精品解析：辽宁沈阳市大东区2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试卷

数学学科 试卷满分：120分 考试时间120分钟 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 若点在第二象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 用反证法证明：“三角形三内角中至少有一个角不大于”时，第一步应是　　 A. 假设三角形三内角中至多有一个角不大于 B. 假设三角形三内角中至少有一个角不小于 C. 假设三角形三内角中至少有一个角大于 D. 假设三角形三内角中没有一个角不大于（即假设三角形三内角都大于 3. 若等腰三角形一个内角为,则此等腰三角形的顶角为 A. B. C. 或 D. 4. 若，则下列式子正确的是（　　）． A. B. C. D. 5. 如图，以点A为中心，把逆时针旋转，得到（点B、C的对应点分别为点、），连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组解在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 7. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，．将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图：△ABC是等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝4，PE＝1，则AD的长是（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 10. 如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. 因式分解：___． 12. 为迎接六一儿童节，百货商场进行促销活动，某种商品进价800元，出售标价1200元，本次打折销售要保证利润不低于，则最多可打___________折． 13. 如图所示，函数和的图象相交于，两点．当时，的取值范围是__． 14. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，的周长是，则的长等于____________． 15. 如图，是等边三角形，且，点M为直线上的一个动点，连接，将线段绕A点顺时针旋转60°至，点N为直线上的一个动点，则D、N两点间距离的最小值为__________． 三、解答题 16. 把下列各式因式分解： （1）； （2）． 17. 解下列不等式： （1）； （2）． 18. 如图，绕着点顺时针旋转到位置，，． （1）求的度数； （2）若，求的度数． 19. 如图，的顶点坐标为，，． （1）画出关于点O成中心对称的； （2）将绕点C顺时针旋转，画出旋转后的； （3）四边形的面积为______． 20. 如图，的外角的角平分线与内角的角平分线交于点E，点F在边的延长线上，的延长线交边的延长线于点D，过点E作于点H． （1）求证：平分； （2）若，求的度数； （3）若，，，且，求的面积． 21. 小明准备购买迎新春贺卡送给同学，他可以在甲、乙两个商店买到同款贺卡，两个商店的标价均为每张5元．其中甲商店的优惠条件是：从第1张开始就按标价的八五折销售；乙商店的优惠条件是：购买10张以上，从第11张开始按标价的七折销售．设小明购买贺卡的数量为张（为正整数），在甲商店购买的总费用为元，在乙商店购买的总费用为元． （1）求与之间的函数关系式，以及当时与之间的函数关系式； （2）若小明购买的贺卡数量大于10张，选择哪一家商店更划算？ 22. 某小超市销售甲、乙两种品牌的水杯，这两种水杯的进价和售价如下表所示： 甲 乙 进价（元/个） 40 25 售价（元/个） 43 30 （1）该超市计划用1550元资金，购进两种水杯若干个，全部销售后可获利润210元．超市购进甲、乙两种水杯各多少个？ （2）这批两种水杯售罄后，该超市决定再次购买两种水杯，减少甲种水杯的购进数量，增加乙种水杯的购进数量．已知乙种水杯增加的数量是甲种水杯减少数量的2倍，而且用于再次购进这两种水杯的资金不超过1600元，该超市怎样进货，使第二批销售获得的利润最大？并求出最大利润． 23. 等边三角形是最具对称性的几何图形之一，其三边相等、三角均为，简洁背后隐藏着丰富的性质．某数学小组近期在研究等边三角形的相关知识． （1）如图1，数学小组发现一些精美的正六边形窗花，而一个正六边形可以由六个全等的等边三角形镶嵌而成，如图2，已知，则正六边形的面积是________． （2）如图3，已知是边长为4的等边三角形，是边长为1的等边三角形．将沿射线方向平移，点B，D，E的对应点分别为点． ①如图4，在平移过程中，小深同学画出了时的情形，此时平移的距离为________； ②如图5，在刚好平移到点与点C重合时，连接，连接并延长交于点F，求此时的大小； ③[画图探索]已知点G在线段上，且，在平移的过程中，当是直角三角形时，请直接写出平移的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科 试卷满分：120分 考试时间120分钟 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 若点在第二象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由第二象限点坐标特点求出的范围即可． 【详解】点在第二象限， ， 解得：， 故选：B． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式，以及点的坐标，弄清第二象限点坐标特征是解本题的关键． 2. 用反证法证明：“三角形三内角中至少有一个角不大于”时，第一步应是　　 A. 假设三角形三内角中至多有一个角不大于 B. 假设三角形三内角中至少有一个角不小于 C. 假设三角形三内角中至少有一个角大于 D. 假设三角形三内角中没有一个角不大于（即假设三角形三内角都大于 【答案】D 【解析】 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断． 【详解】不大于的反面是大于，则第一步应是假设三角形三内角都大于．故选． 【点睛】反证法的步骤是： （1）假设结论不成立； （2）从假设出发推出矛盾； （3）假设不成立，则结论成立． 在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 3. 若等腰三角形一个内角为,则此等腰三角形的顶角为 A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】题中没有指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解． 【详解】:①当这个角是顶角时,底角; ②当这个角是底角时,另一个底角为,因为,不符合三角形内角和定理,所以舍去. 故选A． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用，关键是分情况进行分析． 4. 若，则下列式子正确的是（　　）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：对于A：不等式两边同乘以一个负数，不等号会改变，因此，故A错误； 对于B：不等式两边同乘以一个正数，不等号不变，因此，故B错误； 对于C：由两边同乘以得，再同加上，得，故C错误； 对于D：不等式两边同减去一个数，不等号不变，因此，故D正确． 5. 如图，以点A为中心，把逆时针旋转，得到（点B、C的对应点分别为点、），连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据旋转的性质得到，；根据等腰三角形的性质易得，再根据平行线的性质由得，然后利用进行计算． 【详解】∵以点A为中心，把逆时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质． 6. 不等式组解在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求解每个不等式的解集，再确定不等式组的解集，结合选项，求解即可． 【详解】解：， 解不等式可得， 解不等式可得， 则不等式组的解集为， 在数轴上表示为： C选项符合题意． 7. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用提公因式法分解因式和平方差公式以及完全平方公式进行分解即可得到答案． 【详解】A、，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，故此选项正确； D、，故此选项错误． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，关键是注意口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶． 8. 如图，中，，．将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据旋转的性质得出，，根据等边对等角和三角形的内角和定理求出，最后根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上， ∴，， ∴， ∴． 9. 如图：△ABC是等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝4，PE＝1，则AD的长是（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】在Rt△BPQ，易求∠PBQ＝30°，于是可求BP，进而可求BE，而△BAE≌△ACD，那么有AD＝BE＝9． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAE＝∠ACD＝60°， 又∵AE＝CD， ∴△BAE≌△ACD， ∴∠ABE＝∠DAC，AD＝BE， ∴∠ABE+∠BAD＝∠DAC+∠BAD， 即∠ABE+∠BAD＝∠BAE， ∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD＝60°， ∵BQ⊥AD， ∴∠BQP＝90°， ∴∠PBQ＝∠BQP-∠BPQ＝30°， ∴BP＝2PQ＝2×4＝8， ∴BE＝BP+PE＝8+1＝9， ∴AD＝BE＝9， 故选A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、含有30°的直角三角形的性质，解题的关键是证明△BAE≌△ACD． 10. 如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，作轴于．解直角三角形求出，即可． 【详解】解：如图，作轴于． 由题意：，， ， ，， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查坐标与图形变化——旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. 因式分解：___． 【答案】2a（a-2） 【解析】 【详解】 12. 为迎接六一儿童节，百货商场进行促销活动，某种商品进价800元，出售标价1200元，本次打折销售要保证利润不低于，则最多可打___________折． 【答案】七##7 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 设该商品打折销售，利用利润售价进价，结合利润不低于，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其中的最小值即可得出该商品最多可打七折． 【详解】解：设该商品打折销售， 依题意得：， 解得：， 该商品最多可打七折． 故答案为：七． 13. 如图所示，函数和的图象相交于，两点．当时，的取值范围是__． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系的应用，主要培养学生观察图形的能力，能理解一次函数与一元一次不等式的关系是解此题的关键．根据两图象的交点，求出图象中在上面的部分中的范围即可，当时，的图象在的上面；同理当时，的图象在的上面． 【详解】解：函数和的图象相交于，两点， 根据图象可以看出，当时，的取值范围是或， 故答案为：或． 14. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，的周长是，则的长等于____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线的点到线段两端点的距离相等；也考查了三角形周长的定义． 由的垂直平分线交于点，根据线段的垂直平分线的性质得到，而，则，由，即可得到的长． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ， 又 ∵的周长是， ， ， 而， ， 故答案为：2． 15. 如图，是等边三角形，且，点M为直线上的一个动点，连接，将线段绕A点顺时针旋转60°至，点N为直线上的一个动点，则D、N两点间距离的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由“”可证，可得，可得点D在的外角的平分线上，则当时，D、N两点间距离的最小，即可求解． 【详解】如图，过点B作于H，连接，， ∵是等边三角形， ，， ∴， ，， ∴ ∵将线段绕A点顺时针旋转60°至， ∴， ， ∴， 且，， ∴ ∴， ∴点D在的外角的平分线上， ∵， ∴， ∴当时， D、N两点间距离的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的旋转，三角形全等的证明，平行线之间的距离，角平分线的判定，勾股定理，理解题意转化D、N两点间最小距离为平行线之间的距离为解题的关键． 三、解答题 16. 把下列各式因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解下列不等式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：去括号得， 移项合并得， 解得； 【小问2详解】 解：去分母得， 去括号得， 移项合并得， 解得． 18. 如图，绕着点顺时针旋转到位置，，． （1）求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，旋转的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握旋转的性质． （1）先利用三角形内角和定理计算出，再根据旋转前后对应角相等，即可求解； （2）由平行得，由旋转得，即可求解． 【小问1详解】 解：中，，， ， 绕着点顺时针旋转到位置， ， 【小问2详解】 解：， ， ， ， 由旋转得， ． 19. 如图，的顶点坐标为，，． （1）画出关于点O成中心对称的； （2）将绕点C顺时针旋转，画出旋转后的； （3）四边形的面积为______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）6 【解析】 【分析】本题主要考查了作中心对称图形，旋转作图，解题的关键是作出对应点的位置． （1）作出点A、B、C关于点O的对称点、、，然后顺次连接即可； （2）作出点A、B绕点C顺时针旋转的对应点、，然后顺次连接即可； （3）利用网格求出四边形的面积即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作的三角形； 【小问2详解】 解：如图，即为所求作的三角形； 【小问3详解】 解：∵， ∴四边形为菱形， ∴． 20. 如图，的外角的角平分线与内角的角平分线交于点E，点F在边的延长线上，的延长线交边的延长线于点D，过点E作于点H． （1）求证：平分； （2）若，求的度数； （3）若，，，且，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） （3）26 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是关键． （1）过点作于点，作于点，先根据角平分线的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的判定即可得证； （2）由为的角平分线，为的角平分线，可得，，再由，，可得，，再求解即可； （3）设，再根据求得，再利用三角形的面积公式可得答案． 【小问1详解】 证明：如图，过点作于点，作于点， 平分，，， ， 平分，，， ， ， 又点在的内部， 平分； 【小问2详解】 解：是的一个外角，为的角平分线，为的角平分线， ，， ，， ，， ． 【小问3详解】 解：由（1）已得：， 设， ， ， ， ， ． 21. 小明准备购买迎新春贺卡送给同学，他可以在甲、乙两个商店买到同款贺卡，两个商店的标价均为每张5元．其中甲商店的优惠条件是：从第1张开始就按标价的八五折销售；乙商店的优惠条件是：购买10张以上，从第11张开始按标价的七折销售．设小明购买贺卡的数量为张（为正整数），在甲商店购买的总费用为元，在乙商店购买的总费用为元． （1）求与之间的函数关系式，以及当时与之间的函数关系式； （2）若小明购买的贺卡数量大于10张，选择哪一家商店更划算？ 【答案】（1）； （2）当时，甲、乙两家商店的费用相同，选择哪家商店都可以；当时，选择甲商店；当时，选择乙商店 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用： （1）根据甲乙商店的优惠条件，分别列出函数关系式； （2）通过比较和的大小，确定在不同购买数量下选择的情况． 【小问1详解】 解：甲商店：； 乙商店：时，； 【小问2详解】 解：由，得， 解得； 由，得， 解得； 由，得， 解得． ， 当时，甲、乙两家商店的费用相同，选择哪家商店都可以； 当时，选择甲商店； 当时，选择乙商店． 22. 某小超市销售甲、乙两种品牌的水杯，这两种水杯的进价和售价如下表所示： 甲 乙 进价（元/个） 40 25 售价（元/个） 43 30 （1）该超市计划用1550元资金，购进两种水杯若干个，全部销售后可获利润210元．超市购进甲、乙两种水杯各多少个？ （2）这批两种水杯售罄后，该超市决定再次购买两种水杯，减少甲种水杯的购进数量，增加乙种水杯的购进数量．已知乙种水杯增加的数量是甲种水杯减少数量的2倍，而且用于再次购进这两种水杯的资金不超过1600元，该超市怎样进货，使第二批销售获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1）超市购进甲种水杯个，乙种水杯个； （2）当超市购进甲种水杯15个，乙种水杯40个时，全部销售后获利最大．最大毛利润为元． 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用及一次函数的性质的运用，解答本题时灵活运用一次函数的性质求解是关键． （1）设超市购进甲种水杯个，乙种水杯个，根据两种杯子的购买金额为1550元和全部销售后可获利润210元，建立方程组求出其解即可； （2）设甲种水杯减少，则乙种水杯增加个，表示出购买的总资金，由总资金部超过1600元建立不等式就可以求出的取值范围，再设销售后的总利润为元，表示出总利润与的关系式，由一次函数的性质就可以求出最大利润． 【小问1详解】 解：设超市购进甲种水杯个，乙种水杯个，由题意，得 ， 解得：， 答：超市购进甲种水杯个，乙种水杯个； 【小问2详解】 解：设甲种水杯减少，则乙种水杯增加个，由题意，得 ， 解得：． 设全部销售后获得的毛利润为万元，由题意，得 ， 随的增大而增大， 当时，． 答：当超市购进甲种水杯15个，乙种水杯40个时，全部销售后获利最大．最大毛利润为元． 23. 等边三角形是最具对称性的几何图形之一，其三边相等、三角均为，简洁背后隐藏着丰富的性质．某数学小组近期在研究等边三角形的相关知识． （1）如图1，数学小组发现一些精美的正六边形窗花，而一个正六边形可以由六个全等的等边三角形镶嵌而成，如图2，已知，则正六边形的面积是________． （2）如图3，已知是边长为4的等边三角形，是边长为1的等边三角形．将沿射线方向平移，点B，D，E的对应点分别为点． ①如图4，在平移过程中，小深同学画出了时的情形，此时平移的距离为________； ②如图5，在刚好平移到点与点C重合时，连接，连接并延长交于点F，求此时的大小； ③[画图探索]已知点G在线段上，且，在平移的过程中，当是直角三角形时，请直接写出平移的距离． 【答案】（1） （2）①②③或或 【解析】 【分析】（1）求出的面积，乘以6即可得出结果； （2）①连接，交于点，证明垂直平分，三线合一，求出的长，线段的和差关系求出的长即可； ②延长交于点，证明，得到，证明为等边三角形，推出，进而得到，推出，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可； ③分，，三种情况，进行讨论求解即可． 【小问1详解】 作，垂足为， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴正六边形的面积； 故答案为： 【小问2详解】 ①连接，交于点， ∵是边长为1的等边三角形．将沿射线方向平移， ∴， ∵是边长为4的等边三角形， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴， ∴平移的距离为； ②延长交于点， 由题意，可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ③当时，如图，作， ∵， ∴， ∵，， ∴， 取的中点，则：， ∴， ∴两点重合，即为的中点， ∴， ∴ 当时，如图， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上：当是直角三角形时，平移距离为：或或 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，中垂线的判定等知识点，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $