精品解析：辽宁抚顺市清原满族自治县2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷

2025-2026学年度下学期期中教学质量检测八年级数学试卷 考试时间：100分钟 试卷满分：120分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题3分，共30分） 1. 若有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，即可求出x的取值范围． 【详解】解：∵是二次根式，二次根式有意义要求被开方数为非负数， ∴被开方数需满足． 2. 下列条件能判定是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. ，， D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断能否构成三角形，再判定是否为直角三角形即可． 【详解】解：对于A选项，∵ ，， ∴ 最大角， ∴ 不是直角三角形，此选项不符合题意． 对于B选项，∵ ，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，此选项不符合题意． 对于C选项，∵ ，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，此选项不符合题意． 对于D选项，∵ ，， ∴ ，得， ∴ 是直角三角形，此选项符合题意． 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相关定义逐个计算判断选项即可． 【详解】解：对选项A：，A错误． 对选项B：，，B正确． 对选项C：表示16的算术平方根，结果为非负数，，C错误． 对选项D：与不是同类二次根式，不能直接合并，且，D错误． 4. 如图1，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成图2，若两手握住的绳柄两端距离约为，小臂到地面的距离约，则适合小明的绳长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于，则，由等腰三角形“三线合一”的性质得，然后根据勾股定理即可求得，即可得解． 【详解】解：如图，过点作于，则， 由题意可知，，， ∴， ∴， ∴适合小明的绳长为． 5. 如图，在某城市中心花园的景观区，规划了三块正方形主题花坛，分别是种植牡丹的花坛、种植月季的花坛和种植雏菊的花坛．已知，且三块花坛沿同一直线方向依次衔接排列，则正方形DEFG的边长可能是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形面积等于边长的平方解答． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴3符合． 故选：B． 6. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数与相同即为同类二次根式． 【详解】解：A．是最简二次根式，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； B．是最简二次根式，被开方数为，与不同，不是同类二次根式； C．，化简后被开方数为，与的被开方数相同，是同类二次根式； D．是最简二次根式，被开方数为，与不同，不是同类二次根式． 7. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图①是一个直角边长分别为2和3的直角三角形，用四个这样的全等的直角三角形拼成如图②所示的正方形，四边形是正方形，对角线和交于点O，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用勾股定理求出，然后得到，，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意得，，， ∴ ∵四边形是正方形 ∴， ∴，即 ∴． 8. 用一条宽相等的足够长的纸条,打一个结,如下图1所示,然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形 ABCDE,则∠BAC的度数是（ ） A. 36° B. 30° C. 45° D. 40° 【答案】A 【解析】 【详解】分析:根据多边形内角和公式和正五边形每个内角都相等可得∠ABC=108°,再根据等腰三角形和三角形内角和公式可得∠BAC=36°. 详解:因为正五边形 ABCDE, 所以∠ABC=108°, 因为三角形ABC是等腰三角形, 所以∠BAC=36°, 故选A. 点睛:本题主要考查正五边形的性质和等腰三角形的性质,解决本题的关键是要熟练运用正五边形和等腰三角形的性质. 9. 如图，两个大小相同的正方形与正方形的顶点重合，恰好落在正方形的对角线上，与交于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正方形的性质证明，得到，进而即可求解； 【详解】四边形和四边形都是正方形，恰好落在正方形的对角线上， ，，， 在和中， ， ， ， ． 10. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，垂足为E，连接．若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据菱形的性质得到，结合，可证明是等边三角形，然后根据等腰三角形的三线合一性质，可证明，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出，最后根据勾股定理即可求得答案． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 在中，． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，数轴上的点A表示的数是1，OB⊥OA，垂足为O，且BO＝1，以点A为圆心．AB为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用勾股定理求出AB的长，可得AB=AC=，推出OC=-1即可解决问题． 【详解】解：在Rt△AOB中，AB==， ∴AB=AC=， ∴OC=AC-OA=-1， ∴点C表示的数为1-． 故答案为：1-． 【点睛】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题． 12. 一个门框尺寸如图，一个长宽的薄木板______穿过此门．（填能或填不能） 【答案】不能 【解析】 【分析】连接门框的对角线，利用勾股定理求出的长度为，再通过无理数的估算，比较与的大小，进而判断木板能否通过门框． 【详解】解：连接， 在中，，，， 根据勾股定理：， ， ，，且， ， 长宽的薄木板不能穿过此门． 13. 如图，矩形的对角线相交于点O，点E在上，连接，若，则的度数为______． 【答案】 79 【解析】 【分析】先根据矩形的性质结合三角形内角和定理求出，再利用三角形外角的性质求出，最后由即可求解． 【详解】解：在矩形中，， ； ， ； ， ， ． 14. 如图，四边形是菱形，连接交于点O，G为边上的动点（不与点A，D重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据菱形的性质得出直角以及相关线段的长度，利用勾股定理求出的长度，证明四边形为矩形，得出当时，的值最小，即的值最小， 最后利用等面积法求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 当时，的值最小，即的值最小， 由等面积得， 即的最小值为． 15. 如图，四边形是菱形，连接，交于点．G为边上的一动点（不与点A， D重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据菱形的性质得出直角以及相关线段的长度，利用勾股定理求出的长度，证明四边形为矩形，得出当时，的值最小，即的值最小， 最后利用等面积法求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 当时，的值最小，即的值最小， 由等面积得， 即的最小值为． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简各二次根式，去括号，再合并即可． （2）利用完全平方公式进行简便运算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 某校教学楼在一条公路旁，经常受路上车辆的噪声污染，如图，有一辆货车沿东西方向由点向点移动，已知点为教学楼，点与直线上两点、的距离分别为和，且，以货车为圆心的周围以内为受影响区域．     （1）求证： （2）教学楼会受噪声影响吗？为什么？ （3）若货车的速度为，则货车影响教学楼持续的时间有多长？ 【答案】（1）证明见解析； （2）教学楼会受噪声影响，原因见解析； （3）货车影响教学楼持续的时间为． 【解析】 【分析】（1）结合勾股定理逆定理即可得证； （2）作交于点，结合直角三角形面积计算公式求出的长，跟受影响区域的距离作比较即可得出结论； （3）设当时，正好影响教学楼，利用勾股定理求出的长，进而得出的长，再根据时间路程速度即可得解． 【小问1详解】 证：依题得：，， ， 即， ； 【小问2详解】 解：作交于点， 中，， ， 以货车为圆心的周围以内为受影响区域，故教学楼会受噪声影响； 【小问3详解】 解：如图，当时，正好影响教学楼， 中，， ， 同理可得， ， 货车的速度为， 货车影响教学楼持续的时间为． 18. 李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． （1）电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元，大理石造价为150元，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】（1）电视背景墙的周长为 （2）整个电视背景墙需要花费元 【解析】 【分析】（1）直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案； （2）直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【小问1详解】 解：电视背景墙长方形的周长． 答：电视背景墙的周长为． 【小问2详解】 解：长方形的面积：， 大理石的面积， ∴壁纸的面积， 整个电视背景墙需要花费：（元）． 答：整个电视背景墙需要花费元． 19. 如图，四边形是矩形，为边上的一点，作于点，连接为的中点．连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】题目主要考查矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形外角的定义及等边对等角等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据矩形的性质及直角三角形斜边中线的性质即可证明； （2）根据等边对等角得出，，再由三角形外角的定义确定，，结合题意求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形，， ∴， ∵为的中点， ∴； 【小问2详解】 由（1）得， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴． 20. 我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念：若，则与的平均数是1，我们称与是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数． （1）5与___________是关于1的平衡数；与___________是关于1的平衡数； （2）若，试判断与是不是关于1的“平衡数”，并说明理由． 【答案】（1）， （2）与不是关于1的“平衡数”，见解析 【解析】 【分析】（1）根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此即可计算5和关于1的“平衡数”； （2）先根据，求出m的值，再计算与的和，根据所求得结果即可判断． 【小问1详解】 解：∵， ∴5与是关于1的“平衡数”， ∵， ∴与是关于1的“平衡数”． 【小问2详解】 解：不是．理由如下： ∵， ∴． ∴． ∴． ∴ ． ∴与不是关于1的“平衡数”． 21. 阅读与思考 下面是小华同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 借助网格解几何题 在课本中有一些利用网格求线段长或图形面积的题．通过做这些题和阅读杂志，我发现可以将网格作为数学工具，帮助我们解决一些几何问题． 例如：如图1，在和中，，点A是的中点，若，，连接，则的长为______． 直接解决本题较难，但是如果把它放到如图2所示的边长为1的正方形网格中就可以化难为易．但关键是要确定在网格中先画哪个三角形，由于的边长已知，所以应先画这个三角形，再画，连接，且让三角形的顶点都在网格的格点上，看上去与题目中图的方向有所不同，但图形与原图形是形状相同的，然后利用网格可以轻松得到的长． 任务： （1）图2中，______； （2）借助网格解决以下问题： 如图3，中，，，，点D是的中点，以为直角边作等腰直角，且点A在内部，连接，求线段的长． ①将图3画在图4的边长为1的正方形网格中，并使各三角形的顶点在格点上； ②直接写出线段的长； （3）反思：借助网格解几何题有一定的局限性，其局限性是什么？ 【答案】（1）； （2）①见解析；②； （3）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）利用勾股定理计算即可得出结果； （2）①根据题意将三角形画在网格中即可；②结合图形，利用勾股定理计算即可得出结果； （3）根据它只能解决可以用网格画出的格点线段的相关问题，对于一些无法在网格中准确表示或计算的线段长度等问题，这种方法就无法使用，即可得出结果． 【小问1详解】 解：由图形可得：； 【小问2详解】 解：①画出图形如图所示： ； ②由图形可得：； 【小问3详解】 解：借助网格解几何题的局限性在于，它只能解决可以用网格画出的格点线段的相关问题，对于一些无法在网格中准确表示或计算的线段长度等问题，这种方法就无法使用，限制了解题的普适性． 22. 如图，在中，，点D、E、F分别是的中点，以为对角线作正方形． （1）判断四边形的形状，并证明； （2）当正方形与面积相等时，连接，判断四边形的形状，并证明． 【答案】（1）四边形是菱形，证明见解析 （2）四边形是矩形，证明见解析 【解析】 【分析】此题考查了菱形的判定和性质、矩形的判定和性质、正方形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握特殊四边形的判定是解题的关键． （1）连接，根据等腰三角形三线合一得到，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到，即可证明结论成立； （2）设交于点，证明四边形都是矩形，则，即可证明四边形是矩形． 【小问1详解】 解：四边形是菱形， 证明：连接， ∵， ∴是等腰三角形， ∵点D是的中点， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 四边形是矩形， 证明：设交于点，如图， 设 ∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴正方形的面积是， 在中，，点D是的中点， ∴ ∴的面积为， ∵正方形与面积相等， ∴， 解得， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴四边形都是矩形， ∴， ∴四边形是矩形． 23. 如图1，正方形的边长为2．E、F分别为边、上的动点，的周长为4，是延长线上的一点，且． （1）求证：； （2）试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； （3）如图2，若为边的中点，过点作，垂足为．求的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）的大小是定值，定值为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质证明，得到，再利用角的和差得到，即可证明； （2）由的周长为4，得到，由正方形的边长为2得到，得到，进而利用线段的和差推出，通过证明得到，结合即可得出结论； （3）连接，利用全等三角形的性质得到，利用三角形的面积公式得到，利用勾股定理求出的长，再根据即可求出的最小值． 【小问1详解】 证明：∵正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵的周长为4， ∴， ∵正方形的边长为2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴的大小是定值，定值为； 【小问3详解】 解：连接， ∵正方形的边长为2， ∴，， ∴是的高， ∵， ∴是的高， 由（2）得，， ∴， ∴， 由（2）得，， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、三角形的面积公式、线段最值问题，正确找出全等三角形并证明是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期期中教学质量检测八年级数学试卷 考试时间：100分钟 试卷满分：120分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题3分，共30分） 1. 若有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列条件能判定是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. ，， D. 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图1，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成图2，若两手握住的绳柄两端距离约为，小臂到地面的距离约，则适合小明的绳长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在某城市中心花园的景观区，规划了三块正方形主题花坛，分别是种植牡丹的花坛、种植月季的花坛和种植雏菊的花坛．已知，且三块花坛沿同一直线方向依次衔接排列，则正方形DEFG的边长可能是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 6. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 7. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图①是一个直角边长分别为2和3的直角三角形，用四个这样的全等的直角三角形拼成如图②所示的正方形，四边形是正方形，对角线和交于点O，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 用一条宽相等的足够长的纸条,打一个结,如下图1所示,然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形 ABCDE,则∠BAC的度数是（ ） A. 36° B. 30° C. 45° D. 40° 9. 如图，两个大小相同的正方形与正方形的顶点重合，恰好落在正方形的对角线上，与交于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，垂足为E，连接．若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，数轴上的点A表示的数是1，OB⊥OA，垂足为O，且BO＝1，以点A为圆心．AB为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为_______． 12. 一个门框尺寸如图，一个长宽的薄木板______穿过此门．（填能或填不能） 13. 如图，矩形的对角线相交于点O，点E在上，连接，若，则的度数为______． 14. 如图，四边形是菱形，连接交于点O，G为边上的动点（不与点A，D重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为________． 15. 如图，四边形是菱形，连接，交于点．G为边上的一动点（不与点A， D重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为_____． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1） （2） 17. 某校教学楼在一条公路旁，经常受路上车辆的噪声污染，如图，有一辆货车沿东西方向由点向点移动，已知点为教学楼，点与直线上两点、的距离分别为和，且，以货车为圆心的周围以内为受影响区域．     （1）求证： （2）教学楼会受噪声影响吗？为什么？ （3）若货车的速度为，则货车影响教学楼持续的时间有多长？ 18. 李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． （1）电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元，大理石造价为150元，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 19. 如图，四边形是矩形，为边上的一点，作于点，连接为的中点．连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 20. 我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念：若，则与的平均数是1，我们称与是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数． （1）5与___________是关于1的平衡数；与___________是关于1的平衡数； （2）若，试判断与是不是关于1的“平衡数”，并说明理由． 21. 阅读与思考 下面是小华同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 借助网格解几何题 在课本中有一些利用网格求线段长或图形面积的题．通过做这些题和阅读杂志，我发现可以将网格作为数学工具，帮助我们解决一些几何问题． 例如：如图1，在和中，，点A是的中点，若，，连接，则的长为______． 直接解决本题较难，但是如果把它放到如图2所示的边长为1的正方形网格中就可以化难为易．但关键是要确定在网格中先画哪个三角形，由于的边长已知，所以应先画这个三角形，再画，连接，且让三角形的顶点都在网格的格点上，看上去与题目中图的方向有所不同，但图形与原图形是形状相同的，然后利用网格可以轻松得到的长． 任务： （1）图2中，______； （2）借助网格解决以下问题： 如图3，中，，，，点D是的中点，以为直角边作等腰直角，且点A在内部，连接，求线段的长． ①将图3画在图4的边长为1的正方形网格中，并使各三角形的顶点在格点上； ②直接写出线段的长； （3）反思：借助网格解几何题有一定的局限性，其局限性是什么？ 22. 如图，在中，，点D、E、F分别是的中点，以为对角线作正方形． （1）判断四边形的形状，并证明； （2）当正方形与面积相等时，连接，判断四边形的形状，并证明． 23. 如图1，正方形的边长为2．E、F分别为边、上的动点，的周长为4，是延长线上的一点，且． （1）求证：； （2）试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； （3）如图2，若为边的中点，过点作，垂足为．求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $