专题02 平方根与立方根的运算【期末复习重难点专题培优十二大题型】-2025-2026学年数学人教版七年级下册

**基本信息** 聚焦平方根与立方根运算，通过12类高频易错题型讲练（56题）构建“概念-方法-应用”三阶体系，融合真题实战实现分层突破，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型讲练|12题型（含规律探索/实际应用）|非负性应用/估值技巧/计算器操作|从基础运算到综合应用，覆盖概念辨析-性质应用-实际建模逻辑链| |真题演练|基础+拔尖（分层）|错题归因/解题规范|对接期末命题趋势，强化高频考点突破|

2025-2026学年人教版新教材数学七年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题02 平方根与立方根的运算『期末复习重难点专题培优』 【十二个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共56题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 求代数式的平方根 1 题型二 已知一个数的平方根，求这个数 2 题型三 利用平方根解方程 3 题型四 求一个数的算术平方根 4 题型五 利用算术平方根的非负性解题 5 题型六 估计算术平方根的取值范围 6 题型七 与算术平方根有关的规律探索题 8 题型八 算术平方根的实际应用 9 题型九 与立方根有关的规律探索 11 题型十 算术平方根和立方根的实际应用 12 题型十一 算术平方根和立方根的综合应用 13 题型十二 计算器-平方根和立方根 14 优选真题 实战演练 15 【基础夯实 能力提升】 15 【拓展拔尖 冲刺满分】 16 题型一 求代数式的平方根 【精讲】（24-25七年级上·全国·单元测试）已知． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【精练1】（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【精练2】（23-24七年级下·安徽淮南·月考）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失.在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长.每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和冰川消失后经过的时间近似地满足如下的关系式：.其中d代表苔藓的直径（单位：厘米）；t代表冰川消失后经过的时间（单位：年）. (1)计算冰川消失16年后苔藓的直径； (2)如果测得一些苔藓的直径是28厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 题型二 已知一个数的平方根，求这个数 【精讲】（25-26七年级下·湖北省直辖县级单位·期中）按要求解答下列各题： (1)一个正数的两个平方根分别是和，求这个正数． (2)与都是的平方根，求的值． 【精练1】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）已知：实数a，b满足． (1)求a与b的值； (2)当一个正实数x的两个平方根分别为和时，求x的值． 【精练2】（25-26七年级下·湖南湘西·期中）已知：与是m的平方根，，c的算术平方根等于它本身； (1)求a，b，c，m的值； (2)求的平方根． 题型三 利用平方根解方程 【精讲】（25-26七年级下·江西上饶·期中）某地举办了“绘少年力量，画无烟未来”绘画大赛．米米想用一块面积为的正方形画布画上自己的参赛作品 (1)正方形画布的边长为________； (2)米米用铅笔打完草稿图发现画布有点大，想沿边裁出一块面积为的长方形画布，若使长方形画布的长、宽之比为，米米能用这块画布裁出符合要求的画布吗？若能，请帮米米设计一种裁剪方案；若不能，请简要说明理由． 【精练1】（25-26七年级下·江西上饶·期中）根据下表，解答下列问题： x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 (1)______；______；______； (2)的平方根是______；与最接近的整数是______； (3)为宣传保护环境的重要性，某学校计划制作一个如图所示的关于环境保护的长方形宣传栏，已知该长方形宣传栏的长是宽的1.5倍，其面积为，根据表格中提供的数据，求这个长方形宣传栏的长和宽的近似值．（结果均精确到） 【精练2】（25-26七年级下·广东江门·期中）下列命题：①两直线平行，同旁内角互补；②如果，那么；③经过一点有且只有一条直线平行于已知直线；④在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直．其中真命题的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型四 求一个数的算术平方根 【精讲】（25-26七年级下·云南昆明·期中）按一定规律排列的式子：，，，，，…第n个式子是（   ） A． B． C． D． 【精练1】（25-26七年级下·四川南充·期中）已知 的算术平方根是3， 的平方根是 ， 是的整数部分，求 的平方根． 【精练2】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）探究以下问题： (1)【特例探究】 _______，_______，______． (2)【规律总结】 对于实数a，当时，_______，当时，______． (3)【学以致用】 计算：． 题型五 利用算术平方根的非负性解题 【精讲】（25-26七年级下·重庆·期中）化简求值： 其中实数满足 【精练1】（25-26七年级下·河南驻马店·期中）防汛指挥部在某水域一危险地带的两岸各安置了一探照灯，便于夜间察看河水及两岸河堤的情况．如图1，探照灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，探照灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若探照灯射出的光束的转动速度是秒，探照灯射出的光束的转动速度是秒，且，满足．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且． (1)求，的值． (2)如图2，两探照灯同时开始转动，在探照灯射出的光束到达之前，两探照灯射出的光束交于点，若，求的度数． (3)若探照灯射出的光束先转动40秒，探照灯射出的光束才开始转动，在探照灯射出的光束第一次到达之前，当两探照灯的光束互相平行时，请直接写出探照灯转动的时间． 【精练2】（23-24七年级下·云南大理·期中）探究题：根据计算结果回答 (1)计算： ； ； ； ； ． (2)一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请用数学语言描述出来； (3)利用（2）题总结的规律计算： 利用你总结的规律计算，当时，的值． 题型六 估计算术平方根的取值范围 【精讲】（25-26七年级下·广东广州·期中）根据下表回答下列问题： x 10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 100 102.01 104.04 106.09 108.16 110.25 112.36 114.49 116.64 118.81 (1)112.36的算术平方根是_____，118.81的平方根是____； (2)若介于10.3与10.5之间，求满足条件的正整数a； (3)物体自由下落的时间t（单位：）与下落高度h（单位：）之间的关系是．现有一个物体从高空自由下落，则该物体到达地面大概需要多少时间？（结果精确到） 【精练1】（25-26七年级下·福建厦门·期中）小兴同学探索的近似值的过程如下： 面积为52的正方形的边长是，且， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小兴用①的形式求的近似值的过程如下： 因为，通过数形结合，可画出正方形的面积示意图：   ，因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得．所以． 【尝试探究】 (1)类比上述方法，用②的形式探究的近似值，并画出示意图．（结果保留2位小数）”； 【比较分析】 (2)请你判断：用哪种形式求的近似值的精确度更高，所得的结果更接近？并说明理由． 【精练2】（25-26七年级下·福建福州·期中）小榕用计算器计算了一些正数的平方，记录如下表： x 24.1 24.2 24.3 24.4 24.5 580.81 585.64 590.49 595.36 600.25 下面有四个推断： ①59049的平方根是； ②由表可知，介于24.2和24.3之间； ③若，且，则； ④若x满足，则满足条件的整数x共有5个． 以上推断合理的是______．（写出所有正确推断的序号） 题型七 与算术平方根有关的规律探索题 【精讲】（25-26七年级下·河北唐山·期中）阅读观察下列算式，探究规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： (1)计算：； (2)计算：； (3)按照你所发现的规律，猜想第个等式：（为正整数）=________． 【精练1】（25-26七年级下·广东广州·期中）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若，，，则（    ） A．130 B．1300 C．41.1 D．411 【精练2】（25-26七年级下·辽宁铁岭·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①， ②， ③， ④． (1)观察算式规律，计算______，______； (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律：______； (3)计算： 题型八 算术平方根的实际应用 【精讲】（25-26七年级下·山东临沂·期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间t s和下落高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从20m的高空落到地面的时间； (2)小明说物体从80m的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，他的说法正确吗？请说明理由 (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）＝10×物体质量（kg）×高度（m）．一个质量为的鸡蛋经过落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？你能得到什么启示？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 【精练1】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）为宣传旅游资源，某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为并为每一张卡片制作了一个特色封皮． A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮，请你通过计算，判断正方形卡片能否在不折叠的情况下全部装进长方形封皮中． 【精练2】（25-26七年级下·广西玉林·期中）如图，把图中两个面积分别为的小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形纸片如图． (1)如图所示的大正方形的边长为______． (2)王芳想沿着如图所示的大正方形边的方向剪出一个长方形，使剪出的长方形的长宽之比为，且面积为．她的想法可行吗？（请通过计算说明） (3)如图是由个边长为的小正方形组成的纸片，怎样把它剪拼成一个大正方形？请在图画出示意图． 题型九 与立方根有关的规律探索 【精讲】（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）探究某些数的算术平方根、立方根： (1)探究算术平方根：下面是探究1849的算术平方根的过程，请将运算过程补充完整： ①由，可以确定是______位数； ②由1849的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去1849后面的两位49得到数18，而，，那么1849的算术平方根可能是____________；因为，而，所以1849的算术平方根=____________． (2)请根据上述研究思路求103823的立方根，并写出完整的推理过程． 【精练1】（25-26七年级下·福建南平·期中）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求的立方根，华罗庚脱口而出：．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题： (1)已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是___________； 划去后面的三位得10， ， 的十位数字一定是___________； ___________． (2)在软件研发过程中，小明需要处理一个由体素（即体积像素）构成的三维正方体模型，已知该原始模型的体素总数为．为了优化计算性能，需将该模型进行等比例缩小，使其体素总数变为原始模型体素的，求缩小后该正方体模型的边长． 【精练2】（25-26七年级下·福建福州·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求，的值． 题型十 算术平方根和立方根的实际应用 【精讲】（25-26七年级下·广东江门·期中）综合与实践 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．明杰想知道华罗庚怎样迅速地求出计算结果，于是他按下面的步骤试了一试． 第一步：∵，，且， ∴，即59319的立方根是一个两位数； 第二步：∵59319的个位数字是9，而，∴能确定的个位数字是9； 第三步：如果划除59319后面的三位数，得到数59，而， ∴，∴， ∴59319的立方根的十位数字是3，∴59319的立方根是39． 根据上面的材料解答下面的问题： (1)填空：64的平方根是________，立方根是________； 1331的立方根是一个________位数，其个位数字是________； (2)仿照明杰的方法求238328的立方根． 【精练1】（25-26七年级下·陕西榆林·期中）升降阻车桩是一种安防设备，用于升降隔离车辆，实现交通管制和人车分流．某市在路口安装圆柱形的升降阻车桩，已知一个升降阻车桩的体积是，升降阻车桩的高是底面半径的6倍，求这个升降阻车桩的底面半径．（圆柱体积计算公式，是圆柱的高，是底面半径，取） 【精练2】（25-26七年级下·北京大兴·期中）某快递自取柜格口尺寸为，现有一个体积为的正方体纸箱，____将该纸箱完整地放入其中（填“能”或“不能”）． 题型十一 算术平方根和立方根的综合应用 【精讲】（25-26七年级下·广西百色·期中）已知正数的算术平方根是，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【精练1】（25-26七年级下·重庆江津·期中）按要求完成下列各题： (1)若一个正数的两个不同的平方根分别为和，求这个正数． (2)已知的立方根是，是的算术平方根，求的平方根． 【精练2】（25-26八年级上·广东梅州·月考）已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 题型十二 计算器-平方根和立方根 【精讲】（23-24七年级下·广东珠海·期末）有一个计算器，计算时屏幕显示的结果为1.7320508，从左往右数只有九位（包括小数点），现在想知道第十位的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个式子的值（    ） A． B． C． D． 【精练1】下列关于计算器的按键说法中，错误的是（   ） A．按键显示结果：2 B．按键显示结果：64 C．用计算器求的值时，按键顺序是 D．用计算器求的值时，按键顺序是 【精练2】某计算器上的三个按键、、的功能分别是：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的平方．小明输入一个数x后，依次按照如下图所示的三步循环重复按键，若第2021次按键后，显示的结果是4，则输入的数x是______． 【基础夯实 能力提升】 1．16的平方根是（    ） A．2 B． C．4 D． 2．面积的正方形，其边长为，其中a的值在（　　） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 3．（25-26七年级上·浙江金华·期末）下列计算结果错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）的平方根是，的立方根是2，则_______． 5．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）实数a、b在数轴上的位置如图，则＝______； 6．若一个正数的平方根是和，则这个正数是 _____． 7．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知与互为相反数，则的值是___________． 8．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）如图，小丽有一块长方形硬纸片，周长是，假设长为，宽为． (1)请用含x的式子表示y，则__________； (2)小丽沿虚线剪下一个面积为的正方形，请求出y的值． 9．（25-26七年级上·浙江台州·期末）已知的立方根是的算术平方根是3． (1)求的值； (2)求的平方根． 10．（25-26七年级上·浙江台州·期末）小斌对书本第页第题进行了改编，如下： 如图，一个瓶子的容积为，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满两个一样大的正方体容器（容器壁的厚度忽略不计）． 请解答下列问题： (1)瓶内溶液的体积是多少立方厘米？ (2)求正方体容器的棱长． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下： 甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值． 下列对甲、乙说法的判断正确的是（    ） A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，还有另一个值2 C．乙说得对，还有另一个值 D．两人说得都不对，应有个不同值 2．（25-26七年级上·山东泰安·期末）在下列结论中，正确的是（    ） A． B．是的一个平方根 C．一定没有平方根 D．的立方根是4 3．（25-26七年级上·河南周口·期末）如果四个有理数之和的平方是，其中三个数是，则第四个数是（    ） A．11 B．7 C．11或7 D．或 4．已知：，则_________． 5．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）据说，我国著名的数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求出它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座乘客很惊讶，忙问计算的奥妙．华罗庚是这样计算的： ①由，从而得出59319的立方根是一个两位数； ②由59319的个位数字是9，从而确定59319的立方根的个位数字是9； ③若划去59319后面的三位数319得到数59，而，从而确定59319的立方根的十位数字是3． 请你按照上面的方法确定110592的立方根为______．（说明：若，则a叫做b的立方根） 6．（24-25七年级下·重庆渝北·期末）求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是__________． 7．（25-26七年级上·山东威海·期末）计算： (1)； (2)． 8．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，七巧板是我国传统的智力玩具、七巧板虽然只有七块，但用它们可以拼出不同的图案．如图，小海和小曙利用的方格图（每个小正方形的边长均为），制作了一副七巧板、然后，将其中的块摆放成我们熟悉的几何图形（如图），它们分别是等腰直角三角形，平行四边形，等腰梯形． (1)直接写出④号正方形的面积和边长； (2)不求可以发现图中等腰直角三角形的周长为，请用含的代数式分别表示图中平行四边形、等腰梯形的周长，并判断小曙的发现是否正确． 9．先观察下列等式，再解答问题： ①； ②； ③． (1)根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证； (2)根据上面的规律，可得______； (3)请按照上面各等式反映的规律，试写出第个等式（为正整数），并加以验证． 10．阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ④； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． (2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版新教材数学七年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题02 平方根与立方根的运算『期末复习重难点专题培优』 【十二个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共56题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 求代数式的平方根 1 题型二 已知一个数的平方根，求这个数 3 题型三 利用平方根解方程 5 题型四 求一个数的算术平方根 8 题型五 利用算术平方根的非负性解题 10 题型六 估计算术平方根的取值范围 13 题型七 与算术平方根有关的规律探索题 16 题型八 算术平方根的实际应用 18 题型九 与立方根有关的规律探索 21 题型十 算术平方根和立方根的实际应用 26 题型十一 算术平方根和立方根的综合应用 28 题型十二 计算器-平方根和立方根 30 优选真题 实战演练 32 【基础夯实 能力提升】 32 【拓展拔尖 冲刺满分】 37 题型一 求代数式的平方根 【精讲】（24-25七年级上·全国·单元测试）已知． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，； (2)． 【思路引导】（）根据算术平方根由意义的条件可得，，即可得到，进而可得； （）把的值代入中求出的值，进而可求出它的平方根； 本题考查了算术平方根、平方根，掌握算术平方根、平方根的定义是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根是． 【精练1】（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【思路引导】根据算术平方根及平方根确定，，再由估算算术平方根的整数部分确定，将其代入代数式，然后计算平方根即可． 【规范解答】解：的算术平方根是5， ， 解得：． ∵的平方根是， ， 解得：． 是的整数部分，而， ， ， 的平方根为． 【考点剖析】此题题目主要考查算术平方根及平方根，估算算术平方根的整数部分，求代数式的平方根，熟练掌握这些基本运算是解题关键． 【精练2】（23-24七年级下·安徽淮南·月考）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失.在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长.每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和冰川消失后经过的时间近似地满足如下的关系式：.其中d代表苔藓的直径（单位：厘米）；t代表冰川消失后经过的时间（单位：年）. (1)计算冰川消失16年后苔藓的直径； (2)如果测得一些苔藓的直径是28厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 【答案】(1)冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米 (2)冰川约是在28年前消失的 【思路引导】本题考查了无理数的应用，已知字母的值求代数式的值，求一个数的算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，得，进行计算，即可作答． （2）理解题意，得，进行计算，即可作答． 【规范解答】（1）解：依题意，， 答：冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米． （2）解：依题意，， 解得：， 答：冰川约是在28年前消失的． 题型二 已知一个数的平方根，求这个数 【精讲】（25-26七年级下·湖北省直辖县级单位·期中）按要求解答下列各题： (1)一个正数的两个平方根分别是和，求这个正数． (2)与都是的平方根，求的值． 【答案】(1)9 (2)9或1 【思路引导】（1）根据平方根的定义得到，然后解方程即可； （2）根据题意分两种情况讨论，分别列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意可得， 解得， ∴这个正数是； （2）解：∵与都是的平方根， ∴当与不相等时， 解得， ∴； 当与相等时， 解得， ∴； 综上，的值为9或1． 【精练1】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）已知：实数a，b满足． (1)求a与b的值； (2)当一个正实数x的两个平方根分别为和时，求x的值． 【答案】(1) ， (2) 【思路引导】（1）根据算术平方根和平方的非负性，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，即可求出和的值； （2）根据正实数的两个平方根互为相反数，列出等式求出的值，再根据平方根的定义计算得到的值； 【规范解答】（1）解：，，且， ，， ∴，； （2）解：正实数的两个平方根分别为和， ， 将，代入得， 解得：， ． 【精练2】（25-26七年级下·湖南湘西·期中）已知：与是m的平方根，，c的算术平方根等于它本身； (1)求a，b，c，m的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)；；或；或 (2)或 【思路引导】（1）根据平方根定义列出关于x的方程，求出x的值，再求出m；根据非负数的性质求出a、b的值即可；根据算术平方根定义求出c的值即可； （2）先求出的值，再求平方根即可． 【规范解答】（1）解：∵与是m的平方根， ∴或， 解得：或， 当时，； 当时，； ∵， ∴，， 解得：，； ∵c的算术平方根等于它本身， ∴或； （2）解：当时，， ∵的平方根为， ∴此时的平方根为； 当时，， ∵4的平方根为， ∴此时的平方根为； 综上，的平方根为或． 题型三 利用平方根解方程 【精讲】（25-26七年级下·江西上饶·期中）某地举办了“绘少年力量，画无烟未来”绘画大赛．米米想用一块面积为的正方形画布画上自己的参赛作品 (1)正方形画布的边长为________； (2)米米用铅笔打完草稿图发现画布有点大，想沿边裁出一块面积为的长方形画布，若使长方形画布的长、宽之比为，米米能用这块画布裁出符合要求的画布吗？若能，请帮米米设计一种裁剪方案；若不能，请简要说明理由． 【答案】(1)25 (2)米米不能用这块画布裁出符合要求的画布，理由见解析 【思路引导】（1）设正方形画布的边长为．根据正方形的面积列方程，利用平方根的意义解方程即可； （2）设长方形画布的长为，则长方形画布的宽为，根据面积列方程，利用平方根的意义解方程即可． 【规范解答】（1）解：设正方形画布的边长为． 正方形画布的面积为， ， 解得（负值舍去）， 正方形画布的边长为． （2）解：不能．理由如下： 长方形画布的长、宽之比为， 设长方形画布的长为，则长方形画布的宽为， ， ， 解得（负值舍去）， 长方形画布的长为，宽为． ， 长方形画布的长大于正方形画布的边长， 米米不能用这块画布裁出符合要求的画布． 【精练1】（25-26七年级下·江西上饶·期中）根据下表，解答下列问题： x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 (1)______；______；______； (2)的平方根是______；与最接近的整数是______； (3)为宣传保护环境的重要性，某学校计划制作一个如图所示的关于环境保护的长方形宣传栏，已知该长方形宣传栏的长是宽的1.5倍，其面积为，根据表格中提供的数据，求这个长方形宣传栏的长和宽的近似值．（结果均精确到） 【答案】(1)15.6；158；； (2)；15； (3)这个长方形宣传栏的长约为，宽约为． 【思路引导】（1）根据表中数据结合算术平方根的特点求解即可； （2）求解，，再进一步求解即可； （3）设长方形宣传栏的宽是，则长是，可得，再进一步求解即可. 【规范解答】（1）解：由表格可知，， ； ， ∴, ； ， ∴， ． （2）解：∵， 的平方根是； ∵， ∴与最接近的整数是； （3）解：设长方形宣传栏的宽是，则长是， ∴， ∴， 结合表中数据可得：， ∴， ∴这个长方形宣传栏的长约为，宽约为． 【精练2】（25-26七年级下·广东江门·期中）下列命题：①两直线平行，同旁内角互补；②如果，那么；③经过一点有且只有一条直线平行于已知直线；④在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直．其中真命题的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】根据平行线的性质，平方根的定义，平行公理，垂线的性质，逐一判断每个命题的真假，统计真命题个数即可得到答案． 【规范解答】解：①两直线平行，同旁内角互补，原命题是真命题； ②如果，那么，原命题是假命题； ③经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线，原命题是假命题； ④在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，原命题是真命题； ∴真命题有①④，共2个． 题型四 求一个数的算术平方根 【精讲】（25-26七年级下·云南昆明·期中）按一定规律排列的式子：，，，，，…第n个式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】认真观察题干的式子，总结单项式的规律，即可作答． 【规范解答】解：第1个单项式为，即， 第2个单项式为， 第3个单项式为 ．．． 第n个单项式为， 【精练1】（25-26七年级下·四川南充·期中）已知 的算术平方根是3， 的平方根是 ， 是的整数部分，求 的平方根． 【答案】 【思路引导】根据算术平方根的定义求出a的值，再根据平方根的定义求出b的值，估算出的取值范围求出c的值，进而求出 的值，最后根据平方根的定义可得答案． 【规范解答】解：∵ 的算术平方根是3， ∴， ∴， ∵ 的平方根是， ∴，即， ∴； ∵， ∴， ∴的整数部分为3，即， ∴， ∴ 的平方根为． 【精练2】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）探究以下问题： (1)【特例探究】 _______，_______，______． (2)【规律总结】 对于实数a，当时，_______，当时，______． (3)【学以致用】 计算：． 【答案】(1)5，0，6 (2)a， (3) 【思路引导】（1）根据算术平方根的性质即可求出各数的值； （2）根据正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数，求解即可． （3）运用（2）得出的规律进行运算即可． 【规范解答】（1）解：，，． （2）解：根据算术平方根的非负性，， 当时，； 当时，． （3）解：∵，，，， ∴ ． 题型五 利用算术平方根的非负性解题 【精讲】（25-26七年级下·重庆·期中）化简求值： 其中实数满足 【答案】； 【规范解答】解： ， ，， . . 把 代入 可得： . 【精练1】（25-26七年级下·河南驻马店·期中）防汛指挥部在某水域一危险地带的两岸各安置了一探照灯，便于夜间察看河水及两岸河堤的情况．如图1，探照灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，探照灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若探照灯射出的光束的转动速度是秒，探照灯射出的光束的转动速度是秒，且，满足．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且． (1)求，的值． (2)如图2，两探照灯同时开始转动，在探照灯射出的光束到达之前，两探照灯射出的光束交于点，若，求的度数． (3)若探照灯射出的光束先转动40秒，探照灯射出的光束才开始转动，在探照灯射出的光束第一次到达之前，当两探照灯的光束互相平行时，请直接写出探照灯转动的时间． 【答案】(1) (2) (3)当或时，两探照灯的光束互相平行 【思路引导】（1）根据非负性，得到，，解方程组即可； （2）设A灯转动时间为t秒，则，，分别表示出的三个内角，利用平行线的判定和性质，计算即可． （3）设灯A转动了t秒时，两束光线平行，分类计算即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）解：过点C作，如图所示： ∵， ∴， 设A灯转动时间为t秒， 则，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴； （3）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行． ①当时， 由题意得， 解得； ②当时， 解得； ③当时， ， 解得（不合题意） 综上所述，当或时，两探照灯的光束互相平行． 【精练2】（23-24七年级下·云南大理·期中）探究题：根据计算结果回答 (1)计算： ； ； ； ； ． (2)一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请用数学语言描述出来； (3)利用（2）题总结的规律计算： 利用你总结的规律计算，当时，的值． 【答案】(1)，，，，， (2)不一定，； (3) ； 【思路引导】（1）根据数的算术平方根的计算可以求出各数的值； （2）结合（1）中计算可知不一定等于，并发现其中规律． （3）运用（2）得出的规律进行运算即可． 【规范解答】（1）解：，，， ，，； （2）解：由（1）可知，不一定等于，可发现规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数，即； （3）解： ， ； ∵， ∴， ∴． 题型六 估计算术平方根的取值范围 【精讲】（25-26七年级下·广东广州·期中）根据下表回答下列问题： x 10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 100 102.01 104.04 106.09 108.16 110.25 112.36 114.49 116.64 118.81 (1)112.36的算术平方根是_____，118.81的平方根是____； (2)若介于10.3与10.5之间，求满足条件的正整数a； (3)物体自由下落的时间t（单位：）与下落高度h（单位：）之间的关系是．现有一个物体从高空自由下落，则该物体到达地面大概需要多少时间？（结果精确到） 【答案】(1)； (2)或或或 (3) 【思路引导】（1）根据表格即可解答； （2）根据表格得到对应的的取值范围，即可解答； （3）将代入题中的式子，对比表格即可解答． 【规范解答】（1）解：根据表格可得112.36的算术平方根是，118.81的平方根是； （2）解：， ， 正整数a的值为或或或； （3）解：将代入可得， 根据表格可得， 答：该物体到达地面大概需要． 【精练1】（25-26七年级下·福建厦门·期中）小兴同学探索的近似值的过程如下： 面积为52的正方形的边长是，且， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小兴用①的形式求的近似值的过程如下： 因为，通过数形结合，可画出正方形的面积示意图：   ，因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得．所以． 【尝试探究】 (1)类比上述方法，用②的形式探究的近似值，并画出示意图．（结果保留2位小数）”； 【比较分析】 (2)请你判断：用哪种形式求的近似值的精确度更高，所得的结果更接近？并说明理由． 【答案】(1)示意图见解析， (2)①得出近似值的精确度更高，理由见解析 【思路引导】（1）根据，其中忽略不计，可得答案； （2）两种方法的近似值进行平方，与52比较即可判断． 【规范解答】（1）解：如图， ， 即， 因为比较小，将忽略不计， 所以， 即， 所以； （2）解：因为，， 且，， 所以①得出近似值的精确度更高． 【精练2】（25-26七年级下·福建福州·期中）小榕用计算器计算了一些正数的平方，记录如下表： x 24.1 24.2 24.3 24.4 24.5 580.81 585.64 590.49 595.36 600.25 下面有四个推断： ①59049的平方根是； ②由表可知，介于24.2和24.3之间； ③若，且，则； ④若x满足，则满足条件的整数x共有5个． 以上推断合理的是______．（写出所有正确推断的序号） 【答案】 ①②④ 【思路引导】根据表格给出的数据，结合平方根的性质逐一判断各推断即可. 【规范解答】解：①由表格可知，； ∴，即； 因此的平方根是，故①正确； ②由表格可知，，， ∵， ∴，故②正确； ③由表格可知，， ∴，即； ∴， ∵且， ∴，. ∴，故③错误； ④∵， ∴，即； 满足条件的整数为，共个，故④正确. 综上，合理的推断为①②④. 题型七 与算术平方根有关的规律探索题 【精讲】（25-26七年级下·河北唐山·期中）阅读观察下列算式，探究规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： (1)计算：； (2)计算：； (3)按照你所发现的规律，猜想第个等式：（为正整数）=________． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】观察给出的前4个等式，可以发现统一特征：第k个等式中，根号内的减数分子为，分母为，化简后的最终结果为． 【规范解答】（1）解：； （2）解：， ， ； （3）解：． 【精练1】（25-26七年级下·广东广州·期中）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若，，，则（    ） A．130 B．1300 C．41.1 D．411 【答案】C 【思路引导】先从表格中总结被开方数与算术平方根的小数点移动规律，再利用规律计算得到结果． 【规范解答】解：观察表格可得规律：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，其算术平方根的小数点向相同方向移动一位． ∵，即16.9的小数点向右移动两位得到1690， ∴ ． 【精练2】（25-26七年级下·辽宁铁岭·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①， ②， ③， ④． (1)观察算式规律，计算______，______； (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律：______； (3)计算： 【答案】(1)7，21 (2) (3) 【思路引导】（1）观察可知，一个正整数与比它大4的乘积与4的和的算术平方根等于这个正整数与2的和，据此可得答案； （2）根据（1）的规律可知答案； （3）根据（2）的规律把所求式子的每一项变形，再计算求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，， （2）解：①， ②， ③， ④， ……， 以此类推，可知； （3）解： ． 题型八 算术平方根的实际应用 【精讲】（25-26七年级下·山东临沂·期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间t s和下落高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从20m的高空落到地面的时间； (2)小明说物体从80m的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，他的说法正确吗？请说明理由 (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）＝10×物体质量（kg）×高度（m）．一个质量为的鸡蛋经过落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？你能得到什么启示？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 【答案】(1)2s (2)正确，理由见解析 (3)90J，启示：严禁高空抛物． 【思路引导】(1) 本题考查算术平方根的实际应用，直接将代入公式计算即可． (2) 通过计算时的下落时间，与(1)中结果比较即可判断． (3) 先由求出下落高度，再代入能量公式计算． 【规范解答】（1）解：当时， ， 物体从20m高空落到地面的时间为s． （2）解：小明的说法正确， 理由：当时， ， ， 从80m高空落到地面的时间是(1)中所求时间的2倍． （3）解：当时，， ， ， 能量， 这个鸡蛋在下落过程中产生的能量为， ， 足以伤害无防护人体， 启示：严禁高空抛物． 【精练1】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）为宣传旅游资源，某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为并为每一张卡片制作了一个特色封皮． A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮，请你通过计算，判断正方形卡片能否在不折叠的情况下全部装进长方形封皮中． 【答案】正方形卡片能在不折叠的情况下全部装进长方形封皮中 【思路引导】设长方形封皮的宽为，则长为，根据长方形封皮的面积为列出方程，求出，，然后求出正方形卡片的边长，进而比较求解即可． 【规范解答】解：∵长方形封皮的长与宽的比为， 设长方形封皮的宽为，则长为， 根据题意可列方程，即，，， ， ，，， 正方形卡片的面积为， 正方形卡片的边长为， ， 正方形卡片能在不折叠的情况下全部装进长方形封皮中． 【精练2】（25-26七年级下·广西玉林·期中）如图，把图中两个面积分别为的小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形纸片如图． (1)如图所示的大正方形的边长为______． (2)王芳想沿着如图所示的大正方形边的方向剪出一个长方形，使剪出的长方形的长宽之比为，且面积为．她的想法可行吗？（请通过计算说明） (3)如图是由个边长为的小正方形组成的纸片，怎样把它剪拼成一个大正方形？请在图画出示意图． 【答案】(1) (2)她的想法不可行，理由见解析； (3)见解析． 【思路引导】（1）根据题意得到大正方形面积，即可解决问题； （2）设长方形纸片的长为，宽为，根据面积为可得的值，则长为，即可得出结论； （3）一共有个小正方形，那么组成的大正方形的面积为，边长为，据此画出示意图即可． 【规范解答】（1）由题意得大正方形的面积为， 设小正方形的边长为， 则， ∴（舍去负值）， ∴大正方形的边长为； （2）设长方形纸片的长为，宽为． 依题意得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴不能剪出满足题意的长方形； （3）∵一共有个边长为的小正方形， ∴组成的大正方形的面积为， ∴该大正方形的边长为，示意图如下： 题型九 与立方根有关的规律探索 【精讲】（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）探究某些数的算术平方根、立方根： (1)探究算术平方根：下面是探究1849的算术平方根的过程，请将运算过程补充完整： ①由，可以确定是______位数； ②由1849的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去1849后面的两位49得到数18，而，，那么1849的算术平方根可能是____________；因为，而，所以1849的算术平方根=____________． (2)请根据上述研究思路求103823的立方根，并写出完整的推理过程． 【答案】(1)①两；②3或7；③43或47；43 (2)见解析 【思路引导】（1）根据所提供的方法进行计算即可；（2）按照（1）中的步骤和方法进行计解答即可． （1）①因为要确定算术平方根的位数，所以利用平方数的位数规律，通过对比已知的整十数、整百数的平方与1849的大小关系来判断． ②因为一个数的平方的个位数字由原数的个位数字决定，所以根据1849的个位数字，结合平方的个位特征来确定算术平方根的个位数字． ③因为要确定算术平方根的十位数字，所以划去后两位得到的数，对比相邻整数的平方，再结合给定的判断方法缩小范围，最终确定算术平方根． （2）因为求立方根的思路与求算术平方根类似，所以先利用立方数的位数规律确定立方根的位数；再根据立方数的个位数字特征确定立方根的个位数字；最后划去后三位得到的数，对比相邻整数的立方，结合类似的判断方法缩小范围确定十位数字，进而得到立方根． 【规范解答】（1）解：①∵，，且， ∴， ∴是两位数； ②∵1849的个位上的数是9，一个数平方后的数个位上为9的只有3和7， ∴的个位上的数是3或7； ③划去1849后面的两位49得到数18，而，， ∴十位上的数是4， ∴1849的算术平方根可能是43或47； ∵十位上的数是4，若个位上的数是7，需进位，，而， ∴个位上的数是3， ∴． （2）解： ，， 103823的立方根是两位数； 103823个位上的数字是3， 103823的立方根个位上的数字是7； 如果划去103823后面的三位“823”得到数103，而，， 由此可确定103823的立方根十位上的数字是4， 那么103823的立方根是47． 【精练1】（25-26七年级下·福建南平·期中）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求的立方根，华罗庚脱口而出：．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题： (1)已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是___________； 划去后面的三位得10， ， 的十位数字一定是___________； ___________． (2)在软件研发过程中，小明需要处理一个由体素（即体积像素）构成的三维正方体模型，已知该原始模型的体素总数为．为了优化计算性能，需将该模型进行等比例缩小，使其体素总数变为原始模型体素的，求缩小后该正方体模型的边长． 【答案】(1)2，2，22 (2)26 【思路引导】（1）根据立方数的个位数字规律和数的大小范围来逐步推导． （2）根据题意，先计算出缩小后模型的体素总数，然后利用（1）中学习的方法求其立方根，即可得到缩小后正方体模型的边长． 【规范解答】（1）解：已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是2； 划去后面的三位得10， ， 的十位数字一定是2； ． （2）解：缩小后模型的体素总数为， 设缩小后正方体模型的边长为， 所以， 因为， 所以是一个两位数， 因为，个位数字是， 所以的个位数字一定是， 划去后面的三位得， 因为， 所以的十位数字一定是， 所以． 答：缩小后该正方体模型的边长为． 【精练2】（25-26七年级下·福建福州·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求，的值． 【答案】(1) (2) (3) 或或 【思路引导】（1）依照题干中的解题思路求出； （2）由可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值； （3）根据可得，由立方根等于它本身的数有和，可得：或或，分别求出当或或时，的值，再根据与互为相反数，求出的值． 【规范解答】（1）解：，，， 是两位数， ， 的个位数字应是， 将的小数点向前移动后约为， ，， 的十位数字应为， ， 依据“负数的立方根是负数”得到：； （2）解：， ， 解得：； （3）解：， ， ， 或或， 或或， 当时，可得：， 与互为相反数， ， 解得：， 即； 当时，可得：， 与互为相反数， ， 即， 解得：， 即； 当时，可得：， 与互为相反数， ， 即， 解得：． 题型十 算术平方根和立方根的实际应用 【精讲】（25-26七年级下·广东江门·期中）综合与实践 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．明杰想知道华罗庚怎样迅速地求出计算结果，于是他按下面的步骤试了一试． 第一步：∵，，且， ∴，即59319的立方根是一个两位数； 第二步：∵59319的个位数字是9，而，∴能确定的个位数字是9； 第三步：如果划除59319后面的三位数，得到数59，而， ∴，∴， ∴59319的立方根的十位数字是3，∴59319的立方根是39． 根据上面的材料解答下面的问题： (1)填空：64的平方根是________，立方根是________； 1331的立方根是一个________位数，其个位数字是________； (2)仿照明杰的方法求238328的立方根． 【答案】(1)，，两，1 (2)的立方根是62 【思路引导】（1）先根据立方根和平方根的定义求解64的平方根和立方根，再根据范例推测立方根的位数，根据个位数推出立方根的个位数字． （2）按照题目提供的步骤，先确定238328的立方根是几位数，再根据238328的个位数推断立方根的个位数，最后通过范围界定确定立方根的十位数． 【规范解答】（1）解：∵ ∴64的平方根是，立方根是； ∵， ∴是个两位数， ∵， ∴个位数字是1， （2）解：∵，且， ∴ ∴的立方根是两位数； ∵的个位数字是8，而． ∴能确定的个位数字是2． 如果划去后面的三位数，得到数238，而． ∴， ∴， ∴， ∴的立方根的十位数字是6， ∴的立方根是62， 验证：． 【精练1】（25-26七年级下·陕西榆林·期中）升降阻车桩是一种安防设备，用于升降隔离车辆，实现交通管制和人车分流．某市在路口安装圆柱形的升降阻车桩，已知一个升降阻车桩的体积是，升降阻车桩的高是底面半径的6倍，求这个升降阻车桩的底面半径．（圆柱体积计算公式，是圆柱的高，是底面半径，取） 【答案】 【规范解答】解：设这个升降阻车桩的底面半径是，则高为， 由题意可得：． 解得． 答：这个升降阻车桩的底面半径是． 【精练2】（25-26七年级下·北京大兴·期中）某快递自取柜格口尺寸为，现有一个体积为的正方体纸箱，____将该纸箱完整地放入其中（填“能”或“不能”）． 【答案】 不能 【思路引导】根据正方体体积公式求出正方体的棱长，统一单位后比较棱长和格口最短边的大小，即可得出结论． 【规范解答】解：设正方体纸箱的棱长为， 根据题意得， 解得：， 换算单位得， 该自取柜格口的最短边长为， ， ∴不能将该纸箱完整地放入其中． 题型十一 算术平方根和立方根的综合应用 【精讲】（25-26七年级下·广西百色·期中）已知正数的算术平方根是，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2)± 【思路引导】（）根据平方根和立方根的定义可得，解方程即可得到答案； （）根据（）所求求出的值，再根据平方根的定义求解即可． 【规范解答】（1）解：根据题意可知，， ； （2）解： ， ， 的平方根为． 【精练1】（25-26七年级下·重庆江津·期中）按要求完成下列各题： (1)若一个正数的两个不同的平方根分别为和，求这个正数． (2)已知的立方根是，是的算术平方根，求的平方根． 【答案】(1) 1 (2) 【思路引导】本题考查了平方根和立方根的性质： （1）根据正数的两个不同的平方根互为相反数列方程求解； （2）根据立方根和算术平方根求出，代入代数式求解． 【规范解答】（1）解： 这个正数的其中一个平方根为， 这个正数为． （2）解：根据题意得， ， 解得； ， 的算术平方根为， 即， ， 的平方根为． 【精练2】（25-26八年级上·广东梅州·月考）已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 【答案】(1) (2)2 【思路引导】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，代数求值，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义． （1）根据算术平方根和立方根的定义，列出方程求出的值，再求a，b的值即可； （2）将a，b的值代入式子求值即可． 【规范解答】（1）解：根据是的算术平方根得，， 解得， ∴； 根据是的立方根得，， 解得， ∴； （2）解：将代入得， ． 题型十二 计算器-平方根和立方根 【精讲】（23-24七年级下·广东珠海·期末）有一个计算器，计算时屏幕显示的结果为1.7320508，从左往右数只有九位（包括小数点），现在想知道第十位的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个式子的值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】此题主要考查了数的规律，以及用计算器的计算开方，得出让第十位的数字出现，只有想办法减少计算器上数位的个数是解决问题的关键． 因为计算器只能显示9位（包括小数点），要想知道第十位的数字是什么，必须想办法让第十位的数字出现，即小数点前面应尽可能得去掉数据，使数位减少，从而让第十位的数据出现． 【规范解答】解：A、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意； B、，一共才8位，这样第十位的数字就会出现，故此选项符合题意； C、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意； D、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意； 故选：B． 【精练1】下列关于计算器的按键说法中，错误的是（   ） A．按键显示结果：2 B．按键显示结果：64 C．用计算器求的值时，按键顺序是 D．用计算器求的值时，按键顺序是 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了利用计算器进行有理数的相关运算，解题的关键是掌握科学计算器中各按键的功能． 根据计算器的按键对应的功能即可求解． 【规范解答】 解：A．按键显示结果：2，正确，不符合题意； B．按键显示结果：64，正确，不符合题意；     C．用计算器求的值时，按键顺序是，正确，不符合题意； D．用计算器求的值时，按键顺序是，故原选项错误，符合题意． 故选：D． 【精练2】某计算器上的三个按键、、的功能分别是：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的平方．小明输入一个数x后，依次按照如下图所示的三步循环重复按键，若第2021次按键后，显示的结果是4，则输入的数x是______． 【答案】 【思路引导】根据题意分别计算出第1、2、3、4、5、6步显示结果，从而得出数字的循环规律，利用周期规律求解可得． 【规范解答】解：由题意知第1步结果为x2， 第2步结果为， 第3步结果为=， 第4步结果为， 第5步结果为x2， 第6步计算结果为x， 第7步计算结果为x2， …… ∴运算的结果以x2，，，，x2，x六个数为周期循环， ∵2021÷6=336……5， ∴第2021步之后显示的结果为4，即x2=4， ∴输入的数x是±2， 故答案为：±2． 【考点剖析】本题考查了计算器，通过列举发现：答案按照x2，，，，x2，x六个数循环，这是解题的关键． 【基础夯实 能力提升】 1．16的平方根是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【思路引导】根据平方根的定义计算即可得到结果． 【规范解答】解：， 的平方根是． 2．面积的正方形，其边长为，其中a的值在（　　） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【答案】B 【思路引导】根据正方形面积公式得到边长，通过比较38与相邻两个完全平方数的大小，即可确定的取值范围． 【规范解答】解：∵正方形面积等于边长的平方， ∴， ∵边长为正数， ∴， 又∵，，且， ∴， 即， ∴的值在6和7之间． 3．（25-26七年级上·浙江金华·期末）下列计算结果错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查算术平方根、平方根与立方根的定义，需根据相关定义逐一判断选项正误． 【规范解答】解：∵算术平方根的定义为非负数的正的平方根，即表示的算术平方根，结果为非负 ∴是64的算术平方根，结果为8，而非，故B选项错误 ∵，符合算术平方根的相反数的计算，A选项正确 ∵表示64的平方根，结果为，C选项正确 ∵，∴，D选项正确 故选：B． 4．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）的平方根是，的立方根是2，则_______． 【答案】13 【思路引导】本题考查了平方根和立方根的定义． 根据平方根和立方根的定义，求出a和b的值，再计算它们的和即可． 【规范解答】解：∵的平方根是，的立方根是2， ∴，， 解得， 则． 故答案为：13． 5．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）实数a、b在数轴上的位置如图，则＝______； 【答案】 【思路引导】本题考查了二次根式的性质、立方根的性质及绝对值的化简，解题的关键是根据数轴确定a、b的符号与大小关系，结合相应性质去掉根号和绝对值符号． 由数轴得、，利用、及去掉根号与绝对值，再合并化简． 【规范解答】解：由数轴得，， ∴ ，，（∵ ）， 则 ． 故答案为：． 6．若一个正数的平方根是和，则这个正数是 _____． 【答案】 【思路引导】本题考查了平方根的应用，根据一个正数的两个平方根互为相反数列方程求出的值，再代入求出一个平方根，进而根据平方根求出这个正数即可，掌握平方根的性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵一个正数的平方根是和， ∴， 解得， ∴， ∴这个正数是， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知与互为相反数，则的值是___________． 【答案】 【思路引导】本题考查相反数的定义以及非负数的性质，根据互为相反数的两个数之和为 0 列出方程，化简后利用平方项和算术平方根的非负性求解即可． 【规范解答】解：由题意得：， ∴ ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）如图，小丽有一块长方形硬纸片，周长是，假设长为，宽为． (1)请用含x的式子表示y，则__________； (2)小丽沿虚线剪下一个面积为的正方形，请求出y的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了列代数式，代数式求值，求一个数的算术平方根． （1）根据长方形周长公式计算即可； （2）根据正方形面积公式求出x的值，代入计算即可． 【规范解答】（1）∵小丽有一块长方形硬纸片，周长是，假设长为，宽为， ∴， 即， 故答案为：； （2）∵小丽沿虚线剪下一个面积为的正方形， ∴， 即， ∴． 9．（25-26七年级上·浙江台州·期末）已知的立方根是的算术平方根是3． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】此题考查了立方根和平方根的定义，熟练掌握立方根和平方根的求法是关键． （1）根据立方根和算术平方根的定义进行计算即可； （2）先求出代数式的值，再计算平方根即可． 【规范解答】（1）解：由题意，得， ， 解得：； （2）解：， ∴的平方根是． 10．（25-26七年级上·浙江台州·期末）小斌对书本第页第题进行了改编，如下： 如图，一个瓶子的容积为，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满两个一样大的正方体容器（容器壁的厚度忽略不计）． 请解答下列问题： (1)瓶内溶液的体积是多少立方厘米？ (2)求正方体容器的棱长． 【答案】(1)立方厘米； (2)厘米． 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用以及立方根的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程． （1）设瓶内溶液的体积为，则空余部分的体积为，根据瓶子的容积为，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设正方体的棱长为厘米，根据题意列出方程，解之即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设瓶内溶液的体积为，则空余部分的体积为， 依题意，得：， 解得：． ， 答：瓶内溶液的体积为立方厘米． （2）解：设正方体的棱长为厘米， 据题意，得：， 解得：， 答：正方体容器的棱长为厘米． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下： 甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值． 下列对甲、乙说法的判断正确的是（    ） A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，还有另一个值2 C．乙说得对，还有另一个值 D．两人说得都不对，应有个不同值 【答案】D 【思路引导】本题考查了立方根的定义．本题可通过换元法，利用立方根的定义求解方程，再判断甲、乙的说法是否正确． 【规范解答】解：设，则原方程变为． ∵一个数的立方根等于它本身的数是、、． ∴分三种情况讨论： ①当时，，解得． ②当时，，解得． ③当时，，解得． ∴的值为、、，共3个不同值． ∴甲、乙两人的说法都不对． 故选：D． 2．（25-26七年级上·山东泰安·期末）在下列结论中，正确的是（    ） A． B．是的一个平方根 C．一定没有平方根 D．的立方根是4 【答案】B 【思路引导】本题考查平方根和立方根的概念，需根据算术平方根的定义（非负性）、立方根的定义和平方根的性质判断每个选项． 【规范解答】解：选项A，∵，算术平方根结果非负，∴A错误； 选项B，∵，∴是的一个平方根，∴B正确； 选项C，∵当时，，有平方根，∴C错误； 选项D，∵，而的立方根为，∴D错误； 故选：B． 3．（25-26七年级上·河南周口·期末）如果四个有理数之和的平方是，其中三个数是，则第四个数是（    ） A．11 B．7 C．11或7 D．或 【答案】C 【思路引导】通过设未知数，利用平方根的定义分情况列一元一次方程求解即可． 【规范解答】解：设第四个数为， ∵ 四个有理数之和的平方是， ∴ 四个有理数之和为或， ① 当四个数之和为时，，解得； ② 当四个数之和为时，，解得； ∴ 第四个数是11或7． 4．已知：，则_________． 【答案】 【思路引导】根据非负数的性质得，再代入计算即可． 【规范解答】解：根据题意得，， 解得， 所以，． 5．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）据说，我国著名的数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求出它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座乘客很惊讶，忙问计算的奥妙．华罗庚是这样计算的： ①由，从而得出59319的立方根是一个两位数； ②由59319的个位数字是9，从而确定59319的立方根的个位数字是9； ③若划去59319后面的三位数319得到数59，而，从而确定59319的立方根的十位数字是3． 请你按照上面的方法确定110592的立方根为______．（说明：若，则a叫做b的立方根） 【答案】48 【思路引导】本题主要考查了乘方运算，立方根的意义，本题是阅读型，熟练掌握题干中的方法和立方根的意义是解题的关键． 利用题干中的方法分步解答即可． 【规范解答】解：∵，从而得出110592的立方根是一个两位数； 又∵110592的个位数字是2，从而确定110592的立方根的个位数字是8； 划去110592后面的三位数592得到数110，而，，从而确定110592的立方根的十位数字是4． ∴110592的立方根为48． 故答案为：48． 6．（24-25七年级下·重庆渝北·期末）求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是__________． 【答案】68 【思路引导】本题考查立方根，根据题意所给方法确定314432的立方根是个两位数，再确定个位、十位上的数，即可解答． 【规范解答】解：， 又， ， ∴能确定314432的立方根是个两位数． 314432的个位数是2， 又， ∴能确定314432的立方根的个位数是8． 划去314432后面的三位432得到数314，而，则， 可得，由此能确定314432的立方根的十位数是6， 因此314432的立方根是68， 故答案为68． 7．（25-26七年级上·山东威海·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了实数的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． （）先化简算术平方根，立方根，再计算加减法即可； （）先化简立方根，算术平方根，化简绝对值，再计算加减法即可． 【规范解答】（1）解： ； ； （2）解： ． 8．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，七巧板是我国传统的智力玩具、七巧板虽然只有七块，但用它们可以拼出不同的图案．如图，小海和小曙利用的方格图（每个小正方形的边长均为），制作了一副七巧板、然后，将其中的块摆放成我们熟悉的几何图形（如图），它们分别是等腰直角三角形，平行四边形，等腰梯形． (1)直接写出④号正方形的面积和边长； (2)不求可以发现图中等腰直角三角形的周长为，请用含的代数式分别表示图中平行四边形、等腰梯形的周长，并判断小曙的发现是否正确． 【答案】(1)； (2)小曙的发现是正确的，图中等腰直角三角形、平行四边形、等腰梯形的周长相等 【思路引导】本题是考查代数式的表达及化简，以及代数式与几何图形的面积和周长结合的综合问题．根据等腰直角三角形、正方形面积计算公式，利用等量代换思想，用代数式表示出面积，是解题的关键． （1）根据图中图形的面积关系，得到④号正方形的面积和①号三角形的面积的关系，计算出④号正方形的面积和边长． （2）根据图中边长的关系，用含的代数式表达图中平行四边形的周长和等腰梯形的周长，即可证明结论． 【规范解答】（1）解：∵③④⑤号图形的面积的和与①号三角形的面积相等，③⑤号三角形的面积和与④号正方形的面积相等， ∴④号正方形的面积 ①号三角形的面积， ∵①号三角形的面积为：， ∴④号正方形的面积， ∵④号正方形的面积， ∴边长； （2）解：图中平行四边形的周长为：， 图中等腰梯形的周长为：， ∴小曙的发现是正确的，图中等腰直角三角形、平行四边形、等腰梯形的周长相等. 9．先观察下列等式，再解答问题： ①； ②； ③． (1)根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证； (2)根据上面的规律，可得______； (3)请按照上面各等式反映的规律，试写出第个等式（为正整数），并加以验证． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)，见解析 【思路引导】本题考查了与算术平方根有关的规律探究问题，根据例子找出其中的数字变化的规律是解题的关键． （1）由已知的等式可以发现：等式的左边被开方数都是加连续两个自然数平方的倒数和的形式，中间的算式都是第一个加数是，第二个加数是两个连续自然数中第一个数的倒数，第三个加数是两个连续自然数中第二个数的负倒数，右边的结果都为整数部分是，分数部分的分子为，分母为两个连续自然数的积，据此可得答案； （2）根据（1）的分析写出等式即可； （3）用字母表示第一个自然数，然后根据（1）的分析写出反映规律的等式，再验证即可． 【规范解答】（1）解：∵； ； ， ， ∴， 左边 右边； （2）解：， 故答案为：； （3）解：按照上面各等式反映的规律：． 左边 右边． 10．阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ④； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． (2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了立方根、算术平方根的应用，解一元一次方程，观察并总结规律是解题的关键． （1）用含、的式子表达规律即可得答案； （2）根据题意列出一元一次方程，解方程求出的值即可,进而求得算术平方根，即可． 【规范解答】（1）解：由规律可得：对于任意两个有理数、，若，则， 故答案为：． （2）解：若与的值互为相反数，则， 解得：． ∴ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $