2025-2026学年高一下学期数学期末模拟仿真卷02（人教A版必修第二册）

2025-2026学年高一数学期末模拟仿真卷02 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数满足，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】因为， 所以， 由共轭复数的性质得，可得， 由模长公式得. 2．已知平面向量，，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算以及平行向量的坐标表示即可求出值. 【详解】，，则， 由得，解得. 故选：D. 3．已知事件相互独立，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式列出关于和的方程组，求解即可. 【详解】∵ 事件相互独立， ， ∵事件与也相互独立， ， 两式相除可得， 解得. 故选：B. 4．毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活．如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合体，下半部分圆柱的高为2.5米；上半部分圆锥的母线长为米，轴截面（过圆锥轴的截面）是面积为平方米的等腰钝角三角形，则建造该毡帐（不含底面）需要毛毡（    ）平方米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用圆锥的结构特征求出圆锥的高和底面半径，由此求出上半部分圆锥和下半部分圆柱的侧面积，进而计算可得答案. 【详解】根据题意，如图所示为该组合体上半部分为圆锥， 由于其母线长为米，轴截面是面积为平方米的等腰钝角三角形， 设其高为，底面半径为， 则有，解可得， 则上半部分圆锥的侧面积 下半部分圆柱的侧面积 则该组合体的表面积(不含底面) . 故选：A 5．已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理和得到，，求出，得到答案. 【详解】， 即，故， ， 因为，所以，故， 因为，所以， 故为等腰直角三角形. 故选：D 6．已知直线l垂直于平面，直线在平面内，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据线面垂直的判定定理及其性质进行判断即可得出结论. 【详解】易知当且时，若相交，则可知，则可得， 若不相交，则不能推出，所以不一定成立，因此充分性不成立； 当，由直线l垂直于平面可得，又直线在平面内， 所以可得且，即必要性成立， 因此“且”是“”的必要不充分条件. 故选：B 7．在正三棱锥中，，点，分别在棱和上，且，则异面直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出异面直线和所成角，结合余弦定理求得其余弦值 【详解】过作，交于，则或其补角为异面直线和所成的角， 设，则， 由余弦定理得， 由余弦定理得， ， 在三角形中，由余弦定理得， 所以异面直线和所成角的余弦值为. 故选：B 8．在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理边角互化，再结合弦切互化和余弦定理计算即可. 【详解】根据正弦定理，由可得， 因为在中，，所以， 又根据余弦定理，， 故原式. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．有一组互不相等的样本数据，再插入增加两个，得到一组新样本数据，则（    ） A．原样本数据的极差等于新样本数据的极差 B．原样本数据的中位数等于新样本数据的中位数 C．原样本数据的平均数等于新样本数据的平均数 D．原样本数据的方差等于新样本数据的方差 【答案】AC 【分析】根据题意，有极差的定义分析A，由中位数的定义分析B，由平均数的定义分析C，由方差的计算公式分析D，综合可得答案． 【详解】根据题意，设个数据中，最小的为，最大的为， 依次分析选项： 对于A，加入的两个数据，易得，则原样本数据的极差等于新样本数据的极差，A正确； 对于B，由于加入的数据满足，则原样本数据的中位数不一定等于新样本数据的中位数， 如原数据为、、、、、、、、，则中位数为， 则新数据为、、、、、、、、、、，则中位数为，B错误； 对于C，原样本数据的平均数为， 新样本数据的平均数为， 两者相等，C正确； 对于D，由于原样本数据的平均数等于新样本数据的平均数，记为， 则原样本数据的方差，新样本数据的方差，显然后者更小，D错误． 故选：AC． 10．下列命题正确的是（    ） A．若事件两两互斥，则成立. B．若事件两两独立，则成立. C．若事件相互独立，则与也相互独立. D．若，则事件相互独立与互斥不能同时成立. 【答案】ACD 【分析】利用互斥事件的概率公式可判断选项A；举反例判断选项B；利用事件相互独立的判定公式判断选项C，利用事件的独立性质和互斥判断选项D. 【详解】对于A选项，若事件两两互斥，则与互斥， 所以，，因此A正确； 对于B，考虑投掷两个骰子，记事件：第一个骰子的点数为奇数， 事件：第二个骰子点数为奇数，事件：两个骰子的点数之和为奇数， 于是有，， ，可以看出事件两两独立，但不互相独立， 所以，因此B错误； 对于C，若事件相互独立，则， 又，， 则 ，因此C正确； 对于D，若，事件相互独立， 则， 若互斥，则，因此D正确. 故选：ACD. 11．如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，，平面ABCD，E为PB上动点，过点E作垂直BD的截面，则下列说法正确的是（    ） A．存在点E，使得 B．存在点E，使得二面角E-AC-D为 C．存在点E，使得直线AE与平面PCD所成角为 D．存在点E，使得截面截该四棱锥截得的截面面积为 【答案】ACD 【分析】A选项，在PB上取点，使得，利用余弦定理和勾股定理逆定理得到⊥，A正确；B选项，作出辅助线，得到即为二面角E-AC-D的平面角，显然，当重合时，取得最小值，此时，，B错误；C选项，作出辅助线，得到即为直线AE与平面所成的角，设，，表达出其他边长，利用正切得到方程，解得，故存在点E，使得直线AE与平面PCD所成角为；D选项，作出截面截该四棱锥截得的截面，设，，表达出其他边长，表达出截面面积，从而列出方程，结合零点存在性定理得到存在点E，使得截面截该四棱锥截得的截面面积为. 【详解】对于A，连接，由勾股定理得， 因为平面ABCD，平面，所以， 由勾股定理得，故， 在PB上取点，使得，则， 在中，由余弦定理得， 由于，故⊥，A正确； B选项，设，连接， 因为平面ABCD，平面，所以， 又，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 故即为二面角E-AC-D的平面角， 显然，当重合时，取得最小值，此时， 由于在上单调递增，且， 所以，不存在点E，使得二面角E-AC-D为，B错误； C选项，过点作⊥于点， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面ABCD，所以， 因为平面，平面，所以平面， 过点作交于点，连接， 因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面平面， 因为平面ABCD，平面，所以， 又，，平面，所以⊥平面， 故⊥平面，所以即为直线AE与平面所成的角， 设，，则，， 所以， 由勾股定理得， 令，解得， 故存在点E，使得直线AE与平面PCD所成角为，C正确； D选项，当点为中点时，此时，故⊥平面， 因为平面，所以平面⊥平面，交线为， 因为⊥，所以⊥平面， 即三角形即为截面截该四棱锥截得的截面， 此时， 故当靠近点时，过点作交于点， 过点作，分别交于点，连接， 五边形即为截面截四棱锥截得的截面， 设，，则，， 故， ，故，，故， 所以五边形的面积为， 令得， 令，对称轴为， ，，， 故由零点存在性定理得，在和上均存在一个零点， 故存在点E，使得截面截该四棱锥截得的截面面积为，D正确.    故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和15.则估计出总样本的方差为______. 【答案】37 【分析】按男女生比例抽取样本，结合相应公式计算均值和方差即可． 【详解】由题意知， 总样本的平均数为， 总样本的方差为. 故答案为：37 13．已知O为△ABC外心，，，若，其中，，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】利用平面向量的数量积可得出的表达式，利用基本不等式可求得的最大值, 【详解】设，则， 如下图所示： 取线段的中点，连接，由垂径定理可知， 所以，， 同理， 因为，则， 即，所以，，① ，即， 所以，，② 联立①②可得， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 14．如图，三棱锥中，且为正三角形，分别是的中点，若截面侧面，则此棱锥侧面与底面夹角的余弦值为__________. 【答案】 【分析】取和的中点分别为，，根据二面角的定义可得，进而可得为所作的二面角，根据三角形的边角关系即可求解二面角余弦值． 【详解】取和的中点分别为，， ，分别是，的中点， ,, 由于且为正三角形， ，故, 由于，分别是，的中点，因此， 故, 由于截面侧面，所以,进而可得, 由于 故为侧面与底面的二面角的平面角， 设， ，， 在直角中， ， 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15．甲，乙两人进行游戏比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立． (1)求第三局结束时甲获胜的概率； (2)求乙最终以分获胜的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对甲来说共有两种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）,根据独立事件的乘法公式即可求解. （2）以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的乘法公式即可求解. 【详解】（1）设事件为“第三局结束甲获胜”， 由题意知，甲每局获胜的概率为，不获胜的概率为．            若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．   故. （2）由题知，每局比赛中，乙获胜的概率为，平的概率为，负的概率为， 设事件为“乙最终以分获胜”． 若第二局结束乙获胜，则乙两局连胜，此时的概率．    若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．     此时的概率．             若第四局结束乙以分获胜，则乙第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况： （胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜）， （胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）．            此时的概率           故. 16．已知钝角△ABC中，. (1)若，，求； (2)若，求△ABC的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理求出，再根据钝角三角形，进而确定； （2）表示周长，化成关于的函数，借助三角函数的取值范围求得答案. 【详解】（1）设的所对的边为， 则依题意，，，， 由余弦定理得，即， 即，解得或， 当，最大，最大，此时， 所以为锐角，不合题意； 当，最大，最大，此时， 所以为钝角，符合题意， 所以. （2），，设外接圆半径为， 则，则， 则周长 因为钝角△ABC，所以， 所以， 所以， 所以， 所以△ABC的周长取值范围为. 17．如图，为边长为2的正三角形，，和都垂直于平面，且，，.是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角； (3)若动点在线段上，求三棱锥的外接球半径的最小值及此时的位置. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)外接球半径的最小值为；为线段上靠近的三等分点 【分析】（1）延长，交于点，延长，交于点，连接，利用三角形相似，即可得到，再利用线面平行判定定理即可得证； （2）利用（1）中的辅助线即可得到平面与平面的夹角的平面角，可得解； （3）作出和的外心，分别求出外接圆的半径，即可将三棱锥的外接球半径用表示，进而可求得最小值以及点的位置. 【详解】（1） 延长，交于点，延长，交于点，连接， 平面，平面，，， ，即是线段上靠近的三等分点， 平面，平面，，， ，即是线段上靠近的三等分点， 为中点，是线段上靠近的三等分点， ，，， 平面，平面，平面； （2） 在直角梯形中，，，，， ，同理可得，即为等腰三角形， 为中点，，即， 在平面中，，，， ，，， 是平面与平面的交线， 是平面与平面的夹角的平面角， ，，， 即平面与平面的夹角为； （3） ，，，平面， 平面， ，平面， 平面，平面平面， 在三棱锥中，设的外心为，的外心为， 过点作直线平面，过点作直线平面，交于点， 此时，，即三棱锥的外接球球心为， 在中，，，， 设外接圆半径为，则，解得，， 在平面中，四边形为矩形，即， 在中，，设外接圆半径为， 由正弦定理得，，即， 又， 要让三棱锥的外接球半径最小，即只要让最小， 在上动，， ，即三棱锥的外接球半径的最小值为， ，，四边形是平行四边形， ，此时为线段上靠近的三等分点. 18．某学校举办了数学知识竞赛活动，现从所有竞赛答卷的卷面成绩中随机抽取100份作为样本数据，将样本答卷中分数x（）的整数分成六段：，……，，并作出如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值； (2)规定为及格，用样本估计总体，随机从所有竞赛答卷抽取3份试卷，求3份试卷中至少有2份及格的概率； (3)已知样本数据落在的平均数是54，方差是6；落在的平均数是63，方差是3.求这两组数据的总平均数和总方差. 注：第一部分有m个数，平均数为，方差为，第二部分有n个数，平均数为，方差为，记样本均值为，样本方差为，则，. 【答案】(1) (2) (3), 【分析】（1）根据直方图各区间的频率和为1列方程求参数； （2）先依据频率分布直方图求出及格的频率，得到单次抽取及格的概率，再利用概率公式计算即可； （3）先确定区间、上的样本个数，再根据公式计算总平均数和总方差的值. 【详解】（1）由题意 ，解得 ； （2）由直方图知， 的频率为 设至少有 2 份试卷及格为事件 ，有 2 份试卷及格为事件 ，有 3 份试卷及格为事件 ， （3）样本数据在区间 的个数为 ，在区间 上的个数为 ， 所以 ， 总方差为 . 19．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．如图，在直三棱柱中，点A的曲率为，N，M分别为AB，的中点，且． (1)证明：平面． (2)证明：平面平面． (3)若，求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（1）由题意可得，根据线面垂直的性质可得，结合线面垂直的判定定理即可证明； （2）如图，易证，由（1）得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （3）如图，根据线面垂直的判定定理可得平面，则，易证，则∠AHF为二面角的平面角的补角．结合等面积法求得FH，即可求解. 【详解】（1）在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC， 则，，所以点A的曲率为， 所以．因为，所以△ABC为正三角形． 因为N为AB的中点，所以． 又平面ABC，平面ABC，所以， 因为，平面，所以平面． （2）取的中点D，连接DM，DN． 因为N为AB的中点，所以且． 又且，所以且， 所以四边形CNDM为平行四边形，则． 由（1）知平面，则平面． 又平面，所以平面平面． （3）取BC的中点F，连接AF，则． 因为平面ABC，平面ABC，所以， 因为，平面，所以平面． 又平面，所以，过F作的垂线，垂足为H，连接AH， 则，又平面，所以平面， 又平面，， 所以∠AHF为二面角的平面角的补角． 设，，则，，． 由等面积法可得，则， 则，故二面角的正切值为． 【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是线面、面面垂直的判定定理与性质和求二面角. ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 高一数学期末模拟仿真卷02（全国适用） 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 高一数学期末模拟仿真卷02（全国适用) 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][C]D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) A 、 A B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学期末模拟仿真卷01 考试范围：人教A版必修二 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数z满足，则z的虚部为（   ） A． B． C．1 D．2 3．设是平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若与所成的角相等，则 4．若，，且都为锐角，则（   ） A． B． C． D．1 5．在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数＋的值为（    ） A． B． C． D． 6．设正数，随机变量的分布列，若随机变量的期望为1，则最小值为（    ） 0 A．1 B． C．4 D．2 7．已知正项等差数列满足，则（   ） A．670 B．675 C．2025 D．4050 8．已知双曲线的左焦点为，直线与C的右支于点A，若C的左支上存在点B满足，且，则C的离心率为（ ） A．3 B． C．2 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数（）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 D．当时，曲线与有4个交点 10．已知函数对任意，都有，函数的定义域为，且的导函数满足，则（    ） A． B． C． D．当时，可能为偶函数 11．如图，在圆柱中，AB，CD为圆的两条直径，CE，DF是两条母线，且．用平面ABE和平面ABF截这个圆柱所得中间部分称为“楔形体”，记平面ABE与圆柱侧面的交线为曲线C，则（    ） A．C是椭圆的一部分 B．C是抛物线的一部分 C．三棱锥的外接球的表面积为 D．“楔形体”的体积V满足 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为 ． 13．已知递增等比数列前项和为，且，则数列的前项和为 ． 14．如图，已知，为边上的两点，且满足，则当取最大值时，的面积等于 .    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)若对总成立，求实数a的取值范围． 16．（15分） 2025年，世界首届人形机器人运动会在东京举行.顶尖机器人竞技场面震撼，刷新人类对未来体育的认知.现某高校一学生和智能机器人进行一场“网球”比赛，规则如下：比赛采用三局两胜制（率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利且比赛结束），已知该同学第一局获胜的概率为，从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为；如果上一局失败，则本局获胜的概率为，每局比赛均没有平局. (1)该同学在以获得比赛胜利的条件下，求他连胜两局的概率； (2)记整场比赛该同学的获胜局数为，求的分布列和期望. 17．（15分） 如图，P为圆锥的顶点，为底面圆O的直径，C为圆周上一点，D为劣弧的中点，.    (1)求证：； (2)E在线段上且，当平面时，求平面与平面夹角的余弦值. 18．（17分） 椭圆：过点，离心率为.过原点的直线交椭圆于A，B两点，点C，D在椭圆E上，且满足，设直线与交于点F. (1)求椭圆E的方程； (2)求F点的轨迹方程； (3)设直线与F点的轨迹交于M，N两点，求证：的面积为定值. 19．（17分） 在数列中，，对于，，，成等差数列，其公差为． (1)判断是否成等比数列？并说明理由； (2)证明：，，成等比数列； (3)设，数列的前项和为，证明：． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高一数学期末模拟仿真卷01 数学·参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 题号 4 6 7 答案 C B D B D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得 题号 9 10 11 答案 ABD BCD ACD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.-25 13. 10 1 14.9592 88 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【详解】(1)a=1时，因为f(x)=e-x-1,所以∫'(x)=e-1,(2分) 所以当x<0时，∫'(x<0,当x>0时，∫'x)>0,所以f(x)在(-o,0)上单调递减， 在(0，+o)上单调递增，所以f(x)mn=f(0)=0.(5分) (2)因为x>0,所以0≥r等价于a≤c-r-1,(7分) 令g)=e-,则g的--lc--,c8分) 由(1)得x>0时，f(x)=e-x-1>0, 所以当0<x<1时，g'x)<0,当x>1时，g'(x<0,(10分) 所以g(x)在(01)上单调递减，在(1，+oo)上单调递增，所以g(x)mn=g(I)=e-2, 1/7 所以a≤e-2.(13分) 16.(15分) 【详解】(1)设事件A=“该同学以2：1获得比赛胜利”，B=“该同学连胜两局”， 若该同学以2：1获得比赛胜利，则三局比赛的结果为：赢输赢，输赢赢，共两种情况，(2分) 则P(BAe P(AB)2 PA)3,(5分) 在以2：1获得比赛胜利的条件下，连胜两局获胜的概率为 (2)由题意的所有取值为0,1,2.(7分) 则P5=0---4) P---4》-》}4 P5=2)=P(A+3×28624 11117 (12分) 所以变量的分布列为 0 2 5 7 2 24 24 则的期望为E(5)=0×21 +2×2424 719 24 (15分) 17.(15分) 【详解】(1) D 证明：如图，连接OD,因为D为BC的中点，所以OD⊥BC, 又因为P0⊥平面ABC,故P0⊥BC,OD∩P0=0,OD,POc平面POD, 所以BC⊥平面POD,PDc平面POD,则BC⊥PD.(4分) 2/7 (2)如图，以O为坐标原点，OB,OP为y,z轴正方向建立空间直角坐标系， 设0P=0B=3,则B(0,3,0),P(0,0,3,E(0,2,1,(5分) 设∠D0B=0,则∠C0B=20, 设D3sin0,3cos0,0),则C(3sin20,3cos20,0)(6分) 因为OP=(0,0,3),0C=(3si28,3cos20,0),设平面0PC的法向量为n=(x,,3) 万-0c=3sin20x+3c0s201=0'可取万=(cos20,-sin20,01,(9分) n·0P=3z1=0 由 又ED=(3sin0,3cos0-2,-1)因为DE∥平面P0C,所以元·ED=0, 即3sin0c0s20-3sin20cos0+2sin20=0得cos0=3 ,(10分) 于是sim20=3v ，c0s20= 8则c 9√73 88 ,0, 所以BC= 95.210 8 8-81 又PB=(0,3,-3),设平面PBC的法向量为n2=（x2,y2,z2), n2PB=3y2-3z2=0 则 6BC=97.21 可取m,=（V7,3,3,(12分) 868=0 又平面ABC的一个法向量为2=(0,0,1)，设平面PBC与平面ABC夹角为a, 则cosa= m,n_3 万-，所以平面P8C与平面8C夹角的余弦值为15分) 18.(17分) 3/7 2 2 a=v 【详解】(1)由题意得 b2 =1,解得 ,(2分) b=1 √a2-b22 2 所以椭圆正的方程为)+少13分) (2)由题意设A,,B(-,,则乏+=1⑦ :AB=2CD,直线AC与BD交于点F C,D分别是AF、BF的中点，设F(xo,y) 则c,”,” (5分) :C,D在椭圆E: 2+y2=1上， 一x+0 由②+③， 〔外 整理得父+三++=4 22 将①代入，得号+=3，即+公=1 ”63 所以F应的轨迹方程为片号1.？分 (3)若直线1的斜率不存在，则M(0,5),N(0,-5,F(6,0,则MN=25, 5m-×1×0r=x25x6=3万 1 (9分) 若直线I的斜率存在，设：y= 4/7 设Mx2,y2,Ax,),F（xo,yo),则=kx, 由F(,在椭圆父+片=1上，A在号+y=1上 63 += 63 两式相减，整理得x-3x=-2(-3)①，(11分) 三+= 2 由2)知c兰，””)4在横腰号+r1止 +=1 学- 两式相减， 学-+些--0 化简得2xx+x-3x=-22y+后-3)② ②-①整理，得x=-20,k=4=- x 2yo + 由石+=1得。 y=kx 2所以2wN=20M=2国+万=2后+=2+82 F(x,)到直线：y=c的距离d=- (15分) V1+k2 aai0贤2-8以 2 6 6 2y Xo-%o= 1+2\2y 2y0 :+=1,x+2=6 63 12 S.FMN 号+2 =2/3 =32 5/7 所以aMNF的面积S,Fww=3V2为定值.(17分) 19.(17分) 【详解】(1)当k=1时，a,a2,a成公差为1的等差数列， 则a2=a1+1=1,a=a2+1=2: 当k=2时，a,a4,a成公差为2的等差数列，则a4=a+2=4,a=a4+2=6; 当k=3时，a,a6,a,成公差为3的等差数列，则a6=a+3=9. 所以%-6=3.893 @子2.6从而，版0,4,4成等比数列5分》 a as (2)由ak-1,a,a1成公差为k的等差数列，得ak41-a=2k, 可得：a3-a=2×1，a-a3=2×2,a,-a=2×3,…,ak-4-ak-3=2(k-1）, 累加得a2k-1=a1+(a3-a)+(a5-a)+…+(a2k-1-a2k-3 =0+2[「1+2+3+…+(k-1)=k(k-1)(9分) 因为a2k-1,a2k,a1成公差为k的等差数列，所以2=a2+k=k(K-1+k=K2, akH=ak+k=k2+k=(k+),又因为a,a2,ak+3成公差为k+1的等差数列， 所以a2+2=a+1+(k+1)=k(k+1)+(k+1)=(k+1)2, 所以2u-22,得a,a,a2成等比数列.(1分) a2ka2k+1 1 (3)由bn=一，由(2)知： 4 4=2 当为樱数时，8号6a2日+2小 11 6/7 故，≥4-1且对一切正整数有06≤2日2》15分) n≥2时，Sn=b+b2+b3+b4+…+bn-1+bn <日g-传引gr传》日 =0+423-2小3 综上，1≤Sn<3.(17分) 7/7 2025-2026学年高一数学期末模拟仿真卷02 考试范围：人教A版必修二 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数满足，则（    ） A． B． C．2 D． 2．已知平面向量，，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 3．已知事件相互独立，且，，则（   ） A． B． C． D． 4．毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活．如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合体，下半部分圆柱的高为2.5米；上半部分圆锥的母线长为米，轴截面（过圆锥轴的截面）是面积为平方米的等腰钝角三角形，则建造该毡帐（不含底面）需要毛毡（    ）平方米． A． B． C． D． 5．已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 6．已知直线l垂直于平面，直线在平面内，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．在正三棱锥中，，点，分别在棱和上，且，则异面直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．在中，，则（    ） A． B． C． D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．有一组互不相等的样本数据，再插入增加两个，得到一组新样本数据，则（    ） A．原样本数据的极差等于新样本数据的极差 B．原样本数据的中位数等于新样本数据的中位数 C．原样本数据的平均数等于新样本数据的平均数 D．原样本数据的方差等于新样本数据的方差 10．下列命题正确的是（    ） A．若事件两两互斥，则成立. B．若事件两两独立，则成立. C．若事件相互独立，则与也相互独立. D．若，则事件相互独立与互斥不能同时成立. 11．如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，，平面ABCD，E为PB上动点，过点E作垂直BD的截面，则下列说法正确的是（    ） A．存在点E，使得 B．存在点E，使得二面角E-AC-D为 C．存在点E，使得直线AE与平面PCD所成角为 D．存在点E，使得截面截该四棱锥截得的截面面积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和15.则估计出总样本的方差为______. 13．已知O为△ABC外心，，，若，其中，，则的最小值为__________. 14．如图，三棱锥中，且为正三角形，分别是的中点，若截面侧面，则此棱锥侧面与底面夹角的余弦值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15．甲，乙两人进行游戏比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立． (1)求第三局结束时甲获胜的概率； (2)求乙最终以分获胜的概率． 16.已知钝角△ABC中，. (1)若，，求； (2)若，求△ABC的周长的取值范围. 17．如图，为边长为2的正三角形，，和都垂直于平面，且，，.是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角； (3)若动点在线段上，求三棱锥的外接球半径的最小值及此时的位置. 18．某学校举办了数学知识竞赛活动，现从所有竞赛答卷的卷面成绩中随机抽取100份作为样本数据，将样本答卷中分数x（）的整数分成六段：，……，，并作出如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值； (2)规定为及格，用样本估计总体， 随机从所有竞赛答卷抽取3份试卷，求3份试卷中至少有2份及格的概率； (3)已知样本数据落在的平均数是54，方差是6；落在的平均数是63，方差是3.求这两组数据的总平均数和总方差. 注：第一部分有m个数，平均数为，方差为，第二部分有n个数，平均数为，方差为，记样本均值为，样本方差为，则，. 19．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．如图，在直三棱柱中，点A的曲率为，N，M分别为AB，的中点，且． (1)证明：平面． (2)证明：平面平面． (3)若，求二面角的正切值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $