=(x-m)2+2x+2m-4有三个不同的零点x,2,3,且x<x3<3,则3x+2x号+x号 的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.在三角形ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠BAC=120°，AD为∠BAC的角平分线， 且AD=4. (1)若sinB=2sinC,求a的大小： (2)设M为BC中点，连接AM,△ABC面积取得最小值时，求线段AM的长度. 第1页共6页 16.如图，PB是圆柱OO的母线，四边形ABCD是底面内接正方形.点E,F是棱 BC,CD上的动点(E,F不与端点重合)，且CE=DF. ●O D B (1)证明：AE⊥平面PBF: (2)己知圆柱OO的体积为2π，PB=4,点A到直线PF的距离是1.求CE的长度： 17.在以0为坐标原点的平面直角坐标系中，直线1：x=y-2交双曲线C:x2_上=1 4 于A,B两点(yB>yA>O),M为直线l上一点且AM=MB.点P为直线l与x轴的 交点. (1)求双曲线C的渐近线方程和焦距： ANAP (2)若线段AB上一动点N满足 IENBPI 求直线OM与ON的斜率之积. 18.甲、乙、丙三人进行玩具传递游戏，每次抛掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传递方式，当玩具在 甲手中时，若骰子点数大于4，甲将玩具传给乙：若骰子点数不大于4，甲保留玩具；当玩具在乙手中 时，若骰子点数大于3，乙将玩具传给甲；若骰子点数不大于3，乙传给丙；当玩具在丙手中时，若骰 子点数大于2，丙将玩具传给甲；若骰子点数不大于2，丙传给乙.初始时，玩具在甲手中. (1)设前三次抛掷骰子后，玩具在甲手中的次数为X,求X的分布列和数学期望； (2)抛掷n次骰子后(neN),，玩具在乙手中的概率为pm,求{Pn}的通项公式： (3)求证： n台6 k=1 l9.已知函数f(x)=ea,a∈R. (①)当a=0时，证明：f(e)≥1+nr+1 (2)若存在三条不同的直线{(i=1,2,3),4既是曲线y=f(x)的切线（切点为A),又是曲线 y=sinx(-π<x<π)的切线（切点为B.). (i)求实数a的取值范围； (ii)是否存在i,j∈1,2,3}(i≠)，使得线段AB与A,B,互相平分？若存在，求出a的值；若不存在， 请说明理由. 第2页共6页 测试5答案 1.【详解】由已知得集合A=[-2,2],由题意得a>0,所以集合B=「-Va,a 若A=B,则B=[-2,2],所以√a=2,解得a=4. 2.A【详解1+0-可旷=-21，选A 3.C【详解】由题意4，=Sg-S>0,41=S1-S<0,所以 S,-17(亿+4）.172马-1么>0.放C正确.无法判断，的正负，故AB、D 2 2 错误。 4.D【详解】设[90,100]对应矩形的高度为x,则 (0.006+0.020+0.034+0.024+x)×10=1,解得x=0.016,A选项正确： 由图可知，[70,80]的数据最多，众数的估计值为75，B选项正确： 平均值为：(55×0.006+65×0.02+75×0.034+85×0.024+95×0.01610=77.4，C选 项正确；样本数据[50,80]的频率为(0.006+0.020+0.034)×10=0.6<0.7， 样本数据[50,90]的频率为(0.006+0.020+0.034+0.024×10=0.84>0.7， 故样本成绩的第70百分位数落在[80,90)内，所以D选项错误. 5,B【详解】由影可得国a=2,又m(a-P),所以 31 23 tamB=tama-(a-p0与+tan tan(-月， 二，.即第二次的晷影长”是 .14 2 表商的子 6.A 【详解】由题意，分成两类情况：①男生甲和女生乙都选，则从剩余3名男生和2 名女生中选2人，不同的选法共有C=10种； ②男生甲和女生乙都不选，则从剩余3名男生和2名女生中选4人，不同的选法共 有c=5种；由分类加法计数原理，不同的选法共有10+5=15种。 7.D【详解】由题可知上下底正三角形的高分别为√22-12=√5，V6-32=3B, 由几何体结构特征结合题意可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 如图，取BC和BG的中点分别为P,Q,上、下底面的中心分别为O,O, A C 厕O93,0P=3.设内切球的球心为0，半径为 则正三棱台的高OO=2r,内切球与PQ相切于点M,根 据图的性质可知，QM=QQ=9M=QP-5。 则PO=OM+Mn=5+5=45,如图： 3 3 3 =4→r2=1,即r=1, 所以正三棱台的高为2 8.C【详解】由a=2f>2,1<b=log2<log242,1<c=√元<√4=2，知a>b,a>c, 又两，数6心又5导-6所6c 因此可得a>c>b.故选：C. tanx≠-1 对于A,Sm=0,A错误；对于B,函数号 tanx≠1 ，即 x-子+如 x≠+km,kEz,因此函数f(x)的定义域为{x∈RIx≠-元+m且x≠匹+km且x≠L+机，k∈Z, 4 4 4 2 x号+ 由+西为-，则是商及园期：段展数因的成水正因劳为 由)-可得1令0可网 2tanT 2tan0 =0,即tanT=0,故T=元，k∈Z,故函数f(x)的最小正周 1-tan'T 1-tan20 期为元，故B正确：对于C,设动点坐标为（化，），依题意，少，少=3≠士D M x-1x+1 即2_二=10K≠却，C错误：对于D,直线：(x+)m+y=0恒过定点 B 3 M(-1,0),曲线C:x2+y2=4是以点O(0,0)为圆心，r=2为半径的圆， 易得点M在圆C内，故当OM1AB时，1ABlm=2V2-|MOP=2W3，,D 正确. 3 10.AD【详解】如图，以正方体的顶点D为坐标原点建立空间直角坐标系 D-xz,.A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A(2,0,2),B(2,2,2), D C1(0,2,2),D(0,0,2),因M,N,0分别为AB,CC,AC1的中点，则M(2,1,0), N(0,2,1),则MN=(（-2,1,1),AC1=(-2,2,0),对于A,设MN与AC1所成 x N·AC 的角为a,则cos&= 元6E号A对nP2a,oL2周Po=L一 MN=（-2,1,1),故不存在实数使得PO=M,故B错误；对于C,MP=2, ∴点P在侧面ADDA的运动轨迹为平面ADDA与球M截面的圆弧， 第3页共6页 球心M到平面ADDA的距离为AM=1,∴.圆弧的半径 2 r=VMPP-A=√3，故P在正方体侧面ADDA的运动 轨迹圆弧Rg,其长度为×2π×5= ,故C错误； 2 D 对于D,易得该正方体的内切球O的球心O(1,1,1),半径 r=1,则向量M0°=(-1,0,1) ∴球心O到直线N的距离d MO'MN MN =2,∴球心0到过直 线W的平面最大距离为受，此时故面为面积最小的圆，圆的半径6=V-互 :此时发面面积S=-子，放D正确故选：AD 11.【答案】ACD 【详解】根据题意可知准线方程为2x+1=0,即C的准线方 程为x=号所以号号即p=1,所以限=2p=2, 则抛物线C的方程为：y2=2x,故A正确； 依题意得直线l的方程为y=x-1, 当k=0时，直线与抛物线只有一个交点，不符合题意， 当k≠0时，代入y2=2x,得k2x2-(2k+2)x+1=0, 则△=4k+12-4K2=8+4>0且k≠0，解得k>号且≠0， 所以k的取值范国是（号0Q+),故B错误： 设4，，8化，，很据韦达定理可利：名+6-22，巧= 所以OA.OB=+y2=xx+(-1)(,-1)=(1+k2)x-k(+)+1, 代入可得：1+R2+2张+1=2 k2k2 k2 k 11 若k>m,即k>2,则0< <一 k 所是名小-1(0小即a硒的值范盟是(0 3 ,0,故C正确： 因为直线OB的方程为y=兰x,所以点D的坐标为X, xy 设线段AD的中点为N(6,⅓)，则=飞，6=片+ 22x3 名+6=+5+5=25++三2西+5-1)+3(-1) 22x2 2x2 2x3 以+2，化+2+2十2，所点N5在直线0上，越袋段40的巾 2x2 2x2 点在一条定直线上.故D正确. 2a-b【详解】设g+g=na+i(mneR),:a=6+2e,b=-8+8, ∴g+e=ma+b=lg+2e)+-g+e(m-yg{2m+办e.:g与g, D 不共线， 2 1= 21五 FO F -n=1 “2m+n=1,解得 3 B /11233 1B.5【详解】精圆r:言+号=a的生点坐标分别为-尽-2.0)，公-2.0程酒，： 2 y+ +3十示=1(6*0的焦点坐标分别为(0-)，R(0,), 因为两个椭圆的4个交点与工1、「，的4个焦点共圆，则共圆的圆心在原点，所以O引=OF=V5 2=5,解得：d三5，所以椭圆工方程为：+)=1，共圆的方程为？+少手 2y=1 x2=3 联立52，解得： 二将 3代人椭圆厅+3疗60)方程 4 x2+y2=3 45 可得，+是1”解科：三5顶值合，救答案为5 14.5【详解】由题意得f(1)=(1-m)2+2×1+2-4=0, 所以1是函数f(内)的一个零点，当x1时，令f(付=0，可得m=2+2=4_2+x=2,令 2-22x-1-1 e-22,, g2-刘2-29(2-9-2(2-9士- 22-1-1 2--1 2”22,所8关于1： 1-2-1 若要函数f(x)=(x-m)2*+2x+2-4有三个不同的零点x,x2,x3, 则需满足方程m=2+1-2有两个实数根，即函数y=m与g)有两个交点，且两交点关于直线 2-1-1 x=1对称，又<x2<x3,可得3=1，+为3=2， 所以3戏+2g+写=3买+2+2-=4-6+6=4+525， 第4页共6页 当且仅当写号名=1，号-时.等号成立，此时3刘+2+写的最小怕为5. 5【解11少由正弦定理6C,结合m2=2smC,得6=2 因为AD平分∠BAC,∠BAC=120°，所以∠BAD=∠CAD=60°. 由三角形面积关系：SABc=SABD+SAcD,即 吉cn120-A0n60A0sn0.f代入A0-4,ml0m60 2 化简得bc=4b+c).将b=2c代入上式：2c2=4(3c),解得c=6,则b=12.4 电余弦定理：d=+62-2xcos12012+6-2x12x6)252故a=6N万 .....6 (2)由bc=4(b+c),根据基本不等式b+c≥2Vbc,得bc≥8Wbc, 设Vbc=tt>0),则t2-8t≥0，解得t≥8，即bc≥64， 当且仅当b=c=8时，bc取得最小值64，△ABC面积最小.此时b=c=8,.9 ∠BAC=120,因为M为BC中点所以AW=C西+AC, 两i边平方得4W=子0P+4C+26A0.代入西卡c=-8,ac卡b=8. 4B4C=bcc0s120=-32.得1AMP=1(82+82+2×(-32)=16,故AM=4.…13 16.【详解】(1)在正方形ABCD中，由CE=DF,得BE=CF, am∠BAB-Bg-g-tam∠cBR, AB BC ∠BAE=∠CBF BAE+∠FBA=∠CBF+∠FBA=90,因此 AE⊥BF,由PB是圆柱OO的母线，得PB⊥平面ABCD, 而AEC平面ABCD,则AE⊥PB,又BF∩PB=B,BF,PBC 平面PBF,所以AE⊥平面PBF..7 D (2)设圆柱OO的底面圆半径为r,圆柱OO的体积为 2元，PB=4,得PB=2,解得r=5,则4B=BC=1, 2 显然直线BA,BC,BP两两垂直，以点B为原点，直线BA,BC,BP分别为x,y,z轴建立 空间直角坐标系，则A1,0,0),C(0,1,0),D(1,1,0),P(0,0,4),设BE=t(0<t<1),则 E(0,t,0),Ft,1,0),AP=(-1,0,4,PF=t,1,-4),由点A到直线PF的距离是1，得 D-酒1，则7-示治1，化商得5r-15=0,即 VE2+17 (3t-4)(5t-4)=0,而0<t<1,解得t=5,所以 CE=BC-BE=1- 41 5515 17.【详解】(1)由双曲线C:x2-二=1，则a=1,b=2, 4 所以双曲线C的渐近线方程为y=±2x,又c=√a+b=√5，所以 焦距为2c=2√5..5 x=y-2 2》设4(5,4），B(6.由-兰-1可得(-1P-16+12=0, 4 16@”-442-1x12三64+48>0，所以y+4,y,因为直线7与双曲线0 >0 交于x轴上方的A,B两点，所以 子安w 12 41>0 印以为的牛点所收号学当=e0-2家子2 -所以M2,8） 4r14r-所以 w-,由点P为直线1与轴的交点，即P(20,又H心，可得之生 XM BN BPI' y2-yN y2 ,解得 24 w=2业=413 +y2 场改直线OM -多所以=-2=片所以》所以告-月 4t2-1 与ON的斜率之积为koM·kow=4t. =-12.15 18.【详解】(1)由题意知，X=0,1,2,3 x0x=0=好号片是 -多：Px=2P=0PKPX3上 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 5 10 P P 18 18 27 27 随机变量了的数学期望为E(X)=0x高+1×名+2×9+3×器16 (2)由于投掷次骰子后球不在乙手中的概率为1-P,此时无论球在甲手中还是球在丙手中，均有 2的概率传给乙，故有=-Pm), 63 3 变形为京式a司》又4子 所以数列 口-}无首碳两n子立公比为的等北微所以A子古（厂子所以数列 。1 Pn的通项公式Pn= 11（1)” 44×3 11 )由2可得风=兮 +++2引(+（号+1-号6传 第5页共6页 陈a经话 19.【详解】(1)当a=0时，f(x)=e*.设 g(x)=fx)-1-nx+1=(e-1-x1,x∈(0，+)， (x)=e-x-1,则m(x)=e-1,是增函数，当x∈(-o,0]时，m(x)≤0，m(x)单 调递减；当x∈[0，+o)时，(x)≥0，m(x)单调递增， 所以m(x)≥(0)=1-0-1=0，即e*≥x+1(当且仅当x=0时取等号)， g=(e-）x+-[e-(+hr+1订 =e-(a++++1-(+*]=0.当且仅当r-0时取字 号，/)≥1+x+1(当且仅当+r=0时等号成立).5 (2)(i)设直线与曲线y=f(x)切于点(s,era),与曲线y=sinx(-π<x<)切于点 (,sinx),f(x)=e*-4,(sinx)=cosx, .曲线y=f(x)的切线方程为y-ea=ea(x-x), 曲线y=sinx(-元<x<)的切线方程为y-sinx=(x-)cosx. 于是问题等价于 [e-a=cosx① ea-e8=siny-5cos5②有三组解。 由①得￥=a+h(cosx),代入②消去x,得 1-a-In (cos)cosx;=sinxcosx, 由-π<<，结合@知-子<行故cs0, 于是上述方程可化为，-ln(cosx)tanx=a-1。 令=-h((cox-)t-am-子x径 (x)=1--sint_1 sinx(cosx-sinx) COSx cosx cosx 所以当x∈-5,0时，h(x)≤0，h(x)单调递减；当x∈0，时，h(x)≥0，h(x)单调 (2 4 递增；当x∈ 2时，（四s0,()单调递减。又 兀元 2 42 当x→2时，()→+o,当→时， h(x)=x-In(cosx)-tanx=x+ 1 、COSx COSx h(x)的大致图象如图：：存在三条不同的直线(i=1,2,3),4既是曲线y=f(x)的切 线（切点为A),又是曲线y=sinx(-π<x<π）的切线（切点为B,),.h(x)的图象与直线y=a-l有三 个不同的交点， 绿合从的图象可知0<a-1子1，解得1长a经受 42 综上，实益a的取伯布国为经马)）山 (i)不存在.理由如下：假设存在，设A(:,e-）,B(:,siny)A,飞，e)B,飞，sinx,), x+x=xj+xj 则有 es-a sinx,=ev-a +sinx, ,,由(i)可知，e-a=cosx',ea=cosx', 则有x=a+lh(cosx),x,=a+lh(cosx),所以上述方程等价于 [a+In(cosx)+=a+In(cost)+ cosx+sinx,cosx,sinx, In(cosx )+x=In(cosx)+ 画”附+政x+书片☑ y(引且生了，得-y-子代入⑤整得2=(m)·受此时o引 令p0-aa-o月则p0-于是p0&p0色月草河花放 由于P军-0，放方程24-ham)+仅有一解×-子此时g-是 从而点8与点马重合，线段4B与4,8重合，故不存在。17 第6页共6页