期末备考03——平面向量基本定理训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以平面向量基本定理为核心，构建“基底选择-向量表示-运算应用”三阶方法体系，通过教材改编题系统覆盖基底判断、线性表示等高频考点，培养抽象能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方法总结|1处思路提炼|明确基底选择标准与向量表示步骤，强调几何性质结合|从基底概念生成到向量运算应用的递进链条| |基础应用|单选/多选/填空（12题）|基底判断（共线向量排除）、中点/三等分点向量表示|通过三角形、平行四边形模型巩固定理应用| |综合应用|解答题（3题）|中线交点、单位向量基底坐标等综合运算|从单一图形到复杂几何情境，提升推理能力|

永年二中高一数学必修二平面向量期末备考03 测试范围：平面向量基本定理 平面向量基本定理解决问题的一般思路 (1)先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决． (2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理． 一、单选题 1．【人教A版必修二复习参考题6第2（6）题】下列各组向量中，可以作为基底的是（    ）． A．， B．， C．， D．， 2．【人教A版必修二习题6.3第1题改编】如图，在中，，点为的中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 3．【人教A版必修二习题6.3第1题改编】如图，在中，，点是的中点．设，，则（    ） A． B． C． D． 4．若，是平面内一组不共线的向量，则下列各组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．在平行四边形ABCD中，E为线段CD中点，AC与BE交于点F，设，则=（    ） A． B． C． D． 6．在平行四边形中，，，. 对角线AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F. 设，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．如果是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（    ） A．可以表示平面内的所有向量 B．对于平面内任一向量，使的实数对有无穷多个 C．若向量与共线，则有且只有一个实数，使得 D．若实数，使得，则且 8．【人教A版必修二第6.3.1节练习第1题改编】如图，在中，若点D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，设AD，BE，CF交于一点O，则下列结论中成立的是（    ） A． B． C． D． 9．【人教A版必修二第6.3.1节练习第1题改编】如图，在中，分别是边上的中线，它们交于点G，则下列各等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．【人教A版必修二习题6.3第1题】如图，在中，，点是的中点.设，则 ， .（用向量为基底表示） 11．【人教A版必修二习题6.3第1题改编】在三角形ABC中，D为AB边上靠近点A的三等分点，E为CD的中点，设，，以，为一个基底，若，则实数λ的值为________． 12．在中，是的中点，与交于点，若，则___________． 四、解答题 13．（1）【人教A版必修二第6.3.1节例1】如图，，不共线，且，用，表示． （2）【人教A版必修二第6.3.1节练习第1题】如图，，，是的三条中线，，．用表示，，，． 14．【人教A版必修二习题6.3第15题改编】设是单位向量且夹角为，若向量，则称有序数对为向量在基下的坐标.已知在基下，. (1)若，求的值； (2)若，且四边形为平行四边形，求向量在基下的坐标. 15．如图，在中，点，满足，，AC边上的中线与交于点.设，. (1)用向量，表示，； (2)设，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永年二中高一数学必修二平面向量期末备考03 测试范围：平面向量基本定理 平面向量基本定理解决问题的一般思路 (1)先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决． (2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理． 一、单选题 1．【人教A版必修二复习参考题6第2（6）题】下列各组向量中，可以作为基底的是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】不共线的非零向量可以作为向量的基底. 【详解】因为与不共线，其余选项中、均共线，所以B选项中的两向量可以作为基底．故选：B 2．【人教A版必修二习题6.3第1题改编】如图，在中，，点为的中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量线性运算的几何意义，结合平面向量基本定理进行求解即可. 【详解】因为，点为的中点，所以 .故选：A. 3．【人教A版必修二习题6.3第1题改编】如图，在中，，点是的中点．设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算即可求得答案. 【详解】由题意在中，，点是的中点，故 ，故选：A 4．若，是平面内一组不共线的向量，则下列各组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】分别验证四个选项中的两向量是否共线即可选出正确答案. 【详解】因为，是平面内一组不共线的向量，设，无解，能作为平面内所有向量的一组基底，所以A选项错误；设，则，无解，不平行，能作为平面内所有向量的一组基底，所以B选项错误；设，则，无解，能作为平面内所有向量的一组基底，所以C选项错误；，，不能作为平面内所有向量的一组基底，D选项正确；故选：D. 5．在平行四边形ABCD中，E为线段CD中点，AC与BE交于点F，设，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，即可得到，再根据平面向量线性运算法则计算可得； 【详解】依题意在平行四边形中，，又是的中点，与交于点，所以，所以，所以，又因为， 所以.故选：C 6．在平行四边形中，，，. 对角线AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F. 设，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可证明，则，根据向量的分解、模长和数量积的运算，即可判断正误. 【详解】 对于A，取OB的中点G，连接CG，则且，即，，则，，A选项正确；对于B，，则 ，B选项正确；对于C，， ，则 ，C选项错误； 对于D，，D选项正确；故选：C. 二、多选题 7．如果是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（    ） A．可以表示平面内的所有向量 B．对于平面内任一向量，使的实数对有无穷多个 C．若向量与共线，则有且只有一个实数，使得 D．若实数，使得，则且 【答案】BCD 【分析】利用平面向量的基本定理可判断A、B、D；利用向量共线定理可判断C；从而得出答案. 【详解】根据平面向量基本定理可知正确，根据平面向量基本定理可知，如果一个平面的基底确定，那任意一个向量在此基底下的实数对都是唯一的，故选项错误，当两向量的系数均为0，这样的有无数个，故选项错误，若实数，使得，则和可以有1个等于零，错误．故选：． 8．【人教A版必修二第6.3.1节练习第1题改编】如图，在中，若点D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，设AD，BE，CF交于一点O，则下列结论中成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】用向量的加、减法运算法则对选项一一计算即可得出答案. 【详解】根据向量减法可得，故A正确；因为D是BC的中点，所以，故B错误；由题意知O是△ABC的重心，则，故C正确； ，故D错误．故选：AC． 9．【人教A版必修二第6.3.1节练习第1题改编】如图，在中，分别是边上的中线，它们交于点G，则下列各等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由已知结合三角形的重心及向量的线性表示分别检验各选项即可判断． 【详解】由三角形重心性质得，所以，A正确；因为，B正确；由重心性质得，，C错误；因为， 所以，即，D正确．故选：ABD． 三、填空题 10．【人教A版必修二习题6.3第1题】如图，在中，，点是的中点.设，则 ， .（用向量为基底表示） 【答案】， 【分析】根据平面向量基本定理得到. 【详解】因为，所以，故， . 11．【人教A版必修二习题6.3第1题改编】在三角形ABC中，D为AB边上靠近点A的三等分点，E为CD的中点，设，，以，为一个基底，若，则实数λ的值为________． 【答案】 【分析】根据平面向量基本定理结合已知条件将用表示出来，然后对照可求出λ的值. 【详解】因为E为CD的中点，所以，因为D为AB边上靠近点A的三等分点，则，所以，即，因为，，不共线，所以． 12．在中，是的中点，与交于点，若，则___________． 【答案】 【分析】将往上思考，再根据与的关系和三点共线的性质求出m，n最后得出答案. 【详解】由题知，，，设, 因为三点共线，所以，解得，则，故. 四、解答题 13．（1）【人教A版必修二第6.3.1节例1】如图，，不共线，且，用，表示． （2）【人教A版必修二第6.3.1节练习第1题】如图，，，是的三条中线，，．用表示，，，． 【答案】（1）；（2）；；；． 【解析】（1）根据向量的三角形法则可得，再根据得,把用表示出来即可：（2）直接利用向量的减法三角形法则和平行四边形法则即可。 【详解】（1）因为，所以 ． （2）；； ；． 14．【人教A版必修二习题6.3第15题改编】设是单位向量且夹角为，若向量，则称有序数对为向量在基下的坐标.已知在基下，. (1)若，求的值； (2)若，且四边形为平行四边形，求向量在基下的坐标. 【答案】(1)(2). 【分析】（1）根据向量坐标新定义表示出相关向量，计算出基向量的数量积，利用题设条件建立方程，解之即得； （2）设在基底下的坐标，利用求出，同法求出，由题设得，即可求出. 【详解】（1）由题意知因为，所以. 因为，所以，即0， 解得 （2） 由题意知，所以.设在基下的坐标为，则，因为四边形为平行四边形，所以， 所以，解得，即在基下的坐标为. 15．如图，在中，点，满足，，AC边上的中线与交于点.设，. (1)用向量，表示，； (2)设，求的值. 【答案】(1)，；(2) 【详解】（1）因为为边上的中线，， 因为，，所以，， 所以. （2）解法一：因为三点共线，所以存在实数，使得， 因为三点共线，所以存在实数，使得， 所以， 根据平面向量基本定理可得，解得，所以， 因为，所以，，即. 解法二：过作的平行线，交于点，在中，因为，所以∽， 因为，所以，因为为中点，所以，即， 因为，所以，因为三点共线，所以， 因为，所以。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $