精品解析：四川遂宁市卓同教育集团2025-2026学年高三下学期强化训练（十二）数学试题

卓同教育集团高2023级强化训练（十二） 数学试题 命题：符刚 审题：吴振 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数，若的实部与虚部相等，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，汽车内胎（不考虑物体的内部结构）可以由下面某个图形绕轴旋转而成，这个图形是（ ） A. B. C. D. 4. 函数，将的图象向左平移个单位长度后，再将所得的图象上所有的点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 6. 已知是定义域为的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知正三角形的边长为2，以B为圆心的圆与直线相切，若点P是圆B上的动点，则的最大值是（ ）． A. B. C. 4 D. 8. 已知函数的图象与函数且的图象关于直线对称，记.若在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列满足，则下列结论正确的有（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列 C. 的通项公式为 D. 数列是递增数列 10. 设为坐标原点，若对于区域中任意两点，都有，则称为“凸集”，则下列不等式所表示的区域中，是凸集的是（ ） A. B. C. D. 11. 我国南宋数学家杨辉年所著的详解九章算法一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（ ） A. 第行的第个数最大 B. 第行所有数字之和为 C. 从第行起到第行，每一行第个数字之和为 D. 第行的所有数字之和被除的余数为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则_____． 13. 已知数列（为虚数单位），则的前项和为___________． 14. 将上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为6的一个圆台打磨成一个球，再将此球打磨成一个圆柱，则该圆柱体积的最大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 16. 某市场上工业品零件W的三种品牌公司的产品，相应的市场占有率和优质率的信息如下表： 品牌 甲 乙 丙 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 90% 80% 70% 记，，表示买到的工业品零件W的品牌分别为甲、乙、丙，B表示从市场上买的一个工业品零件W是优质品． （1）求事件B发生的概率； （2）用比例分配的分层随机抽样方法，从该市场选取10个工业品零件W，再从这10个零件中任选2个，用X表示这2个零件中品牌甲的个数，求X的分布列和数学期望． 17. 已知菱形中，，，为中点，如图一所示，现将沿着折起，使得点到达点，如图二所示． （1）当时，证明：平面平面； （2）当时，求平面与平面所成角的余弦值． 18. 已知椭圆的短轴长为2，一个焦点为，过点且与坐标轴不垂直的直线与交于两点. （1）求的方程. （2）若线段的垂直平分线交轴于点，交直线于点. （i）求； （ii）证明：. 19. 已知函数． （1）证明：； （2）将所有正零点排列为严格递增数列 （i）证明：； （ii）设表示不超过的最大整数，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 卓同教育集团高2023级强化训练（十二） 数学试题 命题：符刚 审题：吴振 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数，若的实部与虚部相等，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题设有，即. 2. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解不等式，得或，即， 所以. 3. 如图，汽车内胎（不考虑物体的内部结构）可以由下面某个图形绕轴旋转而成，这个图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A选项中的图形旋转得到的是同心球，外面一个大球，里面一个小球； B选项中的图形旋转得到的是空心环状几何体； C选项中的图形旋转得到的是内胎； D选项中的图形旋转得到的是球. 4. 函数，将的图象向左平移个单位长度后，再将所得的图象上所有的点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 将的图象向左平移个单位长度，得， 再将所得的图象上所有的点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得. 5. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【详解】因关于的不等式的解集为， 则，即， 则，即， 所以，解得或． 6. 已知是定义域为的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】是定义域为的奇函数，可得， ，令，得， 令，得， 又函数为上的奇函数，故. 7. 如图，已知正三角形的边长为2，以B为圆心的圆与直线相切，若点P是圆B上的动点，则的最大值是（ ）． A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】以A为原点，建立平面直角坐标系，设，求出坐标，由数量积的坐标运算结合余弦函数的性质即可得出答案. 【详解】 如图，以A为原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 已知正三角形的边长为2，以B为圆心的圆与直线相切， 则，圆B的半径为， 因为点P是圆B上的动点，设， 则， 则， 因为， 所以，当时，取得最大值为. 8. 已知函数的图象与函数且的图象关于直线对称，记.若在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用反函数的性质求出函数的解析式，代入的见解析将函数表示出来，对进行分类讨论，利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】函数的图象与函数且的图象关于直线对称， 与互为反函数， ， 令，函数可化为，对称轴为直线. 当时，为增函数，若在区间上单调递增， 则在上单调递增，，解得，不合题意，舍去. 当时，为减函数，若在区间上单调递增， 则在上单调递减，，解得. 综上得，的取值范围是. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列满足，则下列结论正确的有（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列 C. 的通项公式为 D. 数列是递增数列 【答案】AC 【解析】 【详解】由，得，则， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，故A正确，B错误； 则，即，即数列是递减数列，故C正确，D错误. 10. 设为坐标原点，若对于区域中任意两点，都有，则称为“凸集”，则下列不等式所表示的区域中，是凸集的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先明确每个不等式所表示的区域，再判断区域内任意两点的连线是否在区域内即可. 【详解】对于A：它表示的是一个菱形区域，任意两点的连线都在区域内，是凸集； 对于B：它表示的是椭圆及其内部，任意两点的连线都在椭圆内，是凸集； 对于C：它表示的是双曲线的两支及其外侧，分别取两支上的一点，连线会穿过中间空白区域，不是凸集； 对于D：它表示的是开口向上的抛物线及其内部，任意两点连线都在区域内，是凸集. 11. 我国南宋数学家杨辉年所著的详解九章算法一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（ ） A. 第行的第个数最大 B. 第行所有数字之和为 C. 从第行起到第行，每一行第个数字之和为 D. 第行的所有数字之和被除的余数为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由组合数的性质计算可判断；由杨辉三角的每行系数和性质可判断；由杨辉三角图可知，第行有个数字，每行最中间项的系数最大可判断C；求和后转化为，利用二项式定理展开可判断． 【详解】对于，由杨辉三角图可知，第行有个数字， 如果是奇数，则第和第个数字最大，且这两个数字一样大； 如果是偶数，则第个数字最大，故第行的第 个数最大，故 A错误； 对于，由杨辉三角的每行系数和性质可知， 第行所有数字之和为，第行所有数字之和为， 第行所有数字之和为，第行所有数字之和为， 第行所有数字之和为，以此类推，第行所有数字之和为，故 B正确； 对于C，由题意可得 ， C正确， 对于，第行的所有数字之和为 ，由于能被整除， 故第行的所有数字之和被除的余数为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以 13. 已知数列（为虚数单位），则的前项和为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的乘方运算化简数列的通项，再利用分组求和法，结合等差、等比数列的前项和公式求解. 【详解】数列中，， 显然数列为等比数列，是等差数列， 所以. 14. 将上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为6的一个圆台打磨成一个球，再将此球打磨成一个圆柱，则该圆柱体积的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【详解】 如图，由圆台的轴截面可知，当母线长等于上、下底面圆的半径之和时，圆台有内切球. 因为，所以该圆台有内切球， 故当打磨成该圆台的内切球时，球的体积最大. 记内切球半径为R，可得，. 记圆柱的底面半径为r，高为h， 易知圆柱体积最大时其外接球为圆台的内切球， 所以，则，， 此时圆柱的体积. 设，，则. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以，所以该圆柱体积的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）辅助角公式结合角的范围即可求解； （2）由三角形的面积公式结合余弦定理即可求解. 【小问1详解】 由， 有，即， ，， ，； 【小问2详解】 由（1）的结论有， 又，， 由三角形面积公式有 ，， 在中，由余弦定理有 ，， 的周长. 16. 某市场上工业品零件W的三种品牌公司的产品，相应的市场占有率和优质率的信息如下表： 品牌 甲 乙 丙 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 90% 80% 70% 记，，表示买到的工业品零件W的品牌分别为甲、乙、丙，B表示从市场上买的一个工业品零件W是优质品． （1）求事件B发生的概率； （2）用比例分配的分层随机抽样方法，从该市场选取10个工业品零件W，再从这10个零件中任选2个，用X表示这2个零件中品牌甲的个数，求X的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） X 0 1 2 P 数学期望1． 【解析】 【分析】（1）由全概率公式即可求解； （2）由分层抽样得出品牌甲乙丙工业品的个数，由题意分析出，1，2，分别求得对应概率即可得出分布列，再根据期望的计算方法即可求解期望． 【小问1详解】 由题得，市场占有率：，，， 优质率：，，， 则由全概率公式得． 【小问2详解】 由题意，10个工业品零件W中品牌甲5个，品牌乙3个，品牌丙2个， ，1，2， ， ， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 数学期望． 17. 已知菱形中，，，为中点，如图一所示，现将沿着折起，使得点到达点，如图二所示． （1）当时，证明：平面平面； （2）当时，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） 在菱形中，由，得是正三角形，由为中点，得， 在图二中，，由，得， 又平面，因此平面，由，得平面， 又平面，所以平面平面. （2）． 【解析】 【分析】（1）利用菱形的性质，线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证. （2）取中点，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得平面，取的中点为，连接，由，得为正三角形， 则，作，则平面，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 18. 已知椭圆的短轴长为2，一个焦点为，过点且与坐标轴不垂直的直线与交于两点. （1）求的方程. （2）若线段的垂直平分线交轴于点，交直线于点. （i）求； （ii）证明：. 【答案】（1）椭圆的方程为:； （2）（i）； （ii）由（i）知直线：，令得 所以 由①式可知，，所以 即得证. AI 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的基本量关系求解； （2）（i）假设直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理可将表示出来，再利用垂直平分线性质表示出直线，令，得到，从而得到的值，代入化简得的值；（ii）结合（i）中直线方程，令，得，从而计算，化简可得，证得. 【小问1详解】 由题可知：，故；焦点，得；由得. 所以椭圆的方程为： 【小问2详解】 （i）设直线： 与椭圆方程联立消去得： ① 则，中点 线段的垂直平分线：， 化简得：. 令，得， 则， 所以. （ii）略 19. 已知函数． （1）证明：； （2）将所有正零点排列为严格递增数列 （i）证明：； （ii）设表示不超过的最大整数，求． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）证明见解析，（ii） 【解析】 【分析】（1）直接利用导数证明即可； （2）（i）根据题意可知在上有一个零点，再由即可证明； （ii）由恒等变形可得，又，则，再证，即可得到，故． 【小问1详解】 证明：，， ，，， 所以在区间上单调递增， . 【小问2详解】 （i）证明：由（1）在区间上单调递增， 则时，，即此时无零点， 当，，单调递增， 又， ，， 则在上有一个零点， 同理可得在上有一个零点， 又，，， ， 又， ，且在上单调递增， ，即； （ii）， ， ， ， 又， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $