专题06分式易错必刷题型专项训练(27大题型共计84道题)2025-2026学年沪科版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦分式全章27类高频易错题型，通过典题特征与易错点提炼，构建从概念理解到综合应用的系统性突破路径，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|题型1-4|分式值为0需分子为0且分母非0；值正负需分类讨论分子分母符号|从分式值的特殊情况（0、正负、整数）到规律性问题，层层递进| |性质应用|题型5-9|分式变形需保证同乘除整式不为0；系数化为整数/正数需整体缩放|以分式基本性质为核心，延伸至符号变换与系数调整| |运算能力|题型10-20|乘除运算先因式分解再约分；加减运算需通分并验最简|从单一运算（约分、乘除）到混合运算，强化运算顺序与符号规则| |综合应用|题型21-27|化简求值需先化简再代入；分式方程需验根，无解需考虑增根与整式方程无解|结合实际情境（行程、工程等）构建模型，体现应用意识|

专题06分式易错必刷题型专项训练 本专题汇总分式全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.分式值为0的条件 题型02.分式值为正负数时的取值范围 题型03.分式值为整数求未知数 题型04.分式规律性问题 题型05.分式变形正误判断 题型06.分式变形成立条件 题型07.分式性质判断数值变化 题型08.分式最高次项系数化为正数 题型09.分式系数化为整数 题型10.分式约分. 题型11.分式除法运算 题型12.分式乘除混合运算 题型13.分式乘方运算 题型14.含乘方分式乘除混合运算 题型15.异分母分式加减法 题型16.整式与分式相加减 题型17.由分式恒等式求未知项 题型18.分式加减混合运算 题型19.分式加减实际应用 题型20.分式加减乘除混合运算 题型21.分式化简求值 题型22.解分式方程 题型23.分式方程无解问题 题型24.分式方程行程问题 题型25.分式方程工程问题 题型26.分式方程经济问题 题型27.分式方程和差倍分问题 易错必刷题型01.分式值为0的条件 典题特征：求解使分式计算结果等于0的未知数取值 易错点：①仅令分子为0求解 ②忽视分母不能为0的限定条件 1．若分式的值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．分式的值为0，则x的值为______． 3．已知分式（a，b，c，d为常数）满足下面表格中的信息： x值 0 1 分式值 c 无意义 d 0 下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 4．对于分式． (1)当取什么值时，分式有意义？ (2)当取什么值时，分式的值为零？ 易错必刷题型02.分式值为正负数时的取值范围 典题特征：根据分式正负性质，列不等式组求解自变量取值范围 易错点：①同号、异号分类讨论不完整 ②解题忽略分母非零要求 5．若分式的值为正数，则x的取值范围是___________． 6．若分式的值是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若分式的值大于零，则x的取值范围是 ______． 易错必刷题型03.分式值为整数求未知数取值 典题特征：求取分式结果为整数时，对应的整数自变量 易错点：①遗漏负约数取值 ②取值后未排除分母为0的无效解 8．请写出一个满足条件的m值，使得分式的值为整数：____． 9．若x是整数，且的值也是整数，则所有符合条件的x的值有（    ）个 A．8 B．6 C．4 D．2 10．已知为整数，且分式的值也为整数，则满足条件的所有的值之和为______． 11．已知． (1)若y的值为正数，求x的取值范围； (2)若y的值为整数，求整数x的所有可能值． 易错必刷题型04.分式规律性问题 典题特征：依据分式排列规律，推导指定序号分式解析式 易错点：①分子分母数值规律判断失误 ②正负符号规律判定错误 12．一组按规律排列的式子：，，，，，则第10个式子是___________． 13．按一定规律排列的代数式：，，，，，……，则第个代数式是（    ） A． B． C． D． 14．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照上述规律，回答下列问题： (1)写出第6个等式：　　　； (2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示）； (3)计算：. 易错必刷题型05.分式变形正误判断 典题特征：依据分式基本性质，判定等式变形是否成立 易错点：①忽略同乘除整式不可为0 ②随意篡改分式符号 15．下列等式，运用分式的基本性质变形正确的是（    ） A． B． C． D． 16．下列从左到右的变形：①；②；③；④．其中正确的是______（填序号）． 17．下列各式从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 易错必刷题型06.分式变形成立条件 典题特征：求解分式恒等变形所需满足的限制条件 易错点：①违背分式基本性质 ②未排除整式取值为0的情况 18．若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（    ） A． B． C． D．3 19．若，则“？”所代表的分子是__________． 20．将的分母化为整数，得（　　　） A． B． C． D． 易错必刷题型07.分式性质判断数值变化 典题特征：分子分母缩放倍数，判断分式整体数值变化 易错点：①主观臆断结果 ②未严谨代入数值验证变化规律 21．若把分式中m和n的值都扩大2倍，那么分式的值（    ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的4倍 D．不变 22．已知分式的值为，如果把分式中的a、b同时扩大为原来的2倍，那么得到的分式的值为________． 23．下列各式与相等的是（   ） A． B． C． D． 题易错必刷型08.分式最高次项系数化为正数 典题特征：统一分子、分母最高次项系数为正 易错点：①符号变换不完整 ②多重负号运算计算出错 24．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 25．不改变分式的值，使分子、分母的最高次项的系数为正，则 __________． 26．不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 易错必刷题型09.分式系数化为整数 典题特征：将含分数、小数系数的分式化为整数系数 易错点：①公分母选取错误 ②分子单项漏乘对应倍数 27．不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，_______ 28．不改变分式的值，把它的分子与分母中的系数化为整数，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 29．不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 易错必刷题型10.分式约分. 典题特征：因式分解后约去公因式，简化分式 易错点：①未因式分解直接约分 ②误约非公共整式因式 30．若分式，则（    ） A． B． C． D． 31．化简：_______． 32．下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 33．约分： (1)． (2)． 易错必刷题型11.分式除法运算 典题特征：独立进行两个分式之间的除法计算 易错点：①未将除法转化为乘倒数 ②直接错误交叉约分 34．化简（   ） A．1 B．a C． D． 35．计算： __________． 36．计算：． 易错必刷题型12.分式乘除混合运算 典题特征：连续开展多项分式乘除综合计算 易错点：①打乱从左至右运算顺序 ②无序约分导致计算错误 37．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 38．计算的结果为___________． 39．计算： (1)； (2)． 易错必刷题型13.分式乘方运算 典题特征：对整体分式进行正整数次乘方运算 易错点：①只对分子单独乘方 ②负数乘方符号判断出错 40．计算：___________． 41．计算与，其结果（   ） A．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．以上都不对 42．化简： 易错必刷题型14.含乘方分式乘除混合运算 典题特征：算式同时包含乘方、乘法、除法运算 易错点：①运算顺序颠倒 ②多层符号叠加运算易失误 43．____． 44．____． 45．计算：． 易错必刷题型15.异分母分式加减法 典题特征：对分母不同的分式进行加减化简 易错点：①最简公分母选取错误 ②通分时分子漏乘对应因式 46．化简：等于（    ） A． B． C． D． 47．化简的结果是________． 48．已知，求的值． 易错必刷题型16.整式与分式相加减 典题特征：整式与分式合并开展加减运算 易错点：①未将整式化为分母为1的分式 ②直接合并分子致错 49．化简，得（    ） A． B． C． D． 50．已知，则的值为________． 51．若一个分式只含有一个未知数，分式的分子未知数的次数大于分母未知数的次数，则该分式可拆分成整式与分式和的形式，例如将拆分如下： 【方法一】原式； 【方法二】设，则． 原式． (1)将分式拆分成一个整式和一个分式的和的形式为____________； (2)任选上述一种方法，将拆分成一个整式和一个分式的和的形式； (3)已知分式的值为整数，求x的值． 易错必刷题型17.由分式恒等式求未知项 典题特征：根据分式恒等关系，求解未知分子或分母 易错点：①同类项系数对应匹配错误 ②等量代换逻辑混乱 52．已知，且，则________． 53．已知，其中，，，为常数，则______． 54．已知，，都是正数）． (1)计算：； (2)若，说明的理由； (3)设，且为正整数，试用等式表示，之间的关系． 易错必刷题型18.分式加减混合运算 典题特征：多组分式连续加减化简计算 易错点：①去括号符号变换错误 ②最终结果未化为最简分式 55．计算的结果是______． 56．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 57．计算： (1)； (2)； (3)． 易错必刷题型19.分式加减实际应用 典题特征：结合实际情境，列分式算式求解问题 易错点：①题意等量关系解读偏差 ②列式不符合实际逻辑 58．某工程队要修路米，原计划平均每天修米．因天气原因，平均每天少修米（）．因此，实际完成工程的时间比原计划推迟的天数为（    ） A． B． C． D． 59．甲、乙两位采购员同去一家面粉公司购买两次面粉，两次面粉的单价不同，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买，乙每次用去600元．设两次购买的面粉单价分别为元/和元/（，是正数，且），那么甲所购面粉的平均单价是__________元/，乙所购面粉的平均单价是__________元/；在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为__________元/．（结果用含，的代数式表示，需化为最简形式） 60．商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：A种糖的单价为元千克，种糖的单价为元千克，且．则千克A种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为（元千克）．把质量相同的A种糖和种糖混合而成，记为甲种什锦糖（单价记为）；把总价相同的A种糖和种糖混合而成，记为乙种什锦糖（单价记为）．请解决以下问题： (1)分别求出，（可用含有，的代数式表示）； (2)你认为购买哪一种什锦糖较便宜？为什么？ 易错必刷题型20.分式加减乘除混合运算 典题特征：分式四则综合化简计算题 易错点：①整体运算顺序混乱 ②连续符号运算极易出错 61．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 62．形如的式子称为二阶行列式，规定它的运算方法如下：，例如：．化简：______． 63．计算： (1)； (2)； (3)． 易错必刷题型21.分式化简求值 典题特征：先化简分式，再代入数值计算最终结果 易错点：①分式化简不彻底 ②代入使分式无意义的数值 64．若，则（    ） A． B． C．3 D．6 65．实数a，b，c满足，，则________． 66．先化简，再求值：，其中． 易错必刷题型22.解分式方程 典题特征：按步骤规范求解分式方程 易错点：①去分母时常数项漏乘公分母 ②求解后省略增根检验 67．解分式方程，去分母得（   ）． A． B． C． D． 68．方程的解为__________． 69．解方程： (1)； (2)． 易错必刷题型23.分式方程无解问题 典题特征：根据方程无解条件，求解参数数值 易错点：①只考虑增根情况 ②忽略整式方程本身无解情形 70．如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（ ） A． B．1或0 C．1 D．1或 71．若关于x的方程无解，则________． 72．已知，关于x的方程：． (1)若方程无解，求m的取值； (2)若方程的解为整数，求整数m的取值． 易错必刷题型24.分式方程行程问题 典题特征：利用路程、速度、时间关系列分式方程 易错点：①三类量关系列式颠倒 ②概念混淆导致关系式错误 73．某旅行社组织游客从甲地到乙地的博物馆参观，已知甲地到乙地的路程为210千米，乘坐型车比乘坐型车少用1小时，型车的平均速度是型车的平均速度的倍，求型车的平均速度． 74．净月潭环潭步行路线全长12公里．小李从起点出发，步行一段后，跑步前往终点，再从终点立即乘车返回起点．在同一时间，小刘从起点骑自行车沿同一路线去终点．已知小李跑步速度比步行快4公里/小时，骑自行车的速度是小李跑步速度的1.5倍．小李从起点到终点总共用时2小时，小刘从起点到终点比小李少用1小时．求小李的步行速度． 75．甲自A向B先走分钟后，乙自B向A行走，每分钟比甲多走30米．他们于途中C处相遇．甲自A到C用时比自C到B用时多4分钟，乙自C向A用时比自B向C用时多3分钟．请问甲从A到C用了多少分钟？A、B两处的距离是多少米？ 易错必刷题型25.分式方程工程问题 典题特征：依据工作总量、效率、时间列分式方程 易错点：①工作效率计算错误 ②工程总量设定不符合题意 76．随着“碳中和”理念普及，校园旧物回收活动愈发火热．某校初三（1）班学生利用课余时间整理可回收废品，发现改进分类方法后，工作效率大幅提高．已知该班同学改进前整理60千克废品所用的时间，与改进后整理90千克废品所用的时间相同，且改进后每小时比改进前多整理15千克废品．请问该班同学改进前每小时整理多少千克废品？ 77．学校新购3600册图书平均分配给A，B两个图书馆，A，B两馆分别邀请6名和9名志愿者整理新购图书上架，若每位志愿者的工作效率相同，且B馆提前2小时完成任务．求平均每人每小时整理图书的册数． 78．某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工． （1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米． （2）若甲工程队每天可以改造米道路，乙工程队每天可以改造米道路，（其中）．现在有两种施工改造方案： 方案一：前米的道路由甲工程队改造，后米的道路由乙工程队改造； 方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造． 根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由． 易错必刷题型26.分式方程经济问题 典题特征：依据单价、数量、总价、利润之间数量关系，构建分式方程求解实际问题 易错点：①单价与购货数量对应关系混淆 ②利润计算公式套用错误 ③忽略解的实际取值范围 ④解题后未检验分式方程增根 79．“年春晚”吉祥物“巳（）升升”，是从中华传统文化中寻找的灵感，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，其形象既憨态可掬，又富有古意．某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高元．若顾客花元购买A款吉祥物的数量与花元购买B款吉祥物的数量相同，求B款吉祥物的单价． 80．列分式方程解应用题： “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期.某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买，两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中型号的“文房四宝”花费3000元，已知每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，求每套型号的“文房四宝”的价格． 81．宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了A、B两款人形机器人． (1)已知该公司生产5件A款人形机器人和生产6件B款人形机器人的成本相同；每件A款人形机器人的成本比每件B款人形机器人的成本多2万元．该公司生产的A款人形机器人和B款人形机器人每件的成本各是多少万元？ (2)如果该公司把这两种人形机器人在网上进行预约销售，并且每件B款人形机器人的售价比每件A款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为600万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出10件．则该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是多少万元？ 易错必刷题型27.分式方程和差倍分问题 典题特征：根据数量和差、倍数关系列分式方程 易错点：①倍数与差值关系理解偏差 ②未知量对应关系混乱 82．伴随着“双碳”政策的实施，新能源汽车应运而生，新能源汽车主要有纯电动汽车和油电混合动力汽车两种．已知某型号油电混合动力汽车每次换电池的时间比加油的时间多分钟，且花5小时完成换电池服务的次数与花3小时完成加油服务的次数相等．求该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是多少？ 83．某学校在某商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元． (1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元； (2)为了进一步满足体育课器材的需求，该学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．如果此次购买甲、乙两种足球的单价不变，总费用不超过2850元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？ 84．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了．    (1)①“丰收1号”单位面积产量为 ，“丰收2号”单位面积产量为 （以上结果均用含的式子表示）； ②通过计算可知， （填“1号”或“2号”）小麦单位面积产量高； (2)若高的单位面积产量比低的单位面积产量的多，求的值； (3)某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，两种小麦试种的单位面积产量与实验田一致，“丰收1号”小麦种植面积为平方米（为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少55平方米，若两种小麦种植后，收获的产量相同，当且为整数时，符合条件的值为 （直接写出结果）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06分式易错必刷题型专项训练 本专题汇总分式全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.分式值为0的条件 题型02.分式值为正负数时的取值范围 题型03.分式值为整数求未知数 题型04.分式规律性问题 题型05.分式变形正误判断 题型06.分式变形成立条件 题型07.分式性质判断数值变化 题型08.分式最高次项系数化为正数 题型09.分式系数化为整数 题型10.分式约分. 题型11.分式除法运算 题型12.分式乘除混合运算 题型13.分式乘方运算 题型14.含乘方分式乘除混合运算 题型15.异分母分式加减法 题型16.整式与分式相加减 题型17.由分式恒等式求未知项 题型18.分式加减混合运算 题型19.分式加减实际应用 题型20.分式加减乘除混合运算 题型21.分式化简求值 题型22.解分式方程 题型23.分式方程无解问题 题型24.分式方程行程问题 题型25.分式方程工程问题 题型26.分式方程经济问题 题型27.分式方程和差倍分问题 易错必刷题型01.分式值为0的条件 典题特征：求解使分式计算结果等于0的未知数取值 易错点：①仅令分子为0求解 ②忽视分母不能为0的限定条件 1．若分式的值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分式值为0时，分子为0且分母不为0，即可计算得到x的值． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴需要同时满足分子等于0，分母不等于0， 可得，解得， ∴的值为2． 2．分式的值为0，则x的值为______． 【答案】 【详解】解：由题意得：且， ∴． 3．已知分式（a，b，c，d为常数）满足下面表格中的信息： x值 0 1 分式值 c 无意义 d 0 下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的值、分式无意义的条件，分式值为0的条件，解决本题的关键是掌握分式相关知识． 先根据分式无意义的条件和分式值为0的条件求出，即可得到该分式，再代入数据求出． 【详解】解：当时，分式无意义，则， ∴，故B正确，不符合题意； 当时，分式值为0，则， ∴，故A正确，不符合题意； 所以该分式为， 当时，，故C正确，不符合题意； 当时，，故D错误，符合题意 故选：D． 4．对于分式． (1)当取什么值时，分式有意义？ (2)当取什么值时，分式的值为零？ 【答案】(1)当时，分式有意义 (2)当时，分式的值为零 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式的值为零的条件，掌握知识点是解题的关键． （1）根据分式有意义的条件，即分母不为0，列式求解即可； （2）根据分式的值为零的条件，即分子为0，且分母不为0，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵分式有意义， ∴， 解得， 答：当时，分式有意义； （2）∵分式的值为零， ∴且， 即且， ∴， 答：当时，分式的值为零． 易错必刷题型02.分式值为正负数时的取值范围 典题特征：根据分式正负性质，列不等式组求解自变量取值范围 易错点：①同号、异号分类讨论不完整 ②解题忽略分母非零要求 5．若分式的值为正数，则x的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据分式值为正数可确定分母为负数，由此求解即可． 【详解】解：因为分式的值为正数， 而分子为是负数，可知分母为负数， 即，解得， 的取值范围是． 6．若分式的值是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据分式的值求字母的取值范围，由分式的值为正数且可得，据此即可求解，掌握平方的非负性和同号相除得正是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值是正数，且， ∴， ∴， 故选：A． 7．若分式的值大于零，则x的取值范围是 ______． 【答案】且 【分析】由已知可得分子x+2＞0，再由分式的分母不等于零，得到x﹣1≠0，进而求出x的取值． 【详解】解：∵分式的值大于零， ∴x+2＞0， ∴x＞﹣2， ∵x﹣1≠0， ∴x≠1， 故答案为x＞﹣2且x≠1． 【点睛】本题考查分式的值；熟练掌握分式求值的特点，特别注意分式的分母不等于零这个隐含条件是解题的关键． 易错必刷题型03.分式值为整数求未知数取值 典题特征：求取分式结果为整数时，对应的整数自变量 易错点：①遗漏负约数取值 ②取值后未排除分母为0的无效解 8．请写出一个满足条件的m值，使得分式的值为整数：____． 【答案】1（不唯一） 【分析】本题主要考查了求分式的值， 将的值代入分式，求出结果为整数即可． 【详解】解：当时，，其值为整数， 所以． 故答案为：1（答案不唯一）． 9．若x是整数，且的值也是整数，则所有符合条件的x的值有（    ）个 A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】由原式为整数可得出或或或，解之即可得出结论． 【详解】解：∵x是整数，且的值也是整数， ∴或或或， ∴或或0或．共有4个， 故选：C 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式化简与求值的方法并明确数的整除性是解题的关键． 10．已知为整数，且分式的值也为整数，则满足条件的所有的值之和为______． 【答案】0 【分析】根据为整数，分式的意义一一分析可能成立的情况，选出的值再求和即可． 【详解】解： ， 为整数，分式的值也为整数， 当时，分式，符合题意； 当时，分式值，符合题意； 当时，分式值，符合题意； 当时，分式值，符合题意； 满足条件的的值为、、、， 所有满足条件的数的和为， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了分式的值，解题的关键是读懂题意能按要求分情况讨论分式的值． 11．已知． (1)若y的值为正数，求x的取值范围； (2)若y的值为整数，求整数x的所有可能值． 【答案】(1) (2)或或或或或 【分析】本题考查了分式的值，正确计算是解题的关键． （1）根据分式的值为正数得出，即可求出x的取值范围； （2）根据y的值为整数得出或或或或或，即可求出整数x的所有可能值． 【详解】（1）解：的值为正数， ， ； （2），y的值为整数， 或或或或或， 或或或或或． 易错必刷题型04.分式规律性问题 典题特征：依据分式排列规律，推导指定序号分式解析式 易错点：①分子分母数值规律判断失误 ②正负符号规律判定错误 12．一组按规律排列的式子：，，，，，则第10个式子是___________． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，观察分子和分母的规律：分子为连续偶数，分母为的连续奇数次幂，由此推导第个式子的通项公式，从而即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：分子依次为2,，4，6，8，…，可表示为； 分母依次为，，，，，可表示为， 因此第个式子为， 当时，分子为20，分母为，故第10个式子为， 故答案为：． 13．按一定规律排列的代数式：，，，，，……，则第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查规律探究，观察代数式的系数和x的指数，第1个代数式为，第2个代数式为，第3个代数式为，据此找出规律，即可求解． 【详解】解：第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， ... 第n个代数式为； 故选：A． 14．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照上述规律，回答下列问题： (1)写出第6个等式：　　　； (2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示）； (3)计算：. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索，实数的运算，熟练掌握运算法则得出规律是解题的关键． （1）根据所给第1到4个等式的规律，写出第6的等式； （2）根据第个等式与等式内的数字对应规律，写出第个等式； （3）依据第（2）问中的规律，应用规律计算可得出答案． 【详解】（1）解：根据规律第6个等式：． （2）解： 根据规律，猜想的第个等式： ． （3）解：原式 ． 易错必刷题型05.分式变形正误判断 典题特征：依据分式基本性质，判定等式变形是否成立 易错点：①忽略同乘除整式不可为0 ②随意篡改分式符号 15．下列等式，运用分式的基本性质变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘以或除以同一个不为零数或式子，分式的值不变．根据这一性质，检查各选项是否符合． 【详解】解：A、分子和分母同时加2，不是同时乘以或除以2，不符合题意分式的基本性质，变形错误，不符合题意； B、分子和分母同时平方，不是同时乘以或除以同一个数或式子（不为0），不符合题意分式的基本性质，变形错误，不符合题意； C、当时，式子不成立，变形错误，不符合题意； D、，变形正确，符合题意； 故选：D． 16．下列从左到右的变形：①；②；③；④．其中正确的是______（填序号）． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了分式的基本性质的知识点，掌握“分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为的整式，分式的值不变”最关键． 本题根据分式的基本性质，对每个变形进行分析，判断其是否符合该性质，进而得到哪些变形是正确的结论，即可解决判断分式变形是否正确的问题． 【详解】解：①当时，此时分母，分式不成立，无意义，不符合题意； ②由知，分子分母同时乘以，分式的值不变，即，符合题意； ③由知，分子分母同时除以，分式的值不变，即，符合题意； ④∵∴，分子分母同时乘以，分式的值不变，即，符合题意． 故答案为：②③④． 17．下列各式从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质. 根据分式的基本性质，逐项判断变形是否正确. 【详解】解：A：，变形正确； B：时，，即变形并非恒成立，变形错误； C：，变形错误； D：且时，，即变形并非恒成立，变形错误； 故选：A． 易错必刷题型06.分式变形成立条件 典题特征：求解分式恒等变形所需满足的限制条件 易错点：①违背分式基本性质 ②未排除整式取值为0的情况 18．若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据分式的性质即可求解． 【详解】解：和都扩大为原来的3倍得到： 因为分式的值不变 所以是同时含有和的一次二项式 故选：A 【点睛】本题考查分式的性质．掌握相关性质是解题的关键． 19．若，则“？”所代表的分子是__________． 【答案】c 【分析】本题考查了分式的基本性质，将式子变形为，结合分式的基本性质即可得解，熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 20．将的分母化为整数，得（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质求解．　　 【详解】解：将的分母化为整数，可得． 故选：D． 【点睛】本题考查一元一次方程的化简，熟练掌握分式的基本性质解题关键． 易错必刷题型07.分式性质判断数值变化 典题特征：分子分母缩放倍数，判断分式整体数值变化 易错点：①主观臆断结果 ②未严谨代入数值验证变化规律 21．若把分式中m和n的值都扩大2倍，那么分式的值（    ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的4倍 D．不变 【答案】B 【分析】解：m和n都扩大为原来的2倍后，代入分式计算并化简，比较新分式与原分式的值即可解答． 【详解】解：∵m和n都扩大为原来的2倍， ∴ 新分式为， ∵原分式为， ∴分式的值扩大为原来的2倍， 故选B． 22．已知分式的值为，如果把分式中的a、b同时扩大为原来的2倍，那么得到的分式的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值，掌握分式的性质是解题关键．将分式中的和同时扩大2倍后，新分式是原分式的2倍，据此即可求解． 【详解】解：由题意可知，， 则新分式为， 故答案为：． 23．下列各式与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐一判断即可，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、选项分子分母同时加，不符合分式基本性质，值改变，不符合题意； 、选项分子分母未同乘（或除以）同一个整式，值改变，不符合题意； 、∵， ∴， ∵该分式有意义时，即，此时， ∴约分后得，与原式相等，符合题意； 、选项无法因式分解为含的整式，无法约分得到原式，不符合题意； 故选：． 题易错必刷型08.分式最高次项系数化为正数 典题特征：统一分子、分母最高次项系数为正 易错点：①符号变换不完整 ②多重负号运算计算出错 24．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号． 25．不改变分式的值，使分子、分母的最高次项的系数为正，则 __________． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质计算即可． 【详解】解：． 26．不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子与分母同时乘以即可得到答案． 【详解】解：． 故选：D 易错必刷题型09.分式系数化为整数 典题特征：将含分数、小数系数的分式化为整数系数 易错点：①公分母选取错误 ②分子单项漏乘对应倍数 27．不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，_______ 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子和分母只能同时乘或除以一个不等于0 的数或整式，分式的值不变，据此把分式的分子分母同时乘以10即可得到答案． 【详解】解：把分式的分子分母同时乘以10得， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 28．不改变分式的值，把它的分子与分母中的系数化为整数，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的性质，分子分母同时乘以10，即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 29．不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 易错必刷题型10.分式约分. 典题特征：因式分解后约去公因式，简化分式 易错点：①未因式分解直接约分 ②误约非公共整式因式 30．若分式，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的求值，约分等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 通过已知条件用含的式子表示，再代入所求分式化简计算，也可利用分式基本性质将所求分式转化为含的形式求解． 【详解】解：∵， ∴， 将代入得， 原式 ， 故选：D． 31．化简：_______． 【答案】 【分析】本题主要考查约分，熟练掌握分式的性质是解题的关键；将分子和分母分别因式分解，然后约去公因式即可． 【详解】解：． 故答案为． 32．下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的约分，掌握分式约分的前提是分子分母有公因式，需先因式分解，注意符号变化和恒等变形是解题的关键． 逐个分析选项，判断分子分母是否有公因式，能否正确约分，注意符号变化和因式分解的正确性． 【详解】解：A、分母中与不是同类项，不能约去，A错误，不符合题意； B、， 原式，不等于，B错误，不符合题意； C、，不能约分，C错误，不符合题意； D、分母，，D正确，符合题意． 故选：D． 33．约分： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的约分，掌握找分子分母的公因式，以及处理互为相反的因式的变形技巧是解题的关键． （1）找出分子分母的公因式，直接约去公因式完成约分； （2）先将分子中的变形为，使分子分母出现相同因式，再约去公因式完成约分． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 易错必刷题型11.分式除法运算 典题特征：独立进行两个分式之间的除法计算 易错点：①未将除法转化为乘倒数 ②直接错误交叉约分 34．化简（   ） A．1 B．a C． D． 【答案】D 【分析】利用分式除法法则将除法转化为乘法，再约分即可得到结果． 【详解】解：． 35．计算： __________． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是熟练掌握分式的乘除法运算法则． 利用分式的乘除法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 36．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的除法运算和因式分解，掌握先因式分解，再将除法转化为乘法，注意符号变化并约分是解题的关键． 先对分子分母因式分解，将除法转化为乘法，注意与的符号关系，再约分计算． 【详解】解：原式 ． 易错必刷题型12.分式乘除混合运算 典题特征：连续开展多项分式乘除综合计算 易错点：①打乱从左至右运算顺序 ②无序约分导致计算错误 37．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的乘除运算．首先把除法运算转化为乘法运算，再约分即可． 【详解】解： ． 38．计算的结果为___________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，掌握因式分解和分式的约分是解题的关键． 先将分式的除法转化为乘法，然后对分子和分母进行因式分解，最后通过约分简化表达式． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 39．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先进行乘方运算，再进行乘除运算即可解答； （2）先将括号内的分式通分，再进行减法运算，最后进行乘除运算即可解答． 【详解】（1）解： （2）解： ． 易错必刷题型13.分式乘方运算 典题特征：对整体分式进行正整数次乘方运算 易错点：①只对分子单独乘方 ②负数乘方符号判断出错 40．计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂，分式的乘方； 根据负整数指数幂等于正整数指数幂的倒数，结合分式的乘方法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 41．计算与，其结果（   ） A．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．以上都不对 【答案】A 【分析】此题考查了分式的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 分别根据分式的乘方法则计算出结果，再判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 42．化简： 【答案】 【分析】先算乘方，然后根据分式乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了分式乘除混合运算、乘方等知识点，掌握整式乘除混合运算法则是解答本题的关键． 易错必刷题型14.含乘方分式乘除混合运算 典题特征：算式同时包含乘方、乘法、除法运算 易错点：①运算顺序颠倒 ②多层符号叠加运算易失误 43．____． 【答案】 【分析】先根据分式的乘方法则计算两个分式的乘方，再将分式除法转化为分式乘法．最后约分得到结果． 【详解】解： ． 44．____． 【答案】 【分析】先根据分式的乘方法则计算两个分式的乘方，再将分式除法转化为分式乘法．最后约分得到结果． 【详解】解：原式． 45．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘方、乘除混合运算，掌握先算乘方，再算乘除，除法变乘法后约分计算是解题的关键． 先计算分式的乘方，再将除法转化为乘法，最后通过约分完成计算． 【详解】解：原式 ． 易错必刷题型15.异分母分式加减法 典题特征：对分母不同的分式进行加减化简 易错点：①最简公分母选取错误 ②通分时分子漏乘对应因式 46．化简：等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 先通分，然后合并，即可得到答案． 【详解】解： 故选A． 47．化简的结果是________． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的加减法，根据分式的加减法运算法则计算即可，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 48．已知，求的值． 【答案】3 【分析】根据，得到，将进行化简，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 易错必刷题型16.整式与分式相加减 典题特征：整式与分式合并开展加减运算 易错点：①未将整式化为分母为1的分式 ②直接合并分子致错 49．化简，得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 【详解】解： ． 故选：C． 【点睛】本题考查分式的加减运算．熟练掌握通分和分式的加减运算是解题的关键． 50．已知，则的值为________． 【答案】3 【分析】本题主要考查求分式的值，其解题的关键是合理的变形及整体代入；由变形得，再对所求代数式进行变形，并整体代入求值即可； 【详解】解：， ， ． 故答案为：3. 51．若一个分式只含有一个未知数，分式的分子未知数的次数大于分母未知数的次数，则该分式可拆分成整式与分式和的形式，例如将拆分如下： 【方法一】原式； 【方法二】设，则． 原式． (1)将分式拆分成一个整式和一个分式的和的形式为____________； (2)任选上述一种方法，将拆分成一个整式和一个分式的和的形式； (3)已知分式的值为整数，求x的值． 【答案】(1) (2) (3)4或2或5或1． 【分析】本题考查用整体思想以及换元思想将一个分子次数比分母大的分式拆分成整式与分式和的形式． （1）根据方法一求解即可； （2）根据方法一求解即可； （3）根据方法一拆分成一个整式和一个分式的和的形式，分类讨论即可． 【详解】（1）． 故答案为：； （2）原式 ； （3）原式 ∵分式的值为整数， ∴， ∴． 易错必刷题型17.由分式恒等式求未知项 典题特征：根据分式恒等关系，求解未知分子或分母 易错点：①同类项系数对应匹配错误 ②等量代换逻辑混乱 52．已知，且，则________． 【答案】2 【分析】本题考查分式的加减，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会恒等变形，由题意，可得，因为，所以，推出，由此即可解决问题． 【详解】解析：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 53．已知，其中，，，为常数，则______． 【答案】6 【分析】由于，利用这个等式首先把已知等式右边通分化简，然后利用分母相同，分式的值相等即可得到分子相等，由此即可得到关于、、、的方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：，且， 当时，① 当时，②   当时，③ ∵, 即 ∴④ 联立解之得 、、， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了部分分式的计算，题目比较复杂，解题时首先正确理解题意，然后根据题意列出关于、、、的方程组即可解决问题． 54．已知，，都是正数）． (1)计算：； (2)若，说明的理由； (3)设，且为正整数，试用等式表示，之间的关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或或 【分析】本题考查了分式的加减运算； （1）根据分式减法计算即可． （2）根据得到，的关系式． （3）根据与，的关系求解． 【详解】（1）解： ． （2）， ， ， ， ， ． （3） ， 是正整数，，都是正数， 或或． 或或， 或或． 易错必刷题型18.分式加减混合运算 典题特征：多组分式连续加减化简计算 易错点：①去括号符号变换错误 ②最终结果未化为最简分式 55．计算的结果是______． 【答案】1 【分析】先化简，再进行分式的加减即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了分式的加减，解题关键是熟练运用分式加减法则进行准确计算． 56．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用约分对A进行判断；根据负整数指数幂的意义对B进行判断；根据同分母的减法运算和约分对C进行判断；利用通分对D进行判断． 【详解】解：A、原式，所以A选项的计算错误； B、原式，所以B项的计算正确； C、原式，所以C选项的计算错误； D、原式，所以D项的计算错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 57．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键． （ 1）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果； （ 2）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果； （ 3）原式第一项利用除法法则变形，约分得到结果，第二项约分得到结果，再利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 易错必刷题型19.分式加减实际应用 典题特征：结合实际情境，列分式算式求解问题 易错点：①题意等量关系解读偏差 ②列式不符合实际逻辑 58．某工程队要修路米，原计划平均每天修米．因天气原因，平均每天少修米（）．因此，实际完成工程的时间比原计划推迟的天数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式的加减运算的应用， 根据原计划和实际的工作效率，分别求出完成时间，再计算两者的差值即为推迟天数． 【详解】原计划时间为：总路程为米，原计划每天修米，故原计划完成时间为天． 实际时间为：实际每天修米，故实际完成时间为天． ∴推迟天数为实际时间减去原计划时间， ∴ ． 故选：B． 59．甲、乙两位采购员同去一家面粉公司购买两次面粉，两次面粉的单价不同，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买，乙每次用去600元．设两次购买的面粉单价分别为元/和元/（，是正数，且），那么甲所购面粉的平均单价是__________元/，乙所购面粉的平均单价是__________元/；在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为__________元/．（结果用含，的代数式表示，需化为最简形式） 【答案】；； 【分析】本题考查了列代数式，分式的减法运算．根据题意可用含，的代数式表示出平均单价，根据总价除以总重量即可求得，进而根据甲的单价减去乙的单价进而求得其差值． 【详解】解：由题意可得，甲购买面粉的平均单价是：（元/）， 乙购买面粉的平均单价是：（元/）， 在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为：（元/）， 故答案为：；；． 60．商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：A种糖的单价为元千克，种糖的单价为元千克，且．则千克A种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为（元千克）．把质量相同的A种糖和种糖混合而成，记为甲种什锦糖（单价记为）；把总价相同的A种糖和种糖混合而成，记为乙种什锦糖（单价记为）．请解决以下问题： (1)分别求出，（可用含有，的代数式表示）； (2)你认为购买哪一种什锦糖较便宜？为什么？ 【答案】(1)元千克，元千克 (2)购买乙种什锦糖较便宜，理由见解析 【分析】（1）设质量各为千克，，求出甲的售价，设总价各为元，求出乙的售价； （2）利用作差法，求出，利用非负数的意义判断差的符合，进而比较大小． 本题考查了分式的化简以及异分母分式相加减，掌握作差法比较大小是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲什锦糖由相同质量的A，两种糖果混合，设质量各为千克， 则售价为：元千克， 乙什锦糖由总价相同的A、两种糖果混合，设总价各为元， 则售价为：元千克， 答：甲、乙两种什锦糖的售价应为元千克，元千克． （2）解：购买乙种什锦糖较便宜，理由如下： ． ，，， ． 甲的售价高于乙的售价， 购买乙种什锦糖较便宜． 易错必刷题型20.分式加减乘除混合运算 典题特征：分式四则综合化简计算题 易错点：①整体运算顺序混乱 ②连续符号运算极易出错 61．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的混合运算，先去括号，再通分，计算分式的减法运算即可． 【详解】解： ； 故选B 62．形如的式子称为二阶行列式，规定它的运算方法如下：，例如：．化简：______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握二阶行列式的运算规定以及分式的混合运算法则是解此题的关键．． 按二阶行列式的运算方法先列出算式，再利用分式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 63．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ． 易错必刷题型21.分式化简求值 典题特征：先化简分式，再代入数值计算最终结果 易错点：①分式化简不彻底 ②代入使分式无意义的数值 64．若，则（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了分式的化简求值，将分式化简后代入求值，即可求解． 【详解】解： 当时，原式 故选：B． 65．实数a，b，c满足，，则________． 【答案】72 【分析】由得到，，，代入所求式子，运用平方差公式将各分子分解后与分母约分，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵， ∴ ． 66．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】根据平方差公式和完全平方公式化简所求式子，再将代入化简后的式子求解即可． 【详解】解： 当时，原式． 易错必刷题型22.解分式方程 典题特征：按步骤规范求解分式方程 易错点：①去分母时常数项漏乘公分母 ②求解后省略增根检验 67．解分式方程，去分母得（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定最简公分母为，方程两边同乘最简公分母即可得到结果，注意不要漏乘． 【详解】解：将原方程的右侧分母变形得， 方程两边同时乘以最简公分母，得． 68．方程的解为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程，将方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 去分母得：， 解得， 经检验，是原方程的解， 所以，原方程的解为． 故答案为：． 69．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：原方程可化为， 方程两边同乘以最简公分母，得， 展开，得． 解方程，得． 检验：当时，， 所以，原方程的根是． （2）解：原方程可化为． 方程两边同乘以最简公分母，得， 展开，得． 解方程，得． 检验：当时，， 所以，原方程的根是． 易错必刷题型23.分式方程无解问题 典题特征：根据方程无解条件，求解参数数值 易错点：①只考虑增根情况 ②忽略整式方程本身无解情形 70．如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（ ） A． B．1或0 C．1 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解，理解其意义是解题的关键．将原方程去分母得，整理得，根据题意分情况讨论并求得对应的m的值即可． 【详解】解：原方程去分母得， 整理得， 当时， 无解，那么原方程无解，符合题意， 当时， 若方程无解，那么它有增根， 则， 解得：， 综上，m的值为1或， 故选：． 71．若关于x的方程无解，则________． 【答案】，1 【分析】分式方程无解包含两种情况：一是去分母后所得整式方程无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，将分式方程化为整式方程后，分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：原方程为 方程两边同乘最简公分母去分母得：， 展开并移项合并同类项得：， 分两种情况讨论： 当整式方程无解时，满足未知数系数为且常数项不为，即 ，解得，此时，符合要求； 当整式方程的解为原分式方程的增根时， 原分式方程分母为和，因此增根为， 将代入得： ， 解得，符合要求； 综上，的值为或． 72．已知，关于x的方程：． (1)若方程无解，求m的取值； (2)若方程的解为整数，求整数m的取值． 【答案】(1)或或 (2)或 【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程． （）根据分式方程的解法得出，分当时方程有增根，当时原分式方程无解，从而求解； （）由，得，然后根据方程的解为整数得出，，最后求解并检验即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得， ∴若方程有增根，的取值为或； ∵， ∴当时原分式方程无解， ∴， ∵当或时方程有增根， ∴若方程无解，的取值为或或； （2）解：∵， ∴， ∵方程的解为整数， ∴，， 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，； ∴或． 易错必刷题型24.分式方程行程问题 典题特征：利用路程、速度、时间关系列分式方程 易错点：①三类量关系列式颠倒 ②概念混淆导致关系式错误 73．某旅行社组织游客从甲地到乙地的博物馆参观，已知甲地到乙地的路程为210千米，乘坐型车比乘坐型车少用1小时，型车的平均速度是型车的平均速度的倍，求型车的平均速度． 【答案】型车的平均速度为70千米每小时 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是找准等量关系． 设型车的平均速度为千米每小时，根据时间找等量关系，列出方程求解检验即可． 【详解】解：设型车的平均速度为千米每小时，根据题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，并符合题意， 所以，型车的平均速度为70千米每小时． 74．净月潭环潭步行路线全长12公里．小李从起点出发，步行一段后，跑步前往终点，再从终点立即乘车返回起点．在同一时间，小刘从起点骑自行车沿同一路线去终点．已知小李跑步速度比步行快4公里/小时，骑自行车的速度是小李跑步速度的1.5倍．小李从起点到终点总共用时2小时，小刘从起点到终点比小李少用1小时．求小李的步行速度． 【答案】小李的步行速度是4公里/小时 【分析】本题考查了分式方程的应用，先表示出小刘全程骑车12公里的时间，再根据小刘比小李从起点到终点少用1小时，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设小李步行速度为v公里/小时，则跑步速度为公里/小时， 小刘骑自行车的速度为公里/小时， 小刘全程骑车12公里的用时为：小时， ∵小李从起点到终点总共用时2小时，小刘从起点到终点比小李少用1小时． ∴， 解得， 经检验：是原分式方程的解， ∴小李的步行速度是公里/小时． 75．甲自A向B先走分钟后，乙自B向A行走，每分钟比甲多走30米．他们于途中C处相遇．甲自A到C用时比自C到B用时多4分钟，乙自C向A用时比自B向C用时多3分钟．请问甲从A到C用了多少分钟？A、B两处的距离是多少米？ 【答案】甲从A到C用了分钟，A、B两处的距离是米 【分析】本题考查分式方程的应用，熟知路程速度时间基本公式是解题的关键． 通过设甲、乙速度和相遇时间，结合路程、时间关系建立方程，逐步推导得出甲速度、相遇时间及总距离． 【详解】解：设甲的速度为米分钟，乙的速度为米分钟， 设乙出发后经过分钟相遇，则甲从到的总时间为分钟， 则甲从到的距离：米，乙从到的距离：米， 故总距离：米， 甲的时间差：甲从到的剩余路程，所需时间为分钟， 根据题意得：，化简得：，即， 乙的时间差：乙从到的路程为甲从到的距离米，所需时间为分钟， 根据题意得：， 代入后化简得：， 解得：， 则， 故甲从到的时间：分钟， 总距离：米． 答：甲从A到C用了分钟，A、B两处的距离是米． 易错必刷题型25.分式方程工程问题 典题特征：依据工作总量、效率、时间列分式方程 易错点：①工作效率计算错误 ②工程总量设定不符合题意 76．随着“碳中和”理念普及，校园旧物回收活动愈发火热．某校初三（1）班学生利用课余时间整理可回收废品，发现改进分类方法后，工作效率大幅提高．已知该班同学改进前整理60千克废品所用的时间，与改进后整理90千克废品所用的时间相同，且改进后每小时比改进前多整理15千克废品．请问该班同学改进前每小时整理多少千克废品？ 【答案】该班同学改进前每小时整理千克废品 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据改进前整理60千克废品所用的时间，与改进后整理90千克废品所用的时间相同，且改进后每小时比改进前多整理15千克废品，进行列分式方程，再解得，即可作答． 【详解】解：依题意，设该班同学改进前每小时整理千克废品， ∵改进后每小时比改进前多整理15千克废品． ∴改进后每小时整理千克废品， 依题意，得 解得， 经检验：是原分式方程的解， ∴该班同学改进前每小时整理千克废品． 77．学校新购3600册图书平均分配给A，B两个图书馆，A，B两馆分别邀请6名和9名志愿者整理新购图书上架，若每位志愿者的工作效率相同，且B馆提前2小时完成任务．求平均每人每小时整理图书的册数． 【答案】50册 【分析】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验． 设平均每人每小时整理图书x册，则A，B两馆每小时分别整理图书，册，再根据B馆提前2小时完成任务列出方程求解． 【详解】解：设平均每人每小时整理图书x册， 由题意得， 解得， 经检验是原方程的解，符合题意， 答：平均每人每小时整理图书50册． 78．某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工． （1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米． （2）若甲工程队每天可以改造米道路，乙工程队每天可以改造米道路，（其中）．现在有两种施工改造方案： 方案一：前米的道路由甲工程队改造，后米的道路由乙工程队改造； 方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造． 根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由． 【答案】（1）甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；（2）方案二所用的时间少 【分析】（1）设乙工程队每天道路的长度为米，根据“甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同”，列出分式方程，即可求解； （2）根据题意，分别表示出两种方案所用的时间，再作差比较大小，即可得到结论． 【详解】（1）设乙工程队每天道路的长度为米，则甲工程队每天道路的长度为米， 根据题意，得：， 解得：， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为：， ， 答：甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米； （2）设方案一所用时间为：， 方案二所用时间为，则，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即：， ∴方案二所用的时间少． 【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用以及分式的减法法则，找出等量关系，列分式方程，掌握分式的通分，是解题的关键． 易错必刷题型26.分式方程经济问题 典题特征：依据单价、数量、总价、利润之间数量关系，构建分式方程求解实际问题 易错点：①单价与购货数量对应关系混淆 ②利润计算公式套用错误 ③忽略解的实际取值范围 ④解题后未检验分式方程增根 79．“年春晚”吉祥物“巳（）升升”，是从中华传统文化中寻找的灵感，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，其形象既憨态可掬，又富有古意．某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高元．若顾客花元购买A款吉祥物的数量与花元购买B款吉祥物的数量相同，求B款吉祥物的单价． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题关键是列出分式方程求解． 设A款吉祥物的单价为元，则款吉祥物的单价为元，根据“顾客花元购买A款吉祥物的数量与花元购买B款吉祥物的数量相同”列出分式方程，解方程即可得解． 【详解】 解：设A款吉祥物的单价为元，则款吉祥物的单价为元， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 款吉祥物的单价为元， 故答案为：． 80．列分式方程解应用题： “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期.某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买，两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中型号的“文房四宝”花费3000元，已知每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，求每套型号的“文房四宝”的价格． 【答案】每套型号的“文房四宝”的价格为100元. 【分析】设每套型号的“文房四宝”的价格为元，根据每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，以及学生购买，两种型号“文房四宝”共40套，列出分式方程进行求解即可. 【详解】解：设每套型号的“文房四宝”的价格为元，则每套型号的“文房四宝”的价格为元，由题意： ， 解得， 经检验是原方程的解且符合题意； 答：每套型号的“文房四宝”的价格为100元. 81．宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了A、B两款人形机器人． (1)已知该公司生产5件A款人形机器人和生产6件B款人形机器人的成本相同；每件A款人形机器人的成本比每件B款人形机器人的成本多2万元．该公司生产的A款人形机器人和B款人形机器人每件的成本各是多少万元？ (2)如果该公司把这两种人形机器人在网上进行预约销售，并且每件B款人形机器人的售价比每件A款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为600万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出10件．则该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是多少万元？ 【答案】(1)12万元，10万元 (2)15万元 【分析】（1）设A款机器人价格为ｘ万元，则B款机器人价格为万元，根据题意，得，解方程即可． （2）设A款机器人销售价格为ｘ万元，则B款机器人销售价格为万元，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，正确掌握方程的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：设A款机器人价格为ｘ万元，则B款机器人价格为万元，根据题意，得， 解得， ∴， 答：A款机器人价格为12万元，B款机器人价格为万元． （2）解：设A款机器人销售价格为ｘ万元，则B款机器人销售价格为万元，根据题意，得， 解得． 答：该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是15万元． 易错必刷题型27.分式方程和差倍分问题 典题特征：根据数量和差、倍数关系列分式方程 易错点：①倍数与差值关系理解偏差 ②未知量对应关系混乱 82．伴随着“双碳”政策的实施，新能源汽车应运而生，新能源汽车主要有纯电动汽车和油电混合动力汽车两种．已知某型号油电混合动力汽车每次换电池的时间比加油的时间多分钟，且花5小时完成换电池服务的次数与花3小时完成加油服务的次数相等．求该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是多少？ 【答案】该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是分钟和分钟． 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意正确列方程是解题关键．设该车每次换电池服务的时间是分钟，根据“花5小时完成换电池服务的次数与花3小时完成加油服务的次数相等”列分式方程求解即可． 【详解】解：设该车每次换电池服务的时间是分钟，则完成加油服务的时间是分钟， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， （分钟）， 答：该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是分钟和分钟． 83．某学校在某商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元． (1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元； (2)为了进一步满足体育课器材的需求，该学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．如果此次购买甲、乙两种足球的单价不变，总费用不超过2850元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？ 【答案】(1)购买一个甲种足球需50元，购买一个乙种足球需70元 (2)这所学校最多可购买17个乙种足球 【分析】】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需元，根据购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设学校购买乙种足球m个，则购买甲种足球个，根据此次购买甲、乙两种足球的单价不变，总费用不超过2850元，结合（1）的结论，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 则， 答：购买一个甲种足球需50元，购买一个乙种足球需70元； （2）解：设学校购买乙种足球m个，则购买甲种足球个， 根据题意，得， 解得， ∵m为正整数， ∴m 的最大值为17． 答：这所学校最多可购买17个乙种足球． 84．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了．    (1)①“丰收1号”单位面积产量为 ，“丰收2号”单位面积产量为 （以上结果均用含的式子表示）； ②通过计算可知， （填“1号”或“2号”）小麦单位面积产量高； (2)若高的单位面积产量比低的单位面积产量的多，求的值； (3)某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，两种小麦试种的单位面积产量与实验田一致，“丰收1号”小麦种植面积为平方米（为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少55平方米，若两种小麦种植后，收获的产量相同，当且为整数时，符合条件的值为 （直接写出结果）． 【答案】(1)①；②2号 (2)14 (3)，， 【分析】本题考查分式方程的应用，不等式的应用． （1）①用“总产量÷面积”列式求得单位面积的产量； ②根据，并利用不等式的性质作出比较； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得的值； （3）根据题意列出方程，并结合，列不等式求解． 理解分式的基本性质，不等式的基本性质，根据题意列出方程是解题关键． 【详解】（1）解：①由题意，“丰收号”小麦的试验田的面积为， ∴“丰收号”单位面积产量为； 由题意，“丰收号”单位面积为， ∴“丰收号”单位面积产量为． 故答案为：；． ②∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即“丰收号”小麦的单位面积产量高． 故答案为：号． （2）根据题意，得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意． ∴的值是． （3）根据题意，得： ， 整理，可得：， ∴， 当时，， 解得：， 又∵为正整数，且满足， 当时，， 当时，， 当时，， ∴符合条件的的值为，，． 故答案为：，，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $