四川省遂宁市卓同教育集团2025-2026学年高三下学期强化训练（五）数学试题

**基本信息** 聚焦数学核心素养，通过“k等差数列”新定义、机器人销量统计分析等题设计，实现基础巩固与创新应用的梯度融合，适配高三强化训练需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数、集合、双曲线等|注重概念辨析（如第3题实轴长）| |多选题|3/18|统计、三角函数图像|考查批判性思维（如第9题统计结论判断）| |填空题|3/15|函数、直线与圆、球相切|强调空间想象（如第14题正方体与球相切）| |解答题|5/77|解三角形、立体几何、统计案例等|突出综合应用（如第17题机器人销量回归分析）与数学建模|

卓同教育集团高2023级强化训练（五）数学试题 命题：苏友国 审题：郑才志 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数（是虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. D. 2．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．双曲线的实轴长为（   ） A．1 B． C．2 D． 4．某厂生产一批圆台形台灯灯罩，灯罩的上下底面都是空的，圆台两个底面半径之比为，高为16cm，母线长为20cm，如果要对100个这样的台灯灯罩外表面涂一层防潮涂料，每平方米需要100克涂料，则共需涂料（   ） A．克 B．克 C．克 D．克 5．设函数满足对任意的，都有，且，则（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在上单调递增 D．在上单调递减 6．已知在三角形ABC中，是BC的中点，且，则（   ） A．-9 B．-16 C．-21 D．-24 7．若数列满足：从第二项起，每一项与它的前一项的差依次排成一列，组成的新数列是一个公差为k的等差数列，则称数列为“等差数列．已知为“等差数列，且，则（   ） A．91 B．111 C．121 D．133 8．已知函数和，若存在实数，使得，则的最小值为（   ） A．-e B．-1 C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（   ） A．数据9，10，10，11，12，14，16，17，19，21的第60百分位数为14 B．对于随机事件A与B，若，则事件A与B相互独立 C．已知一组样本数据的平均值为5，极差为7，中位数为6，则数据的平均值为9，极差为14，中位数为11 D．若成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近1 10．已知函数的部分图象如图所示，点、在的图象上．下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期是 B．在区间单调递增 C．的一个对称中心是 D．的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到 11．已知抛物线的焦点为，过的直线l交于两点，直线交于另一点D，则（    ） A． B．的内心在定直线上 C．若，则 D．若，则的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若，则______． 13．已知，若直线上存在点P满足，则实数c的最大值是_________． 14．已知正方体的棱长为2，若球O同时满足条件：①与平面，平面均相切，②与棱相切（即与棱仅有一个公共点），则球O的半径的最小值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，函数． (1)求的单调递增区间； (2)若，且，求的取值范围． 16．如图，四棱锥的底面是矩形，是等边三角形，平面平面分别是的中点，与交于点． （1）求证：平面； （2）平面与直线交于点，求直线与平面所成角的大小． 17．某高科技公司开发了一款迎宾机器人，为了解市场销售情况，现统计了2025年10月至2026年2月该款迎宾机器人的月销量数据，如下表所示： 月份 2025年10月 2025年11月 2025年12月 2026年1月 2026年2月 月份代码 1 2 3 4 5 月销量（单位：千台） 8 10 13 20 24 (1)求出与的相关系数（保留三位小数），并根据判断该款迎宾机器人月销量与月份代码是否有较强的相关关系；（当时，相关性较强，当时，相关性一般） (2)求出关于的经验回归方程，并估计2026年7月该款迎宾机器人的销量； (3)假设该科技公司对购买迎宾机器人的客户每人发放2000元/个的补贴．已知甲、乙两家商户各至多购买一个迎宾机器人，且购买迎宾机器人的概率分别为，若两家商户享受的补贴总金额的期望不超过3000元，求的取值范围． 参考公式：相关系数，． 参考数据：，． 18．已知函数． (1)当时，求在上的最大值； (2)当时，若对任意的实数m，直线与曲线恰有一个公共点，求实数b的取值范围； (3)若．证明：当时，． 19．已知曲线与点，O为原点，动点，且的最大值为． (1)求曲线E的方程； (2)已知有个点，，，…，按逆时针顺序依次在E上，且，． （ⅰ）当，关于y轴对称，且的面积为1时，求直线的斜率； （ⅱ）当的面积都相等时，记多边形的周长为．若对于，都有，求整数的最小值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 模拟5双向细目表 整体难度：一般 考试范围：集合与常用逻辑用语,等式与不等式,平面解析几何,空间向量与立体几何,函数与导数,平面向量,数列,计数原理与概率统计,三角函数与解三角形 细目表分析 题号 难度系数 详细知识点 一、单选题 1 0.86 交集的概念及运算 2 0.85 解不含参数的一元二次不等式；交集的概念及运算；分式不等式 3 0.92 求双曲线的实轴、虚轴 4 0.85 圆台表面积的有关计算 5 0.7 函数奇偶性的定义与判断；函数周期性的应用；函数对称性的应用 6 0.85 用坐标表示平面向量；平面向量线性运算的坐标表示；数量积的坐标表示 7 0.72 利用定义求等差数列通项公式；数列新定义 8 0.65 由导数求函数的最值（不含参）；利用导数研究不等式恒成立问题 二、多选题 9 0.65 相关系数的意义及辨析；独立事件的判断；总体百分位数的估计；计算几个数据的极差、方差、标准差 10 0.65 由图象确定正切（型）函数解析式；求正切（型）函数的周期；求正切（型）函数的对称中心；相位变换及解析式特征 11 0.32 二倍角的正切公式；抛物线中的三角形或四边形面积问题；抛物线的焦半径公式 三、填空题 12 0.9 二项展开式各项的系数和 13 0.75 轨迹问题——圆；由直线与圆的位置关系求参数；求点到直线的距离 14 0.4 多面体与球体内切外接问题；球的截面的性质及计算 四、解答题 15 0.63 求三角形中的边长或周长的最值或范围；三角恒等变换的化简问题；正弦定理边角互化的应用；求sinx型三角函数的单调性 16 0.57 线面垂直证明；已知线面角 17 0.65 求离散型随机变量的均值；相关系数的计算；求回归直线方程；根据回归方程进行数据估计 18 0.15 由导数求函数的最值（不含参）；利用导数证明不等式；利用导数研究函数的零点 19 0.19 求平面轨迹方程；椭圆中三角形（四边形）的面积；根据a、b、c求椭圆标准方程；求椭圆中的最值问题 知识点分析 序号 知识点 对应题号 1 集合与常用逻辑用语 1,2 2 等式与不等式 2 3 平面解析几何 3,11,13,19 4 空间向量与立体几何 4,14,16 5 函数与导数 5,8,18 6 平面向量 6 7 数列 7 8 计数原理与概率统计 9,12,17 9 三角函数与解三角形 10,11,15 学科网（北京）股份有限公司 $卓同教育集团高2023级强化训练（五）数学试题 命题：苏友国 审题：郑才志 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.已知复数= 3-4i (2+i)2 (i是虚数单位)，则：的虚部是() A24 B24 0.、24 0-24 25 51 25 25 则A∩B=() A.{x>- B.{xx≥-} C.{x1<x< D.{x1≤x<2 3.双面线号--1的实轴长为《) A.1 B.2 C.2 D.22 4.某厂生产一批圆台形台灯灯罩，灯罩的上下底面都是空的，圆台两个底面半径之比为1：2，高为16c, 母线长为20cm,如果要对100个这样的台灯灯罩外表面涂一层防潮涂料，每平方米需要100克涂料，则共 需涂料() A.240π克 B.320m克 C.720m克 D.1440元克 5.设函数f(x)满足对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x),且f(1+2x)=f(1-2x),则() A.f(x)是奇函数 B.f(x)是偶函数 C.f(x)在(0,2)上单调递增 D.f(x)在(0,2)上单调递减 6.已知在三角形ABC中，AB=6,AC=8,BC=10,D是BC的中点，且AP=PD,CQ=2QP,则QB.QC=() A.-9 B.-16 C.-21 D.-24 7.若数列{x}满足：从第二项起，每一项与它的前一项的差依次排成一列，组成的新数列是一个公差为飞 的等差数列，则称数列{x}为k-等差数列.已知{a}为“2-等差数列，且a=1,a2=3,则4=() A.91 B.111 C.121 D.133 8.己知函数f(x)=e+x和g(x)=h(xe),若存在实数a,B,使得f(a)-g(β)=0，则a邱的最小值为() A.-e B.-1 c.-1 e D.日 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是() A.数据9,10,10,11,12,14,16,17,19,21的第60百分位数为14 第1页/共4页 B.对于随机事件A与B,若P(B)=0.3,P(BA)=0.7,则事件A与B相互独立 C.已知一组样本数据，2，，x的平均值为5，极差为7，中位数为6，则数据2x-1,2x2-1,,2x-1 的平均值为9，极差为14，中位数为11 D.若成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近1 10.已知函数/()=t(+叭0>04<的部分图象如图所示，点40-一)、B（后0在f(y的图 62 象上.下列说法正确的是() VA A.了()的最小正周期是号 B.心在区同[名到单调递增 /B C.f)的一个对称中心是[行0 D.f(x)的图象可以由g(x)=tan2x的图象向左平移汇个单位长度得到 11.已知抛物线C:y2=2px的焦点为F(1,0),过P(-1,0)的直线1交C于A,B两点，直线AF交C于另一点 D,则() A.tan∠APF=sin∠AFP B.△APD的内心在定直线上 C.若tan∠APD=2√2，则AF=4 D.若sim∠AFB=Sin∠PPB,则△ABF的面积为43 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若(1+2x)'=a+ar+a,r2+4+ax+a,,则a,+9+2+g++ 2481632 13.已知A(-2,0),B1,0),若直线x-y+c=0上存在点P满足PA=2PB,则实数c的最大值是 14.已知正方体ABCD-AB,CD的棱长为2，若球O同时满足条件：①与平面ABC,D,平面ABCD,均相 切，②与棱A4相切（即与棱A4仅有一个公共点），则球O的半径的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.己知△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,函数f(A)=2sin2A-sin2A. (1)求f(A)的单调递增区间： (2)若+b<c2,且f(4A)=0,求6的取值范围. 16.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，AB=2,BC=2√2，△PBC是等边三角形，平面PBC⊥平面 第2页/共4页 ABCD,O,F分别是BC,PC的中点，AC与BD交于点E. B (1)求证：BDL平面PAO; (2)平面OEF与直线PD交于点Q,求直线OQ与平面PCD所成角O的大小. 17.某高科技公司开发了一款迎宾机器人，为了解市场销售情况，现统计了2025年10月至2026年2月该 款迎宾机器人的月销量数据，如下表所示： 月份 2025年10月 2025年11月 2025年12月 2026年1月 2026年2月 月份代码x 1 3 5 月销量y(单 10 13 20 24 位：千台) (1)求出y与x的相关系数”（保留三位小数），并根据”判断该款迎宾机器人月销量y与月份代码x是否有较 强的相关关系；（当r∈[0.75,1]时，相关性较强，当r∈[0.3,0.75）时，相关性一般) (2)求出y关于x的经验回归方程)=bx+a,并估计2026年7月该款迎宾机器人的销量： (3)假设该科技公司对购买迎宾机器人的客户每人发放2000元/个的补贴.已知甲、乙两家商户各至多购买 71 2 个迎宾机器人，且购买迎宾机器人的概率分别为p,3p-1 3p<3 ,若两家商户享受的补贴总金额的期 望不超过3000元，求P的取值范围. 8-)0-列） 参考公式：相关系数” a=y-bx. ②-到公-旷 4-列 参考数据： 三6到0-列2空-=10习g-旷-14，s=10724. 第3页/共4页 18.已知函数f)=+bx+b 2e* (1)当a=1,b=2时，求f(x)在[0，+w)上的最大值； (2)当a=0时，若对任意的实数，直线y=x+m与曲线y=f(x)恰有一个公共点，求实数b的取值范围： ③诺a=10<hs20<c≤2.证明：当xe0+m时，2f闭+≤e6-csn0 19已知曲线因号若-60与点P5),0为限点，动点e=五，且0P0的显大值为 (1)求曲线E的方程： (2)已知有n+1个点A,A,A,,A按逆时针顺序依次在E上，且A(2,0),A（-2,0). (i)当A,A关于y轴对称，且△OAA的面积为1时，求直线AA的斜率： (i)当△OA-1A,(1≤k≤n)的面积都相等时，记多边形A,AAAn的周长为Cn.若对于n∈N,都有Cn<2, 求整数入的最小值 第4页/共4页强化训练（五）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 C D D C B C B C BC AD 题号 11 答案 ABD 1.C2. D3.D【详解】双曲线少-x2=1,对应a2=2,所以a=V2,所以实轴长为2a=2√5 4.C【详解】作圆台的轴截面如图：梯形ABCD为等腰梯形，取上、下底面的中心分别为E、F, 再取AR中点G,连接4G,则Rt△GF中，因为=)，所以EG=AD20cm,F=16cm, 所以GF=DE=12cm.所以AF=24cm.所以灯罩的侧面积为： D π·(12+24)×20=720mc2.所以100个灯罩的外表面面积为： 100×720πcm2=7.20πm2.又每平方米需要100克涂料，所以共需涂 料7.20π×100=720π克.故选：C 5.B【详解】因为函数f(x)满足对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x) A G 9 所以f(x)是周期为2的周期函数，又因为f(1+2x)=f(1-2x),令t=2x,则f(1+t)=f(1-t), 所以函数f(x)的图象关于x=1对称，令x-1替换上式中的t,则 f(x)=f(2-x),结合周期性可得：f(2-x)=f(2-x-2)=f(-x),即 f(x)=f(-x),所以f(x)是偶函数，又因为函数f(x)的图象关于x=1对称， 所以在(0,2)上一定不是单调函数，故C、D错误 6.C【详解】在三角形ABC中，AB2+AC2=BC2,三角形ABC为直角三 角形，D是BC的中点，则AD=BD=CD=5,由题意得，P是AD的中 点，以A为坐标原点，AB,AC所在的直线分别为x,y轴，建立平面直角 B 坐标系，则B(6,.C0,,D3,40,P(2,由C2=2,即 P0=}0=(22),得Q1④，则g丽=6)，Qc=(-10,所以0c=-21.故选：c 7.B【详解】设b.=a+1-a,因为{a}为“2-等差数列，且a=1,4=3,，所以 {b}是公差为2的等差数列，且b=2,则b。=aH1-a=2n, 通过累加法可得：当n≥2时，4-4-1=20-)，4-1-4-2=201-2)，.，4-4=2，所以累 加可得a-4=2x00卫，化简得：a=n-n+1,当n=1时，4=1，符合通项公式，所以 2 a,=n2-n+1,则a1=111. &.c【详解】因为f(x)=e+x=e+hne,g(x)=lhx+x,所以f(a)=e+hne,8(e)=e+he, 而f()-g()=0,故f(=g(e2)=g(B),又g(x)=lnx+x在定义域上单调递增，则B=e, 于是oB=oe“.设h(a)=ae,则h(a)=(a+1)e,当ax∈(-o,-1)时，h(a)<0,h(a)单调递 减，当ae(-L+o时，hi(e>0,a)单调通增，所以c。=M-)=-。故途：C 9.BC【详解】对A:10x06=6,故这组数据的第60百分位数为14+16=15，故A错误； 2 对B:由P(B)=1-P(B)=1-0.3=0.7,则P(B)=P(BA),故事件A与B相互独立，故B正确： 对C:新数据的平均值为2×5-1=9，极差为2×7=14，中位数为2×6-1=11，故C正确； 对D:若成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数的绝对值越接近1，故D错误. 10.AD【详解】对于A选项由腿意可得f0)=mp=-5,又因为受所以p=号 所以)=m-写引.又因为f得am(。引-0，所以碧吾-依e).解利 (63 63 心=6陆+2公，由图可知西数刊的最小正别期7清：号君0，即2子即8号 ω31 故a=6k:2e03),因为ke7,故k=0,02,所以函数f()的最小正周期为T=受A 对：对打B远顾，由A流项可m2引，当合时，02子故函数 2 33 f)在区间后上不单调，B错，对于C选项，因为f()-m2骨到m5, 故号0不是函数f()的一个对称中心，C错：对于D选项，因为 )m2）m2g小mx2g)m】 所以f(y)的图象可以由g()=n2x的图象向左平移写个单位长度得到，D对 11.ABD【详解】因为抛物线y2=2x的焦点为F(1,0),所以2=1， 2 解得p=2,则抛物线方程为y2=4x,如图，作出符合题意的图形，作 AG⊥x轴，对于A,设A(x,),则y=4x,由题意得∠APF是直 线AP的倾斜角，由斜率的几何意义得tan∠APF=k=业 x1+1 由诱导公式得sin∠AFP=sin(π-∠AFP)=sin∠AFG, 由焦半径公式得AF列=X+1,在△AFG中，可得sn∠AFG= x+1 则tan∠APF=sim∠AFP,故A正确，对于B,设AD的方程为y=k(x-1),D(x2,2),联立方 y=k(x-1) 程组 y2=4x 3-(2k2+4x+kE0,由韦达定理得5=1，=4， -4 名+1，=上 片=-4，由斜率公式得= =- 4x1 +1+1,+D, 4x2 因为时=4钱，所以-手，可得= 4 4 y+)+1’ 则k4P+kDP=O,得到∠APD被x轴平分，可得△APD的内心在定直线上，故B正确， 对于C,因为∠APD被x轴平分，所以∠APD=2∠APG=2∠DPG, 设∠APD=28,∠APG=∠DPG=6∈(0，，因为tam∠APD=2N5,所以tan28=2W2, 由二倍角公式得 2tane 1-tan20 25,解得m9=巨（另一根合去，则，上5，联立方程组 2 x,+12 当-2 x+12,解得x=3±22，此时AF=4±2W2,与AF=4不符，故C错误，对于D,因 y2=4x 为sin∠AFB=sin∠PFB,所以∠AFB=∠PFB或∠AFB+∠PFB=元（与题意不符，排除）， 设直线AB的方程为x=w-1,设B(x,), x=w-1 =4,可得-4w+4=0,由韦达定理得y+y=4m,y,=4,则y= 4 联立方程组 由弦长公式得AB到=4Wm2+1m2-1,BP=Vm+1√，由焦半径公式得AF=x+1=, 且FP=2,而直线AB的方程为x-y+1=0,设F到AB的距离为d,由点到直线的距离公式 2 得d= √m2+1 则8宁4i后4可，因为AB=P吸，所以m 4m AB AF 平分∠AFP,由角平分线性质得 BPp,可得4Wm2+1.√2-19·化商得Vm21=% Vm2+1v房 2 3 12.32【详解】◆x=片4号+导+骨+景a+2分=2 13.-2+2√2/2√2-2【详解】设P(,y), 由题意得[x-(-2)订+(y-0)°=2√x-1+(y-0)2,整理得(x-2+=4,所以P的轨迹为 以C(2,0)为圆心，半径r=2的圆，因为P在直线x-y+c=0上，所以(x-2)+y2=4与 x-v+c=0相切或相交，则C2.0)到x-y+c=0的距离d=2+d ≤2，解得 V12+12 -2-2W2≤c≤-2+25，故c的最大值是-2+2√2 14.【详解】球O与平面ABC,D和平面ABCD,均相切，故球心O在二面角A-BD-A的角平分 面上，E,F,G,H,L,J为各自所在棱的中点，易知BD⊥平面EFGHIJ, 所以∠MQN即二面角A-BD-A的平面角，且EQ平分∠MQN,要使半径最小，球心O在EQ 上， D M 作 H OP⊥MQ,则oP⊥平面ABD,即球 G 3 半径r=OP,又球0与A4相切，故r=OE,因此，OE=OP,在△OP2中，OP=r,OQ=√2-r, ∠O0P=30,因此V反-r=2r,解得，= 3 15.【详解】(1)由f(A)=2sin2A-sin2A,化简得 f利=1-cw24-n24=1-5m24+9 3 令=24+子：4：0剥：（任）因为y=m(任）的单调诺减区间 π3π 22] 山好21子咨解用4[后对适致y-0单时送岁区间为[后】 π5π ②》：f④=0,1-5mA到-0=m24》9,又 +42 40网24+好-得21至经即- 44 48 (3)由已知条件a+6<c可知cosC-口+c<0,则角C为钝角，△1BC是钝角三角形， 2ab 2 .2<4二54三0<。 7π 4’10 0<B< 4 0<B< 4 则2_sinc sin Bv2(cosB+sin B)v2 1 b sinB sinB 2sin B 2（tanB 0<B<牙0<m月<1P过g>1PB1>2=55,的取值范围为 tan B tan B b b (V2,+om）.13 16.【小问1详解】因为△PBC为正三角形，O是BC中点，所以PO⊥BC, 又因为平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,POC平面PBC, 所以PO⊥平面ABCD,又BDC平面ABCD,所以PO⊥BD,...3 D而-(c+厨行8c-厨8c--4-4=0 ..BD140,..AO L BD........5 又PO,AO在平面POA内且相交，故BDL平面PAO..7 【小问2详解】 E,O分别为BD,BC的中点，EO1/DC, B 又平面PDC过DC且不过EO,.EO//平面PDC,. 又平面OEQF交平面PDC于QF,故EO//QF,进而QF/1DC 因为F是PC中点，所以Q是PD的中点. 以O为原点，OE,OC,OP所在直线分别为x,y,二轴建立空间直角坐标系，..9 rt)c( coa(.).o0 设平面PCD法向量为n=(x,y,), CD.=0 「2x=0 则 PC.n=0 即{5y-V6=0取y=5,得i=(0,5.,12 则sin0=cosi,Og n.00 √6√2 oo 252 因为6∈0，元 2 所以0= 4.15 17【详解】(1) ∑(-)(y-列=42，∑(x-)=10,2y-列2=184， = 42 42 42 则r=0x18441154289 ≈0.979>0.75，故y与x有较强的相关关系：5 （2)6.空-0 -列 2名=42，又x-50+2+3+4+53, 10 可-(3+10+13+20+20-15，所以a=万-标=15-42×3=24，故经验回归方程为 =4.2x+2.4,2026年7月对应的x值为10，当x=10时，少=4.2×10+2.4=44.4， 故可估计2026年7月该款迎宾机器人的月销量为4.44万台：…10 (3)设甲、乙两商户购买迎宾机器人的个数之和为X, 则X的所有可能取值为0,1,2,11 P(X=0)=(1-p)(2-3p)=3p-5p+2, P(X=1)=(1-p)3p-1)+p(2-3p)=-6p2+6p-1, P(X=2)=p(3p-1)=3p2-p,所以 E(X)=0×(3p2-5p+2)+1×（-6p2+6p-1)+2×(3p2-p)=4p-1,13 依腰意有(4p-1:200<300,且<p<子符p≤名故P的取值范围为 2 15 3'8 15 18.【详解】1）当a=b=2时，则f)-+x+2,f=Cs0, 2e* 可知f(x)在[0，+0单调递减，所以f(x)在[0，+o)上的最大值为f(0)=14 2e,可得m=r+b (2当a=0时，f四=，令m=f9,印+m= 2e-, 原避意等价于方程m。仅有一个解，令8=，则g对= 因为对任意实数m,方程m=g(x)都仅有一个解， 可知()在R上为单调函数，且值域为R,令G()=g(y,则G(y)=少 2e* 因为当x趋近于+o时，G(x)趋近于-1，则G(x)≤0恒成立， (i)当b=O时，则g(x)=-x,可知g(x)在R上单调递减，值域为R,满足题意： (i)当b>0时，当x<1时，G(x)<0;当x>1时，G(x)>0: 可知G(y)在（←0，）单调递减，在Q,+)单调递增，则G(x)≥G①=-力-1<0， 2e 当x趋近于-0时，G(x)趋近于+o;当x趋近于+o时，G(x)趋近于-1： 可知G(x)存在唯一零点x∈(-∞，-1)， 当x<x时，G(x)>0,即g'(x)>0;当x>x时，G(x)<0,即g(x)<0: 可知g(x)在(-o,x)单调递增，在(x,+∞)单调递减，不符合题意： (ii)当b<0时，当x<1时，G(x)>0:当x>1时，G(x)<0; 可知G(国在(m小卓洞道塔，在L)单润运减，则G)=GQ)名1s0,解得-2≤b:0, 当-2e≤b<0时，g(y)在定义域R内单调递减，当x趋近于-时，g(x)趋近于+0；当x趋近 于+o时，g(x)趋近于-0：可知g(x)值域为R,符合题意：综上所述：实数b的取值范围为[-2e,0]. 10 3当-1f-,标20+e6ea对.期E +r+h+lseB-csin),因为0<b≤2，x之0，则Y+bx+b+1s+2x+3 e e* e 由(1)可知：+2x+2≤1，即x2+2x+2≤2e,则x2+2x+3≤2e+1 2e* 可得b1++3。,若证2se0-6动，即证28-em e 12 (i)当x≥π时，则e2c>4,可得2C1=2+1<+<1, <2+16 且0<cs2,则csmx≤2，可得3-csinx21,所以2es3csnx:14 [Ci)当0≤x<元时，则3-csinx之3-2sin,可得≤3-2simx, 整理可得e*e(3-2sinx)-2≥1， h(x)=e*(3-2sinx)-2,(x)=e*(3-2sinx-2cosx), 因为2m-2cs=2m+升25<3，则0>0， 可知h(x)在[o,m)上单调递增，h()≥h(0)=1,且e≥e°=1，可得 ee3-2sin)-2]=e,h0)≥1，所以2e+ls3-csinx; e2x 综上所述：[0+o)时，2+后≤c6-cm917 19.【详解】(1)设过点P(5,0)的切线为y=m(x-√5).联立 y=m(x-5) →(b2+42)x2-8V52x+202-462=0.因为是切线，则 x2 △=(85m2)-4(6+4m2)20m2-4b20，化简得16b(b-m)=0,则m2=b2, 又∠OP9取最大值时，Pg为切线，且tan∠OP2x=m叫=b. ∠00=子h=1R至15 4 （2)(D由1)知椭圆为B:手+y-1.设 (csin@).4(-2coo.m@).ce.(2co0.im0).0c() 则.2cosi0-2 i0lsn(0-a-1又 0<6-a<元∴sim(6-a)=1→0-x=L.因 A 2cos 0-2cosa+--2sing.sino=sin =cosa,则 得 (2 2 A (-2sina,cosa), 板支w=2行即线4的斜车为宁10 (i)设A=(2cos8,in8),0=8。<8<…<8n=兀， xe=8-81e(0,π)，k=1,2,,n 则Sa44=sin(g.-日，)=sina· 题目条件为各面积相等，sinc=sinc2=…=sina. 当n=2时，设A=(2c0sx,sinx),x∈(0，). 记p2=AA+AA2. =(2-2cosa)*+sina=5-8cosa+3cos*a, A4=V(-2-2cosa)'+sina=5+8cosa+3cosa 设c=cosa,则p,=V5-8c+3c+V5+8c+3C, p=10+6c2+2W9c-34c2+25. 又(5-3c2)'-(9c4-34c2+254c2≥0， V9c4-34e2+25≤5-3c2,pi≤10+6c2+26-3c220,p2≤25. 当n≥3时，若存在a≠&，，由ina=sina,a,c,∈(0，π)得a+a,=兀. 又n≥3，其余各&>0，a1+必2++an>兀，这与%+2++&n=0-0。=兀矛盾. g=a=a元42cos os，sin n 41+3m249 2n 故会A4店=4snn+空n:25r 2n k=1 2n ×空n-号2w-背名4f-0m k=】 k=1 2n 由阿酒不式以s空4，代-10nm号又m牙云欧0哥签255. 42-2 又AA=4,∴.Cn=p。+4<9.取n=2,A=(0,1),则满足面积相等， 且C2=A4+A4+AA,=V5+V5+4=4+25>8.1>8. 又对一切满足条件的n,都有C。<9..n=9.17 ⅓ A3 A2 A A 4 ( ) ( ) 卓同教育集团高2023级强化训练（五） ( 准考证号： 姓 名： _______ __ 班 级： _________ _ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 注意事项 )数学答题卡 ( 一、 单项 选择题 （每小题5分，共 4 0分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、 多项选择 题 （每小题 6 分，共 18 分 ， 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 全部选对的得 6 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 ． ） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三 、填空题（每小题5分，共 15 分 ） 12 ． ____________________ 1 3 ． ____________________ 1 4 ． ____________________ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 四 、解答题 （共7 7 分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算 步骤 ） 1 5 ．（1 3 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 6 ．（1 5 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17 ．（1 5 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( （1 7 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19 . （1 7 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 强化训练（五）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D C B C B C BC AD 题号 11 答案 ABD 1．C2．D3．D【详解】双曲线，对应，所以，所以实轴长为. 4．C【详解】作圆台的轴截面如图：梯形为等腰梯形，取上、下底面的中心分别为、，再取中点，连接，则中，因为，所以，，所以.所以.所以灯罩的侧面积为：.所以100个灯罩的外表面面积为：.又每平方米需要100克涂料，所以共需涂料克.故选：C 5．B【详解】因为函数满足对任意的，都有， 所以是周期为2的周期函数，又因为，令，则， 所以函数的图象关于对称，令替换上式中的，则，结合周期性可得：，即，所以是偶函数，又因为函数的图象关于对称，所以在上一定不是单调函数，故C、D错误. 6．C【详解】在三角形ABC中，，三角形ABC为直角三角形，是BC的中点，则，由题意得，是AD的中点，以为坐标原点，AB，AC所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，则，由，即，得，则，，所以．故选：C 7．B【详解】设，因为为“等差数列，且，所以 是公差为2的等差数列，且，则， 通过累加法可得：当时，，，…，，所以累加可得，化简得：，当时，，符合通项公式，所以，则. 8．C【详解】因为，所以，而，故，又在定义域上单调递增，则，于是．设，则，当时，，单调递减，当时，单调递增，所以．故选：C. 9．BC【详解】对A：，故这组数据的第60百分位数为，故A错误； 对B：由，则，故事件A与B相互独立，故B正确； 对C：新数据的平均值为，极差为，中位数为，故C正确； 对D：若成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数的绝对值越接近，故D错误. 10．AD【详解】对于A选项，由题意可得，又因为，所以， 所以，又因为，所以，解得，由图可知函数的最小正周期满足，即，即， 故，因为，故，，所以函数的最小正周期为，A对；对于B选项，由A选项可知，当时，，故函数在区间上不单调，B错；对于C选项，因为，故不是函数的一个对称中心，C错；对于D选项，因为， 所以的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到，D对. 11．ABD【详解】因为抛物线的焦点为，所以， 解得，则抛物线方程为,如图，作出符合题意的图形，作轴，对于A，设，则，由题意得是直线的倾斜角，由斜率的几何意义得， 由诱导公式得， 由焦半径公式得，在中，可得， 则，故A正确，对于B，设的方程为，，联立方程组，可得，由韦达定理得，，则，，由斜率公式得，， 因为，所以，可得， 则，得到被轴平分，可得的内心在定直线上，故B正确， 对于C，因为被轴平分，所以， 设，，因为，所以， 由二倍角公式得，解得（另一根舍去），则，联立方程组，解得，此时，与不符，故C错误，对于D，因为，所以或（与题意不符，排除）， 设直线的方程为，设， 联立方程组，可得，由韦达定理得，，则， 由弦长公式得，，由焦半径公式得，且，而直线的方程为，设到的距离为，由点到直线的距离公式得，则，因为，所以平分，由角平分线性质得，可得，化简得，解得，则，故D正确. 12．32【详解】令，. 13．/【详解】设， 由题意得，整理得，所以的轨迹为以为圆心，半径的圆，因为在直线上，所以与相切或相交，则到的距离，解得，故c的最大值是. 14．【详解】球O与平面和平面均相切，故球心O在二面角的角平分面上，E，F，G，H，L，J为各自所在棱的中点，易知平面， 所以即二面角的平面角，且EQ平分，要使半径最小，球心O在EQ上， 作，则平面，即球半径，又球O与相切，故，因此，，在中，，，，因此，解得． 15． 【详解】（1）由，化简得 ，............3 令，∵，则，因为，的单调递减区间是， 由，解得，∴函数单调递增区间为；.........6 （2） ∵，∴，又∵，∴，即............8 （3） 由已知条件可知，则角C为钝角，是钝角三角形， ∴，..........10 则， ∴，∴，∴的取值范围为．.....13 16．【小问1详解】因为为正三角形，是中点，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以，........3 ，.........5 又在平面内且相交，故平面.......7 【小问2详解】 分别为的中点，， 又平面过且不过，平面． 又平面交平面于，故，进而， 因为是中点，所以是的中点． 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，.....9 则， ，， 设平面法向量为， 则，即，取，得，.....12 则， 因为，所以........15 17【详解】（1），，， 则，故与有较强的相关关系；...5 （2），又，，所以，故经验回归方程为，2026年7月对应的值为10，当时，， 故可估计2026年7月该款迎宾机器人的月销量为4.44万台；........10 （3）设甲、乙两商户购买迎宾机器人的个数之和为， 则的所有可能取值为，.....11 ， ， ，所以，......13 依题意有，且，得，故的取值范围为． .................15 18．【详解】（1）当时，则，， 可知在单调递减，所以在上的最大值为..........4 （2）当时，，令，即，可得， 原题意等价于方程仅有一个解，令，则， 因为对任意实数m，方程都仅有一个解， 可知在R上为单调函数，且值域为R，令，则， 因为当趋近于时，趋近于，则恒成立， （i）当时，则，可知在R上单调递减，值域为R，满足题意； （ii）当时，当时，；当时，； 可知在单调递减，在单调递增，则， 当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于； 可知存在唯一零点， 当时，，即；当时，，即； 可知在单调递增，在单调递减，不符合题意； （iii）当时，当时，；当时，； 可知在单调递增，在单调递减，则，解得， 当时，在定义域内单调递减，当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于；可知值域为R，符合题意；综上所述：实数b的取值范围为． ............10 （3）当时，，若证，即证，因为，，则， 由（1）可知：，即，则 可得，若证，即证， ..........12 （i）当时，则，可得， 且，则，可得，所以；.......14 （ii）当时，则，可得， 整理可得， 令，则， 因为，则， 可知在上单调递增，，且，可得，所以； 综上所述：时，..........17 19.【详解】（1）设过点的切线为．联立．因为是切线，则，化简得，则， 又取最大值时，为切线，且． ........5 （2）（i）由（1）知椭圆为．设. 则.又.因,则得, 故，即直线的斜率为．.......10 (ii)设， . 则． 题目条件为各面积相等，． 当时，设． 记． 则， 设，则， . 又， . 当时，若存在，由得． 又，其余各，这与矛盾． ． 记．则 . 故. 又，. 由柯西不等式，．又． 又．取，则满足面积相等， 且． 又对一切满足条件的，都有．........17 1 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ ■■■■ 卓同教育集团高2023级强化训练（五） 数学答题卡 姓 名： 班 级： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 单项选择题（每小题5分，共40分） 1 [A][B][C][D] 5 [A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[A]B][C][D] 3[A]B][CD] 7[A][B][C][D] 4[A[B][CD] 8 [A][B][C][D] 二、多项选择题（每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.) 9 [A][B][C][D] 10[AJB][C][D] 11 [A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 13 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) =--- E 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）