专题07相交线与平行线易错必刷题型专项训练(21大题型共计65道题)2025-2026学年沪科版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦相交线与平行线高频易错点，以21类典题构建“概念辨析-判定应用-性质探究-综合证明”递进式训练体系，通过易错点精准剖析提升解题规范性与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |相交线基础|7题型/垂线、对顶角等|概念辨析+易错点规避（如忽略“同一平面”前提）|从垂线、对顶角等核心概念切入，夯实几何语言表达基础| |平行线判定|7题型/三线八角识别、判定定理应用|角位置特征识别+判定依据对应（如同位角相等证平行）|以角的关系为桥梁，建立“角相等/互补→线平行”的推理链条| |平行线性质|4题型/性质应用、角关系模型|性质与图形模型结合（如“猪蹄模型”角关系探究）|由线平行推导角关系，培养几何直观与空间观念| |综合应用|3题型/判定与性质综合、角度计算|判定与性质逻辑链构建（先证平行再用性质）|整合判定与性质，形成“证平行-用性质-求角度”的完整解题流程|

专题07相交线与平行线易错必刷题型专项训练 本专题汇相交线与平行线章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.垂线的定义理解 题型02,垂线段最短 题型03.点到直线的距离 题型04.对顶角定义 题型05.对顶角相等 题型06.邻补角的定义理解 题型07.利用邻补角互补求角度 题型08.同位角.内错角.同旁内角的识别 题型09.同位角相等,两直线平行 题型10.内错角相等,两直线平行 题型11.同旁内角相等,两直线平行 题型12.垂直于同一直线的两直线平行 题型13.平行公理的应用 题型14.平行公理推论的应用 题型15.两直线平行.同位角相等 题型16.两直线平行.内错角相等 题型17.两直线平行.同旁内角互补 题型18.由平行线的性质探究角的关系 题型19.由平行线的性质求角的度数 题型20.由平行线性质与判定求角度 题型21.由平行线判定与性质证明 易错必刷题型01.垂线的定义理解 典题特征：结合图形判断垂线、垂足的相关说法是否正确 易错点：①忽略“在同一平面内”的前提条件；②误将线段、射线的垂直判定为无交点就不垂直 1．如图，两个画图过程，直观地刻画了一个基本事实，这个基本事实指的是（   ） A．两点确定一条直线 B．同位角相等，两直线平行 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 【答案】C 【详解】解：由作图可知，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 2．如图，、交于点，，垂足为，，则______． 【答案】 【分析】根据垂直的定义得出，利用角的和差关系求出的度数，最后根据对顶角相等即可求解． 【详解】解： ， ， ， ， 与是对顶角， ． 3．如图，直线相交于点O，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂直的定义可得，结合平角定义及已知比例关系求出的度数，最后利用邻补角定义求解，即可解题． 【详解】解： ， ， 由图可知， ， ， （邻补角定义）， ． 易错必刷题型02,垂线段最短 典题特征：结合实际场景（如修路、引水）利用垂线段最短解决最短路径问题 易错点：①误将“两点之间线段最短”与“垂线段最短”混淆；②忽略“直线外一点”的前提条件 4．如图，某村庄（P点）旁有一条公路，现在要建一个公交车站，为了使居民乘车最方便，有关部门选择在C点来建公交车站，用所学的几何知识解释其道理正确的是（   ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．经过一点有无数条直线 【答案】B 【详解】解：∵ ∴点P到上一点的连线中，最短 ∴用到的几何知识为垂线段最短． 5．下列三个日常现象：其中可以用“垂线段最短”来解释的是______（填序号） AI 【答案】① 【分析】本题考查了垂线段最短、两点之间线段最短以及直线的性质，根据垂线的性质：垂线段最短，两点之间线段最短，两点确定一条直线，分别分析三个现象即可得到结论． 【详解】解：①跳远成绩的测量，是测量落地点到起跳线的垂直距离，利用了“垂线段最短”的性质，符合题意． ②道路改道，是将弯曲的道路改为直路，缩短了路程，利用了“两点之间线段最短”的性质，不符合题意． ③木条固定，是用两个钉子将木条固定在墙上，利用了“两点确定一条直线”的性质，不符合题意． 6．在，，，，．点是边上的动点，则的长不可能为（   ） A．2.5 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段，利用垂线段最短是解题关键． 从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，根据垂线段最短，可得答案． 【详解】解：如图，，点是边上的动点， ，即． ， 的长不可能为． 故选：A． 易错必刷题型03.点到直线的距离 典题特征：根据图形求点到直线的距离，或判断相关说法的正误 易错点：①误将垂线段的长度写成垂线段本身；②混淆点到直线的距离与两点间的距离 7．如图，，垂足为点A，能表示点B到的距离的是（    ）      A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】A 【分析】根据点到直线距离的定义即可得出结论． 【详解】解：∵直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离， ∴点B到的距离是线段的长度． 8．如图，在三角形中，点，在边上，连接，，且，，则点到的距离是线段______的长度． 【答案】 【详解】解：∵，点是垂足， ∴点到的距离是线段的长度． 9．如图，点P在直线l上方，点A，B在直线l上，，则点P到直线l的距离可能是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，根据垂线段最短判断即可． 【详解】解：垂线段最短， 点P到直线l的距离小于4， 故选：D． 10．如图，从点A向引三条线段，且，．    (1)、、中最短的是__________________；判定理由是__________________． (2)若，，，依据等积法，求点A到线段的距离． 【答案】(1)，垂线段最短 (2) 【分析】本题考查了垂线段最短，点到直线的距离等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）根据垂线段最短判断即可； （2）根据点到直线的距离的定义和等面积法求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴、、中最短的是；判定理由是垂线段最短， 故答案为：，垂线段最短； （2）解：∵，，，，， ∴，即， ∴， ∴点A到线段的距离为． 易错必刷题型04.对顶角定义 典题特征：结合图形判断哪组角是对顶角 易错点：①只看“有公共顶点”，忽略“两边互为反向延长线”的核心条件；②将邻补角误判为对顶角 11．下列各图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角叫做互为对顶角，由此即可求解． 【详解】解：根据对顶角的定义，只有C选项的图形中，一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点， ∴C选项中与是对顶角 ． 12．如图，直线相交于点，则的对顶角是_________，的邻补角是_________；若，则_________，_________． 【答案】 / 或 /度 /度 【分析】本题主要考查了对顶角的定义和性质，邻补角的定义和性质，熟知对顶角的定义和性质，邻补角的定义和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，的对顶角是，的邻补角是或； ∵， ∴，； 故答案为：；或；；． 13．如图，直线，相交于点，平分． (1)的对顶角是___________，邻补角是___________； (2)若，求的度数． 【答案】(1)；， (2) 【分析】（1）根据对顶角及邻补角的概念直接求解； （2）根据角平分线的定义和对顶角相等得到，设，则，根据平角的定义可得，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：的对顶角是；邻补角是，； （2）解：平分， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 即， ， 即， ， ， 即的度数为． 易错必刷题型05.对顶角相等 典题特征：利用对顶角相等求角度，或进行角度推理 易错点：①在无对顶角的图形中错误套用性质；②角度计算时忽略邻补角关系，导致结果错误 14．如图，直线相交于点，若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对顶角相等求出的度数． 【详解】解：根据对顶角相等，． 15．如图，直线和相交于点，若，则的度数为____． 【答案】 【分析】由对顶角相等可得，由垂直的定义可得，即可得的度数． 【详解】解：∵直线和相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．如图，直线，相交于点O，，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角、邻补角，根据垂直定义可得：∠，从而可得，进而可得，，然后利用平角定义可得：，再利用角平分线的定义进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， 故选：C． 17．如图，已知直线与直线相交于点，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)的度数为； (2)的度数为． 【分析】（）先根据余角的定义求得的度数，再根据对顶角的性质可求的度数； （）设，，然后求出的度数，利用对顶角的性质、角度和差即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：设，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 易错必刷题型06.邻补角的定义理解 典题特征：判断哪组角是邻补角，或根据邻补角的条件进行判断 易错点：①只看“和为180°”，忽略“有公共边、另一边互为反向延长线”的位置条件；②将和为180°的对顶角误判为邻补角 18．将两根矩形木条如图放置，固定其中的一根，转动另一根，若增大，则下列说法正确的是（ ） A．减少 B．减少 C．增大 D．的度数不变 【答案】A 【分析】本题考查角度关系，涉及对顶角、邻补角等知识，根据题意，数形结合，逐项分析角度变化即可得到答案．数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 与是对顶角，即；与是对顶角，即；， A、若增大，则减少，故A正确，符合题意； B、若增大，则增大，故B错误，不符合题意； C、若增大，则减少，故C错误，不符合题意； D、若增大，则减少，故D错误，不符合题意； 故选：A． 19．如图，已知，点P为a与b之间一点，过点P作9条不同的直线均与直线a相交，探究图中相交线形成的所有角中，互为邻补角的对数是（　　） A． B．180 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线，相交线和邻补角，根据两条直线相交有对邻补角，即可解决问题． 【详解】解：∵两条直线相交有对邻补角， ∴过点作9条直线，从条直线中选条的组合数为，则邻补角对数为； 9条不同的直线分别与直线、、相交，确定邻补角对数是， ∴总共对， 故选：D． 20．将三角板的直角顶点O放置在直线上． (1)若按图1的方式摆放，且，射线平分，则________． (2)如图2，，将三角尺绕点O按顺时针方向旋转一个角度（即，）． ①当平分由，，其中两条射线组成的角时，求满足要求的所有的值． ②在旋转过程中是否存在？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或；②存在，的值为或 【分析】本题考查了邻补角、角平分线等知识，正确分情况讨论，并熟练掌握角平分线的运算是解题关键． （1）先根据邻补角的定义可得，再根据角平分线的定义求解即可得； （2）①分三种情况：当平分由，两条射线组成的角时；当平分由，两条射线组成的角时；当平分由，两条射线组成的角时，根据角平分线的定义求解即可得； ②分三种情况：、和，先分别求出和的大小，再根据建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵射线平分， ∴， 故答案为：． （2）解：①（Ⅰ）如图，当平分由，两条射线组成的角时， ∴， ∵， ∴， ∴； （Ⅱ）如图，当平分由，两条射线组成的角时， ∴； （Ⅲ）如图，当平分由，两条射线组成的角时， ∴， ∴此时旋转角大于，不符合题意，舍去； 综上，满足要求的所有的值为或． ②（Ⅰ）如图，当时， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， 解得，符合题设； （Ⅱ）如图，当时， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， 解得，符合题设； （Ⅲ）如图，当时， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， 解得，不符合题设，舍去； 综上，在旋转过程中存在，此时的值为或． 易错必刷题型07.利用邻补角互补求角度 典题特征：根据邻补角和为180°，求未知角的度数 易错点：①计算时符号错误，导致和不为180°；②混淆邻补角与补角的概念，忽略位置关系 21．如图，点在同一条直线上，若，垂直于，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂线的定义和角的和差关系可得的度数，再由邻补角互补即可得到答案． 【详解】解：∵垂直于， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．如图，直线相交于点O，，垂足为O，平分，，则的度数是_________ ． 【答案】 【分析】先根据角的和差关系得，结合邻补角互补得，又因为平分，得出，最后把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 即． 23．如图，直线，相交于点O，，垂足为O，平分． (1)若，求的度数； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂线的定义、邻补角的性质与角平分线的定义，解题的关键是利用垂直关系和角平分线的性质，通过角度之间的和差关系进行推导计算． （1）先由得到，再通过求出，利用邻补角求出，最后由平分得到的度数； （2）由平分得到，再用表示，进而推出，结合平分，得到，从而求出的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 易错必刷题型08.同位角.内错角.同旁内角的识别 典题特征：在三线八角图形中，找出指定角的同位角、内错角、同旁内角 易错点：①混淆三类角的位置特征，误判内错角为同位角；②忽略截线与被截线，找错对应的角 24．如图，下列说法错误的是（    ） A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是内错角 【答案】B 【详解】解：A、与是同位角，正确，不符合题意； B、与不是同位角，原说法错误，符合题意； C、与是同旁内角，正确，不符合题意； D、与是内错角，正确，不符合题意． 25．如图，和是直线 ， 被直线 所截形成的 角；和是直线 ， 被直线 所截形成的 角． 【答案】，，，同旁内；，，，同位． 【分析】本题主要考查同旁内角，同位角的概念，利用同旁内角、同位角的概念进行判断填空即可． 【详解】根据题意，和是直线，被直线所截形成的同旁内角； 和是直线，被直线所截形成的同位角． 故答案为：，，，同旁内；，，，同位． 26．相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源．如图所示的风筝骨架构成了多种位置关系的角，有下列四种叙述：①和是同位角；②和是内错角；③和是同旁内角；④和是同位角．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义，结合图形中角的位置关系进行逐一判断即可 【详解】① 和 是由水平直线截两条斜线所得，均在截线上方且在被截直线右侧（或同侧），符合同位角定义，故①正确； ② 和 是由左下至右上的斜线截上下两条水平线所得， 在截线右侧、被截线之间， 在截线左侧，不在被截线之间，不符合内错角定义，故②错误； ③ 和 是由左下至右上的斜线截上下两条水平线所得，均在截线右侧且在被截线之间，符合同旁内角定义，故③正确； ④ 和 是由左上至右下的斜线截上下两条水平线所得，均在截线右侧且在被截直线上方，符合同位角定义，故④正确． 综上所述，正确的是①③④． 易错必刷题型09.同位角相等,两直线平行 典题特征：利用同位角相等判定两直线平行，或补全判定条件 易错点：①误将非同位角的相等关系当作判定依据；②忽略“两条直线被第三条直线所截”的前提 27．如图，若将木条a绕点O旋转后使其与木条b平行，两位同学给出了两个不同的方案： 方案Ⅰ：将木条a绕点O逆时针旋转； 方案Ⅱ：将木条a绕点O顺时针旋转． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（    ） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行 【答案】C 【分析】分别算出旋转后角的度数，由平行线的判定即可判断． 【详解】解：方案Ⅰ：将木条a绕点O逆时针旋转，如图； 则， ∴， 此时木条a绕点O旋转后与木条b平行，方案可行； 方案Ⅱ：将木条a绕点O顺时针旋转，如图， 则， ∵， ∴， 此时木条a绕点O旋转后与木条b平行，方案可行； 综上，两种方案均可行． 28．如图，在下列五组条件中①，②，③，④， ⑤，能判断的有______．（填写序号） 【答案】 ①③ 【详解】解：①∵， ∴，故符合题意； ②∵， ∴，故不符合题意； ③∵， ∴，故符合题意； ④由，不能推出，故不符合题意； ⑤∵， ∴，故不符合题意； 综上，①，③符合题意. 29．如图，已知，再添加什么条件可使？请就你添加的条件说明的理由． 【答案】（补充的条件不唯一），见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理即可得到结论． 【详解】解：添加的条件是（补充的条件不唯一），这样有． 理由：，， ，即， （同位角相等，两直线平行）． 易错必刷题型10.内错角相等,两直线平行 典题特征：利用内错角相等判定两直线平行，或进行推理证明 易错点：①将内错角的位置特征判断错误，导致判定依据错误；②混淆“内错角相等”与“两直线平行”的因果关系 30．将一副三角尺按如图的方式叠放在一起，若固定三角尺，改变三角尺的位置（其中A点位置始终不变），当______ 时，． 【答案】或 【分析】本题考查平行线的判定，关键是要分两种情况讨论． 如图①，当时，；如图②，当时，，得出，于是得到答案． 【详解】解：如图①，当时，； 如图②，当时，， ∵， ∴， 即当时，， ∴当的度数为或时，， 故答案为：或． 31．如图，将某校校门口电动伸缩门的局部结构抽象成几何图形，下列说法正确的是（    ） A．由，可得 B．由，可得 C．由，可得 D．由，可得 【答案】B 【分析】根据平行线的判定条件判断即可． 【详解】解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， 由，不能判断，由或都不能判断． 32．如图，，，．问吗？为什么？ 【答案】平行，见解析 【分析】本题考查平行线的判定，垂线的定义，邻补角互补．由垂线的定义得到，从而可求得，求出，得到，即可判定． 【详解】解：． 理由：， ． ， ． ， ， ， ． 易错必刷题型11.同旁内角相等,两直线平行 典题特征：利用同旁内角互补判定两直线平行，或计算角度补全条件 易错点：①将“互补”误记为“相等”；②忽略同旁内角的位置关系，用无关角的互补关系判定平行 33．如图，点E在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：， ， 故A选项符合题意； ， ，不能判定， 故B选项不符合题意； ， ，不能判定， 故C选项不符合题意； ， ，不能判定， 故D选项不符合题意． 34．如图，平分，平分，要使，则和应满足的条件是____． 【答案】 【分析】根据平行线的判定定理“同旁内角互补，两直线平行”，可知要使，需满足，再结合角平分线的定义将和分别用和表示，即可得出和应满足的关系． 【详解】解：平分，平分， ，． 要使， 根据“同旁内角互补，两直线平行”，需满足， ， ． 35．如下图，平分，平分，，点在射线上，直线，垂足为．设． (1)请用含的式子表示的大小； (2)试说明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义和平行线的判定，掌握角平分线的性质和同旁内角互补，两直线平行的判定方法是解题的关键． （1）根据角平分线定义表示出，再用减去，即可得到的表达式； （2）通过角平分线和角度和差推出，结合得到，利用同旁内角互补，两直线平行证明． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴． ∵， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵平分，， ∴． ∵，， ∴． ∵平分， ∴． 由（1）可知，， ∴， ∴， ． 易错必刷题型12.垂直于同一直线的两直线平行 典题特征：利用垂直关系判定两直线平行，或进行推理 易错点：①忽略“同一平面内”的前提条件；②误将“垂直于同一直线”的线段当作直线判定平行 36．在同一平面内，有三条不重合的直线a，b，c，（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】利用平行线与垂直的性质逐一判断选项即可. 【详解】解：A、若，，则，原说法错误； B、若，，则，原说法错误； C、若，，则，原说法正确； D、若，，则，原说法错误. 37．如图，根据图中作图痕迹，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图——作垂线，垂直的定义，平行线的判定，同角的余角相等，等面积公式，根据垂直的定义，平行线的判定，同角的余角相等，等面积公式逐项判断即可． 【详解】、根据作图可知：，， ∴，故此选项正确，不符合题意； 、根据作图可知：，， ∴，， ∴，， ∴，故此选项正确，不符合题意； 、根据作图可知：， 根据垂线段最短可知：，故此选项正确，不符合题意； 、∵， ∴，故此选项错误，符合题意； 故选：． 38．如图，，，，以下是小明同学说明的推理过程及理由．请你在横线上补充完整其推理过程或理由． 解：因为，（已知）， 所以（____________）， 所以， 所以∥____________（__________________________________）． 因为（已知）， 所以∥____________（__________________________________）， 所以（__________________________________）． 【答案】垂直定义；；同旁内角互补，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行． 【分析】根据平行线的判定推出，即可推出． 【详解】解：因为，（已知）， 所以（__垂直定义__）， 所以， 所以∥（同旁内角互补，两直线平行）． 因为（已知）， 所以∥（同旁内角互补，两直线平行）， 所以（平行于同一条直线的两条直线平行）． 故答案为：垂直定义；；同旁内角互补，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行 【点睛】本题考查了平行线判定的应用，解决本题的关键是掌握同旁内角互补，两直线平行． 易错必刷题型13.平行公理的应用 典题特征：利用“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”进行判断或推理 易错点：①忽略“直线外一点”的前提；②在立体图形中错误套用平面内的平行公理 39．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，时，，就可确定点在同一条直线上的依据是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．内错角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 【答案】B 【详解】解：由题意可知，当时，；当时， ， 点，，在同一直线上 其依据是过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 40．给出下面的推理，其中正确的是（　　） ①∵，∴ ②∵，∴ ③∵，∴ ④∵，，∴ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定，1、平行线的判定定理∶ ①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行，④若，，那么；以此为依据进行判断选择；2、结合图形，确定已知角之间的关系，即是否是同位角、同旁内角、内错角关系；3、注意检查已知角是否是由要判断的两线截得的同位角、同旁内角或内错角，否则易错选，如③．根据上述判定方式进行判断即可． 【详解】解：①∵，∴．正确．（内错角相等，两直线平行）； ②∵，∴．正确．（同位角相等，两直线平行）； ③与不是同旁内角，是内错角，内错角互补不一定能判定两直线平行，即与不一定平行．故原说法错误； ④∵，，∴．正确．（如果两条平行线中的一条与第三条直线平行那么另一条也与第三条平行）． ∴正确的是①②④． 故选：B 41．如图，若，，，，试说明． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查同旁内角互补、平行公理判断两直线平行，由可得，又由可得，则． 【详解】解：，，，， ， ， ∵， ∴， ． 易错必刷题型14.平行公理推论的应用 典题特征：利用“平行于同一直线的两直线互相平行”判定平行 易错点：①混淆“平行”与“垂直”的传递性；②忽略三条直线需在同一平面内的隐含条件 42．如图，在数学课上，老师先画了一条直线a，随后按图示方法，画出直线，再将三角尺向上平移，画出直线，最终得到直线b与直线c也平行．在此过程中，以及的依据分别是（   ） ①内错角相等，两直线平行 ②同位角相等，两直线平行 ③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 ④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据画平行线的方法可知的依据是同位角相等，两直线平行，而的依据是平行公理的推论，即如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【详解】解：根据题意可知，的依据是同位角相等，两直线平行， 的依据是如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 43．如图，下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能判断直线的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确平行线的判定方法：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 根据平行线的判断方法，可以判断出各个小题中的条件是否可以得到平行直线，从而可以解答本题． 【详解】①，不能判定 ，故本项不符合题意； ②，，故本项符合题意； ③，，故本项符合题意； ④，，故本项符合题意； ⑤如图，过点B作， ， 又， ， ， ， 故本项符合题意． 故选：C． 44．如图，点F在上，交于G，交于E，，，．完成下面的证明，括号内填根据． 证明：（已知）， ．（等式性质1）， 又（已知）， ________（__________________）， （______________）， （已知）， __________________（______________）， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 【答案】证明过程见解析 【分析】根据平行线的判定与性质补全证明过程即可． 【详解】证明：（已知）． （等式性质1）， 又（已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （已知）， （同旁内角互补，两直线平行）， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 易错必刷题型15.两直线平行.同位角相等 典题特征：利用平行线性质求同位角的度数，或进行角度推理 易错点：①在两直线不平行时，错误套用同位角相等的性质；②混淆判定与性质的因果关系 45．如图，已知直线c与直线a、b都相交．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线平行，同位角相等得． 【详解】解：∵，， ∴． 46．直线于点E，交于点F，若，则∠2的度数为______． 【答案】/65度 【分析】根据两直线平行，同位角相等得出，再根据垂直的定义得出，结合即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 47．如图，在四边形中，点在边上，连接，点在上，连接，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是通过同旁内角互补和平行线的判定定理推导平行关系，并结合平行线的性质与三角形内角和定理求解角度． （1）先由推出，再利用平行线的性质和已知，得到，从而证明； （2）根据，结合已知，求出，再由，设，列方程求出，最后由得到结果． 【详解】（1）证明：， ， ， 又， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ， ， 又， ． 故答案为：． 易错必刷题型16.两直线平行.内错角相等 典题特征：利用平行线性质求内错角的度数，或补全推理过程 易错点：①将内错角的位置特征判断错误，导致性质误用；②计算时忽略邻补角关系，导致结果错误 48．如图，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 49．如图，，点E在上，点F，G在上，平分，若，则的度数是_____． 【答案】 【分析】由邻补角的定义求出，根据平行线的性质可得，，再根据角平分线的定义求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴． 50．小宇同学在练习书法时发现汉字“九”笔画间的走势十分规整，便拿出直尺和铅笔，把“九”字抽象成了几何图形．如图，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】因为已知，根据平行线的性质定理，可推出相关角的关系．因为已知，结合前面由得到的角的关系，可推导出能判定的角的等量关系． 【详解】证明：∵ ， ∴； ∵， ∴ ， ∴； ∵， ∴ ； ∴． 易错必刷题型17.两直线平行.同旁内角互补 典题特征：利用平行线性质求同旁内角的度数，或解决实际问题 易错点：①误将“互补”记为“相等”；②在非平行线图形中错误套用该性质 51．下图中仿生机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过作的平行线， ，，， ． 52．如图，，的平分线交于点，是上的一点，连接，的平分线交于点，且．若，则的度数为_______． 【答案】 【分析】由角平分线和平行线的性质可得，结合可得．利用角平分线的性质可推出，最后利用平行线的性质求出． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 53．填写推理理由： 已知：如图，D，F，E分别是上的点，． 试说明：． 解：（已知）， （___________）． （已知）， （___________）． （___________）． 【答案】；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等 【分析】根据平行线的性质，同角的补角相等进行解答即可． 【详解】解：（已知）， ． （已知）， （两直线平行，同旁内角互补）． （同角的补角相等） 易错必刷题型18.由平行线的性质探究角的关系 典题特征：结合平行线性质，探究多个角之间的数量关系（如“铅笔模型”“猪蹄模型”） 易错点：①未正确添加辅助线，导致无法建立角的关系；②混淆平行线性质与判定，推理逻辑颠倒 54．如图，直线、被直线所截，且，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴（两直线平行，同位角相等），故A选项正确； （两直线平行，内错角相等），故B选项正确； （两直线平行，同旁内角互补），故D选项正确； ∵，， ∴， ∴不一定成立，故C选项错误，符合题意． 55．如图，已知，易得，，根据以上规律求_________． 【答案】/度 【分析】通过作辅助线，利用平行线的性质找出角度和的变化规律． 【详解】解：当有3个角时，和为； 当有4个角时，和为； 从图形可以看出，每增加一个“折点”（即增加一个角），角度和就增加， 对于个角，角度和的公式为：， ． 56．如图，，点A，E，B，C不在同一条直线上． (1)如图1，直接写出的数量关系 ； (2)如图2，直线，交于点P，且 ； ①试探究与的数量关系； ②如图3，延长交射线于点Q，若，，则 的度数为 （用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2)①，证明见解析；② 【分析】（1）过E作，根据平行线的性质即可得到结论； （2）①设，由（1）知，，过P作，根据平行线的性质即可得到结论； ②根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图1，过E作， ， ， ，， ∴，即； （2）解：①∵，， 设， ∴， 由（1）知，， 如图2，过P作， ， ， ，， ，即； ②， ， ， ，由①知，， ∵，， ∴， ． 易错必刷题型19.由平行线的性质求角的度数 典题特征：结合平行线性质与对顶角、邻补角性质，求复杂图形中未知角的度数 易错点：①未理清角之间的位置关系，导致等量关系列错；②计算时符号或角度换算错误 57．如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据平行线的性质求出，然后根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 58．如图，已知直线，点在两平行线的外侧，若，，则的度数是___________度． 【答案】20 【分析】过点P作，则，由平行线的性质得出，，进而根据角度的和差可求出． 【详解】解：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 59．如图，，的平分线交于点，交的延长线于点，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）利用平行线的性质和角平分线的定义可得，即得，即可求证； （）利用平行线的性质得 ，利用角平分线的定义得 ，再根据角平分线的定义即可求解； 本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 易错必刷题型20.由平行线性质与判定求角度 典题特征：先利用判定证明平行，再用性质求角度的综合题 易错点：①混淆判定与性质的因果关系，推理逻辑混乱；②忽略图形中隐藏的对顶角、邻补角关系 60．如图，已知，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据同旁内角互补，两直线平行证明，再根据平行线的性质结合邻补角互补求解的度数即可． 【详解】解：如图所示， ， ， ， ， ， ． 61．如图，，平分，平分，若设，，则___________度（用x，y的代数式表示）；若平分，平分，可得，平分，平分，可得，…，依次平分下去，则___________度． 【答案】 【分析】本题考查平行线的拐点模型与角平分线的递推规律，解题核心是过拐点作平行线，利用平行线的内错角相等，求出，再归纳出的通用公式，进而求出． 【详解】解：过点作， ，， ，， ， ， 同理过作平行线可得， 同理过作平行线可得， 依此类推，可得， ． 62．如图，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）运用对顶角相等以及，，得，根据内错角相等，两直线平行，即可作答； （2）根据，得出，根据平行线的性质得出，根据，求出，根据平行线的性质得出． 【详解】（1）证明：∵，，， ， ； （2）证明：∵，， ∴， ， ， ∵， ， ， 由（1）知， ． 易错必刷题型21.由平行线判定与性质证明 典题特征：结合平行线的判定与性质，完成几何证明题 易错点：①证明步骤逻辑颠倒，先写结论再写条件；②误用无依据的角相等或互补关系，未结合判定/性质说明理由 63．如图，下列推理不正确的是（   ） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 【答案】B 【分析】根据平行线的性质与判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、由，可以根据内错角相等，两直线平行判定，故此选项不符合题意； B、由，可以根据两直线平行，同旁内角互补得到，不能得到，故此选项符合题意； C、由，可以根据同位角相等，两直线平行判定，故此选项不符合题意； D、由，可以根据两直线平行，同位角相等得到，故此选项不符合题意； 64．将一副直角三角板如图摆放，已知，，．下列四个结论①；②；③；④．其中正确的是_____（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角板中角度的计算，根据三角板的特点可得，则由平角的定义可判断①；可证明，据此可判断②；如图所示，延长交于点，由平行线的性质得到，再求出的度数即可判断③④． 【详解】解：根据题意，，， ∴，，， ∵， ∴，故结论①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴，故结论②正确； 如图所示，延长交于点，    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故结论③正确； ∵， ∴，故结论④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 65．如图，在三角形中，过点作，且，点是边上一点，点是三角形内一点，连接，，若，． . (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据已知可得，进而可得，可得，进而可得； （2）根据平行线的性质可得，结合，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， 又， ， ， ， ． （2）解：， ， 又， ， 又， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07相交线与平行线易错必刷题型专项训练 本专题汇相交线与平行线章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.垂线的定义理解 题型02,垂线段最短 题型03.点到直线的距离 题型04.对顶角定义 题型05.对顶角相等 题型06.邻补角的定义理解 题型07.利用邻补角互补求角度 题型08.同位角.内错角.同旁内角的识别 题型09.同位角相等,两直线平行 题型10.内错角相等,两直线平行 题型11.同旁内角相等,两直线平行 题型12.垂直于同一直线的两直线平行 题型13.平行公理的应用 题型14.平行公理推论的应用 题型15.两直线平行.同位角相等 题型16.两直线平行.内错角相等 题型17.两直线平行.同旁内角互补 题型18.由平行线的性质探究角的关系 题型19.由平行线的性质求角的度数 题型20.由平行线性质与判定求角度 题型21.由平行线判定与性质证明 易错必刷题型01.垂线的定义理解 典题特征：结合图形判断垂线、垂足的相关说法是否正确 易错点：①忽略“在同一平面内”的前提条件；②误将线段、射线的垂直判定为无交点就不垂直 1．如图，两个画图过程，直观地刻画了一个基本事实，这个基本事实指的是（   ） A．两点确定一条直线 B．同位角相等，两直线平行 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 2．如图，、交于点，，垂足为，，则______． 3．如图，直线相交于点O，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 易错必刷题型02,垂线段最短 典题特征：结合实际场景（如修路、引水）利用垂线段最短解决最短路径问题 易错点：①误将“两点之间线段最短”与“垂线段最短”混淆；②忽略“直线外一点”的前提条件 4．如图，某村庄（P点）旁有一条公路，现在要建一个公交车站，为了使居民乘车最方便，有关部门选择在C点来建公交车站，用所学的几何知识解释其道理正确的是（   ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．经过一点有无数条直线 5．下列三个日常现象：其中可以用“垂线段最短”来解释的是______（填序号） AI 6．在，，，，．点是边上的动点，则的长不可能为（   ） A．2.5 B．3.5 C．4 D．4.5 易错必刷题型03.点到直线的距离 典题特征：根据图形求点到直线的距离，或判断相关说法的正误 易错点：①误将垂线段的长度写成垂线段本身；②混淆点到直线的距离与两点间的距离 7．如图，，垂足为点A，能表示点B到的距离的是（    ）      A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 8．如图，在三角形中，点，在边上，连接，，且，，则点到的距离是线段______的长度． 9．如图，点P在直线l上方，点A，B在直线l上，，则点P到直线l的距离可能是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 10．如图，从点A向引三条线段，且，．    (1)、、中最短的是__________________；判定理由是__________________． (2)若，，，依据等积法，求点A到线段的距离． 易错必刷题型04.对顶角定义 典题特征：结合图形判断哪组角是对顶角 易错点：①只看“有公共顶点”，忽略“两边互为反向延长线”的核心条件；②将邻补角误判为对顶角 11．下列各图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 12．如图，直线相交于点，则的对顶角是_________，的邻补角是_________；若，则_________，_________． 13．如图，直线，相交于点，平分． (1)的对顶角是___________，邻补角是___________； (2)若，求的度数． 易错必刷题型05.对顶角相等 典题特征：利用对顶角相等求角度，或进行角度推理 易错点：①在无对顶角的图形中错误套用性质；②角度计算时忽略邻补角关系，导致结果错误 14．如图，直线相交于点，若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 15．如图，直线和相交于点，若，则的度数为____． 16．如图，直线，相交于点O，，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 17．如图，已知直线与直线相交于点，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 易错必刷题型06.邻补角的定义理解 典题特征：判断哪组角是邻补角，或根据邻补角的条件进行判断 易错点：①只看“和为180°”，忽略“有公共边、另一边互为反向延长线”的位置条件；②将和为180°的对顶角误判为邻补角 18．将两根矩形木条如图放置，固定其中的一根，转动另一根，若增大，则下列说法正确的是（ ） A．减少 B．减少 C．增大 D．的度数不变 19．如图，已知，点P为a与b之间一点，过点P作9条不同的直线均与直线a相交，探究图中相交线形成的所有角中，互为邻补角的对数是（　　） A． B．180 C． D． 20．将三角板的直角顶点O放置在直线上． (1)若按图1的方式摆放，且，射线平分，则________． (2)如图2，，将三角尺绕点O按顺时针方向旋转一个角度（即，）． ①当平分由，，其中两条射线组成的角时，求满足要求的所有的值． ②在旋转过程中是否存在？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由． 易错必刷题型07.利用邻补角互补求角度 典题特征：根据邻补角和为180°，求未知角的度数 易错点：①计算时符号错误，导致和不为180°；②混淆邻补角与补角的概念，忽略位置关系 21．如图，点在同一条直线上，若，垂直于，则的度数是（    ） A． B． C． D． 22．如图，直线相交于点O，，垂足为O，平分，，则的度数是_________ ． 23．如图，直线，相交于点O，，垂足为O，平分． (1)若，求的度数； (2)若平分，求的度数． 易错必刷题型08.同位角.内错角.同旁内角的识别 典题特征：在三线八角图形中，找出指定角的同位角、内错角、同旁内角 易错点：①混淆三类角的位置特征，误判内错角为同位角；②忽略截线与被截线，找错对应的角 24．如图，下列说法错误的是（    ） A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是内错角 25．如图，和是直线 ， 被直线 所截形成的 角；和是直线 ， 被直线 所截形成的 角． 26．相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源．如图所示的风筝骨架构成了多种位置关系的角，有下列四种叙述：①和是同位角；②和是内错角；③和是同旁内角；④和是同位角．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 易错必刷题型09.同位角相等,两直线平行 典题特征：利用同位角相等判定两直线平行，或补全判定条件 易错点：①误将非同位角的相等关系当作判定依据；②忽略“两条直线被第三条直线所截”的前提 27．如图，若将木条a绕点O旋转后使其与木条b平行，两位同学给出了两个不同的方案： 方案Ⅰ：将木条a绕点O逆时针旋转； 方案Ⅱ：将木条a绕点O顺时针旋转． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（    ） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行 28．如图，在下列五组条件中①，②，③，④， ⑤，能判断的有______．（填写序号） 29．如图，已知，再添加什么条件可使？请就你添加的条件说明的理由． 易错必刷题型10.内错角相等,两直线平行 典题特征：利用内错角相等判定两直线平行，或进行推理证明 易错点：①将内错角的位置特征判断错误，导致判定依据错误；②混淆“内错角相等”与“两直线平行”的因果关系 30．将一副三角尺按如图的方式叠放在一起，若固定三角尺，改变三角尺的位置（其中A点位置始终不变），当______ 时，． 31．如图，将某校校门口电动伸缩门的局部结构抽象成几何图形，下列说法正确的是（    ） A．由，可得 B．由，可得 C．由，可得 D．由，可得 32．如图，，，．问吗？为什么？ 易错必刷题型11.同旁内角相等,两直线平行 典题特征：利用同旁内角互补判定两直线平行，或计算角度补全条件 易错点：①将“互补”误记为“相等”；②忽略同旁内角的位置关系，用无关角的互补关系判定平行 33．如图，点E在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 34．如图，平分，平分，要使，则和应满足的条件是____． 35．如下图，平分，平分，，点在射线上，直线，垂足为．设． (1)请用含的式子表示的大小； (2)试说明：． 易错必刷题型12.垂直于同一直线的两直线平行 典题特征：利用垂直关系判定两直线平行，或进行推理 易错点：①忽略“同一平面内”的前提条件；②误将“垂直于同一直线”的线段当作直线判定平行 36．在同一平面内，有三条不重合的直线a，b，c，（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 37．如图，根据图中作图痕迹，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 38．如图，，，，以下是小明同学说明的推理过程及理由．请你在横线上补充完整其推理过程或理由． 解：因为，（已知）， 所以（____________）， 所以， 所以∥____________（__________________________________）． 因为（已知）， 所以∥____________（__________________________________）， 所以（__________________________________）． 易错必刷题型13.平行公理的应用 典题特征：利用“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”进行判断或推理 易错点：①忽略“直线外一点”的前提；②在立体图形中错误套用平面内的平行公理 39．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，时，，就可确定点在同一条直线上的依据是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．内错角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 40．给出下面的推理，其中正确的是（　　） ①∵，∴ ②∵，∴ ③∵，∴ ④∵，，∴ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 41．如图，若，，，，试说明． 易错必刷题型14.平行公理推论的应用 典题特征：利用“平行于同一直线的两直线互相平行”判定平行 易错点：①混淆“平行”与“垂直”的传递性；②忽略三条直线需在同一平面内的隐含条件 42．如图，在数学课上，老师先画了一条直线a，随后按图示方法，画出直线，再将三角尺向上平移，画出直线，最终得到直线b与直线c也平行．在此过程中，以及的依据分别是（   ） ①内错角相等，两直线平行 ②同位角相等，两直线平行 ③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 ④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 43．如图，下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能判断直线的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 44．如图，点F在上，交于G，交于E，，，．完成下面的证明，括号内填根据． 证明：（已知）， ．（等式性质1）， 又（已知）， ________（__________________）， （______________）， （已知）， __________________（______________）， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 易错必刷题型15.两直线平行.同位角相等 典题特征：利用平行线性质求同位角的度数，或进行角度推理 易错点：①在两直线不平行时，错误套用同位角相等的性质；②混淆判定与性质的因果关系 45．如图，已知直线c与直线a、b都相交．若，，则（    ） A． B． C． D． 46．直线于点E，交于点F，若，则∠2的度数为______． 47．如图，在四边形中，点在边上，连接，点在上，连接，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 易错必刷题型16.两直线平行.内错角相等 典题特征：利用平行线性质求内错角的度数，或补全推理过程 易错点：①将内错角的位置特征判断错误，导致性质误用；②计算时忽略邻补角关系，导致结果错误 48．如图，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 49．如图，，点E在上，点F，G在上，平分，若，则的度数是_____． 50．小宇同学在练习书法时发现汉字“九”笔画间的走势十分规整，便拿出直尺和铅笔，把“九”字抽象成了几何图形．如图，，．求证：． 易错必刷题型17.两直线平行.同旁内角互补 典题特征：利用平行线性质求同旁内角的度数，或解决实际问题 易错点：①误将“互补”记为“相等”；②在非平行线图形中错误套用该性质 51．下图中仿生机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 52．如图，，的平分线交于点，是上的一点，连接，的平分线交于点，且．若，则的度数为_______． 53．填写推理理由： 已知：如图，D，F，E分别是上的点，． 试说明：． 解：（已知）， （___________）． （已知）， （___________）． （___________）． 易错必刷题型18.由平行线的性质探究角的关系 典题特征：结合平行线性质，探究多个角之间的数量关系（如“铅笔模型”“猪蹄模型”） 易错点：①未正确添加辅助线，导致无法建立角的关系；②混淆平行线性质与判定，推理逻辑颠倒 54．如图，直线、被直线所截，且，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 55．如图，已知，易得，，根据以上规律求_________． 56．如图，，点A，E，B，C不在同一条直线上． (1)如图1，直接写出的数量关系 ； (2)如图2，直线，交于点P，且 ； ①试探究与的数量关系； ②如图3，延长交射线于点Q，若，，则 的度数为 （用含α的式子表示）． 易错必刷题型19.由平行线的性质求角的度数 典题特征：结合平行线性质与对顶角、邻补角性质，求复杂图形中未知角的度数 易错点：①未理清角之间的位置关系，导致等量关系列错；②计算时符号或角度换算错误 57．如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 58．如图，已知直线，点在两平行线的外侧，若，，则的度数是___________度． 59．如图，，的平分线交于点，交的延长线于点，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 易错必刷题型20.由平行线性质与判定求角度 典题特征：先利用判定证明平行，再用性质求角度的综合题 易错点：①混淆判定与性质的因果关系，推理逻辑混乱；②忽略图形中隐藏的对顶角、邻补角关系 60．如图，已知，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 61．如图，，平分，平分，若设，，则___________度（用x，y的代数式表示）；若平分，平分，可得，平分，平分，可得，…，依次平分下去，则___________度． 62．如图，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 易错必刷题型21.由平行线判定与性质证明 典题特征：结合平行线的判定与性质，完成几何证明题 易错点：①证明步骤逻辑颠倒，先写结论再写条件；②误用无依据的角相等或互补关系，未结合判定/性质说明理由 63．如图，下列推理不正确的是（   ） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 64．将一副直角三角板如图摆放，已知，，．下列四个结论①；②；③；④．其中正确的是_____（填序号） 65．如图，在三角形中，过点作，且，点是边上一点，点是三角形内一点，连接，，若，． . (1)求证：； (2)若，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $