专题02 平行线中的5种拐点模型（高效培优专项训练）数学新教材沪科版七年级下册

专题02 平行线中的5种拐点模型 题型一：M模型与锯齿模型 题型二：铅笔模型 题型三：牛角模型 题型四：羊角模型 题型五：蛇形模型 题型一：M模型与锯齿模型 1.如图，已知点，分别在，上，点，在两条平行线，之间，和的平分线交于点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，、的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为；……；第次操作，分别作和的平分线，交点为．若度，那么等于（    ）度． A． B． C． D． 3.如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为___________．    4.图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知，若与的夹角为，，则∠2的度数为______． 5.（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）如图，直线，点M，N分别在直线，上，点E为，之间一点，且点E在线段的左侧，．若与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，…，则 （1）_________． （2）_________．（用含n的代数式表示） 6.如图，，平分平分，若设，则_______度（用的代数式表示），若平分平分，可得平分平分，可得，依次平分下去，则_______度． 7．（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）如图，已知点，分别在直线，上，且，，． （1）若，，则的度数为_____； （2）在（1）的条件下，若，分别平分，，则的度数为_____． 8．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）如图，已知，、的交点为，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为，第二次操作，分别作和的平分线，交点为，第三次操作，分别作和的平分线，交点为，第次操作，分别作和的平分线，交点为， （1）若，则__________度 （2）猜想：若度，则________________度 9.综合与实践：（1）如图1，，E为图形内一点，连接、得到，求、、之间的关系，并说明理由． 【探究应用】可以利用（1）中结论解决下面问题： （2）如图2，，直线分别交、于点E、F，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和，求证：． （3）如图3，已知，F为线段上一点，，，，求的度数． 10.已知直线，A，C分别是，上的点，P是直线，之间的一点、连接，． (1)已知点P在直线的右侧． ①如图1，，与之间的数量关系为__________； ②如图2，若平分，平分，判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)若点P在直线的左侧，平分，平分． ①如图3，若，，求的度数； ②试判断与之间的数量关系与（1）②中的关系一致吗？若一致，请证明；若不一致，请直接写出与之间的数量关系． 11.综合与实践 在学习平行线的性质的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“平行线的拐点问题”进行研究． 如图1，直线，点，分别在直线，上，点是直线与外一点， 连接，． (1)【问题初探】若，， 则的度数为_____． (2)【问题拓展】①如图2，作平分，平分，若设，，求出的度数（用含x，y的式子表示）． ②在①的条件下，如图3，若平分，平分,平分，平分，可得……依次平分下去， 则的度数是______． (3)【问题应用】智慧组制作了一个如图4所示的“燕子镖”，经测量发现，，试探究与之间有怎样的数量关系，并说明理由． 12．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）数学课上，老师出示了这样一道题： 如图1，已知，点分别在上，，．求的度数． 小明：“如图2，通过作平行线，发现，，由已知，可以求出的度数．” 小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得，也能求出的度数．” 小华：“如图4，也能求出的度数．” (1)根据他们的解法，______； (2)请在图2，图3，图4中任选一个，求的度数，写出求解过程； (3)老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题”请大家参考这三位同学的方法，解决问题：如图，，点分别在上，平分，，若，请直接写出与的数量关系______；（用含的式子表示）． 13．（24-25七年级下·安徽六安·期末）如图，已知，是直线和之间一点． (1)如图1，试证明； (2)如图2，点在直线之间，分别为和的平分线，若，求的度数； (3)如图3，分别为和的平分线，且．若，求的度数． 14．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）如图1，，点在直线上，点在直线上，，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)如图2，若直线平分，直线平分交于点，求的度数． 15．已知，，为，上的点，是，之间的点． (1)如图1，连，，探究（均指小于平角的角）间的数量关系，并说明理由． (2)为射线，上的点，分别过点作，的平行线交于F点，分别作的角平分线，交点为，如图2． ①若，则求的大小． ②将射线沿所在直线翻折交线段于点，如图3，若，则判断与的位置关系，并说明理由． 16．（22-23七年级下·安徽滁州·期末）如图1，，过点作，可得．利用平行线的性质，可得：与，之间的数量关系是 　 　， 　 　． 利用上面的发现，解决下列问题： （1）如图2，，点是和平分线的交点，，求的度数； （2）如图3，，平分，，平分，若比大，则的度数是 　 　． 题型二：铅笔模型 17．图，，点在上，点在上，则________． 18．已知． （1）如图1，当时，则的度数为________； （2）如图2，判断，，之间的数量关系为________； （3）如图3，设，，．请直接写出的大小________（用含α、β、γ的式子表示）． 19．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）（1）如图，，则_________． （2）如图，，分别平分和，对__________． 20．【问题情境】如图①，，，，求的度数． 小明的解题思路：过作，通过平行线的性质来求的度数． (1)按小明的思路，求的度数． (2)【问题迁移】如图②，，点在直线上运动，记，，当点在线段上（不与、重合）时，与，之间有何数量关系？请说明理由． (3)【问题应用】在（2）的条件下，如果点不在线段上，请直接写出与，之间的数量关系． 21．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）已知，，点为之间的任意一点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，求证：； (3)如图3，，分别是，的平分线，若． ①请用含的式子表示； ②若平分平分，得到平分平分，可得，依次平分下去，则________．（用含的式子表示） 22．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）已知点P为直线，之间的一点，且． (1)如图1，连接，，若，求的度数； (2)点Q为直线，之间的不同于点P的另一点． ①如图2，连接，，，求的度数； ②如图3，连接，，，若，，，求的度数． 23．如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角． 如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是_____________． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； (3)小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 题型三：牛角模型 24．如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 25.【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上．求证：． 【类比迁移】如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明） 【结论应用】如图③，已知，，，则 °． 26．已知点是直线，所确定的平面内的一点． (1)如图1，若，，，与平行吗？为什么？ (2)如图2，已知，求出，，之间的数量关系； (3)在图2的基础上，延长至点，延长至点，过点作，连接，，且，过点作平分交于点，如图3所示．若，，求的度数． 27.已知． (1)如图①，求证：； (2)如图②，与的角平分线所在直线相交于点P，求的大小； (3)如图③，若平分，延长交于点F，且，当时，求的大小． 28．（24-25七年级下·安徽芜湖·期中）如图，已知分别在上，点G在之间，连接． (1)当平分平分时， ①如图1，若，则的度数为_______（直接写出结果）； ②如图2，在的下方有一点平分平分，求的值； (2)如图3，在的上方有一点O，若平分．线段的延长线平分，且满足时，求的值． 29．（24-25七年级下·安徽淮南·期中）【感知】（1）如图①，，，，求的度数．小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程． 解：如图①，过点作． 【探究】（2）如图②，，，，求的度数； 【应用】（3）如图③，在（2）条件下，的平分线和的平分线交于点，求的度数． 30．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）如图1，已知，点在上，点在上，点在之间，连接． (1)若，求的度数； (2)如图2，平分，交的延长线于点， ①若，求的度数； ②若，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 31．（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）综合与实践． 【问题情境】在综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知直线，，，． （1）若，求的度数； 【深入探究】 （2）如图2，创新小组的同学把直线向上平移，发现，请你进行证明； 【拓展应用】 （3）缜密小组将图形变化为如图3所示的形式，此时平分，他们发现，请你进行证明． 32．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图1，，点在直线，之间，请说明． 解：如图2，过点作，所以． 因为，，所以，所以， 所以． 可以运用以上方法解答下列问题： 【类比应用】 （1）如图3，，点在直线，之间，平分，平分． （i）若，求的度数． （ii）若，求的度数．（用含的式子表示） 【拓展探索】 （2）如图4，，点在的上方，的平分线与的平分线所在的直线交于点，求的度数． 33．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）【阅读理解】 如图1，已知，点 E，F分别在直线、上，点P 在直线、 之间．求证：． 证明：如图2，过点 P 作， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴，即． 【类比应用】 （1）如图3，已知，，，求 ． （2）如图4，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接、，试说明：； 【拓展应用】 （3）如图5，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接、，的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值． 34．已知直线，E为平面内一点，点P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，若点E在直线，之间，试探究之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点E在直线，之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点E在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点F，当时，求的度数． 35．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知直线，点M、N分别是直线和上的两点，点G为直线和之间的一点，连接、 (1)如图1，若，，试说明； (2)如图2，在（1）的结论下，点P是直线下方一点，满足平分，平分若，求的度数； (3)如图3，点P是直线上方一点，连结，若点G为线段上一点，的延长线为的平分线，平分，，则______． 36．已知，，点在上，点在上，点为一动点． (1)如图1，当在与之间时，点在上，连接、、，若，求证：． (2)如图2，在（1）的条件下，平分交于点K，，平分，且有． ①当，时，求的度数； ②当平分，，交于点时，若，求的值． (3)如图3，当H在上方，交于点，的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点，的角平分线和的角平分线相交于点，依此类推，请论证与之间的数量关系，并直接写出与的数量关系（用含n的式子表示） 题型四：羊角模型 37．（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由． （2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由． （3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．    38．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期末）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数． 解：过点A作，   ∴_____，______， 又∵° ∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知，、交于点E，，求的度数． （3）如图3，若，点P在，外部，请直接写出，，之间的关系． 题型五：蛇形模型 39．中华武术，博大精深．小明把如图1所示的武术动作抽象成数学问题．如图2，已知，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 40．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，已知，则、、、的关系是（   ） A． B． C． D． 41.如图，若，则，，之间的关系是（    ） A． B． C． D． 42.如图，若，则角，，的关系为（    ） A． B． C． D． 43.如图，，点在直线，之间，连接，．    (1)写出，，之间的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的度数； 44.已知直线，P为平面内一点，连接． (1)如图1，已知，求的度数； (2)如图2，判断之间的数量关系为 　　． (3)如图3，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 专题02 题型一：M模型与锯齿模型 题型三：牛角模型 题型五：蛇形模型 题型一：M模型与锯齿模型 1.如图，已知AB∥CD点E,F分别在 ∠GHF的平分线交于点M.若LEGH E B M< A.319 B.36 【答案】A 【详解】解：如图所示，过点G,M, E B :AB∥CD, :AB∥GN∥MP∥KH∥CD, :GN∥AB, .∠AEG=∠EGN, :GN∥KH, .LNGH=∠GHK, :KH∥CD, .∠HFD=∠KHF, :∠EGH=82°，∠HFD=20°， ∠AEG+∠GHF=102°， EM和MH是角平分线， www zxxk com 上好每一堂课 平行线中的5种拐点模型 题型归纳 题型二：铅笔模型 题型四：羊角模型 题型专练 AB,CD上，点G,H在两条平行线AB,CD之间，∠AEG和 82°，∠HFD=20°，则∠M的度数为() C.41° D.51° H作GN∥AB,MP∥AB,KH∥AB, 1/67 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠AEM+∠MHF=51°， :∠HFD=∠KHF=20°， :∠AEM+∠MHK=31°， :MP∥AB∥KH, .∠EMP=∠AEM,∠PMH=∠MHK, ,∠EMP+∠PMH=31°， 即∠EMH=31°. 故选：A. 2.如图，已知AB∥CD,CE、BE的交点为E,现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的 平分线，交点为E;第二次操作，分别作∠ABE,和∠DCE,的平分线，交点为E2;第三次操作，分别作 ∠ABE,和∠DCE,的平分线，交点为E;;第n次操作，分别作∠ABEn和LDCE-的平分线，交点为E, 若∠En=a度，那么∠BEC等于()度. A.2" B.2"- c D.2+la 【答案】A 【详解】解：如图，过E作EF∥AB, B E3 AB I CD, D D .AB∥EF∥CD, .∠ABE=∠BEF,∠DCE=LCEF, :∠BEC=∠BEF+LCEF, :ZBEC ZABE ZDCE 同理∠BE,C=∠ABE1+∠DCE1, :∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E, ∠M8E=ABE,∠DCE-DCE, ∠BEC=ABE+号∠DcE-∠iBE+∠DCE)-<BC, 2/67 学科网·上好课 www .zxxk.com 同理∠8BE,C=∠4B,+∠DC6,-AE+DcE=号∠BEC=BEC, ∠BE,C=∠BE,C=∠BEC, 1 2 8 ∠En=2 ∠BEC, ∠En=度， .∠BEC=2"a度. 故选：A. 3.如图，AB∥CD,点P位于两平行线之间且在点A、C的右侧，分别作 ,再分别作LBAP和∠DCP的平分线交于点P,…设∠APC的度数是O, P P >P3… D 1 【答案】 2n-Ta 【详解】解：如图，过点P作MN∥AB, A -B M-29p>P C>P3… :MN∥AB, ∴∠1=∠BAP, :MN∥AB,AB∥CD, :MN∥CD, ∠2=∠DC, ∠APC=∠1+∠2=∠BAP+∠DCP, :∠BAP和∠DCP的平分线交于点B, :同理可得∠CC=∠B+∠DCR=∠BAC+∠DCR)=号 ∠APC, R∠ARc-C 3/67 上好每一堂课 BAP和∠DCP的平分线交于点P 则∠APC的度数用a表示为 可学科网·上好课 ∠APC=, ∠Ac=a, 同理，∠ABC=}∠APC 出年里金 依此类推，∠AP.C= 2 ∴.∠APC的度数用a表示 故答案为：a 4.图1是男子竞技体操项 ∠1=55°，则∠2的度数为 图1 【答案】130° 【详解】解：如图，过点 B :a∥b,BD∥a, ∴.BD∥b,∠ABD=∠1， .∠2+∠DBC=180°， :AB与BC的夹角为105 .∠ABC=105°，ABD ∴.∠DBC=∠ABC-∠ABD ∠2=180°-∠DBC=130 故答案为：130°. 5.(23-24七年级下.安徽 www Zxx k.com 1 1 1 d= 22 2. 日双杠的静止动作，图2是其俯视示 J A B 2 -b 图2 B作BD∥a, -a b ,∠1=55°， 155, =50°， 0 鞍山期末)如图，直线AB∥CD , 4/67 上好每一堂课 意图，已知，若AB与BC的夹角为105°， 点M,N分别在直线AB,CD上，点E为 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AB,CD之间一点，且点E在线段MN的左侧，∠E=63°.若∠BME与∠DNE的平分线相交于点E, ∠BME,与∠DNE,的平分线相交于点E2,LBME,与∠DNE2的平分线相交于点E,,则 (1)∠E,= (2)∠En= (用含n的代数式表示) A M B E E E C D 【答案】 297° 148.5 2 【详解】解：如图：作EF∥AB, A M B E E E ---------F C D :AB∥CD, AB∥CD∥EF, ∴∠BME=180°-∠MEF,∠END=180°-∠NEF, :∠BME+∠END=360°-∠MEF+∠NEF)=360°-∠MEN=297°， :若∠BME与LDNE的平分线相交于点E, :∠BME=∠BME,∠DNE,=I∠DNE, 六∠BMG+DN-2∠BME+<DNE=297 1 同理：作EE∥AB可证明：∠ME,N=∠BME+∠DNE=297°， 2 同理可得：∠ME,N=297 2， 归间得：∠EN-罗，即<59-186，化2空 2n 297° 故答案为：148.5°， 2· 6.中考新趋势·一题多问如图，AB∥CD,PE平分∠PEB,PF平分∠PFD,若设 ∠PEB=x,∠PFD=y°，则∠P=度（用x,y的代数式表示），若PE平分∠PEB,PF平分∠PFD, 可得∠P,PE平分∠PEB,PF平分LP,FD,可得∠P,依次平分下去，则∠Pn=度. 5/67 而学科网·上好课 www zxxk.com B P D -1 【答案】 (x+y) 2 (x+y) 【详解】(1) E 夕 D 过点P作PHIIAB,则PH∥AB∥CD .∠PEB=∠EPH,∠PFD=∠FPH 而∠EPF=∠EPH+∠FPH ∴∠EPF=∠PEB+∠PFD ∴∠PEB,∠PFD,∠P满足的数量关系是LP=∠PEB+∠PFD 故答案为：(x+y) (2) P2.N P 0 过点P作直线MN∥AB, 所以∠PEB=∠MPE=x° 又因为AB∥CD, 所以MN∥CD, 所以∠PFD=∠FPM-y°， 所以∠EPF=∠EPM+∠FPM=x°+y°； 因为PE平分∠PEB,PF平分LDFP, 所以∠BEB=∠BEP=xe, 1 2 ∠DFP= 1 20=2y 6/67 上好每一堂课 x°+y° 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 只同理可证∠EPF=∠REB+∠DFR=+°-x+). 1 以此类推：】 故答案为： (x+y) 7.(24-25七年级下.安徽阜阳月考)如图，己知点B,D分别在直线AH,CG上，且AH∥CG, ∠ABF= ABE,∠CDF∠CDE C D G B (1)若∠ABE=45°，∠CDE=30°，则∠DFB的度数为一； (2)在(1)的条件下，若DQ,BQ分别平分∠GDE,∠HBE,则∠DQB的度数为 【答案】 50° 142.5° 【详解】解：过点F作FT∥CG,过点Q作OK∥AH, C D G A :AH∥CG,FT∥CG,OK∥AH, .FT∥CG∥AH∥QK, (1):∠ABE=45,∠CDE=30°，∠ABF=∠ABE,∠CDF=2∠CDE, 3 3 ∠ABF=2∠ABE=2x45°=30P,∠CDF=2∠CDE= ×30°=20°， 3 3 ∠TFB=∠ABF=30°，∠TFD=∠CDF=20°， ∠DFB=∠TFB+∠TFD=30°+20°=50， 故答案为：50°； 7/67 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2):∠ABE=45°，∠CDE=30°， ∠EDG=180°-30°=150°，∠EBH=180°-45°=135°， :DQ,BQ分别平分∠GDE,∠HBE, ∠GD0-EG=x150=7s,H80=EBH-分13s=67s, 2 :CG∥AH∥QK, ∴∠KQD=∠GDQ=75°，∠KQB=∠HBQ=67.5°， ∠DQB=∠KQD+∠KQB=75°+67.5°=142.5°， 故答案为：142.5°. 8.(24-25七年级下·安徽宿州期中)如图，己知AB∥CD,BE、DE的交点为E,现作如下操作：第一次 操作，分别作∠ABE和∠CDE的平分线，交点为E,第二次操作，分别作∠ABE,和∠CDE,的平分线，交点 为E2,第三次操作，分别作∠ABE,和∠CDE2的平分线，交点为E,…第n(n≥2)次操作，分别作∠ABEn 和∠CDE,的平分线，交点为E, A E E2 C (1)若∠BED=120°，则∠BED= 度 (2)猜想：若∠BED=a度，则∠BEnD= 度 【答案】 609 2" 【详解】解：过E作EF∥AB, B E3 FAB∥CD, C AB∥EF∥CD, ∠ABE=∠1，∠CDE=∠2，∠BED=∠1+L2=120°， :ZBED ZABE +ZCDE :∠ABE和LCDE的平分线交点为E, ∠BE,D=∠ABE,+∠CDE,=∠ABE+∠CDE=∠BED=60°： 2 2 ~∠ABE和∠CDE,的平分线交点为E2, ∠BE,D=∠AB+2CDE=ABE+<CDE-BED-<BED, 2 ∠ABE,和∠CDE2的平分线，交点为E, 8/67 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴∠BE,D=∠ABE,+∠CDE,=)∠ABE+∠CDE,=∠BE,D=∠BED, 1 1 2 2 8 ； 以此类推， ZE= 2 ∠BED, 当∠BED=a度时， ZBE,D 故答案为：60° 9.综合与实践：（1)如图1，AB∥CD,E为图形内一点，连接AE、CE得到∠AEC,求∠AEC、∠A、 ∠C之间的关系，并说明理由 【探究应用】可以利用(1)中结论解决下面问题： (2)如图2，AB∥CD,直线MN分别交AB、CD于点E、F,EG,和EG2为LBEF内满足∠I=∠2的两条 线，分别与∠EFD的平分线交于点G和G,求证：∠FG,E+∠G2=180°. (3)如图3，己知AB∥CD,F为线段CD上一点，∠EFD=60°，∠AEC=3LCEF,∠C=2LCEF,求 ∠A的度数. G ) 图1 图2 图3 【答案】(1)∠AEC=∠A+∠C,理由见解析；(2)见解析；(3)20° 【详解】(1)解：∠AEC=LA+∠C,理由如下： 过点E作EM∥AB,如图： A M 图1 :EM∥AB, .∠AEM=∠A, :EM∥AB,AB∥CD, .EM∥CD, ∴.∠CEM=∠C, 9/67 丽学科网·上好课 www.zxxk.com .ZAEC ZAEM +ZCEM =ZA+ZC; (2)证明：：FG2平分∠EFD, ∠EFD=2LDFG2, AB∥CD, ∠BEF+∠EFD=180°， :AB∥CD,G、G,为图形内的点， :.由(1)中结论可得，∠FG,E=∠BEG,+∠DFG2,∠G2=∠1+∠DFG2, :∠1=∠2， ∠G2=∠2+∠DFG2, ∴.∠FGE+∠G, =∠BEG,+∠DFG2+∠2+∠DFG, =∠BEF+2∠DFG2 =∠BEF+∠EFD =180°， .∠FG,E+∠G2=180°； (3)解：：AB∥CD,E为图形内的点， .由(1)中结论可得，∠AEC=∠A+LC,∠AEF=∠A+∠EFD, .LAEF-∠AEC=LA+LEFD-LA+LC=LEFD-∠C, ∴LCEF=LEFD-∠C, :∠EFD=60°，∠C=2∠CEF, LCEF=60°-2LCEF, 解得：∠CEF=20°， ∴∠C=2∠CEF=2x20°=40°， :∠AEC=3LCEF, ∠AEC=3×20°=60°， ∴∠A=∠AEC-∠C=60°-40°=20° 1O.已知直线MB∥ND,A,C分别是MB,ND上的点，P是直线MB,ND M 图1 图2 图3 备用图 (1)已知点P在直线AC的右侧. ①如图1，∠BAP,∠APC与∠DCP之间的数量关系为 10/67 上好每一堂课 之间的一点、连接AP,CP. 函学科网·上好课 www zxxk com ②如图2，若AE平分∠BAP,CE平分∠DCP,判断∠AEC与 (2)若点P在直线AC的左侧，AE平分∠BAP,CE平分∠DCP ①如图3，若∠MAP=40°，∠NCP=80°，求∠AEC的度数； ②试判断∠AEC与∠APC之间的数量关系与(1)②中的关系 接写出∠AEC与∠APC之间的数量关系， 【答案】1 DLAPC=∠BAP+∠PCD:②∠ABC=2∠APC 2<APC (2)0L4EC=120°；②不-致，∠AEC=180- 【详解】(1)解：①如图，过点P作PQ∥MB, M B N C ) 图1 :PQ∥MB,MB∥ND, :PO//ND 'PQ∥MB, ∠BAP=∠APQ, PO//ND, ∠PCD=∠QPC, ∴.∠BAP+∠PCD=∠APQ+∠QPC=∠APC, 即∠APC=∠BAP+∠PCD; ②∠AEC=∠APC,理由如下： 如图，过点P作PQ∥MB,过点E作EH∥MB, M B O ---PE D 图2 :EH∥MB,MB∥ND, EH∥ND. :EH∥MB, .∠BAE=∠AEH, :EH∥ND, 11/67 上好每一堂课 APC之间的数量关系，并说明理由； 致吗？若一致，请证明；若不一致，请直 可学科网·上好课 www zxxk.com ∠ECD=LHEC, :ZBAE +ZECD ZAEH +ZCEH ZAEC 即∠AEC=∠BAE+LECD. :AE平分∠BAP,CE平分∠DCP, ∠BAE=)∠BAP,∠ECD=∠PCD 2 :∠BAE+∠ECD=∠BAP+∠PCD=(∠BMP+∠PCD, 2 2 2 :由①可知，∠APC=∠BAP+LPCD, :∠BAE+∠ECD=∠APC, 2 ZAEC ZBAE ZECD, ∠AEc-iaPc: (2)解：①过点E作EH∥MB, B N C D 图3 :∠MAP=40°， ∠BAP=180°-∠MAP=180°-40°=140°， AE平分∠BAP,∠BAP=140°， :∠BAE=∠BAP=70°， 2 :∠NCP=80°， .∠PCD=180°-∠NCP=180°-80°=100°， :CE平分∠DCP,∠PCD=100°， 26CD=号<PCD=50r, ∠BAE+∠ECD=70°+50°=120°. :EH∥MB,MB∥ND, .EH∥ND :EH∥MB, .∠BAE=∠AEH, :EH∥ND, .ZECD ZHEC 12/67 盖系一每举丁 学科网·上好课 www.zxx k.co m .ZBAE ZECD ZAEH +ZCEH ZAEC, .∠AEC=∠BAE+∠ECD=120°， 即∠AEC=120°. ②∠AEC与∠APC之间的数量关系与(1)②中的关系不一致，∠AEC 如图，过点P作PQ∥MB,过点E作EH∥MB, B D 图4 :PQ∥MB,MB∥ND, .PQ∥ND PO//MB, .∠MAP=∠AP2, .PO∥ND, ∴.∠NCP=∠OPC, .∠MAP+∠NCP=∠APQ+∠QPC=∠APC, 即∠APC=∠MAP+∠NCP; :EH∥MB,MB∥ND, ∴.EH∥ND :EH∥MB, :∠BAE=∠AEH, :EH∥ND, :ZECD ZHEC ∴.∠BAE+∠ECD=∠AEH+∠CEH=∠AEC, 即LAEC=LBAE+LECD; :AE平分∠BAP,CE平分LDCP, :∠BAE=∠BAP,∠ECD=∠PCD, 2 :∠AEC=∠BAP+5∠PCD, :∠BAP=180°-∠MAP,∠PCD=180°-∠NCP, 4PP PNCP. 13/67 上好每一堂课 180°-∠APC,证明如下： 21 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠AEC=∠BAP+∠PCD=90°- 2<M1P+90- ∠NCP, ABc=Is0∠MMP+2∠CP. :∠APC=∠MAP+∠NCP, :∠AEC=180°-∠APC. 2 11.综合与实践 在学习平行线的性质的过程中，我们积累了一定的研究经验.请运用已有经验，对“平行线的拐点问题”进行 研究. 如图1，直线AB∥CD,点M,N分别在直线AB,CD上，点H是直线AB与CD外一点，连接HM, HN M 图1 图2 图3 图4 (1)【问题初探】若∠HMB=60°，∠HND=50°，则∠MHN的度数为 (2)【问题拓展】①如图2，作MH1平分∠HMB,NH1平分∠HND,若设∠HMB=x,∠HND=y°，求出 ∠H的度数（用含x,y的式子表示）. ②在①的条件下，如图3，若MH2平分∠HMB,NH2平分∠HWD,NH平分∠H2MB,NH平分LH2ND, 可得∠H3依次平分下去，则LHn的度数是_。 (3)【问题应用】智慧组制作了一个如图4所示的“燕子镖”，经测量发现∠HAC=38°，∠HBC=22°，试探 究∠AHB与∠C之间有怎样的数量关系，并说明理由. 【答案】(1)110 Q(ctr 3)LAHB-∠C=60°，理由见解析 【详解】(1)解：如图，作HK∥AB, A M 人2 .∠1=∠MHK, D 图1 :AB CD 14/67 可学科网·上好课 www.zxxk.com HK∥CD, .∠2=∠NHK, .∠1+∠2=∠MHK+∠NHK=∠MHN, :LMHN=∠1+∠2=∠MHB+∠NHD=60°+50°， ∠MHW=110°. (2)①由(1)的模型可得， M B H ∠MHN=∠BMH1+∠DNH1, 图2 :MH1平分∠HMB,NH1平分∠HND, :∠BMH=L∠BMH,∠DNH=∠DNH, ∠BMi+∠DNH=∠BMH+∠DN, 设∠HMB=x,∠HND=y°， ∠MHN=(x°+y). ②由①得， M A B H3. ∠H1=∠BMH1+∠DNH1= -D 图3 同理，∠H,=∠BMH,+∠DNH=,X(∠BMIH+∠DNH), 22 ∠H,=∠BMH,+∠DNH,-2(∠BMH+∠DNA=2+9). (3)作AM和BN,使AM∥BN, 15/67 上好每一堂课 ∠BMH+∠DNH, 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B -----…W 图4 由第(1)问模型可知， LAHB=∠MAH+LNBH,∠C=∠MAC+∠NBC, LAHB-∠C=∠MAH+∠NBH-LMAC+∠NBC) =∠MAH-∠MAC+∠NBH-∠NBC =∠HAC+∠HBC =380+220 =60° 12.(24-25七年级下·安徽宿州期中)数学课上，老师出示了这样一道题： 如图1，已知AB∥CD,点E,F分别在AB,CD上，EP⊥FP,∠1=60°.求∠2的度数. A A 1y B 3 P ---…Q FD 3、 F C —D 图1 图2 图3 图4 小明：“如图2，通过作平行线，发现∠1=∠3，∠2=∠4，由已知EP1FP,可以求出∠2的度数.” 小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得∠2=∠3=∠4，也能求出∠2的度数.” 小华："如图4，也能求出∠2的度数.” (1)根据他们的解法，∠2=一： (2)请在图2，图3，图4中任选一个，求∠2的度数，写出求解过程； (3)老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题”请大家参考这三位同学的方法，解决 问题：如图，AB∥CD,点E,F分别在AB,CD上，FP平分∠EFD,∠PEF=∠PDF,若∠EPD=a,请 直接写出LCFE与∠PEF的数量关系；（用含a的式子表示）. E A -B C D 【详解】(1)解：如图2， 16/67 函学科网·上好课 www zxxk.com E B 1y 4 :AB∥PQ∥CD, C 2> -D 图2 .∠1=∠3，∠4=∠2， :EP⊥FP, ∠3+∠4=90， ∠1+∠2=90°， :∠1=60°， ∠2=90°-60°=30°， 如图3， E A、 1^4 P C 2 :AB‖CD,PF∥EQ, 9 D 图3 :∠2=∠3，∠4=∠3， :∠1+∠4=90°， ∠1+∠2=90°， ∠1=60°， ∠2=90°-60°=30°. 如图4， O A B 3 P 2c4 :ABCD,PE∥FQ, F 图4 ∠1=∠3，∠4=∠3， :∠2+∠4=90°， ∠1+∠2=90°， ∠1=60°， ∠2=90°-60°=30°； (2)解：如图2， 17/67 盖系一每举丁 而学科网·上好课 www.zxx k.com E B 3 AB∥PQ∥CD, 2 一D 图2 ∠1=∠3，∠4=∠2， :∠3+∠4=90°， ∠1+∠2=90°， :∠1=60°， ∠2=90°-60°=30°， 如图3， E A 14 B P 3 :ABCD,PF∥EQ, F D 图3 ∠2=∠3，∠4=∠3， :∠1+∠4=90°， .∠1+∠2=90°， :∠1=60°， .∠2=90°-60°=30°. 如图4， Q A 1y 3 P& 24 :ABCD,PE∥FQ, D F 图4 ∠1=∠3，∠4=∠3， :∠2+∠4=90°， .∠1+∠2=90°， :∠1=60°， ∠2=90°-60°=30°； (3)解：设∠CFE=x ZPEF=LPDF=y,过点P作PQ//AB, 18/67 卷系一每环丁 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E A -B C D ∴∠BEP+∠EPQ=180°， :AB CD, ∴∠CFE=LFEB=x, :ABCD,PQ∥AB ∴PQ∥CD, :∠PDF=∠DPQ, ·∠DPQ=∠PEF=∠PDF=y ∠CFE=∠FEB=x=∠FEP+∠BEP, x=y+(180°-a+y), :x-2y=180°-a. 即∠CFE-2∠PEF=180°-a. 13.(24-25七年级下.安徽六安期末)如图，己知AB∥CD,F是直线AB和CD之间一点. A B A B G D 图1 图2 图3 (1)如图1，试证明∠EFG=∠AEF+∠CGF: (2)如图2，点H在直线AB,CD之间，∠AEH=a,∠CGF=B,EH,GF分别为∠AEF和∠CGH的平分线，若 a+B=55°，求∠H+∠F的度数； (3)如图3，GM,FN分别为∠CGF和∠EFG的平分线，且FPIIMG.若∠AEF=50°，求LNFP的度数. 【详解】(1)证明：过点F作FQ∥AB, 因为AB∥CD, 所以FQ∥CD, A B C G D 因为FQ∥AB, 所以∠EFQ=∠AEF, 19/67 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 因为FQ∥CD, 所以∠GFQ=∠FGC. 所以∠EFQ+∠GFQ=∠AEF+∠FGC, 所以∠EFG=∠AEF+∠CGF. (2)解：由(1)得∠F=∠AEF+B, 因为EH平分∠AEF, 所以∠AEF=2a,∠F=2a+B, 同理∠H=a+∠CGH, 因为FG平分LCGH, 所以∠CGH=2B,∠H=o+2B, 所以∠H+LF=2a+B+w+2B=3a+B)=165°： (3)解：因为∠EFG=∠AEF+∠CGF(已证)， 所以∠EFG=∠CGF+50°， 因为GM平分∠CGF,FN平分LEFG, 所以2LNFG=2∠MGF+50°， 所以LNFG=∠MGF+25°， 所以∠NFG-∠MGF=25°， 因为FP∥MG, 所以MGF=LPFG, 所以∠NFG-LPFG=25°， 因为LNFP=∠NFG-∠PFG, 所以∠NFP=25°. 14.(24-25七年级下·安微滁州期末)如图1，AB∥CD,点E在直线AB上，点G在直线CD上， EF⊥FG,0°<∠AEF<90°， 图1 图2 (1)若∠AEF=40°，求LFGC的度数： (2)若∠DGF=120°，求∠AEF的度数： (3)如图2，若直线PM平分∠FGC,直线EP平分∠BEF交PM于点P,求∠EPM的度数. 【答案】(1)50° 20/67 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)30° (3)45° 【详解】(1)解：过点F作FM∥AB. A 内 B F-------- AB∥CD, G D AB∥FM∥DC, ∴.∠AEF=∠EFM,∠CGF=∠GFM, .LAEF+LCGF=∠EFG=90°. :∠AEF=40°， LCGF=90°-40°=50°， 故答案为：50°. (2)解：由(1)可得∠AEF+∠CGF=∠EFG=90°. :∠DGF=120°， .∠CGF=60°， :∠AEF=∠EFG-∠CGF=90°-60°=30°. (3)解：如图，过P作PQ∥AB. E B M、 F :AB∥CD, D P .AB∥PQ∥CD, .∠BEP=∠QPE,∠QPM=∠CGM. :直线PM平分∠FGC,直线EP平分∠BEF交PM于点P, :可设∠CGM=∠MGF=x,∠BEP=∠FEP=y,则∠AEF=180°-2y. 由(2)可知∠AEF+∠CGF=∠EFG=90°， 180°-2y+2x=90°， y-x=45°， ∴.∠EPM=∠QPE-∠QPM=∠QPE-∠CGM=y-x=45°， 15.己知，MG∥NH,A,D为MG,NH上的点，E是MG,NH之间的点. 21/67 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M G M G M G N D D D C H 图1 图2 图3 (1)如图1，连AE,DE,探究LGAE,LAED,LEDH(均指小于平角的角)间的数量关系，并说明理由. (2)B,C为射线AG,DH上的点，分别过点B,C作DE,AE的平行线交于F点，分别作LGBF,LHCF的 角平分线，交点为P,如图2. ①若∠AED=120°，则求∠BPC的大小. ②将射线BG沿BF所在直线翻折交线段CP于Q点，如图3，若2∠CQB-∠BFC=135°，则判断BQ与NH的 位置关系，并说明理由、 【详解】(1)解：∠AED+∠GAE+∠EDH=360°，理由如下： 过点E作EK∥MG, M A G -------K·MG∥NH N D H :EK∥MG∥NH .∠AEK+∠EAG=180°，∠KED+∠EDH=180° :∠AEK+∠EAG+∠KED+∠EDH=360° 即LAED+∠GAE+LEDH=360 (2)解：①延长DE交MG于点R,延长AE交NH于点S, :DE∥BF,AE∥CF ∴.∠MRE=∠ABF,∠ESN=∠FCD 有(1)知∠MRE+∠ESN+LRES=-360°， :∠RES=∠AED=120° :∠MRE+∠ESN=240 LABF+∠FCD=240° MR G P :∠ABF=180°-∠GBF,∠FCD=180°-∠FCH N S D H :∠ABF+∠FCD=180°-∠GBF+180°-∠FCH=240 22/67 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠GBF+∠FCH=120° BP,CP分别平分∠GBF,∠FCH ∠PBF∠GBF,∠FCP=,w 2 ∴.∠BPC=360°-（∠ABP+∠DCP =360°-（∠ABF+∠PBF+∠FCD+∠FCP =360°- 240°+；∠GBF+5∠FCH 2 =360°- 1 240°+ (∠GBF+∠FCH 2 =360° 2409+,1200360°-300°=60° ②由折叠性质得：∠GBF=∠FBQ 由题意得，∠CQB+∠ABQ+∠QCD=360°，LBFC+LABF+LFCD=360° 设∠ABQ=a,∠FCD=B ∠0cn=∠rcD+l8o-∠rc0)=0p+Pcn=90+B ∠iBF=∠ABQ+180P-∠180)=90+5∠AB0=0+a ∠C0B=360-480+∠0cDj=60-a+90+5P ∠Brc=360-(2ABF+∠rcDj=360-(90+a+B） :2∠C0B-∠BFC=135°.2 w-w+3w-w+p小es .720°-2a-180°-B-360°+90°+二a+B=135° 20=1350 .0=90° 即∠ABQ=90° ∴.BQ⊥MG :MG∥NH .BQ⊥NH 16.(22-23七年级下.安徽滁州期末)如图1，AB∥CD,过点F作FP∥CD,可得FP∥AB.利用平行线 的性质，可得：∠EFG与∠BEF,∠DGF之间的数量关系是一，LEFG+LAEF+LCGF=一°. 利用上面的发现，解决下列问题： (1)如图2，AB∥CD,点M是∠AEF和LFGC平分线的交点，LEFG=126°，求∠EMG的度数； 23/67 命学科网·上好课 www.zxxk.com (2)如图3，AB∥CD,GM平分∠CGF,EM⊥GM,EF平分 ∠CGF的度数是 4 E 图1 图2 图3 【答案】∠EFG=∠BEF+LDGF,360°；(1)117°；(2)124° 【详解】解：∠EFG与∠BEF,∠DGF之间的数量关系是：∠EFG= 理由如下 :AB‖CD,FP∥CD, .AB∥FP∥CD, :∠EFP=∠BEF,∠PFG=∠DGF, .∠EFP+∠PFG=∠BEF+∠DGF, 即：∠EFG=LBEF+LDGF; ∠EFG+∠AEF+∠CGF=360°，理由如下： :AB∥FP∥CD, .∠EFP+∠AEF=180°，LPFG+∠CGF=180°， ,∠EFP+∠PFG+∠AEF+∠CGF=360°， 即：LEFG+LAEF+∠CGF=360°， 故答案为：∠EFG=∠BEF+∠DGF,360°； (2):EM平分∠AEF,GM平分LFGC, 设LAEM=LMEF=M,∠CGM=∠MGF=B, ∠AEF=2a,∠CGF=2B, 由(1)的结论得： ∠EMG=∠AEM+∠CGM=o+B, ∠EFG+LAEF+∠CGF=360°， 又：∠EFG=126°， .126°+20+2β=360°， .a+B=117°， ∴.∠EMG=a+B=117°； (3)设∠CGM=0, :GM平分∠CGF, .LMGF=∠CGM=0, 24/67 上好每一堂课 ∠BEM,若∠EFG比∠CGF大8°，则 LBEF+LDGF· 可学科网·上好课 www zxxk com .∠CGF=20, .∠DCF=180°-∠CGF=180°-20， 由(1)的结论得： ∠EMG=LCGM+LAEM, ∠EFG=∠BEF+∠DGF, :EM⊥GM, .∠EMG=90°， .∠AEM=90°-0， .∠BEM=180°-∠AEM=180°-(90°-0）=90°+0， :EF平分∠BEM, BEF∠BEM=,90°+91 ∠EFG=∠BEF+∠DGF=(90°+0)+180°-20=225°-39， ·∠EFG比LCGF大8°， .∠EFG=∠CGF+8°， 即：25-9-29+8 解得：0=62°， .∠CGF=20=124°. 故答案为：124°. 题型二：铅笔模型 17.图，AB∥CD,点M在AB上，点N在CD上，则∠1+∠2+∠3+∠4= A B E D 【答案】540° 【详解】解：如图，分别过点E、F作EG∥AB、FH∥AB, M -B E5- ----分 ---H D :AB∥CD, .AB∥EG∥FH∥CD, 25/67 酱系一每并丁 可学科网·上好课 www.zxxk com ∴∠1+∠MEG=180°，LGEF+∠EFH=180°，∠HFN+∠4=180°， ∴.L1+∠MEG+∠GEF+∠EFH+∠HFN+∠4=540°， ∴∠1+∠MEG+LGEF+∠EFH+∠HFN+∠4=540°， .∠1+∠2+∠3+∠4=540°， 故答案为：540°. 18.己知AB∥CD 图2 图3 (1)如图1，当PA⊥PC时，则∠A+∠C的度数为 (2)如图2，判断∠APC,∠A,∠C之间的数量关系为 (3)如图3，设∠ABM=Q,∠DNM=B,∠CDN=Y.请直接写出∠B 的式子表示) 【答案】 2709 ∠APC=∠A+∠C 180°-0+β-Y 【详解】解：(1)如图，过点P作PQ∥AB, A QPQ∥AB, C D ∴.∠A+∠APO=180°， PQ∥AB,AB∥CD, PQ∥CD, .∠C+∠CP0=180°， .∠A+∠C+∠APQ+∠CPQ=360°， :PA⊥PC, .∠APQ+∠CPQ=∠APC=90°， :∠A+∠C=360°-90°=270°； 故答案为：270°. (2)如图，过点P作PE∥AB, B :PE∥AB, 一D .∠APE=∠A, 26/67 上好每一堂课 MW的大小 (用含a、B、y 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 PEI AB,AB∥CD, .PE‖CD, ∠CPE=LC, LAPE+LCPE=∠A+∠C, :ZAPC ZA+ZC; 故答案为：LAPC=∠A+LC, (3)如图，过点M作MG∥AB,过点N作NH∥AB, B :MG∥AB,NH∥AB,AB∥CD, H D AB∥MG∥NH∥CD, .∠ABM+∠1=180°，∠2=∠4，∠3=∠CDN, :∠ABM=a,，∠DNM=B,∠CDN=Y, :∠1=180°-a,∠3=y,∠2=∠4=∠DNM-∠3=B-y, .∠BMN=∠1+∠2=180°-+B-Y; 故答案为：180°-u+B-y. 19.(23-24七年级下.安微合肥期末)（1)如图，AB∥CD,∠B=135°，∠D=140°，则∠DEB= B (2)如图，AB∥CD,∠F=60°，∠ABF=2∠ABE,∠CDF=2∠CDE,DO,BQ分别平分∠GDE和∠HBE, 3 3 对∠DQB= D G 0 B 【答案】 85°1350 【详解】解：过点E作EG∥AB, 27/67 而学科网·上好课 www .zxxk.com C D G E:AB∥CD, 2 :AB∥CD∥EG :∠B=135°，∠D=140°， :∠DEG+∠D=180°，∠BEG+∠B=180°， :∠DEB=∠DEG+∠BEG=(180°-∠D+180°-∠B)=85°； (2)过点F作FK∥AB,过点Q作QM∥AB, D G :AB∥CD, M A H B AB∥CD∥FK∥QM, ∴.∠CDF=∠DFK,∠ABF=∠BFK,∠QDG=∠MQD,∠QBH=∠MQB, ,LBFK+∠DFK=∠ABF+LCDF=∠DFB=60°，∠DQB=∠QDG+∠QBH, :∠ABF=2∠ABE,∠CDF-∠CDE, 3 3 ∠4a6+∠CDE-<iar+CDFr=90r. ∠EDG=180°-∠CDE,∠EBH=180°-∠ABE, ∠EDG+∠EBH=360°-∠ABE+∠CDE=270°， :DQ,BQ分别平分∠GDE和∠HBE, ∠⑨DG+∠QBH=LEDG+∠EBH=135 :∠DQB=∠QDG+∠QBH=135° 20.【问题情境】如图①，AB∥CD,∠BAP=130°，∠DCP=120°，求∠APC 小明的解题思路：过P作PE∥AB,通过平行线的性质来求∠APC的度数. 28/67 上好每一堂课 的度数. 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B ① ② (1)按小明的思路，求∠APC的度数. (2)【问题迁移】如图②，AB∥CD,点P在直线OM上运动，记∠PAB=a,LPCD=B,当点P在线段BD上 (不与B、D重合)时，∠APC与α，B之间有何数量关系？请说明理由. (3)【问题应用】在(2)的条件下，如果点P不在线段BD上，请直接写出∠APC与α，B之间的数量关系. 【详解】(1)解：：PE∥AB LAPE=180°-∠A=509 :AB CD PF∥CD, ∴∠CPE=180°-∠C=60°， .LAPC=∠APE+∠CPE=1I0°； (2)解：如图②，当P在线段BD上时，∠APC=a+B,理由如下： 过点P作PF‖AB M A B O ② ∠FPA=∠PAB=a, AB‖CD, .PF∥CD, :LCPF =ZPCD=B, :.ZAPC ZCPF+ZFPA=a+B; (3)解：当P在射线DM上时，PA交CD于G,如图③∠APC=-B,理由如下： 过点P作PI∥AB, 29/67 面学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M P GD B O ③ ∠IPA=∠PAB=a :AB CD, PI∥CD, :∠IPC=∠PCD=B :ZAPC ZIPA-ZIPC=a-B 当P在射线BO上时，PC交AB于H,如图④，∠APC=B-a,理由如下： 过点P作PN∥AB, M A B N-- ④ .∠NPA=∠PAB=a :AB CD .PN∥CD, ∴.∠NPC=∠PCD=B :∠APC=∠NPC-∠NPA=B-a; 综上所述，当点P不在线段BD上（不与B、D重合）时，∠APC=-B或∠APC=B-. 21.(24-25七年级下.安徽毫州期末)已知，AB∥CD,点E为AB,CD之间的任意一点，连接EA,EC. B B E -D D 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：∠AEC=∠A+∠C; (2)如图2，求证：∠AEC+∠A+∠C=360°； 30/67 面学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)如图3，AQ,C2分别是∠BAP,∠DCP的平分线，若LP=a· ①请用含a的式子表示∠Q; ②若Ag,平分∠BAQ,CQ,平分∠DCQ,得到∠9，AQ2平分∠BAQ,CQ2平分∠DCQ,可得∠Q2·,依 次平分下去，则∠Qn= _°.（用含的式子表示） 【详解】(1)解：(1)证明：如图，过E作EH∥AB, A -B H---- >E万 AB CD, C D EH AB CD, ∠AEH=∠A,LCEH=LC, :∠AEC=∠AEH+∠CEH=∠A+∠C, 即∠AEC=∠A+∠C; (2)证明：如图，过E作EH∥AB, A B ------H :AB‖CD, D .EH‖AB CD, ∠AEH+∠A=180°，∠CEH+∠C=180°， :∠AEC=∠AEH+∠CEH=180°-∠A+180°-∠C, 即∠AEC+LA+∠C=360°： (3)①：AP,CQ分别是∠BAP,∠DCQ的平分线， .∠BAP=2∠BAQ,∠DCP=2∠DCQ, 由(1)得∠Q=∠BAQ+∠DC2, 由(2)得∠P+∠BAP+∠DCP=360°， ∴.∠P+2∠BAQ+2∠DCQ=360°， 则∠P+2(∠BAQ+∠DCQ)=360°， .∠P+2∠Q=360°， "∠P=a, :∠0=360°-a 2； ②由(1)和O知：∠Q=∠B4Q+∠Dcg=∠BQ+∠DCQ=Q, 31/67 丽学科网·上好课 www.zxxk.com ∠Q,=∠BA0,+∠Dc0,-∠B40+∠Dc0)<0-4Q-2∠0 1 4 0=∠g4Q+nc0-<a40,+cQ)-号Q-日0=40 1 …∠0.=20∠0， ”<0=360°-a 2 2<0 ∴.∠0n= =1×360°-a_360°-0 2” 2 2+ 故答案为： 360°-0 20*1 22.(24-25七年级下安徽阜阳期末)己知点P为直线AB,CD之间的一点， B B A B 图1 图2 图3 (1)如图1，连接AP,CP,若APC=100°，求LBAP+LPCD的度数； (2)点2为直线AB,CD之间的不同于点P的另一点. ①如图2，连接AP,PQ,QC,求∠BAP+∠APQ+∠PQC+∠QCD的度数； ②如图3，连接BP,P0,QC,若LABP=36°，∠BPQ=81°，∠PQC=92 【答案】(1)∠BAP+∠PCD=100°； (2①∠BAP+∠APQ+∠PQC+∠QCD=540°；②∠QCD=47°. 【详解】(1)如图1，作PM∥AB, B 图1 AB CD, PM∥AB∥CD, ∠APM=∠BAP,∠CPM=LPCD, ∠APM+∠CPM=∠BAP+∠PCD, 即∠APC=∠BAP+∠PCD, ∠APC=100°， ∠BAP+∠PCD=100°； 32/67 上好每一堂课 且AB∥CD. ,求∠QCD的度数. 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)①如图2，过P作PM∥AB,过Q作QN∥AB, A B --…M D 图2 :AB CD, ∴.AB II PM IION I‖CD, ∠BAP+∠APM=180°， ∠MPQ+∠PQN=180°， ∠NQC+∠QCD=180°， :三式相加，可得∠BAP+∠APQ+∠PQC+∠QCD=540°； ②如图3，过点P作PM∥AB,过点Q作QN∥AB, B M D 图B :AB I CD, .AB II PM II ON II CD, ∠BPM=ABP=36°， ∴.∠MPQ=∠BPQ-∠BPM=45°， 同理∠PQN=∠MPQ=45°， ∴.∠NQC=∠PQC-∠PQN=47°， .∠QCD=∠NQC=47°. 23.如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度.图①是 这盏台灯的示意图.已知台灯水平放置，当灯头AB与支架CD平行时可达到最佳照明角度，此时支架BC与 水平线BE的夹角∠CBE=135°，BE MN,两支架BC和CD的夹角∠BCD=108°. 如何求此时支架CD与底座MN的夹角∠CDM的度数及灯头AB与水平线BE的夹角∠ABE的度数呢？小 明解决此问题的思路如下： 33/67 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B B B -----E A 2 M -N M -W M -N D D 图① 图② 图③ (1)小明在解决问题时，过点C作CF‖BE,则可以得到CF‖MN,其理由是 (2)如图②，根据小明的思路求LCDM和∠ABE的度数； (3)小明在解题中发现∠CDM和∠ABE的度数永远是相等的，与∠CBE和∠BCD的度数无关.小明的说法对 吗？请结合图③说明理由 【详解】(1)解：平行于同一条直线的两直线平行； (或如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)； 故答案为：平行于同一条直线的两直线平行； (2)解：如图，过点C作CF‖BE, B ---E 2--------F LBCF+LCBE=180°， M D -N :∠CBE=135°， ∠BCF=45°， :∠BCD=108°， :∠DCF=∠BCD-∠BCF=63°， .BF ll MN, ..CF MN, :∠CDM=LDCF=63°； ABII CD, :∠ABC+∠BCD=180°， :∠BCD=108°， ∠ABC=72°， :∠CBE=135°， :ABE=LCBE-∠ABC=63°； 34/67 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)解：对，理由如下： .CF BE, :∠BCF+∠CBE=180°， :.∠BCF+∠CBA+∠ABE=I80°， ABII CD, .∠ABC+∠BCD=180°， :∠ABC+∠BCF+∠FCD=180°， ·∠ABE=LFCD, CF II MIN, LCDM=∠DCF, .∠CDM=∠ABE. 题型三：牛角模型 24.如图，已知MN∥P2,点B在MN上，点C在PQ上，点A在MN上方，∠ABD:∠DBN=3:2,点E 在BD的反向延长线上，且∠ACE:∠ECP=3:2,设∠A=a,则∠E为度数用含的式子一定可以表示为() D M C A.2a B.72+2a c.108-3。 D.90a 【答案】B 【详解】解：过点A作AG∥MN,过点E作EH‖MN, G D M ǒ4 H 力 E 3 0 :MN∥P2, :MN∥PQ∥AG∥EH, ZABD ZDBN =3:2,ZACE:ZECP=3:2 :.设∠ABD=∠5=3x,∠DBN=∠4=2x,∠ACE=∠2=3y,∠ECP=∠3=2y, :MN∥PQ∥AG∥EH, 35/67 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠6=∠4=2x,∠7=∠3=2y,∠1=180°-（∠4+∠5）=180°-5x,∠GAC=∠ACP=∠2+∠3=5y, ∠DEC=∠6+∠7=2x+y),∠CAB=∠GAC-∠1=5x+y)-180°=a, :x+y=180+a=36°+20， 1 5 2 ∴∠DEC=2(x+y)=72°+二a. 5 故选：B 25.【感知探究】如图①，已知，AB∥CD,点M在AB上，点N在CD上.求证： LMEN=∠BME+LDNE. 【类比迁移】如图②，∠F、∠BMF、∠DNF的数量关系为-·（不需要证明） 【结论应用】如图③，己知AB∥DE,∠BAC=120°，∠D=80°，则∠ACD=_° M A B D 图① 图② 图③ 【答案】【感知探究】证明见解析；【类比迁移】∠F=LBMF-∠DNF;【结论应用】20 【详解】(1)证明：如图①，过点E作EF∥AB, M A ⊙ N D 图① 则∠MEF=∠BME, 又：AB∥CD, EF∥CD, ∠NEF=∠DNE, :∠MEN=∠MEF+∠NEF, 即∠MEN=∠BME+∠DNE; (2)解：∠BMF=∠MFN+LFND. 证明：如图②，过F作FK∥AB, 36/67 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 K B M LBMF=∠MFK, D 图② :AB∥CD, FK∥CD, .∠FND=∠KFN, ∠MFN=∠MFK-∠KFN=∠BMF-∠FND, 即：∠BMF=∠MFN+∠FND. 故答案为：LBMF=LMFN+LFND; (3)如图③，过C作CG∥AB, ∠GCA=180°-∠BAC=60°， :AB∥DE, .CG∥DE, .∠GCD=∠CDE=80°， .LACD=20°， G----- B A 图③ 故答案为：20 26.己知点M是直线AB,CD所确定的平面内的一点. M B A D C 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠A=110°，∠C=120°，∠AMC=130°，AB与CD平行吗？为什么？ (2)如图2，己知AB∥CD,求出∠BMD,∠B,∠D之间的数量关系： (3)在图2的基础上，延长AB至点E,延长CD至点G,过点E作EF∥DM,连接EM,EG,且 ∠FEM=∠MEG,过点E作EN平分∠AEG交DM于点N,如图3所示.若∠BMD=30°，∠ABM=140°， 37/67 丽学科网·上好课 www zxxk.com 求∠MEN的度数. 【答案】(1)AB∥CD (2)∠BMD=∠B-∠D (3)55 【详解】(1)解：结论：AB∥CD, 理由：如图1所示，过点M作MN∥AB, D 图1 ∴.∠A+∠AMN=180°， :∠A=110°，∠AMC=130°， .∠AMN=70°，∠CMN=∠AMC-∠AMN=130°-70°=60°， ∠C=120°， ∠C+∠CMN=120°+60°=180°， .MN∥CD, AB∥CD; (2)结论：∠BMD=∠B-∠D, 如图2，作MN∥AB, M A C D 图2 .∠B=∠BMN, :AB∥CD, MN∥CD, .∠D=∠DMN, :∠BMD=∠BMN-∠CMN, ∠BMD=∠B-∠D; (3)由(2)知，∠BMD=∠ABM-∠CDM, :∠BMD=30°，∠ABM=140°， ∴.∠CDM=110°， :AB∥CD, 38/67 盖系一每举丁 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠BHM=∠CDM=110°， :EF∥DM, ∴∠BEF=∠BHM=110°， :∠FEM=∠MEG, :∠MEG=∠FEG, :EN平分∠AEG, 1 ∠GEN=3∠AEG, ·.LMEN=∠MEG-∠GEN =∠FEG-1 1 2 1 =∠BEF 2 1 。×110° 2 =55° 27.已知AB∥CD. E M N 图① 图② 图③ (1)如图①，求证：∠E+LBME=LEND; (2)如图②，∠BME与∠CNE的角平分线所在直线相交于点P,求LE+2LMPN的大小； 3)如图③，若EN平分∠CNP,延长PM交EN于点F,且∠EMF=2∠FMA,当：∠E+∠FPN=70°时，求 3 ∠CNP的大小. 【详解】(1)证明：如图①，过点N作NF∥ME交AB于点F, M 图① ∴∠BME=∠AFN,∠E=∠ENF, 39/67 可学科网·上好课 www zxxk com 又：AB∥CD, .∠AFN=∠DNF, .∠DNF=∠BME, .∠END=∠DNF+∠ENF=∠E+LBME; (2)解：如图②，设∠BME的平分线是MF,过点P作PO∥AB, 6 D W 图② :AB∥CD, .AB∥CD∥PQ, ∴.∠FMB=∠FPQ,∠QPN=∠PNC, :MF平分∠EMB,PN平分∠CNE, ∠FMB-∠BMB、∠PNC-3∠CNE, :∠MPN=∠FPg+∠OPN=∠FMB+∠PNC=I∠BME+I∠CNE, 即2∠MPN=∠BME+∠CNE, :∠END+∠CNE=180°，由(1)得∠END=∠E+∠BME, .2∠MPN=∠END-∠E+180°-∠END, .∠E+2∠MPN=180°； (3)解：如图③，：EN平分∠CNP, .∠CNP=2∠CNE, 设∠FMA=a,∠CNE=B,∠EMF=2a,∠CNP=2B, .ZAME 3a, 由(1)得∠CNE=B=∠E+∠AME=∠E+3a, 由(2)得∠FPN=∠FMA+∠PND=a+180°-2B, 写R+∠FPN=0, ÷38-a+a+180-2B=70. .B=66, .∠CNP=2B=132° 28.(24-25七年级下·安徽芜湖期中)如图，已知AB∥CD,E、F分别在A 40/67 上好每一堂课 B、CD上，点G在AB、CD之间， 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 连接GE、GF. 图1 图2 图3 (1)当∠BEG=40°，EP平分∠BEG,FP平分∠DFG时， ①如图1，若EG⊥FG,则∠P的度数为 (直接写出结果)： ②如图2，在CD的下方有一点O,EG平分∠BEQ,FD平分∠GFQ,求∠Q+2∠P的值； (2)如图3，在AB的上方有一点O,若FO平分∠GFC.线段GE的延长线平分L0EA,且满足 ∠E0F+∠EGF=100°时，求∠0EA+2LOFC的值. 【答案】(1)①45°；②120° (2)∠0EA+2∠0FC=160° 【详解】(1)解：①如图，分别过点G、P作GN∥AB,PM∥AB, B M P G .∠BEG=∠EGN, D 图1 :AB∥CD, .NG∥CD :∠NGF=∠GFD, :ZEGF ZBEG+ZG FD 同理可得：∠EPF=∠BEP+LPFD, :EG⊥FG, ∴∠EGF=90°， :EP平分LBEG,FP平分∠DFG; ·∠BEP=1 ∠BEG,∠PFD=∠GFD, 1 ∠EPF=∠BEG+∠GFD)=)∠EGF=45°. 2 故答案为：45°。 ②如图，过点Q作QR∥CD, 41/67 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A B 图2 :EG平分∠BEQ,FD平分∠GFQ, ∴.∠GEQ=∠BEG=40°，LGFD=LQFD, 设GFD QFD a, :QR∥CD,AB∥CD, .∠EQR=180°-∠QEB=180°-2∠QEG=100°， :QR∥CD, .∠DFQ+∠FQR=180°， .a+∠FQR=180°， ∴.a+∠FQE=80°， :∠FQE=80°-a, 由(1)可知∠G=2LP=∠BEG+∠GFD=40°+a, ∠FQE+2∠P=80°-a+40°+a=120°. (2)解：如图，在AB的上方有一点O,若FO平分LGFC,线段GE的延长线平分LOEA, D 图3 设H为线段GE的延长线上一点，则∠OFC=∠OFG,∠OEH=∠HEA, 设L0FC=L0FG=B,∠0EH=∠HEA=a, 如图，过点O作OT∥AB,则OT∥CD, ∴.∠TOF=∠OFC=B,∠T0E=∠0EA=∠0EH+LAEH=2a, ∴.∠EOF=∠TOF-∠TOE=B-2, :LBEG=LHEA=a,∠GFD=180°-∠OFC-∠OFG=180°-2B 由(1)可知：∠G=∠BEG+∠GFD=a+180°-2B, :∠E0F+∠EGF=100°， B-2++180°-2B=100°，即a+B=80°， .20+2β=160°， 42/67 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :L0EA=2a,∠OFC=B, .∠0EA+2∠0FC=160°. 29.(24-25七年级下.安微淮南·期中)【感知】(1)如图①，AB∥CD,∠AEP=40°，∠PFD=130°，求 ∠EPF的度数.小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程. 解：如图①，过点P作PM∥AB. 【探究】(2)如图②，AB∥CD,∠AEP=50°，∠PFC=120°，求∠EPF的度数； 【应用】(3)如图③，在(2)条件下，∠PEA的平分线和LPFC的平分线交于点G,求LG的度数. E B A p2 <1 --M -D F F 图① 图② 图③ 【详解】解(1)如图①，过点P作PM∥AB, :L1=LAEP=40°， AB‖CD PM∥CD, :∠2+∠PFD=180°， :∠PFD=130°， .∠2=180°-130°=50°， :∠1+∠2=40°+50°=90°， 即∠EPF=90°； (2)过点P作PM∥AB, .∠MPE=∠AEP=50°， :AB∥CD, .PM∥CD, ∠PFC=∠MPF=120°， ∠EPF=∠MPF-∠MPE=120°-50°=70°； …M 的 E (3):∠PEA的平分线和LPFC的平分线交于点G, 43/67 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠ABG=)∠AEP=250, ∠PFC=60, ZGFC= 过点G作GM∥AB, .∠MGE=∠AEG=25°， :AB∥CD, GM∥CD, ∠GFC=∠MGF=60°， LG=∠MGF-∠MGE=60°-25°=35°. ---M D E D 30.(24-25七年级下·安微准北期末)如图1，己知AB∥CD,点E在AB上，点H在CD上，点F在 AB,CD之间，连接EF,FH. M B 图1 图2 (1)若∠EFH=72°，∠DHF=22°，求∠AEF的度数； (2)如图2，HM平分∠CHF,交FE的延长线于点M, ①若∠DHF=54°，∠EMH=30°，求∠AEM的度数； ②若LAEF+∠CHF=kZEFH,直接写出∠FHD-2∠FMH的度数（用含k的代数式表示）. 【答案】(1)130° 2y033°；②720 -180° k+1 【详解】(1)解：如图1，过点F作AB的平行线FP, 44/67 学科网·上好课 www zxxk.com E A P -D H 图1 :AB∥CD,AB∥FP, .AB∥FP∥CD, .∠PFH=∠DHF=22°，∠AEF+∠PFE=180°， :∠EFH=72°， ∴.∠PFE=∠EFH-∠PFH=72°-22°=50°， ∠AEF=180°-∠PFE=180°-50°=130°； (2)解：①如图2，过点M作MN∥AB, :AB∥CD, .AB∥CD∥MN, M ------------W B A O 图2 .∠HMN=LCHM,∠EMN=∠AEM, :∠EMN=∠HMN-∠EMH, .∠AEM=∠CHM-∠EMH, :∠DHF=54°， .∠CHF=180°-∠DHF=180°-54°=126°， :HM平分∠CHF, :∠CHM=∠CHF=63°， :∠EMH=30°， ∠AEM=∠CHM-∠EMH=63°-30°=33°； ②如图，过点F作FF'∥AB, 45/67 盖系一每举丁 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M C D H ∠AEF+∠EFF'=180°， AB∥CD, .MN∥CD, :∠CHF+∠HFF'=180°， LAEF+∠CHF+LEFF'+∠HFF'=360°， 即∠AEF+∠CHF+∠EFH=36O°， :∠AEF+∠CHF=k∠EFH, .k∠EFH+∠EFH=360°， n架 由(2)①可得∠AEM=∠CHM-∠EMH, :.2∠FMH=2∠CHM-2∠AEM=∠CHF-2180°-∠AEF） =∠CHF+2LAEF-360° :∠FHD=180°-∠CHF, ∴.∠FHD-2∠FMH =180°-∠CHF-∠CHF-2∠AEF+360° =540°-2∠CHF+∠AEF】 =540°-2(360°-LEFH 720° -180°. k+1 31.(24-25七年级下.安徽阜阳·月考)综合与实践. 【问题情境】在综合与实践课上，同学们以“一个含30°角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动. 如图1，已知直线a∥b,∠ACB=90°，LBAC=30°，∠ABC=60°. 46/67 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B B 4 人2 3 C C 图1 图2 图3 (1)若∠1=46°，求∠2的度数； 【深入探究】 (2)如图2，创新小组的同学把直线Q向上平移，发现∠4-∠1=120°，请你进行证明； 【拓展应用】 (3)缜密小组将图形变化为如图3所示的形式，此时AC平分∠BAM,他们发现L5=∠6，请你进行证明. 【详解】解：(1)：∠1=46°，∠BCA=90°， :∠3=180°-∠BCA-∠1=180°-90°-46°=44°， :a∥b, ∠2=L3=44°； (2)过点B作BD∥a.如图所示： A -a R- D 则∠4+∠ABD=180°， C b :a∥b, b∥BD, .∠1=∠DBC, .∠ABD=∠ABC-∠DBC=60°-∠1， ∠4+60°-∠1=180°， .∠4-∠1=120°； (3)证明：过点C作CP∥a,如图所示： -a <6 ---P:AC平分∠BAM, M A -b .∠CAM=∠BAC=30°，∠BAM=2∠BAC=60°， 47/67 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又：a∥b, ∴.CPIb,∠6=∠BAM=60°， .∠PCA=∠CAM=30°， :∠BCP=∠BCA-∠PCA=90°-30°=60°， 又CP∥a, :∠5=∠BCP=60°， ∠5=∠6. 32.(24-25七年级下.安徽合肥期末)【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题。 例如：如图1，AB∥CD,点E在直线AB,CD之间，请说明∠BED=∠B+∠D. 解：如图2，过点E作EF∥AB,所以∠1=∠B. 因为EF∥AB,AB∥CD,所以EF CD,所以∠2=∠D, 所以∠BED=∠1+∠2=∠B+∠D. 可以运用以上方法解答下列问题： B E 图1 图2 图3 图4 【类比应用】 (1)如图3，AB∥CD,点E在直线AB,CD之间，BF平分∠ABE,DF平分LCDE. (i)若∠BED=90°，求LABE+LCDE的度数， (i)若∠BED=a,求∠BFD的度数.（用含a的式子表示） 【拓展探索】 (2)如图4，AB∥CD,点E在AB的上方，∠EDC的平分线与∠EBA的平分线所在的直线交于点F,求 ∠BED+∠BFD的度数. 2 【答案】(1)()270，(m)∠BFD=180°-g,(2)∠BED+∠BFD=180 【详解】解：(1)(i)如图1，过点E作EM∥AB,则LABE+LBEM=180°. 48/67 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B --M O C 图1 因为AB∥CD,所以EMI‖CD,所以∠CDE+∠MED=I80°，所以∠ABE+∠BEM+∠MED+∠CDE=360°， 因为∠BED=∠BEM+MED=90°， 所以∠ABE+∠CDE=360°-90°=270°. (i)如图2，过点F作FN∥AB,则LABF=∠BFN, 6 A E ---M D 图2 因为AB∥CD,所以FN∥CD,所以∠CDF=∠DFN,所以LBFD=LBFN+LDFN=∠ABF+∠CDF, 因为BF平分∠ABE,DF平分∠CDE, 所以∠ABE=2LABF,∠CDE=2∠CDF, 所以LABE+∠CDE=2LABF+2LCDF=2LBFD. 由(1)可得∠ABE+∠BED+LCDE=360°. 因为∠BED=a,所以LABE+∠CDE=360°-a,所以2LBFD=360°-a, 所以∠BFD=I80°_C 2 (2)如图3，过点E作EP∥AB,则LPEB+LABE=180°，即LPEB=180°-∠ABE· E B D 图3 因为AB∥CD,所以PE∥CD,所以∠PED+∠CDE=180°，即∠PED=180°-∠CDE, 所以∠BED=∠PED-∠PEB=(180°-∠CDE)-(I80°-∠ABE)=LABE-LCDE, 同理(1)可得：∠BFD=∠ABF+∠CDF. 因为BM平分∠ABE,DF平分∠CDE, 所以∠ABE=2LABM,，∠CDE=2LCDF· 因为∠ABF=180-∠ABM=180-∠ABE, 49/67 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以∠BFD=180°-∠ABE+∠CDE=180°-∠ABE-∠CDE)=180°- 1 ∠BED, 所以BED+∠BFD=180 33.(24-25七年级下.安徽芜湖期末)【阅读理解】 如图1，己知AB∥CD,点E,F分别在直线AB、CD上，点P在直线AB、CD之间.求证： ∠AEP+∠P+∠CFP=360°. A E B B A C D F D C 图1 图2 图3 CE CE D 图4 图5 证明：如图2，过点P作POI/AB, .∠AEP+∠EPQ=180° :PQ∥AB,AB∥CD, .PQ∥CD .∠FPQ+∠CFP=180°. ∴.∠AEP+∠EPQ+∠FPQ+∠CFP=180°+180°，即∠AEP+∠P+∠CFP=360°. 【类比应用】 (1)如图3，已知AB∥CD,∠ABP=125°，∠DEF=115°，求∠P=-°. (2)如图4，己知AB∥CD,点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接AP、EP,试说明： LCEP+LBAP-LAPE=I80°； 【拓展应用】 (3)如图5，己知AB∥CD,点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接AP、EP,∠DEP的平分线 与∠BAP的平分线所在直线交于点Q,求2LAQE+LAPE的值. 【详解】解：(1)如图，过点P作P9∥CD, A E :∠DEF=115°， 50/67 学科网·上好课 www zxxk.com .LCEP=∠DEF=115°， :PQ∥CD, ∴.∠OPE+∠CEP=180°， :AB∥CD, PQ∥AB, .∠ABP+∠BPQ=180°， ∴∠ABP+∠BPQ+∠QPE+∠CEP=360°， .LABP+∠P+∠CEP=360°， .∠P=360°-115°-125°=120°； (2)如图，过P点作PM∥AB, M B CE 6 AB∥CD, AB∥CD∥PM, ∴∠MPE=∠CEP,∠MPA+∠PAB=I80°， ·LMPE-∠MPA-LPAB=∠CEP-180°， 即∠APE-∠PAB=∠CEP-180°， .∠CEP+∠PAB-∠APE=180°； (3)由示例知，过Q点作QG‖CD, D CE D :AB∥CD, OG∥AB, ∴∠AQG=∠QAB,∠GQE=∠DEQ, .∠AQE=∠BAQ+∠DEQ, 2LAQE=2∠BAQ+2LDEQ=2(180°-∠BAF+2LDEQ, 又QE,AF分别是∠PED与∠PAB的角平分线， 2∠BAF=∠PAB,2LDEQ=LPED, 2∠AQE=360°-∠PAB+∠PED, 由(2)知，∠CEP+∠PAB-∠APE=180°， 51/67 盖系一每举丁 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠APE=∠CEP+∠PAB-180°， ∴2LAQE+LAPE =360°-∠PAB+∠PED+∠CEP+∠PAB-180° =180°+180° =360°， 即2∠AQE+∠APE=360°. 34.己知直线AB∥CD,E为平面内一点，点P,Q分别在直线AB,CD上，连接PE,EQ H P D B B E 0 D D 图1 图2 图3 (1)如图1，若点E在直线AB,CD之间，试探究∠BPE,∠DQE,∠PEQ之间的数量关系，并说明理由 (2)如图2，若点E在直线AB,CD之间，PF平分∠APE,QF平分∠CQE,当∠PEQ=100°时，求∠PFQ 的度数。 (3)如图3，若点E在直线AB的上方，QF平分∠CQE,PH平分∠APE,PH的反向延长线交QF于点F, 当∠PEQ=50°时，求∠PFQ的度数， 【详解】(1)解：∠PEQ=∠BPE+∠DQE,理由如下： 如图1，过点E作EF∥AB, A P F---- E D 9 图1 .∠BPE=∠PEF, :AB∥CD,EF∥AB, CD∥EF, ∴.∠DQE=∠QEF, :∠PEQ=∠PEF+∠QEF, ∴.∠PEQ=∠BPE+∠DQE. (2)解：如图2，过点F作FG∥AB, 52/67 命学科网·上好课 www zxxk.com P B E ---G O O 图2 由(1)可知，∠PEQ=∠BPE+∠DQE, ∠PEQ=100°， ∠BPE+∠DQE=100°， :∠APE+∠BPE=180°，∠CQE+∠DQE=180°， ∴∠APE+∠CQE+∠BPE+∠DQE)=360°， ∠APE+∠CQE=360°-100°=260°， :PF平分∠APE,QF平分∠CQE, ∠APF=∠APE,∠cQF-c0E, 2 4PF+∠cQr-∠APE+5<cQE-2aPE+∠coE=1Bo. .FG∥AB, ∠PFG=∠APF, :AB∥CD,FG∥AB, CD∥FG, .∠OFG=∠CQF, ∴.∠PFQ=∠PFG+∠QFG=∠APF+∠CQF=130°. (3)解：如图3，过点E作EG∥AB, HG A G D 9 图3 ·LPEG=LBPE, :AB∥CD,EG∥AB, EG∥CD, .∠QEG=∠DQE, :∠QEG-∠PEG=∠PEQ=50°， ∴∠DQE-∠BPE=50°， 53/67 盖系一母丁 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :QF平分∠CQE,PH平分∠APE, :∠CQF=∠CQE,∠HPE=∠APE, 2 :∠APE+∠BPE=180°，∠CQE+∠DQE=180°， ZCOF-(-DQE)-DQE, ∠HPE-l80-∠BPE=90e-<BPE, 2 :∠HPB=∠HPE+∠BPE=90P+2∠BPE, 1 由对顶角相等得：∠APF=∠HPB=90°+∠BPE, 由(2)可知，∠PFQ=∠APF+∠CQF =90°+1∠BPE+90°-1∠DQE 2 2 =180°- (2DQE-ZBPE) 2 1 =180°-2x509 =155°， 所以∠PFQ的度数为155° 35.(24-25七年级下·安徽合肥期末)已知直线AB∥CD,点M、N分别是直线AB和CD上的两点，点G 为直线AB和CD之间的一点，连接MG、NG. M 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠BMG=a,LDNG=B,试说明∠G=a+B; (2)如图2，在(1)的结论下，点P是直线CD下方一点，满足MG平分∠BMP,ND平分∠GNP.若 ∠BMG=30°，求LG+∠P的度数； (3)如图3，点P是直线AB上方一点，连结PM、PN,若点G为线段NQ上一点，GM的延长线为∠AMP的 平分线，NP平分∠CNG,∠MGN=108°-2∠P,则∠AMP= 【详解】(1)证明：过点G作GH∥AB(点H在点G的左侧)，如图1所示： 54/67 可学科网·上好课 www .zxxk.com M B H-----------G .AB CD, N -D 图1 .ABI GHI CD, LMGH=∠BMG,∠NGH=∠DNG, .∠MGH+∠NGH=∠BMG+∠DNG, .∠MGN=∠MGH+∠NGH, .∠BMG=a,LDNG=B, ∴.∠MGN=o+B; (2)解：过点P作PE∥CD(点E在点P的左侧)，如图2所示： M 4- B G :MG平分∠BMP,，∠BMG=30°， D B..N 图2 ∴.∠BMP=2∠BMG=60°， :ND平分∠GNP, :设∠DNG=∠PND=0, :ABCD,PE∥CD AB∥CD∥PE, ∴.∠MPE=∠BMP=60°，LNPE=∠PND=0, ∴.∠MPN=∠MPE-∠NPE=60°-0， 由(1的结论得：∠G=∠BMG+∠DWG=30°+0， ∠G+∠MPN=30°+0+60°-0=90°； (3)解：如图，过P作PH∥AB,过G作GK∥AB, M -B G AB CD, D 图3 PH∥CD,GK∥CD, MF平分∠PMA,PN平分∠CNG, 55/67 盖系一每拼丁 面学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :设LPMF=LAMF=x°，∠CNP=∠GNP=y°， :ABICD,PH∥CD, .∠MPH=∠AMP=2x°，∠NPH=∠CNP=y°， :∠MPN=∠NPH-∠MPH=(y-2x)°， GK∥AB,GK∥CD, ∴.∠MGK=∠FMA=x°， ∠WGK=∠GND=180°-∠CNG=(180-2y)°， .∠MGN=∠MGK+∠NGK=(x+180-2y)°， .∠MGN=108°-2∠MPN, (x+180-2y)°=108°-2(y-2x)°， 解得x=24°， .∠AMP=2x°=48 故答案为：48°. 36.已知，AB∥CD,点E在CD上，点G在AB上，点H为一动点， H G -B A òH M M 一DC -D C E 图1 图2 图3 (1)如图1，当H在AB与CD之间时，点F在AB上，连接FE、EH、HG,若LAGH=LFED,求证： HG∥EF. (2)如图2，在(1)的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K,EH∥KF,GM平分∠HGB,且有 Z KFE ZMGH m n. ①当m=7,n=3时，求LGHE的度数； ②当EM平分∠HED,GM,EM交于点M时，若LGME=54°，求m:n的值. (3)如图3，当H在AB上方，EH交AB于点F,∠AGH的角平分线的反向延长线和∠DEH的角平分线相交 于点M,∠BGM的角平分线和∠DEM的角平分线相交于点M1,依此类推，请论证∠M与∠H之间的数量 关系，并直接写出∠H与∠M,的数量关系（用含n的式子表示） 【详解】(1)证明：：AB∥CD, ∴∠AFE=∠FED, :∠AGH=∠FED, ∴∠AFE=∠AGH, .HG∥EF 56/67 而学科网·上好课 www zxxk.com (2)①如图，过点H作HI∥AB, F G A- -B H M -D E ∴HI∥AB∥CD. 由题意可知：∠KFE:∠MGH=m:n=7:3, 故可设∠KFE=7x,则∠MGH=3x. .∠AFK=∠EKF,∠BGH=∠IHG,∠DEH=∠IHE. :FK平分∠AFE,GM平分∠HGB, ∠AFK=∠EFK=7x,∠BGH=2∠MGH=6x, ∠AFE=14x, ∠AGH=180°-∠BGH=180°-6x, 由(1)可知，HG∥EF, .ZAGH ZAFE, .14x=180°-6x,解得：x=9°， .∠IHG=6x=54°，∠EKF=7x=63°. :EH∥KF, .LIHE=LDEH=∠EKF=63°， ∠GHE=∠IHG+∠IHE=54°+63°=117°. ②如图，过点M作MN∥AB. F G A -B HN>M 一D K E 由题意可设∠KFE=my,则∠MGH=ny. :AB∥CD,FK平分∠AFE, :.∠EKF=∠KFE=∠AFK=my,∠AFE=2my. :EH∥KF, .∠DEH=∠EKF=my. :EM平分∠HED, ∠DEM=DEH=% 2 :MN∥AB,AB∥CD, MN∥AB∥CD, 57/67 盖系一每举丁 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ·∠NME=∠DEM="my .GM平分∠HGB, 、∠BGM=∠MGH=y,∠BGH=2y, .∠AGH=180°-∠BGH=180°-2ny. :MN∥AB, .∠GMN=∠BGM=y. ·LGME=LGMN+LNME,即y+my=54°. 2 由(1)可知HG∥EF, :ZAGH ZAFE, .180°-2y=21y, 即 y+m四=540 my=72° 2 ,解得： 2my=180°-2y y=18°’ m:n=my:y=72°：18°=4：1. (3)过点H作HI∥AB,过点M作MN∥AB. 之 -----K A G -B N-7M C -D E 设∠FGH=2a,∠HED=2B, 同理(2)可得：∠FGH=∠KHG=2a,∠FHK=180°-∠HED=180°-2B, ∴.∠EHG=∠FHK-∠KHG=180°-2B-2a, :∠AGH的角平分线的反向延长线和∠DEH的角平分线相交于点M, ∠BGM-∠AGQ-∠4GH=a,∠NED-号FED=A, 由(2)得∠GME=∠BGM+∠DEM=a+B, .∠EHG+2∠GME=180°-2B-20+2(a+B)=180°. :∠BGM的角平分线和∠DEM的角平分线相交于点M1。 同可有：<GME=∠BGM+DEBM0+B 11 .∠EHG+4∠GM,E=180°-2B-2a+4(5a+三B)=180°， ,11 ∠EHG+8∠GM,E=180°-2p-2+840+4B)=180°， 58/67 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 片∠EG+2∠GM,E=180-28-2a+2(分a+2=180 题型四：羊角模型 37.(1)如图(1)AB∥CD,猜想∠BPD与LB、∠D的关系，说出理由. (2)观察图(2)，已知AB∥CD,猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由， (3)观察图(3)和(4)，己知AB∥CD,猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由. A B B E C D (1) 2 3) (4) 【答案】(1)∠B+∠BPD+∠D=360°，理由见解析；(2)∠BPD=∠B+∠D,理由见解析；(3)图(3) ∠BPD=∠D-∠B,图(4)∠BPD=∠B-∠D 【详解】(1)解：猜想∠B+∠BPD+∠D=360°. 理由：过点P作EF∥AB, ∴∠B+∠BPE=180°， :AB∥CD,EF∥AB, .EF CD, ∠EPD+∠D=180°， .∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°， ∴.∠B+∠BPD+∠D=360°： (2)∠BPD=LB+∠D· 理由：如图，过点P作PE∥AB, P D (2) :AB∥CD, PE∥AB∥CD, L1=LB,∠2=LD, ∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D; (3)如图(3)：∠BPD=∠D-∠B 59/67 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 理由：：AB∥CD, (3) .∠1=∠D, :∠1=∠B+∠P, ∠D=∠B+∠P, 即∠BPD=LD-LB; 如图(4)：∠BPD=∠B-∠D 理由：AB∥CD, B (4) ∠1=∠B, :∠1=∠D+∠P, ∴∠B=∠D+∠P, 即∠BPD=∠B-∠D. 38.(24-25七年级下安徽蚌埠期末)【课题学习】平行线的“等角转化”. 如图1，已知点A是BC外一点，连接AB,AC.求LBAC+LB+LC的度数. 心 -D 图1 图2 图3 解：过点A作ED∥BC,.∠B=,LC=- 又 +∠BAC+ =180 .∠B+LBAC+LC= 【问题解决】(1)阅读并补全上述推理过程 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC,∠B,∠C“凑” 60/67 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决 【方法运用】(2)如图2，已知AB∥CD,BE、CE交于点E,LBEC=80°，求∠B-∠C的度数， (3)如图3，若AB∥CD,点P在AB,CD外部，请直接写出∠B,∠D,∠BPD之间的关系 【答案】(1)∠EAB;∠DAC;∠EAB;∠DAC;180°；(2)LB-∠C=100°；(3)LBPD=∠B-∠D 【详解】解：(1)过点A作ED∥BC, ∠B=∠EAB,LC=∠DAC, 又：∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°， ∴∠B+∠BAC+∠C=180°， 故答案为：∠EAB;∠DAC;∠EAB;∠DAC;18O°； (2)过点E作EF∥AB, A E C D ∠B+∠BEF=180°， ∠BEF=180°-∠B, :AB∥CD, .EF CD, ∴∠FEC=∠C, :∠BEC=80°， ∠BEF+LFEC=80°， 180°-∠B+LC=80°， .∠B-∠C=100°； (3)∠BPD=∠B-∠D, 理由：过点P作PE∥CD, B D p4----------E ∠D=∠DPE, :AB∥CD, AB∥PE, ∠B=∠BPE, :∠BPD=∠BPE-∠DPE, 61/67 品学科网·上好课 www.zxx k.com ∠BPD=∠B-∠D. 题型五：蛇形模型 39.中华武术，博大精深.小明把如图1所示的武术动作抽象成数学问题.如图 ∠C=90,∠B=78,∠E=98°，则∠F的度数是() 一D 图1 图2 A.106° B.110° C.118o D.120° 【答案】B 【详解】解：过点E、F分别作AB的平行线EG,FH, C -D G :AB∥CD,∠C=90°，∠B=78°，∠CEF=98°， FH∥AB∥CD∥EG, ∴.∠B+∠HFB=180°，∠EFH=GEF,∠C+∠CEG=180°， ∴.∠HFB=180°-∠B=102°，∠CEG=180°-∠C=90°， ∴∠GEF=∠CEF-CEG=8°， ∠EFH=∠GEF=8°， :∠EFB=∠EFH+∠HFB=102°+8°=110°. 故选：B 40.(23-24七年级下.安微合肥期末)如图，已知AB∥CD,则∠1、∠2、∠3、 B 3 E D A.∠1+∠3+∠4-∠2=1809 B.∠1+∠2+∠4=∠3 C.∠3+∠2=∠4+∠1 D.∠1+∠2+∠3-∠4=1809 【答案】A 【详解】解：过点E作EG∥AB,过F作FH∥AB, 62/67 上好每一堂课 2,已知AB∥CD, ∠4的关系是() 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 4 C D :AB∥CD, ∴.AB∥FH∥EG∥CD ∠FHE=∠4，∠EGC=∠1，∠FHE+∠HEG=180, ZEGC ZFEG+Z2, ∠1=∠FEG+∠2， .∠FEG=∠1-∠2， :∠FHE+∠HEG=180°， .∠4+∠3+∠FEG=180°， ∴∠1+∠3+∠4-∠2=180°. 故选：A. 41.如图，若AB∥CD,则∠a,∠邛，∠y之间的关系是() A B E B D A.Za+2B+Zy=180 B.La-LB+Ly=180° C.La+LB-Ly=180° D.La+∠B+Ly=270° 【答案】C 【详解】过点E作EF∥AB,如图， A B a B -- C D :AB∥CD, AB∥EF∥CD, ∠a+∠AEF=180°，∠y=∠DEF, 63/67 可学科网·上好课 .AEF 180 0, :∠B=∠AEF+∠DEF=180°-∠a+∠y, 即La+LB-Ly=180°， 故选：C. 42.如图，若AB∥CD,则角C,B,Y的关系为() A B T C D A.a+B+Y=360° B.-B+Y=180° C.a+B+y=180 D.a+B-Y=180° 【答案】D 【详解】解：过点E作EF∥AB, A B B :ABCD,EF∥AB, C ∴.EF CD, .∠DEF=Y, :AB‖CD, a+∠AEF=180°， ∠AEF+∠DEF=B, ∴.+B-∠DEF=180°， .a+β-y=180°. 故选：D. 43.如图，AB∥DC,点E在直线AB,DC之间，连接DE,BE. D C E A B (1)写出∠ABE,∠BED,∠EDC之间的数量关系，并说明理由： (2)若∠EDC=21°，∠BED=2∠B,求∠B的度数； 【详解】(1)解：∠BED+∠ABE-∠EDC=180°， 64/67 散系一每举丁 面学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 理由如下：过点E作EF‖CD,如图， D C E A B ∠EDC=∠DEF, :AB∥CD, AB∥EF, ∴∠ABE+∠BEF=180°， ∠BEF=180°-∠ABE, ∠BED=∠BEF+∠DEF=∠EDC+I80°-∠ABE, ∴：∠BED+∠ABE-∠EDC=180°； (2)解：由(1)得∠BED+LABE-∠EDC=180°， 2∠B+∠B-∠EDC=180°， ·3∠B-21°=180°， 解得∠B=67°. 44.己知直线AB∥CD,P为平面内一点，连接PA、PD. D B A D 图1 图2 图3 (1)如图1，已知∠A=50°，∠D=150°，求∠APD的度数： (2)如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 B)如图3，在(2)的条件下，AP⊥PD,DN平分∠PDC,若∠PAN+)∠PAB=∠APD,求∠AND的度数. 【详解】(1)解：：∠A=50°，∠D=150°， 过点P作PQ∥AB, B D .∠A=∠APQ=50°， :AB∥CD, 65/67 可学科网·上好课 www zxxk.com .PQ∥CD, .∠D+∠DPQ=180°， .∠DPQ=180°-150°=30°， .∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°； (2)解：∠PAB+∠CDP-∠APD=180°， 如图，作PQ∥AB, Q ------ B D .∠PAB=∠APQ, :AB∥CD, .PQ∥CD, .∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°-∠CDP, :∠APD=∠APQ-∠DPQ, ∠APD=∠PAB-180°-∠CDP)=∠PAB+∠CDP-180°： ∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°； (3)解：设PD交AN于O,如图， N A B :AP⊥PD, .∠AP0=90°， ZPANZPAB-ZAPD 1 ∴∠PAN+5∠PAB=90°， 又：∠P0A+∠PAN=180°-∠AP0=90°， ∴.∠POA=二∠PAB, :∠POA=∠NOD, ∠OD=2∠PAB, :DN平分∠PDC, 66/67 盖系一每举丁 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠ODN=L∠PDC, 2 :∠AWD=180°-∠NOD-∠0DN=180°- PABPDC) 由(2)得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°， ·LPAB+∠PDC=180°+∠APD, ∠4D=180-2∠PAB+∠PDC=180-l80+∠APDj=180-l80+90r)=45. 67/67