四川遂宁市卓同教育集团2025-2026学年高三下学期强化训练（九）数学试题

**基本信息** 聚焦高中数学主干知识，通过川超观众调查、电脑故障概率等现实情境，设计梯度化问题，考查数学抽象、逻辑推理与数据意识，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、复数、向量等基础内容|第9题结合社会热点考查频率分布直方图，体现数据意识| |填空题|3题15分|二项式定理、函数切线等|第13题曲线切线问题，考查数学抽象与几何直观| |解答题|5题77分|立体几何翻折、解析几何、导数等|第17题电脑利润模型渗透应用意识，第19题导数零点证明强化逻辑推理，贴合高考命题趋势|

卓同教育集团高2023级强化训练（ 八 ） 数学试题·答题卡15．（本小题满分13分） 姓名：____________________ 考生条形码粘贴处 班级：____________________ 准考证号：____________________ 一、单选题 （共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、多选题（共18分） 09 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12． 13． 14． 四、解答题（共77分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（本小题满分15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（本小题满分17分） 17． （本小题满分15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（本小题满分17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 卓同教育集团高2023级强化训练（八) 数学试题·答题卡 姓名： 考生条形码粘贴处 班级： 准考证号： 一、单选题 (共40分) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[AJ[B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[AJ[B][C][D] 二、多选题（共18分） O9[A][B][c][D] 10A][B][C] [D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 13. 14. 四、解答题（共77分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤) 此区域禁止答题 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(本小题满分13分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16. (本小题满分15分) D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 17.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）数学强化训练九答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D D B A D AC AB AC 1【解析】由题可知A∩B={2,5},所以Cu(AnB)={1,3,4. 2【解析】因为(1+2)2=4+31，所以z=牛3：=4+0-0=10-5=2-i, 1+21 (1+2i)(1-2i) 5 则z=2+i,故z=V4+1=5. 3【解析】因为a=(1,0),b=(2,3),c=(1,-1), 所以a+b=(1,0)+(2,3)=(2+入，3)，因为(a+b1c, 所以(a+b)·c=1×(2+)+(-1)×3=1-1=0,解得1=1. 4【解答】解：设大半圆半径为R,小半圆半径为r,则AB=R-r, r R-r O AB 设圆台上底面圆的半径为，圆台下底面圆的半径为R, 将此半圆环卷成圆台侧面时，展开的扇环大弧长πR,对应圆台底面周长2πR, 所以R2aR,则R小弧长a对应顶面周长2，所沙=2，则分 圆台母线长1=R-r,过A作AC垂直BO,则AC/1OO,,所以AC⊥圆O,, 则母线与底面所成角为∠ABC,底面与顶面半径差为CB=R-胃=R,' 2 R-r 在直角三角形ACB中，BC=R-万=R,',所以cos∠ABC-BC=2=1 2 AB R-r2 所以∠ABC-胥，即母线与底面所成角的度数 3 5.【解析】令ox=,k:∈Z,得x=恶k1eZ, 所以函数)y=tan的对称中心为(，），k1∈乙， 又函数y=sinx的对称中心为(k2L,0),k2∈Z, 试题第1页（共10页） 函数y=tanx的对称中心与函数y=sinx的对称中心重合，所以2d=1,即ω=± 6【解析】C:x2+y2-6x=0→(x-3)2+y2=9,故圆心为C(3,0), 半径为3，c30到：5x+V3+1=0的距离为d==2, 又3-2=1，故过点C作CD垂直l与圆C交于点D,在CD上取点M, C 使得CM=1,过点M作AB⊥CD,交圆C于点A,B, 所以圆C:x2+y2-6x=0上到直线距离为1的点的个数为3，分别为 A,B,D. 7解答】解：依题意，易得以RB为直径的圆的方程为x+y=c2,设P( 5x+39y+1=0 0)’ 则Q(-'-)又由双曲线。.x少 易得双曲线。的渐近线为 =1 y=土 -x 如图，联立〔 b ，解得x=a或x=-a v=-x y=by=-b x2+y2=c2 .P(a,b),Q(-a,-b),又A(-a,0),AQ⊥x轴， 电得PA=牙，tam∠PAg=1=4名8 :.b=2a,c-a=b=4a,c?=sd,e==5. 8【解析】【详解】当a≥0时，f'(x)=3x2+a≥0，此时，函数f(x)在R上为增 函数，当x1、七∈(mn)时，f(x)<f(n),f(x)>f(),不合乎题意，所以， gar=0可得x-号 所以，函数f(x)的单调递增区间为 5 单调递减区间为 对任意的x∈[m,n川恒有f(m)≤f(x)≤f(n),f(x)m=f(m）, 试题第2页（共10页） f(x)=f(m),又当x、x∈(，n)且满足f(x)=f(n),f(x)=f(m), 所以。云为两数八)的极大准点，名为两激八)的数小伯点，则g-一月 为-号l)四可狗式-cb=+m-6.可将 (x-n）+a(x-n=0, 即(x-n)(x+x+n+4=0,因为x≠n,则 y-fx) x2+x+n2+a=0, 可得a=-3x,所以，n2+x-2x=0,即 (n-x)(n+2x)=0, 所以，n+2x1=0,同理可得m+2x2=0,故选：D. 9【解析】A选项，由题意得(0.01+0.02+0.04+a)×10=1,解得a=0.03,A对： B选项，由频率分布直方图可知，年龄处于区间[30,40]的观众频率最大， 故该场观众年龄众数的估计值为30十0=35，B错误： C选项，由于(0.01+0.02)×10=0.3<0.5，(0.01+0.02+0.04×10=0.7>0.5， 故该场观众年龄50%分位数处于[30,40]中，设为x, 则(x-30)×0.04=0.5-0.3,解得x=35, 所以该场观众年龄50%分位数的估计值为35，C正确： D选项，该场观众年龄平均数的估计值为 (040×0.01+200×0.02+04型×0.04+0：0×0.03)×10=34，D错误 2 2 2 10【解析】对于A,由题意得4+=a+2=q3=8,则q=2,故A正确： a1+a2a1+a2 对于B,由a1+a2=3,可得a1+2a1=3,解得a1=1, 白等比数列前境和公武得5。=”=公-1.得酷岩-号=9，B正确： 1-2 对于C,由等比数列性质得S3,S6-S3,Sg-S6成等比数列， 且S3=7,S6-S3=56,得到Sg-56=56×8=448, 即a7+ag+ag=Sg-S6=448,故C错误： 试题第3页（共10页） 对于D,由等比数列性质得a,=a1·q”-1=2n-1, 则a1a2…an-1a=20+12++0n-2+0n-)=2,故D错误 11答案：AC (A)-P(AB)=x,P(B)-P(AB)=y.F(B)=P() 所以有： P(A) x+P(48)y+P(A8_上+L+2 P(AB)P(AB)x y 解得P(AB)=炒.：P(A)≠0，P(B)≠0，∴.y>0,即事件A、B一定不相互独立，A正确， B错误：由题意得：X+7+2=克根据均值不等式有：x+y+2y宁2y+2厅，解得 4 C正确，D错误 三、填空题：12.【答案】-16013.【答案】(-∞，-)U(0,+∞)14.【答案】23 105 12【解析】展开式的通项为Ir+1=Cgx2)-(-到=(-2)rCgx2-3”,r=0,16, 则T4=(-2)3cx3=-160x3,故展开式的第4项的系数是-160. 13.【解析】设过坐标原点的切线与y=f)相切于点(9)，f)=兰，f)= 二，在点（号）处的切线方程为：y-=(x-), e=+a-®，“t2-at-a=0, et et t∈R,且过坐标原点的切线有两条，△=a2+4a>0,解得：a<-4或a>0, 即a的取值范围为(-∞，-4)U(0,+∞) 14【解答】解：摸5个球共A=2520种不同方法，若恰好在第5次摸球后将所有球都 摸到，分为如下情况： ①第5次摸到的是黄球，则前4次摸到的均为白球和红球，共A4C=72种方法： ②第5次摸到的是白球，则前4次摸到的球可能为2红2黄或1红3黄，2红2黄的 摸法有CAC=144种， 1红3黄的摸法有CA4C=96种： 试题第4页（共10页） ③第5次摸到的是红球，与摸到白球的情况同理， 所以所求概率为P(X=)=72+2×44+96.23 2520 105 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【解析】【小问1详解】 因为sinB+sinC=2 sin Acos B,由正弦定理可得b+c=2 acos B, 再由余弦定得得6+c=2a.+C-B,整理得a-2=bc5分 2ac 【小问2详解】因为∠ABC,∠CBD互补，所以coS∠ABC+cOS∠CBD=0, 结合余弦定理可得+c-方++BDD-0, 2ac 2a.BD 因为c=HB3,BD=1,则+9-及++1-CD=0: 3 1 整理得4a2-b2+12-3CD=0,又ad2=b2+bc=b2+30, 则c0f-0+4-+0)+4-24b4-+2明 从而CD=b+2,故CD-CA=2为定值13分 16.【详解】(1)在4BC中，由余弦定理可得 AB=VAC2+CB2-2AC.CB.cosC 16+4-2x4×2xc0sL=2W5, 3 又M为AC的中点，则MA=MB=MD 取BM的中点O,显然有OD⊥BM, M 因为MB=MC=BC,则在△AMO中，∠AMO=120°，A 由余弦定理可得 A0= AM2+MO2-2AM.MO.CosLAMO 2 4+1-2x 2x 1x cos 3 2元5，(4分) 试题第5页（共10页） 可得DA2=OD2+OA2,所以OD1OA, 所以OD⊥OA,OD⊥BM,OAC BM=O,AOC平面ABM,BMC平面ABM, 所以OD⊥平面ABM,因为ODC平面DMB,所以平面DMB⊥平面ABM(7分) (2)如图所示，连接OC,因为MB=MC,所以OC·MB, 由(1)可知，MB,OC,OD两两相互垂直， D 则以O为坐标原点，以OB,OC,0D为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， 则C(0,5,0）,B1,0,0),M(-1,0,0),A(-2,-V5,0,D(0,0,3),(9分) 故M=（-1,-V5,0),M而=10,5AB=飞，5,0）. B 记P在DM上的射影点为O,设AP=2AB,MQ=uMD 可得P=Mo-MA-AP=(u+1-32,3-√3元，3u, o-0.同u+13闭555网=0 则 PeM而=0'(+1-3+3(V34=0 解得= 因为AP-B,且AB=25,所以4P-10W5 7 所以存在P符合题意，且4P=105.(15分) 7 17.【详解】(1)根据题意知，的所有可能取值为0,1,2,3，（2分) 43.412 所以P(I=0)=5×年X行25 二 134,414.4112 P(7=1)=2×2×2+2××2+2×× 5455455455” 0=2-写号子品 p0=3)-5X45100 1111 6分 所以的分布列为： 0 1 2 3 1 2-5 11 1 25 100 100 10020:(8分) 所必B0E0x12+1x3+2x1士3x113 25 100 试题第6页（共10页） (2)根据题图可得， F=52+56+58+62+64+68=60,元=3650+3680+370+3720+3780+3820=3725. 6 6 代入方程得à=7-(-0.1)×=60+3725×0.1=432.5，所以=-0.1X+432.5.(12分) 设获得的利润为W元，则W=(-0.1X+432.5)(X-3605), 整理得W=-0.1X2+793X-432.5×3605,其中X>0, 故当X-7930-3965时，利润有最大值。(15分) 2 18.【详解】(1)设C的焦距为2c,则c2=a2+b2.当直线P9垂直于x轴时， 将-6代C的方，海号芳=1，解得，=土盒 以Pg=26，又A=a+c,所以△4Pg的面积为PgAa+G a 花(a+c）-9 a a=1 由 C=2 ’解得b=√3，所以C的方程为x-31.(4分) a2+b2=c2 c=2 (2)由(1)知F(2,0),易知直线P9斜率不为0， 设直线P2:x=y+2,P(:,),2(x,). 3.x2-y2=3 12 9 由m+2,得B-广+12m+9=0,+为=320y3n’ 易知为头<0，所以m<兮…6分 试题第7页（共10页） -12m-4x、9-1+m 3m2-1 3m2-1-1-3m2 ,8分 6 设p=+me1,25 6p ”3 则5o4-3p4-3p 因为函数y= 43p在1,2y3 上单调递减， 3 所以当P=1时，y=4-3p取得最大值，最大值为1， 6-26 则5，oe4-3p ，所以△POC面积的最小值为6.(13分) （3)假设存在，不妨设T(t,0), 则7TP.T=(x-t)(化-t)+y=(y+2-t)(%,+2-t)+y =-小+e-咖+e-格-5=梨别=”代入 可得 0-a*n2e-0a器e-少.f9, 若示页为定价，则2,5-号解得1=1，此时示范=0， 所以x轴上存在定点T(-1,0),使得TP.T0为定值.(17分) 19.【解析】(1)当a=0时，f(x)=(x+1)e,求导得f(x)=(x+2)ex, 切线与x轴平行，即切线斜率为0，故f(x)=0. 由(x+2)ex=0,ex>0,得x=-2,又f(-2)=(-2+1)e-2=- 故点P的坐标为(-2一司)4分 (2)要证对任意xx,∈0，+四)且x1<,都有@> X2-X1 等价于证fc2)->fx)-x1, 令g()=f)-x=(x+1)ex-a-x,只需证gx)在(0，+o)上单调递增， 试题第8页（共10页） 求导得g)=(x+2)e*- 又x>0,e×>1,x+2>2,则g(x)>0,g(x)在区间(0，+o)上单调递增， 原不等式得证..10分 (3)法1：f(x)=(x+1)ex-a,求导得f'(x)=(x+2)e, 令f(x)=0,得x=-2,又ex>0, 当x<-2时，f(x)<0,f(x)单调递减： 当x>-2时，f(x)>0,f(x)单调递增： 故f)在x=-2处取得极小值，f(-2)=(-2+1)e2-a=-吉-a, 当a>e3,f(-2)<0, 当x→-∞时，(x+1)e→0，从而f(x)→-a<0,结合f(x)在(-∞，-2]上单调 递减， 可知当x≤-2时，恒有f(x)<0,故f(x)在(-∞，-2]上无零点： 当x→+o时，f(x)→+o,又f(-2)<0且f(x)在(-2，+∞)上单调递增， 由零点存在定理及单调性知，f(x)在(-2，+o)上存在唯一的零点xo, 综上，当a>e3,f(x)有且只有一个零点xo 由于f(x)在(-2，+∞)上单调递增，且f(xo)=0,要证xo<-1+lna, 只需证f(-1+na)>0, f(-1+Ina)=[(-1+Ina)+1]e-1+ina-a=(Ina).e-1.elna-a =ma)·a-a=a(e-1） 因为a>e3,所以lna>3,从而>>1，故g-1>0, 又a>0,所以f(-1+lna)>0,从而xo<-1+lna,得证17分 法2：即证明(x+1)e=a(a>e)只有一个根x,且x,<-1+na 令h)-(x+1e'.则H(=(Gc+2)e'(x∈R).()在（←-0，-2）单减，(-2，+0)单增 x<-2时，h(x)<0,图像在x轴下方，单减 h(-1)=0,x>-1时，h(x)>0,x→+on,h(x)→+o0且单增 故，当a>e3时，f(x)有且只有一个零点xo>-l 试题第9页（共10页） V=a 0 现证明：x0<-1+lna. 即证h(-l+nm>a一lna~e+iaa>a一ha>e 所以只需证a>e,a>e,∴.a>e显然成立。即xo<-1+lna成立。得证。 试题第10页（共10页）卓同教育集团高2023级强化训练九 数学试题 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 命题：童先鹏审题王代成 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.己知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2,5,集合B={2,3,5,则C(AnB)=() A.{4 B.{2,5} C.{1,3,4 D.{1,2,3,5} 2.己知复数z满足(1+2)z=4+3i,则z=() A.吉 B.9 C.5 D.5 3.已知向量a=(1,0),=(2,3),c=(1,-1),若(a+b1亡，则2=() A.-5 B.-1 C.1 D.5 4.在一张半圆形纸片（圆心为O)内部剪掉一个小半圆形（圆心为O),将剩余部分卷成一 个圆台的侧面，则该圆台的母线与底面所成角的度数是() A君 B. c D. 5.若函数y=tanωx的对称中心与函数y=sinx的对称中心重合，则w=() A.1 B.土 C.±1 D. 6.直线的方程为l:5x+V39y+1=0,则圆C:x2+y2-6x=0上到直线距离为1的点 的个数为() A.4 B.3 C.2 D.1 7已知双曲线c,Q>0.6>0的左、石焦点分别为乃与乃，A是双曲线c的左顶一 点，以3为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P,Q两点，且∠PAQ-3,则双 曲线C的离心率为() A.√5 B.3 C.2D.√2 8.已知函数f(x)=x+ax+b,a、b∈R.x1、x∈(m,n)且满足f(x)=f(nm), f(x)=f(m),对任意的x∈[，n]恒有f(m)≤f(x)≤f(n),则当a、b取不同的值 时，（) A.n+2x与m-2x2均为定值 B.n-2x1与m+2x2均为定值 C.n-2x与m-2x均为定值 D.n+2x与m+2x均为定值 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 第1页共4页 9.2025年9月20日，四川省城市足球联赛（简称“川超）开幕式暨揭幕战观众达21448 人.为了解各年龄层对“川超的关注程度，随机选取了200名年龄在[10,50]的观众进 行调查，并绘制如下的频率分布直方图，则() 频率 A.a=0.03 个组距 0.040---- B.该场观众年龄众数的估计值为40 a C.该场观众年龄50%分位数的估计值为35 0.020- D.该场观众年龄平均数的估计值为35 0.010 10.已知等比数列{an的公比为q,前n项和为Sn, a1+a2=3,a4十a5=24,则下列说法正确的是() 01020304050年龄（岁） A.q=2 B.9=9 53 n(n+1) C.a7+a8+ag=504 D.a1a2a3…an-1an=22 1.事件AB是随机试验中的两个事件，p(④≠0，p(B)≠0，Pp(④+p(B)= 2 1 1 1 1 +2,下列说法正确的是() P(B A)P(A B)P(B)-P(AB)P(A)-P(AB) A.事件A,B一定不相互独立 B药P团-子则P4的-G euem29 D.p(AB)∈(0， 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.（x2-)°的展开式的第4项的系数是 13.已知函数f(x)=(a∈R),若曲线y=f(x)有两条过坐标原点的切线，则a的取值范 围是 14.某不透明箱子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球，2个红球和3个黄 球，若采取不放回的方式每次从箱子中随机取出一个球，当三种颜色的球都被摸到时停 止摸球，记此时已摸球的次数为随机变量X,则P(X=5)= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)在△4BC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,C,且满足 sin B+sin C=2sin Acos B. (1)证明：a2-b2=bc: (2)如图，点D在线段AB的延长线上，且AB=3, BD=1,当点C运动时，探究CD-CA是否为定值？ 第2页共4页 16.15分)在AMBC中，∠ACB零AC=4BC=-2,M为4C的中点，如图，沿2将 △CMB翻折至△DMB位置，满足DA=V10 (1)证明：平面DMB⊥平面ABM; (2)线段AB上是否存在点P,使得P在平面DAM内的射影恰好落在直线DM上.若存在， 求出AP的长度；若不存在，请说明理由. 17.(15分)某品牌电脑公司为了更好地了解甲、乙、丙三类机型电脑的质量情况，从某 商场已售的这三类机型电脑中各随机抽取了120台进行跟踪调查，得到各类机型电脑三年 内出现故障的概率如表： 电脑机 型 甲 丙 概率 1 5 5 销量y/台 68 驻 58 5 52 365036803700372037803820单价x/元 (1)某品牌电脑公司同时购置了甲、乙、丙三类机型电脑各一台，记刀表示这三台电脑三年 以内出现故障的台数，求刀的分布列及数学期望 (2)已知该品牌电脑公司新研发了一款丁机型电脑，该电脑公司为了对丁机型电脑合理定价， 将该机型电脑同一时间段在某销售商场按不同价格销售，所得数据如图所示.若销量Y(台) 与单价X（元)服从线性关系了=-0,1X+a:且该机型电脑的出厂价为3605元/台，求该 销售商场销售丁机型电脑获得的利润最大时，每台丁机型电脑的售价 第3页共4页 7分)已知O为坐标原点，双曲线C:片Q>0b>0)的离心率为2，A为d 左顶点，过右焦点F的直线与C的右支交于P,Q两点，当直线PQ垂直于x轴时，△APQ的 面积为9. (1)求C的方程， (2)求△P○Q面积的最小值. (3)试问x轴上是否存在定点T,使得TP.TO为定值，若存在，求出T的坐标；若不存在， 请说明理由. 19.(17分)已知函数f(x)=(x+1)e-a. (1)当a=0时，若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行，求点P的坐标： (2求证：对于任意的x,x2E(0,+),且x1<,都有>日 X2一X1 (3)当a>e3时，求证：f(x)有且只有一个零点xo,且xo<-1+lna. 第4页共4页 数学强化训练九答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C D C D B B A D AC AB AC 1【解析】由题可知，所以． 2【解析】因为，所以， 则，故. 3【解析】因为，，， 所以，因为， 所以，解得. 4【解答】解：设大半圆半径为，小半圆半径为，则， 设圆台上底面圆的半径为，圆台下底面圆的半径为， 将此半圆环卷成圆台侧面时，展开的扇环大弧长，对应圆台底面周长， 所以，则；小弧长对应顶面周长，所以，则， 圆台母线长，过作垂直，则，所以圆， 则母线与底面所成角为，底面与顶面半径差为， 在直角三角形中，，所以， 所以，即母线与底面所成角的度数是． 5．【解析】令，得， 所以函数的对称中心为， 又函数的对称中心为， 函数的对称中心与函数的对称中心重合，所以，即， 6【解析】，故圆心为，半径为3，到的距离为， 又，故过点作垂直与圆交于点，在上取点，使得，过点作⊥，交圆于点， 所以圆上到直线距离为1的点的个数为3，分别为. 7【解答】解：依题意，易得以为直径的圆的方程为，设，，则，，又由双曲线易得双曲线的渐近线为，如图，联立，解得或， ，，又，轴， 由得，， ，即，，． 8【解析】【详解】当时，，此时，函数在上为增函数，当、时，，，不合乎题意，所以，.由可得， 当或时，；当时，. 所以，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.对任意的恒有，，，又当、且满足，， 所以，为函数的极大值点，为函数的极小值点，则，，由可得，可得， 即，因为，则， ，可得，所以，，即， 所以，，同理可得，故选：D. 9【解析】A选项，由题意得，解得，A对； B选项，由频率分布直方图可知，年龄处于区间的观众频率最大， 故该场观众年龄众数的估计值为，B错误； C选项，由于，， 故该场观众年龄50%分位数处于中，设为， 则，解得， 所以该场观众年龄50%分位数的估计值为35，C正确； D选项，该场观众年龄平均数的估计值为 ，D错误. 10【解析】对于A，由题意得，则，故A正确； 对于B，由，可得，解得， 由等比数列前项和公式得，得到，B正确； 对于C，由等比数列性质得，，成等比数列， 且，，得到， 即，故C错误； 对于D，由等比数列性质得， 则，故D错误. 11答案：AC 三、填空题：12．【答案】 13．【答案】14．【答案】 12【解析】展开式的通项为， 则，故展开式的第4项的系数是. 13．【解析】设过坐标原点的切线与相切于点，，，在点处的切线方程为：， ，， ，且过坐标原点的切线有两条，，解得：或， 即的取值范围为. 14【解答】解：摸5个球共种不同方法，若恰好在第5次摸球后将所有球都摸到，分为如下情况： ①第5次摸到的是黄球，则前4次摸到的均为白球和红球，共种方法； ②第5次摸到的是白球，则前4次摸到的球可能为2红2黄或1红3黄，2红2黄的摸法有种， 1红3黄的摸法有种； ③第5次摸到的是红球，与摸到白球的情况同理， 所以所求概率为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【解析】【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 再由余弦定得得，整理得..............5分 【小问2详解】因为互补，所以， 结合余弦定理可得， 因为，，则， 整理得，又， 则， 从而，故为定值................................13分 16．【详解】（1）在中，由余弦定理可得， 则，又为的中点，则. 取的中点，显然有. 因为，则在中，， 由余弦定理可得，（4分） 可得，所以， 所以，，，平面，平面， 所以平面，因为平面，所以平面平面（7分） （2）如图所示，连接，因为，所以， 由（1）可知，两两相互垂直， 则以为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系， 则，（9分） 故. 记在上的射影点为，设， 可得， 则，即，解得， 因为，且，所以； 所以存在符合题意，且.（15分） 17．【详解】（1）根据题意知，η的所有可能取值为0，1，2，3，（2分） 所以， ， ， ，.........................................6分 所以η的分布列为： η 0 1 2 3 P 所以；（8分） （2）根据题图可得， ，, 代入方程得，所以.（12分） 设获得的利润为元，则, 整理得，其中， 故当时，利润有最大值. （15分） 18．【详解】（1）设的焦距为，则．当直线垂直于轴时， 将代入的方程，得，解得， 所以，又，所以的面积为． 由，解得，所以的方程为．（4分） （2）由（1）知，易知直线斜率不为0， 设直线． 由，得，， 易知，所以．.................6分 ，..........8分 设，则， 因为函数在上单调递减， 所以当时，取得最大值，最大值为1， 则，所以面积的最小值为6．（13分） （3）假设存在，不妨设， 则 将和代入， 可得 若为定值，则，解得，此时， 所以轴上存在定点，使得为定值．（17分） 19．【解析】（1）当时，，求导得， 切线与轴平行，即切线斜率为0，故． 由，得，又， 故点的坐标为．....................4分 （2）要证对任意且，都有， 等价于证， 令，只需证在上单调递增， 求导得， 又1,x+2>2，则，在区间上单调递增， 原不等式得证．......10分 （3）法1：，求导得， 令，得，又， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 故在处取得极小值，， 当，， 当时，，从而，结合在上单调递减， 可知当时，恒有，故在上无零点； 当时，，又且在上单调递增， 由零点存在定理及单调性知，在上存在唯一的零点， 综上，当，有且只有一个零点. 由于在上单调递增，且，要证， 只需证，      ， 因为，所以，从而，故， 又，所以，从而，得证..........17分 法2：即证明 令h(x)=,则 且单增 故，当时，有且只有一个零点>-1 现证明：． 即证 所以只需证。即成立。得证。 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 卓同教育集团高2023级强化训练九 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 命题：童先鹏 审题 王代成 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则（   ） A． B． C．5 D． 3．已知向量，，，若，则（   ） A． B． C．1 D．5 4．在一张半圆形纸片（圆心为内部剪掉一个小半圆形（圆心为，将剩余部分卷成一个圆台的侧面，则该圆台的母线与底面所成角的度数是　　 A． B． C． D． 5．若函数的对称中心与函数的对称中心重合，则（   ） A．1 B． C． D.    6．直线的方程为，则圆上到直线距离为1的点的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 7.已知双曲线的左、右焦点分别为与，是双曲线的左顶点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，且，则双曲线的离心率为　 A． B． C．2 D． 8．已知函数，、．、且满足，，对任意的恒有，则当、取不同的值时，　 A. 与均为定值 B. 与均为定值 C. 与均为定值 D. 与均为定值 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．2025年9月20日，四川省城市足球联赛（简称“川超”）开幕式暨揭幕战观众达21448人．为了解各年龄层对“川超”的关注程度，随机选取了200名年龄在的观众进行调查，并绘制如下的频率分布直方图，则（   ） A． B． 该场观众年龄众数的估计值为40 C． 该场观众年龄50%分位数的估计值为35 D． 该场观众年龄平均数的估计值为35 10．已知等比数列的公比为q，前n项和为，,，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．事件A,B是随机试验中的两个事件， ,下列说法正确的是（ ） A.事件A,B一定不相互独立 B. 若 C. D. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式的第4项的系数是___________． 13．已知函数，若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是__________． 14．某不透明箱子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球，2个红球和3个黄球，若采取不放回的方式每次从箱子中随机取出一个球，当三种颜色的球都被摸到时停止摸球，记此时已摸球的次数为随机变量，则_________ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中，角，，所对的边长分别为，，，且满足． （1）证明：； （2）如图，点在线段的延长线上，且，，当点运动时，探究是否为定值？ 16．（15分）在中，为的中点，如图，沿将翻折至位置，满足. (1)证明：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得在平面内的射影恰好落在直线上.若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 17．（15分）某品牌电脑公司为了更好地了解甲、乙、丙三类机型电脑的质量情况，从某商场已售的这三类机型电脑中各随机抽取了120台进行跟踪调查，得到各类机型电脑三年内出现故障的概率如表： 电脑机型 甲 乙 丙 概率 (1)某品牌电脑公司同时购置了甲、乙、丙三类机型电脑各一台，记表示这三台电脑三年以内出现故障的台数，求的分布列及数学期望． (2)已知该品牌电脑公司新研发了一款丁机型电脑，该电脑公司为了对丁机型电脑合理定价，将该机型电脑同一时间段在某销售商场按不同价格销售，所得数据如图所示．若销量（台）与单价（元）服从线性关系，且该机型电脑的出厂价为元/台，求该销售商场销售丁机型电脑获得的利润最大时，每台丁机型电脑的售价． 18．（17分）已知为坐标原点，双曲线的离心率为为的左顶点，过右焦点的直线与的右支交于两点，当直线垂直于轴时，的面积为9． (1)求的方程． (2)求面积的最小值． (3)试问轴上是否存在定点，使得为定值，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（17分）已知函数． (1)当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标； (2)求证：对于任意的，且，都有； (3)当时，求证：有且只有一个零点，且． 第 2 页 共 4 页 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $