精品解析：四川省遂宁市卓同教育集团2025-2026学年高三下学期强化训练（五）数学试题

卓同教育集团高2023级强化训练（五）数学试题 命题：苏友国 审题：郑才志 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数（是虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数运算法则化简，由虚部定义可得结果. 【详解】， 的虚部为. 故选：C. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由解得：或，故或， 由，解得：，故， 所以 3. 双曲线的实轴长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件求得，进而求得实轴长. 【详解】双曲线，对应， 所以，所以实轴长为. 4. 某厂生产一批圆台形台灯灯罩，灯罩的上下底面都是空的，圆台两个底面半径之比为，高为16cm，母线长为20cm，如果要对100个这样的台灯灯罩外表面涂一层防潮涂料，每平方米需要100克涂料，则共需涂料（ ） A. 克 B. 克 C. 克 D. 克 【答案】C 【解析】 【分析】先求圆台的底面半径，计算圆台的侧面积，即可得到答案. 【详解】作圆台的轴截面如图： 梯形为等腰梯形，取上、下底面的中心分别为、，再取中点，连接， 则中，因为，所以，，所以. 所以. 所以灯罩的侧面积为：. 所以100个灯罩的外表面面积为：. 又每平方米需要100克涂料，所以共需涂料克. 故选：C 5. 设函数满足对任意的，都有，且，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 在上单调递增 D. 在上单调递减 【答案】B 【解析】 【详解】因为函数满足对任意的，都有， 所以是周期为2的周期函数， 又因为，令，则， 所以函数的图象关于对称， 令替换上式中的，则， 结合周期性可得：， 即，所以是偶函数， 又因为函数的图象关于对称，所以在上一定不是单调函数，故C、D错误. 6. 已知在三角形ABC中，是BC的中点，且，则（ ） A. -9 B. -16 C. -21 D. -24 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，确定三角形形状，再建立平面直角坐标系，求出相关点的坐标，利用向量数量积的坐标表示求解. 【详解】在三角形ABC中，，三角形ABC为直角三角形，是BC的中点， 则，由题意得，是AD的中点， 以为坐标原点，AB，AC所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系， 则，由，即，得， 则，，所以． 故选：C 7. 若数列满足：从第二项起，每一项与它的前一项的差依次排成一列，组成的新数列是一个公差为k的等差数列，则称数列为“等差数列．已知为“等差数列，且，则（ ） A. 91 B. 111 C. 121 D. 133 【答案】B 【解析】 【分析】设，可得，结合累加法即可求得的通项公式，代入即可. 【详解】设，因为为“等差数列，且，所以 是公差为2的等差数列，且，则， 通过累加法可得：当时， ，，…，，所以累加可得 ，化简得：，当时，，符合通项公式，所以，则. 8. 已知函数和，若存在实数，使得，则的最小值为（ ） A. -e B. -1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，由，又在定义域上单调递增，则，于是．再利用导数求函数的最小值即可． 【详解】因为， 所以，而， 故，又在定义域上单调递增，则， 于是． 设，则， 当时，，单调递减， 当时，单调递增， 所以． 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据9，10，10，11，12，14，16，17，19，21的第60百分位数为14 B. 对于随机事件A与B，若，则事件A与B相互独立 C. 已知一组样本数据的平均值为5，极差为7，中位数为6，则数据的平均值为9，极差为14，中位数为11 D. 若成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近1 【答案】BC 【解析】 【分析】利用百分位数定义计算可得A；利用对立事件概率公式与相互独立事件定义计算可得B；利用平均数、极差与中位数的性质计算可得C；利用相关系数定义可得D. 【详解】对A：，故这组数据的第60百分位数为，故A错误； 对B：由，则， 故事件A与B相互独立，故B正确； 对C：新数据的平均值为，极差为， 中位数为，故C正确； 对D：若成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数的绝对值越接近，故D错误. 10. 已知函数的部分图象如图所示，点、在的图象上．下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 在区间单调递增 C. 的一个对称中心是 D. 的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】AD 【解析】 【分析】由图象求出、的值，结合正切型函数的周期公式可判断A选项；利用正切型函数的周期公式可判断B选项；利用正切型函数的对称性可判断C选项；利用三角函数图象变换可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可得，又因为，所以， 所以， 又因为，所以，解得， 由图可知函数的最小正周期满足，即，即， 故，因为，故，， 所以函数的最小正周期为，A对； 对于B选项，由A选项可知， 当时，，故函数在区间上不单调，B错； 对于C选项，因为，故不是函数的一个对称中心，C错； 对于D选项，因为， 所以的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到，D对. 11. 已知抛物线的焦点为，过的直线l交于两点，直线交于另一点D，则（ ） A. B. 的内心在定直线上 C. 若，则 D. 若，则的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】作出符合题意的图形，利用斜率的几何意义得到，结合题意得到进而判断A，联立方程组结合韦达定理得到，最后结合内心的性质判断B，利用二倍角公式并结合方程得到判断C，先确定，再利用弦长公式与点到直线的距离公式得到面积解析式，最后结合角平分线定理建立方程，求解参数，进而得到三角形面积判断D即可. 【详解】因为抛物线的焦点为，所以， 解得，则抛物线方程为, 如图，作出符合题意的图形，作轴， 对于A，设，则，由题意得是直线的倾斜角， 由斜率的几何意义得， 由诱导公式得， 由焦半径公式得，在中，可得， 则，故A正确， 对于B，设的方程为，， 联立方程组，可得， 由韦达定理得，，则，， 由斜率公式得，， 因为，所以，可得， 则，得到被轴平分， 可得的内心在定直线上，故B正确， 对于C，因为被轴平分，所以， 设，， 因为，所以， 由二倍角公式得，解得（另一根舍去）， 则，联立方程组，解得， 此时，与不符，故C错误， 对于D，因为， 所以或（与题意不符，排除）， 设直线的方程为，设， 联立方程组，可得， 由韦达定理得，，则， 由弦长公式得，， 由焦半径公式得，且， 而直线的方程为，设到的距离为， 由点到直线的距离公式得， 则， 因为，所以平分， 由角平分线性质得，可得， 化简得，解得，则，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则______． 【答案】32 【解析】 【分析】利用赋值法求解即可. 【详解】令，. 13. 已知，若直线上存在点P满足，则实数c的最大值是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】由求得的轨迹为圆，结合直线与圆的位置关系即可求得c的最大值. 【详解】设， 由题意得， 整理得， 所以的轨迹为以为圆心，半径的圆， 因为在直线上， 所以与相切或相交， 则到的距离， 解得， 故c的最大值是. 14. 已知正方体的棱长为2，若球O同时满足条件：①与平面，平面均相切，②与棱相切（即与棱仅有一个公共点），则球O的半径的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】作出相应图形，利用相切性质可得球心在上，再利用该球与棱相切，可得，再利用三角形性质计算即可得解. 【详解】球O与平面和平面均相切， 故球心O在二面角的角平分面上， E，F，G，H，I，J为各自所在棱的中点，易知平面， 所以即二面角的平面角， 且EQ平分，要使半径最小，球心O在EQ上， 作，则平面，即球半径， 又球O与相切，故，因此，， 在中，，，， 因此，解得． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，函数． （1）求的单调递增区间； （2）若，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简可得，结合正弦函数的单调性，即可求得答案； （2）由求出A，由确定C的范围，即可确定B的范围，利用正弦定理边化角可得，结合B的范围，即可求得答案. 【小问1详解】 由， 化简得， 令，∵，则， 因为，的单调递减区间是， 由，解得， ∴函数单调递增区间为； 【小问2详解】 ∵，∴， 又∵，∴，即， 由已知条件可知，则角C为钝角，是钝角三角形， ∴， 则， ∴，∴， ∴的取值范围为． 16. 如图，四棱锥的底面是矩形，是等边三角形，平面平面分别是的中点，与交于点． （1）求证：平面； （2）平面与直线交于点，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明：因为为正三角形，是中点，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， ， 又在平面内且相交，故平面 （2）. 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直性质定理证明平面，可得，再利用向量法证明，然后由线面垂直判定定理可证； （2）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法可解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 分别为的中点，， 又平面过且不过，平面． 又平面交平面于，故，进而， 因为是中点，所以是的中点． 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，， 设平面法向量为， 则，即，取，得， 则， 因为，所以. 17. 某高科技公司开发了一款迎宾机器人，为了解市场销售情况，现统计了2025年10月至2026年2月该款迎宾机器人的月销量数据，如下表所示： 月份 2025年10月 2025年11月 2025年12月 2026年1月 2026年2月 月份代码 1 2 3 4 5 月销量（单位：千台） 8 10 13 20 24 （1）求出与的相关系数（保留三位小数），并根据判断该款迎宾机器人月销量与月份代码是否有较强的相关关系；（当时，相关性较强，当时，相关性一般） （2）求出关于的经验回归方程，并估计2026年7月该款迎宾机器人的销量； （3）假设该科技公司对购买迎宾机器人的客户每人发放2000元/个的补贴．已知甲、乙两家商户各至多购买一个迎宾机器人，且购买迎宾机器人的概率分别为，若两家商户享受的补贴总金额的期望不超过3000元，求的取值范围． 参考公式：相关系数，． 参考数据：，． 【答案】（1），与有较强的相关关系 （2），4.44万台 （3） 【解析】 【分析】（1）根据公式算出线性相关系数，并根据判断标准作出判断即可； （2）利用最小二乘法求得，进而求得关于的经验回归方程，按规律得到2026年7月对应的值，代入可得2026年7月该款迎宾机器人的销量； （3）利用概率的加法和乘法公式算出各种情况的概率，计算得到期望的表达式，根据约束条件得到的范围. 【小问1详解】 则， 故与有较强的相关关系； 【小问2详解】 ， 又，， 所以， 故经验回归方程为， 2026年7月对应的值为10， 当时，， 故可估计2026年7月该款迎宾机器人的月销量为4.44万台； 【小问3详解】 设甲、乙两商户购买迎宾机器人的个数之和为， 则的所有可能取值为， ， ， ， 所以， 依题意有，且，得， 故的取值范围为． 18. 已知函数． （1）当时，求在上的最大值； （2）当时，若对任意的实数m，直线与曲线恰有一个公共点，求实数b的取值范围； （3）若．证明：当时，． 【答案】（1） 1 （2） （3） 当时，， 若证，即证， 因为，，则， 由（1）可知：，即，则， 可得， 若证，即证， （i）当时，则，可得， 且，则，可得，所以； （ii）当时，则，可得， 整理可得， 令，则， 因为，则， 可知在上单调递增，， 且，可得，所以； 综上所述：时，. 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数求的单调性和最值； （2）原题意等价于方程仅有一个解，令，可知在R上为单调函数，且值域为R，分类讨论的符号，结合导数应用运算求解； （3）根据题意结合（1）中结论分析可知，分和两种情况，利用导数结合三角函数的有界性分析证明. 【小问1详解】 当时，则，， 可知在单调递减，所以在上的最大值为. 【小问2详解】 当时，， 令，即，可得， 原题意等价于方程仅有一个解， 令，则， 因为对任意实数m，方程都仅有一个解， 可知在R上为单调函数，且值域为R， 令，则， 因为当趋近于时，趋近于，则恒成立， （i）当时，则，可知在R上单调递减，值域为R，满足题意； （ii）当时，当时，；当时，； 可知在单调递减，在单调递增，则， 当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于； 可知存在唯一零点， 当时，，即；当时，，即； 可知在单调递增，在单调递减，不符合题意； （iii）当时，当时，；当时，； 可知在单调递增，在单调递减， 则，解得， 当时，在定义域内单调递减， 当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于； 可知值域为R，符合题意； 综上所述：实数b的取值范围为． 【小问3详解】 略 19. 已知曲线与点，O为原点，动点，且的最大值为． （1）求曲线E的方程； （2）已知有个点，，，…，按逆时针顺序依次在E上，且，． （ⅰ）当，关于y轴对称，且的面积为1时，求直线的斜率； （ⅱ）当的面积都相等时，记多边形的周长为．若对于，都有，求整数的最小值． 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）9. 【解析】 【分析】（1）设过点的切线方程，联立曲线方程，根据判别式等于0即可得到答案； （2）（i）利用参数方程法，设出点坐标，代入计算即可； （ii）设，写出相关面积表达式，再分和时讨论即可. 【小问1详解】 设过点的切线为． 联立． 因为是切线，则， 化简得，则， 又取最大值时，为切线，且． . 【小问2详解】 （i）由（1）知椭圆为． 设. 则. 又. 因,则得, 故，即直线的斜率为． (ii)设， . 则． 题目条件为各面积相等，． 当时，设． 记． 则， 设，则， . 又， . 当时，若存在，由得． 又，其余各，这与矛盾． ． 记．则 . 故. 又， . 由柯西不等式，． 又． 又． 取，则满足面积相等， 且． 又对一切满足条件的，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 卓同教育集团高2023级强化训练（五）数学试题 命题：苏友国 审题：郑才志 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数（是虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线的实轴长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 某厂生产一批圆台形台灯灯罩，灯罩的上下底面都是空的，圆台两个底面半径之比为，高为16cm，母线长为20cm，如果要对100个这样的台灯灯罩外表面涂一层防潮涂料，每平方米需要100克涂料，则共需涂料（ ） A. 克 B. 克 C. 克 D. 克 5. 设函数满足对任意的，都有，且，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 在上单调递增 D. 在上单调递减 6. 已知在三角形ABC中，是BC的中点，且，则（ ） A. -9 B. -16 C. -21 D. -24 7. 若数列满足：从第二项起，每一项与它的前一项的差依次排成一列，组成的新数列是一个公差为k的等差数列，则称数列为“等差数列．已知为“等差数列，且，则（ ） A. 91 B. 111 C. 121 D. 133 8. 已知函数和，若存在实数，使得，则的最小值为（ ） A. -e B. -1 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据9，10，10，11，12，14，16，17，19，21的第60百分位数为14 B. 对于随机事件A与B，若，则事件A与B相互独立 C. 已知一组样本数据的平均值为5，极差为7，中位数为6，则数据的平均值为9，极差为14，中位数为11 D. 若成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近1 10. 已知函数的部分图象如图所示，点、在的图象上．下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 在区间单调递增 C. 的一个对称中心是 D. 的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到 11. 已知抛物线的焦点为，过的直线l交于两点，直线交于另一点D，则（ ） A. B. 的内心在定直线上 C. 若，则 D. 若，则的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则______． 13. 已知，若直线上存在点P满足，则实数c的最大值是_________． 14. 已知正方体的棱长为2，若球O同时满足条件：①与平面，平面均相切，②与棱相切（即与棱仅有一个公共点），则球O的半径的最小值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，函数． （1）求的单调递增区间； （2）若，且，求的取值范围． 16. 如图，四棱锥的底面是矩形，是等边三角形，平面平面分别是的中点，与交于点． （1）求证：平面； （2）平面与直线交于点，求直线与平面所成角的大小． 17. 某高科技公司开发了一款迎宾机器人，为了解市场销售情况，现统计了2025年10月至2026年2月该款迎宾机器人的月销量数据，如下表所示： 月份 2025年10月 2025年11月 2025年12月 2026年1月 2026年2月 月份代码 1 2 3 4 5 月销量（单位：千台） 8 10 13 20 24 （1）求出与的相关系数（保留三位小数），并根据判断该款迎宾机器人月销量与月份代码是否有较强的相关关系；（当时，相关性较强，当时，相关性一般） （2）求出关于的经验回归方程，并估计2026年7月该款迎宾机器人的销量； （3）假设该科技公司对购买迎宾机器人的客户每人发放2000元/个的补贴．已知甲、乙两家商户各至多购买一个迎宾机器人，且购买迎宾机器人的概率分别为，若两家商户享受的补贴总金额的期望不超过3000元，求的取值范围． 参考公式：相关系数，． 参考数据：，． 18. 已知函数． （1）当时，求在上的最大值； （2）当时，若对任意的实数m，直线与曲线恰有一个公共点，求实数b的取值范围； （3）若．证明：当时，． 19. 已知曲线与点，O为原点，动点，且的最大值为． （1）求曲线E的方程； （2）已知有个点，，，…，按逆时针顺序依次在E上，且，． （ⅰ）当，关于y轴对称，且的面积为1时，求直线的斜率； （ⅱ）当的面积都相等时，记多边形的周长为．若对于，都有，求整数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $