专题03 平方差公式与完全平方公式的计算、证明与应用【期末复习重难点专题培优八大题型】-2025-2026学年数学苏科版七年级下册

**基本信息** 聚焦平方差与完全平方公式，通过8类高频易错题型讲练（含精讲+精练）及44题真题实战，构建“代数运算-几何验证-变形应用”三阶方法体系，强化运算能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |公式运算与几何应用|8题型+44题|代数运算（直接展开、变形求值）、几何验证（面积法推导公式）、综合应用（字母系数求解、混合运算）|从公式直接运算到几何直观验证，再到变形求值与综合应用，形成“概念-推导-应用”递进链条，突出运算能力与推理意识|

2025-2026学年苏科版新教材数学七年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题03 平方差公式与完全平方公式的计算、证明与应用 『期末复习重难点专题培优』 【8个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共44题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 运用平方差公式进行运算 1 题型二 平方差公式与几何图形 3 题型三 运用完全平方公式进行运算 4 题型四 通过对完全平方公式变形求值 6 题型五 完全平方公式在几何图形中的应用 8 题型六 求完全平方式中的字母系数 10 题型七 完全平方式在几何图形中的应用 12 题型八 整式的混合运算 14 优选真题 实战演练 15 【基础夯实 能力提升】 15 【拓展拔尖 冲刺满分】 17 题型一 运用平方差公式进行运算 【精讲】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【精练1】（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将剩余部分拼成图2长方形． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）； A．；B． (2)利用你得到的公式，计算下列各式： ①； ②． 【精练2】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）在学习平方差公式时，小明发现：两个连续偶数的平方差有一些有趣的结论．他定义：如果一个正整数N可以写成的形式（其中为正整数），则称N为“双偶平方差数”，称为的“序数”．例如，当时，，所以是双偶平方差数，序数为． (1)下列各数是双偶平方差数的是 ；（填序号）                             (2)小明猜想：任意一个双偶平方差数都能被整除．请帮助小明证明他的猜想； (3)设两个双偶平方差数和的序数分别为和（、为正整数）． 若，，求和的值； 若可表示为的形式，其中，．已知，求和的值． 题型二 平方差公式与几何图形 【精讲】（25-26七年级下·江苏盐城·期中）数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是________．（请填上正确的序号，可多选） 【精练1】（25-26七年级下·江苏盐城·期中）综合与实践 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作可以得到一个公式：________； (2)利用你得到的公式，计算：； (3)计算：． 【精练2】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）【探究】若满足，求的值． 设，， 则，， ∴； 【应用】请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若满足，则的值为________； (2)若满足，则的值为________． (3)【拓展】已知正方形的边长为，，分别是，上的点，且，，长方形的面积是24，分别以、为边作正方形． ①________，________；（用含的式子表示） ②求阴影部分的面积． 题型三 运用完全平方公式进行运算 【精讲】（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，有A，B，C三种类型的卡片． (1)选取1张A型卡片，2张B型卡片，1张C型卡片，恰好拼成一个大正方形． ①请画出所拼大正方形的示意图； ②通过用不同方法表示大正方形的面积，可得到乘法公式为_________． (2)若用若干张A，B，C卡片（每种类型的卡片至少一张），恰好拼成一个大正方形，则使用的所有卡片的张数之和一定是一个完全平方数．请说明理由． 【精练1】（24-25八年级上·吉林长春·期中）在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题．比如，运用两数和的完全平方公式，能够在三个代数式，，中，已知其中任意两个代数式的值时，求出第三个代数式的值．例如：已知，，求的值． 解：将两边同时平方，得， 即， 因为， 等量代换，得， 所以． 请根据以上信息，解答下列问题． (1)已知，，求的值； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a，b，若，，求图中阴影部分的面积； (3)若，则的值为多少？ 【精练2】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）我国古代数学的许多创新与发展都居世界前列，其中杨辉三角就是一例．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律．我们称这个三角形为“杨辉三角”，此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律． (1)补充完整的展开式：______； (2)的展开式中共有______项，所有项系数的和为______； (3)利用上面的规律计算：． (4)此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期三，再过天还是星期三，那么再过天是星期______． 题型四 通过对完全平方公式变形求值 【精讲】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，，所以，， 所以，得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，，求的值； (3)若，求的值． 【精练1】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）小亮和小红学习了课本页的“探索研究”了解到：两个连续奇数的平方差是的倍数．那么两个连续偶数的平方差会不会也是某个整数的倍数？ 【猜想】 (1)小红先列举了几个例子：___________，…… 小亮在此基础上进行了猜想：两个连续偶数的平方差是的倍数，请你帮助小亮完成证明． 【证明】： 【延伸】 (2)任意两个偶数的平方差是不是也是的倍数？ 请帮助小亮从“数”的角度说明理由； (3)小红看到如图所示的正方形景观广场的地砖，最中心的灰色地砖称为第层，它外面的一圈白色地砖称为第层，再外面一圈灰色地砖称为第层，以此类推．她统计了地砖的数量，发现了一些规律； 请结合小红的发现从“形”的角度说明理由． 【应用】 (4)若为正整数，且大于，若可以表示成两个偶数的平方差，求的最小值． 【精练2】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）材料一：对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图1，可以得到 ． 材料二：已知，，求的值． 解：，， 请你根据上述信息解答下面问题： (1)写出图中所表示的数学等式__________________； (2)已知，，求的值； (3)若，，求的值； (4)现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图，已知点为的中点，连接、，将乙纸片放到甲的内部得到图，已知图3中阴影部分的面积为，图4中阴影部分的面积为，求甲、乙两个正方形的面积之和． 题型五 完全平方公式在几何图形中的应用 【精讲】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图1所示，长为，宽为（其中为正数）的小长方形纸片．现有8张这样的小长方形纸片，把其中的4张按如图2所示的方式不重叠地放在一个正方形内，另外的4张按如图3所示的方式不重叠地放在一个长方形内．设正方形面积为，长方形面积为． (1)正方形的面积为__________，长方形的面积为__________（用含的代数式表示）； (2)是否存在正数，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (3)试比较与的大小． 【精练1】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．请根据以上信息，解答下列问题： (1)已知，，求的值； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a、b，若，，求图中阴影部分的面积； (3)若，则的值为______． 【精练2】（25-26七年级下·江苏连云港·期中）【课本探究】 在第八章《整式乘法》章头图的探究活动中得到：对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得出一个数学等式． 【归纳证明】 (1)如图1所示的大正方形，是由边长为的大正方形、边长为的小正方形和两个长为、宽为的长方形构成，用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是___________； 【能力提升】 (2)若满足，求的值； 【实际应用】 (3)如图2，已知数轴上，，，表示的数分别是、、，以为边作正方形，以为边作正方形，延长交于．若正方形与正方形面积的和为，求长方形的面积； (4)图3中涂色部分是直角边长为，，斜边长为的个直角三角形．请问，，，存在怎样的数量关系，试说明理由． 题型六 求完全平方式中的字母系数 【精讲】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）对于任意四个有理数a、b、c、d，可以组成两个有理数对与．我们规定：； 例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数k的值： (2)若，且，求的值： (3)在（2）的条件下，长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 【精练1】（23-24八年级上·广西南宁·阶段检测）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【精练2】（24-25七年级下·四川成都·期中）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数k的值； (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点E、G分别在边、上，连接、、、若，，，，求图中阴影部分的面积． 题型七 完全平方式在几何图形中的应用 【精讲】（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2) ；若是完全平方式，则 ； (3)若有理数m、n满足，且． ① 求的值； ② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．    【精练1】（23-24七年级下·福建漳州·期中）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块相同的小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．      (1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1：__________________． 方法2：__________________． 请写出代数式：，之间的等量关系是______． (2)许多代数等式可以用图形的面积来表示．直接写出图3的面积所表示的代数等式； (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：已知，是负整数，求的值． 【精练2】完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，所以，即：， 又因，所以 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：    (1)若，，则的值为______； (2)拓展：若，则______． (3)应用：如图，在长方形中，，，点E、F是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为160，求图中阴影部分的面积和． 题型八 整式的混合运算 【精讲】（25-26七年级下·江苏镇江·期中）计算： (1) ； (2) (3) (4) 【精练1】（25-26七年级下·江苏泰州·月考）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【精练2】对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数k的值： (2)若，且，求的值： (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 【基础夯实 能力提升】 1．下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 2．下列不能用平方差公式运算的是（  ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若，，则______． 5．已知，则的值为_______． 6．如图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分、分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 =__________． 7．（1）计算： (1) (2) (3) 8．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）已知和为有理数，现规定一种新的运算符号，定义，例如：，请根据符号的意义解决下列问题： (1)的值为_____________； (2)若是一个完全平方式，则_____________； (3)已知，且，求的值． 9．数学课上，楚老师出了这样一道题：已知，，求代数式的值，小明觉得直接代入计算太繁了，请你来帮他解决，并写出具体过程． 10．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）【规律探索】 如图，观察上述各图形，我们会发现： 图1空白部分小正方形的个数是， 图2空白部分小正方形的个数是， 图3空白部分小正方形的个数是． （1）像这样继续排列下去，请写出第6幅图对应的算式：_______． （2）请再写出第n幅图对应的算式：_______（用含有字母n的算式表示，其中n为正整数） 【问题解决】 （3）______． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（   ） A． B． C． D． 2．如图，用四个完全一样的长、宽分别为的长方形纸片围成一个大正方形，中间是空的小正方形．若，，判断以下关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图1，I是边长为的正方形纸片，II是边长为的正方形纸片，III是长为，宽为的长方形纸片（），将I，III按图2所示的方式放入纸片II内，若图2中两块阴影部分的面积分别为和，若要求的值，只需要知道（   ）的值 A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“美好数”．如：，，则8，16均为“美好数”，在不超过2025的正整数中，所有的“美好数”之和的末尾数字为______． 5．（24-25七年级下·江苏南京·期末）若，，则______（用含有m，n的式子表示，结果需化简） 6．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知方程组，则______． 7．如图，是一个正方体的展开图，标注字母“a”的面是正方体的正面．如果正方体相对两个面上的代数式的值相等，试求代数式： (1)； (2)的值． 8．用乘法公式计算： (1)； (2)． 9．（23-24七年级下·江苏常州·期末）通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． （1）【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是，则相邻一边长是． ①当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形的一边长是，相邻一边长是______．如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、、满足的等量关系是______； ②当时，类似上述过程进行割补； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______； （2）【方法迁移】 当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值． 10．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）阅读理解并解答：在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？ 【初步思考】 同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： 解： 因为， 所以． 所以当时，的值最大，最大值是0. 所以当时，的值最大，最大值是4. 所以的最大值是4 【尝试应用】 (1)求代数式的最大值，并写出相应的的值． (2)已知，，请比较与的大小，并说明理由． 【拓展提高】 (3)将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有无最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度；若没有，请说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版新教材数学七年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题03 平方差公式与完全平方公式的计算、证明与应用 『期末复习重难点专题培优』 【8个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共44题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 运用平方差公式进行运算 1 题型二 平方差公式与几何图形 4 题型三 运用完全平方公式进行运算 8 题型四 通过对完全平方公式变形求值 11 题型五 完全平方公式在几何图形中的应用 16 题型六 求完全平方式中的字母系数 20 题型七 完全平方式在几何图形中的应用 24 题型八 整式的混合运算 29 优选真题 实战演练 33 【基础夯实 能力提升】 33 【拓展拔尖 冲刺满分】 38 题型一 运用平方差公式进行运算 【精讲】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【思路引导】先利用完全平方公式、单项式乘多项式法则、平方差公式分别展开原式中的各项，再合并同类项进行化简，最后将给定的、的值代入化简后的式子计算结果． 【规范解答】解： ， 当，时，原式． 【精练1】（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将剩余部分拼成图2长方形． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）； A．；B． (2)利用你得到的公式，计算下列各式： ①； ②． 【答案】(1)B (2)①1；②5050 【思路引导】（1）根据图1和图2的①②面积之和相等即可得到等式； （2）利用平方差公式进行计算即可； 【规范解答】（1）解：图1的①②面积之和为，图2的①②面积之和为， 因此验证的等式是． （2）解：① ； ② ． 【精练2】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）在学习平方差公式时，小明发现：两个连续偶数的平方差有一些有趣的结论．他定义：如果一个正整数N可以写成的形式（其中为正整数），则称N为“双偶平方差数”，称为的“序数”．例如，当时，，所以是双偶平方差数，序数为． (1)下列各数是双偶平方差数的是 ；（填序号）                             (2)小明猜想：任意一个双偶平方差数都能被整除．请帮助小明证明他的猜想； (3)设两个双偶平方差数和的序数分别为和（、为正整数）． 若，，求和的值； 若可表示为的形式，其中，．已知，求和的值． 【答案】(1) (2)见解析； (3) ，；，； ，． 【思路引导】（1）根据“双偶平方差数”的定义求解即可； （2）根据“双偶平方差数”的定义即可证明猜想； （3）根据已知可得，或，即可得和的值；由（2）知，，可得，结合已知，可得和的值，即可得和的值． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴和是双偶平方差数， ∵，（为正整数） ∴“双偶平方差数”必为偶数， ∴不是“双偶平方差数”． （2）解：， ∵是整数， ∴能被整除． （3）解：∵两个双偶平方差数和的序数分别为和（、为正整数）， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 由，解得， 由，解得， ∴，；，． 由（2）知，， 则． ∵，且，， ∴． ∴， ∴， 解得，， ∴，． 题型二 平方差公式与几何图形 【精讲】（25-26七年级下·江苏盐城·期中）数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是________．（请填上正确的序号，可多选） 【答案】①②③ 【思路引导】通过分别计算三种拼法中拼接前、后阴影部分的面积，利用面积相等来验证平方差公式． 【规范解答】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积，右边图形中阴影部分的面积， 故可得：，可以验证平方差公式； 在图②中，左边阴影部分的面积，右边阴影部分面积， 可得：，可以验证平方差公式； 在图③中，左边阴影部分的面积，右边阴影部分面积， 可得：（，可以验证平方差公式． 【精练1】（25-26七年级下·江苏盐城·期中）综合与实践 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作可以得到一个公式：________； (2)利用你得到的公式，计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2)1 (3) 【思路引导】（）求出图的剩余面积、图的面积即可求解； （）利用（）中公式即可求解； （）利用（）中公式即可求解； 【规范解答】（1）解：图剩余面积为面积为，图面积为， 则上述操作可以得到一个公式：． （2）解：由（）得： ； （3）解： ． 【精练2】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）【探究】若满足，求的值． 设，， 则，， ∴； 【应用】请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若满足，则的值为________； (2)若满足，则的值为________． (3)【拓展】已知正方形的边长为，，分别是，上的点，且，，长方形的面积是24，分别以、为边作正方形． ①________，________；（用含的式子表示） ②求阴影部分的面积． 【答案】(1)5 (2)13 (3)①，；②20 【思路引导】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析． （1）设，根据已知等式确定出所求即可； （2）设，得到，根据完全平方公式变形计算即可； （3）①设正方形边长为x，进而根据图象可以表示出与； ②根据，阴影部分面积，运用题中方法求出阴影部分面积即可． 【规范解答】（1）解：设， 则， ； （2）解：设， 则， ； ∵ ； （3）①∵四边形是长方形、、，四边形是正方形、 ， ，； ②∵长方形的面积是 24， ， 阴影部分面积， 设， 则， ， ， 又， ， ． 即阴影部分的面积是 20． 题型三 运用完全平方公式进行运算 【精讲】（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，有A，B，C三种类型的卡片． (1)选取1张A型卡片，2张B型卡片，1张C型卡片，恰好拼成一个大正方形． ①请画出所拼大正方形的示意图； ②通过用不同方法表示大正方形的面积，可得到乘法公式为_________． (2)若用若干张A，B，C卡片（每种类型的卡片至少一张），恰好拼成一个大正方形，则使用的所有卡片的张数之和一定是一个完全平方数．请说明理由． 【答案】(1)①见详解；② (2)理由见详解 【思路引导】（1）结合三种卡片的数量以及每种卡片的面积即可求解； （2）先假设拼接后大正方形的边长，然后利用乘法公式确定大正方形的面积，再结合三种卡片的面积即可确定所需每种卡片的数量，继而求解． 【规范解答】（1）解：①所拼大正方形的示意图如图所示： ②． （2）解：设拼接后的大正方形的边长为，则大正方形的面积为 ． 因为1张A型卡片的面积为，1张B型卡片的面积为，1张C型卡片的面积为， 所以拼接后的大正方形包含了张A型卡片，张B型卡片，张C型卡片, 所以使用的所有卡片的张数之和为，即它是一个完全平方数． 【精练1】（24-25八年级上·吉林长春·期中）在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题．比如，运用两数和的完全平方公式，能够在三个代数式，，中，已知其中任意两个代数式的值时，求出第三个代数式的值．例如：已知，，求的值． 解：将两边同时平方，得， 即， 因为， 等量代换，得， 所以． 请根据以上信息，解答下列问题． (1)已知，，求的值； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a，b，若，，求图中阴影部分的面积； (3)若，则的值为多少？ 【答案】(1)8 (2)22 (3)13 【思路引导】（1）根据完全平方公式变形，再将，代入即可求解； （2）根据题意得出图中阴影部分的面积，再根据完全平方公式变形求出的值，即可求解； （3）令，，则，，根据计算即可． 【规范解答】（1）解： ，，， ， 解得； （2）解：由图可得，阴影部分的面积， ，， ， 阴影部分的面积； （3）解：令，， 则，， ． 【精练2】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）我国古代数学的许多创新与发展都居世界前列，其中杨辉三角就是一例．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律．我们称这个三角形为“杨辉三角”，此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律． (1)补充完整的展开式：______； (2)的展开式中共有______项，所有项系数的和为______； (3)利用上面的规律计算：． (4)此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期三，再过天还是星期三，那么再过天是星期______． 【答案】(1)，验证见解析 (2)， (3) (4)四 【思路引导】（1）根据题目所给式子可写出的展开式，然后改写成，计算即可验证； （2）由“杨辉三角”归纳的项数与所有项的系数和的规律即可； （3）根据“杨辉三角”的规律解答即可； （4）根据规律得出，可得除以的余数为，即可得答案． 【规范解答】（1）解：由题意得，，验证如下： ． （2）解：的展开式有项，所有系数的和为， 的展开式有项，所有系数的和为， 的展开式有项，所有系数的和为， 的展开式有项，所有系数的和为， …… ∴的展开式有项，所有系数的和为， ∴的展开式有项，所有系数的和为． （3）解：由“杨辉三角”的规律得，． （4）解：由“杨辉三角”的规律得（、…是常数）， ∵能被整除， ∴除以的余数为， ∴再过天是星期四． 题型四 通过对完全平方公式变形求值 【精讲】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，，所以，， 所以，得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）根据完全平方公式，进行运算，即可求解； （2）根据完全平方公式，进行运算，即可求解； （3）根据多项式乘多项式求得，再将原式利用完全平方公式展开，整体代入求解即可． 【规范解答】（1）解：，， ，即， ； （2）解：，， ，即， ， ， ， ，即， ； （3）解：， ， ， ． 【精练1】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）小亮和小红学习了课本页的“探索研究”了解到：两个连续奇数的平方差是的倍数．那么两个连续偶数的平方差会不会也是某个整数的倍数？ 【猜想】 (1)小红先列举了几个例子：___________，…… 小亮在此基础上进行了猜想：两个连续偶数的平方差是的倍数，请你帮助小亮完成证明． 【证明】： 【延伸】 (2)任意两个偶数的平方差是不是也是的倍数？ 请帮助小亮从“数”的角度说明理由； (3)小红看到如图所示的正方形景观广场的地砖，最中心的灰色地砖称为第层，它外面的一圈白色地砖称为第层，再外面一圈灰色地砖称为第层，以此类推．她统计了地砖的数量，发现了一些规律； 请结合小红的发现从“形”的角度说明理由． 【应用】 (4)若为正整数，且大于，若可以表示成两个偶数的平方差，求的最小值． 【答案】(1)，两个连续偶数的平方差是的倍数，见解析 (2)任意两个偶数的平方差是的倍数，见解析 (3)任意两个偶数的平方差都对应着若干圈地砖的数量，每圈砖的数量都是的倍数，见解析 (4) 【思路引导】（1）利用代数式表示连续的偶数，并通过平方差公式化简证明； （2）利用代数式表示两个偶数，并通过平方差公式化简证明； （3）观察图形中地砖数量的变化规律，结合面积与边长的关系进行解释； （4）根据若可以表示成两个偶数的平方差，可得 是的倍数，设（为整数），当时，即时，可得的最小值为． 【规范解答】（1）解：； 证明：设较小的偶数为，则较大的偶数为，为整数， ， ∵为整数，是整数， ∴是的倍数， 即：两个连续偶数的平方差是的倍数； （2）答：两个任意偶数的平方差是的倍数； 设两个偶数分别为（为整数且）， ∴任意两个偶数的平方差为， 为整数， 可以被整除， ∴两个任意偶数的平方差是的倍数； （3）解：由图可知：∵第圈是边长为的正方形，内部是边长为的正方形， ∴第圈地砖数量为：，为正整数，圈地砖总数为， ∴任意两个偶数的平方差都对应着若干圈地砖的数量，每圈砖的数量都是的倍数； （4）解：由题意得：， 是任意两个偶数的平方差， 是的倍数， ∴设（为整数）， 则， 为正整数且大于， 为正数，且为正整数， 当时，即时， 的最小值为． 【精练2】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）材料一：对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图1，可以得到 ． 材料二：已知，，求的值． 解：，， 请你根据上述信息解答下面问题： (1)写出图中所表示的数学等式__________________； (2)已知，，求的值； (3)若，，求的值； (4)现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图，已知点为的中点，连接、，将乙纸片放到甲的内部得到图，已知图3中阴影部分的面积为，图4中阴影部分的面积为，求甲、乙两个正方形的面积之和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（1）用两种方法表示图2的面积即可； （2）利用代入计算即可； （3）利用代入计算即可； （4）设甲正方形的边长为，乙正方形的边长为，可得，，即可求得的值． 【规范解答】（1）解：从整体看图是边长为的正方形，则面积为， 另外图可以看作是由三个正方形和六个长方形拼成的，九个部分的面积和为， ∴图中所表示的数学等式为； （2）解：∵，，， ∴， （3）解：∵，，， ∴， ∴； （4）解：设甲正方形的边长为，乙正方形的边长为， ∵图中点为的中点， ∴， ∵图3中阴影部分的面积为， ∴， 即①， ∵图4中阴影部分的面积为， ∴， 即②， ①②，得：， ∴甲、乙两个正方形的面积之和为． 题型五 完全平方公式在几何图形中的应用 【精讲】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图1所示，长为，宽为（其中为正数）的小长方形纸片．现有8张这样的小长方形纸片，把其中的4张按如图2所示的方式不重叠地放在一个正方形内，另外的4张按如图3所示的方式不重叠地放在一个长方形内．设正方形面积为，长方形面积为． (1)正方形的面积为__________，长方形的面积为__________（用含的代数式表示）； (2)是否存在正数，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (3)试比较与的大小． 【答案】(1)；； (2)不存在正数，使得； (3) 【思路引导】（1）根据题意得出正方形的边长和长方形的长和宽，再计算面积即可； （2）根据（1）所得式子列方程，求出的值，再结合为正数求解即可； （3）根据（1）所得式子作差，利用平方的非负性求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意可知，正方形的边长为，长方形的长为，宽为， 则正方形的面积为，长方形DEFG的面积为； （2）解：不存在正数，使得， 若， 则， ， ， 解得：， 为正数， 不存在； （3）解： ， ， 【精练1】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．请根据以上信息，解答下列问题： (1)已知，，求的值； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a、b，若，，求图中阴影部分的面积； (3)若，则的值为______． 【答案】(1)8 (2)60 (3)9 【思路引导】（1）根据，即可得出答案； （2）先通过大正方形的面积减去两个空白部分的面积表示出阴影部分的面积，再根据求得，从而解出答案； （3）设，那么，，根据求得答案． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴，即， ∴； （2）解：根据题意，可知空白部分的两个直角三角形，两直角边分别为， ∴阴影图形面积为：， ∵，， ∴， ∴阴影图形面积为：； （3）解：设， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 【精练2】（25-26七年级下·江苏连云港·期中）【课本探究】 在第八章《整式乘法》章头图的探究活动中得到：对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得出一个数学等式． 【归纳证明】 (1)如图1所示的大正方形，是由边长为的大正方形、边长为的小正方形和两个长为、宽为的长方形构成，用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是___________； 【能力提升】 (2)若满足，求的值； 【实际应用】 (3)如图2，已知数轴上，，，表示的数分别是、、，以为边作正方形，以为边作正方形，延长交于．若正方形与正方形面积的和为，求长方形的面积； (4)图3中涂色部分是直角边长为，，斜边长为的个直角三角形．请问，，，存在怎样的数量关系，试说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（1）通过两种方法计算阴影面积，推导出完全平方公式； （2）用整体代换法，结合完全平方公式求代数式的值； （3）先设元，然后利用完全平方公式的变形，求出长方形的面积； （4）通过两种方法计算图形面积，推导出，，的关系． 【规范解答】（1）解：据题可知，阴影部分的面积为，也可以表示为， 可得，即． （2）解：设，， 则，， ∴ ， 故 ． （3）解：正方形的边长为，正方形的边长为， 正方形的面积为，正方形的面积为， 长方形的面积可表示为， 正方形与正方形面积的和为， ， 令，， 则，， 由，可得，解得， 即 故长方形的面积为． （4）解：，理由如下： 如图， 据图可知，， 则图形的面积为， 可得 ， 则， 故． 题型六 求完全平方式中的字母系数 【精讲】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）对于任意四个有理数a、b、c、d，可以组成两个有理数对与．我们规定：； 例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数k的值： (2)若，且，求的值： (3)在（2）的条件下，长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）根据新定义，求出，再根据完全平方式的特征，即可求出； （2）根据新定义，求出的左边，从而得出方程，再配方将整体代入，即可求出； （3）根据阴影部分的面积等于，，把阴影部分的面积表示出来，从而得到含有，的整式，再把（2）的条件和结论整体代入即可． 【规范解答】（1）解：， ∵是一个完全平方式， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴即； （3）解：，， ，，， ， ， ， 阴影部分的面积为：， ，且，， 阴影部分的面积为：． 【精练1】（23-24八年级上·广西南宁·阶段检测）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【思路引导】本题考查数字的变化类、杨辉三角等知识，解题的关键是灵活运用杨辉三角解决问题． 首先确定是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题 【规范解答】解：由题意可得展开式中含项为第二项， ∵展开式中的第二项系数为1， 展开式中的第二项系数为2， 展开式中的第二项系数为3， 展开式中的第二项系数为4， ……， ∴以此类推，根据杨辉三角形展开式中，第二项的系数为， 的展开式中含项的系数是2023， 故选：C． 【精练2】（24-25七年级下·四川成都·期中）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数k的值； (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点E、G分别在边、上，连接、、、若，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)4 (3)64 【思路引导】本题考查了新定义公式，完全平方式，完全平方公变形应用，式整式的混合运算，熟练掌握新定义公式，完全平方式是解题的关键． （1）根据新定义，求出，再根据完全平方式的特征，即可求出； （2）根据新定义，求出的左边，从而得出，再利用完全平方公式的变形即可求出； （3）根据阴影部分的面积等于，，把阴影部分的面积表示出来，从得到含有，的整式，再把（2）的条件和结论整体代入即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，， ∵是一个完全平方式， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 合并同类项得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：； ∵ ∵， ∴阴影部分的面积为：． 题型七 完全平方式在几何图形中的应用 【精讲】（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2) ；若是完全平方式，则 ； (3)若有理数m、n满足，且． ① 求的值； ② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．    【答案】(1)11 (2)； (3)①2；② 【思路引导】本题考查了新定义，完全平方公式的变形求解，熟练掌握新定义和完全平方公式是解答本题的关键． （1）根据计算即可； （2）根据计算，再根据完全平方式的特征求解即可； （3）①根据得出，再结合即可求出； ②根据图象可得，化简后代入，即可求解； 【规范解答】（1）解：； （2）解： ； 若是完全平方式，则； （3）解：①∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ②由题意可知： ， 将，代入可得，原式． 【精练1】（23-24七年级下·福建漳州·期中）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块相同的小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．      (1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1：__________________． 方法2：__________________． 请写出代数式：，之间的等量关系是______． (2)许多代数等式可以用图形的面积来表示．直接写出图3的面积所表示的代数等式； (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：已知，是负整数，求的值． 【答案】(1)；；，详见解析 (2)，详见解析 (3)为1或5，详见解析 【思路引导】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的几何图解法及应用等知识点， （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释； （2）图③的面积计算有两种方法，方法一是大长方形（长为的，宽为）的面积是，方法二是组成大长方形的各个小长方形或正方形的面积和等于大长方形的面积，故而得到了代数恒等式； （3）由（1）知：，结合为负整数分类讨论即可得解； 熟练掌握数形结合的思想是解决此题的关键． 【规范解答】（1）方法1：阴影部分是一个正方形，边长为，根据阴影部分正方形面积计算公式得， 方法2：大正方形边长为，面积是：，四个长为m，宽为n的长方形的面积是，阴影部分的面积是大正方形的面积减去四个长方形的面积为， 方法1与方法2均为求图②中阴影部分的面积，所以结果相等，即， 故答案为：；；； （2）计算图③的面积计算有两种方法， 方法一是大长方形（长为的，宽为）的面积是， 方法二是：组成图③的各部分图形：2个边长为m的正方形的面积，3个长为m，宽为n的长方形的面积即，1个边长为n的正方形的面积，他们的面积和是：，方法一和方法二的计算结果相等， ∴； （3）由（1）知：， ∵， ∴ ， ∴， ∵为负整数， ∴且能被4整除， ∴当时，， 当时，， 综上：为1或5． 【精练2】完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，所以，即：， 又因，所以 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：    (1)若，，则的值为______； (2)拓展：若，则______． (3)应用：如图，在长方形中，，，点E、F是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为160，求图中阴影部分的面积和． 【答案】(1)12 (2)10 (3)384 【思路引导】（1）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （2）设，，则，，然后完全平方公式进行计算，即可解答； （3）根据题意可得，，然后设，，则，，最后利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【规范解答】（1）解： ，， ， ． （2）解：设，， ， ， ， ． （3）解：四边形是长方形， ，， ， ，， 设，， ， 长方形的面积为160， ， 正方形的面积正方形的面积 ， 图中阴影部分的面积和为384． 【考点剖析】本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式变形的计算是解题的关键． 题型八 整式的混合运算 【精讲】（25-26七年级下·江苏镇江·期中）计算： (1)； (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（1）根据积的乘方和同底数幂的除法法则计算，再合并同类项即可； （2）根据单项式乘以多项式法则计算； （3）先根据平方差计算，再根据完全平方公式解答； （4）先整理得，再根据平方差解答． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【精练1】（25-26七年级下·江苏泰州·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（1）先计算负整数指数幂、乘方和零指数幂，再将上述结果依次加减即可； （2）先将化为，再利用同底数幂相乘即可得出结果； （3）先利用幂的乘方和同底数幂相乘和相除依次将各项展开，再合并同类项即可得出结果； （4）先利用多项式乘多项式和单项式乘多项式依次将各项展开，再合并同类项即可得到结果． 【规范解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【精练2】对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数k的值： (2)若，且，求的值： (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了新定义公式，完全平方式，完全平方公式变形应用，整式的混合运算，熟练掌握新定义公式，完全平方式是解题的关键． （1）根据新定义，求出，再根据完全平方式的特征，即可求出； （2）根据新定义，求出的左边，从而得出方程，再配方将整体代入，即可求出； （3）根据阴影部分的面积等于，，把阴影部分的面积表示出来，从得到含有，的整式，再把（2）的条件和结论整体代入即可． 【规范解答】（1）解：， ∵是一个完全平方式， ∴； （2）解： ， 去括号得：， 合并同类项得：， ， ， ， ， 解得：； （3）解：，， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积为：， ，， 阴影部分的面积为：． 【基础夯实 能力提升】 1．下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了幂的运算（积的乘方、同底数幂的除法、幂的乘方）以及完全平方公式，熟练掌握这些运算法则和公式是解题的关键．根据幂的运算法则（积的乘方、同底数幂的除法、幂的乘方）以及完全平方公式，对每个选项进行分析判断，即可解题． 【规范解答】解：，故选项A错误，不符合题意． ，故选项B正确，符合题意． ，故选项C错误，不符合题意． ，故选项D错误，不符合题意． 故选：B． 2．下列不能用平方差公式运算的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了平方差公式，熟记是解题关键．根据平方差公式的特点：两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数，逐一判断即可． 【规范解答】解：A、中，相同，和互为相反数，可以用平方差公式，不符合题意； B、中，和两项都相同，不可以用平方差公式，符合题意； C、中，相同，和互为相反数，可以用平方差公式，不符合题意； D、中，相同，和互为相反数，可以用平方差公式，不符合题意； 故选：B． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【规范解答】解：A、不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 4．若，，则______． 【答案】3 【思路引导】本题考查了平方差公式．利用平方差公式将已知条件代入求解，即可作答． 【规范解答】解：依题意，． 把和代入，得， 解得． 故答案为：3． 5．已知，则的值为_______． 【答案】 【思路引导】本题考查了代数式求值，平方差公式． 将化为，然后代入已知条件计算即可． 【规范解答】解： ． 故答案为：． 6．如图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分、分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 =__________． 【答案】16 【思路引导】本题考查了平方差公式的应用以及通过图形面积关系求解差值，解题的关键是明确与两个正方形面积的关系，再结合已知条件计算． 根据图形可知为边长为m的正方形面积减去重叠部分面积，为边长为n的正方形面积减去重叠部分面积，故等于两个正方形面积之差；利用平方差公式结合已知和计算差值． 【规范解答】解：由图形可知，，． 则． 根据平方差公式 已知 所以． 故答案为：． 7．（1）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了整式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）首先根据积的乘方运算法则、单项式乘单项式法则进行计算，然后合并同类项即可； （2）利用积的乘方的逆运算将原式整理为，然后依次根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可； （3）首先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，然后去括号，合并同类项即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 8．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）已知和为有理数，现规定一种新的运算符号，定义，例如：，请根据符号的意义解决下列问题： (1)的值为_____________； (2)若是一个完全平方式，则_____________； (3)已知，且，求的值． 【答案】(1)10 (2) (3) 【思路引导】本题考查了含乘方的有理数混合运算，完全平方公式的运用，整式的运算，熟练掌握相关运算方法，准确计算为解题关键． （1）根据题目中给出的定义代入计算即可； （2）根据题目中给出的定义代入得到式子，再根据完全平方公式求解即可； （3）先根据题目中给出的定义得到，再利用完全平方公式得出，代入求解即可． 【规范解答】（1）解：， ， 故答案为：10； （2） ， 是一个完全平方式， ， ， ， 故答案为：； （3） ， ， ， ． 9．数学课上，楚老师出了这样一道题：已知，，求代数式的值，小明觉得直接代入计算太繁了，请你来帮他解决，并写出具体过程． 【答案】，过程见解析 【思路引导】本题主要考查了整式的化简求值，负整数指数幂，先由完全平方公式，单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，再计算出a、b的值，最后代值计算即可． 【规范解答】解； ， ∵，， ∴， ∴原式． 10．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）【规律探索】 如图，观察上述各图形，我们会发现： 图1空白部分小正方形的个数是， 图2空白部分小正方形的个数是， 图3空白部分小正方形的个数是． （1）像这样继续排列下去，请写出第6幅图对应的算式：_______． （2）请再写出第n幅图对应的算式：_______（用含有字母n的算式表示，其中n为正整数） 【问题解决】 （3）______． 【答案】（1）；（2）；（3）2054364． 【思路引导】本题考查了平方差公式的应用与规律探究，解题的关键是发现并运用平方差公式来简化运算． （1）根据规律，第6幅图对应的算式为； （2）第幅图对应的算式为； （3）利用平方差公式将原式分组，转化为连续整数的和，再进行计算． 【规范解答】（1）解： 故答案为：． （2）解： 故答案为：． （3）解： 故答案为：． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了平方差公式的几何背景，分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案． 【规范解答】解：图甲中阴影部分的面积为，图乙中阴影部分是由四个相同的等腰梯形拼成的平行四边形，根据平行四边形面积公式：平行四边形面积=底高，观察图形可知，该平行四边形的底为大正方形边长与小正方形边长之和，即，高为大正方形边长与小正方形边长之差，即，得阴影部分的面积为， ∵甲乙两图中阴影部分的面积相等， ∴， ∴可以验证成立的公式为． 故选：C． 2．如图，用四个完全一样的长、宽分别为的长方形纸片围成一个大正方形，中间是空的小正方形．若，，判断以下关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【思路引导】利用大正方形的边长长方形的长长方形的宽，小正方形的边长长方形的长长方形的宽，大正方形的面积小正方形的面积个长方形的面积，完全平方公式，进而判定即可． 【规范解答】解：由图形可得：①大正方形的边长长方形的长长方形的宽，故，正确； ②小正方形的边长长方形的长长方形的宽，故，正确； ③大正方形的面积小正方形的面积个长方形的面积，故，错误； ④根据①知， 根据②知，则，正确； ⑤，错误． 所以正确的有①②④，共有个． 故选：B． 【考点剖析】本题考查的知识点有：完全平方公式如、 、平方差公式如，以及通过图形(由长方形围成的大、小正方形)分析边长关系，进而结合公式进行代数运算与等式推导的数形结合思想． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图1，I是边长为的正方形纸片，II是边长为的正方形纸片，III是长为，宽为的长方形纸片（），将I，III按图2所示的方式放入纸片II内，若图2中两块阴影部分的面积分别为和，若要求的值，只需要知道（   ）的值 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了多项式乘法的面积问题． 先根据题意求出，，，，的值，进而求出的值，判断即可． 【规范解答】解：由图可知，，，，， 即 ， ∴ ， 故只需要知道的值， 故选：A 4．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“美好数”．如：，，则8，16均为“美好数”，在不超过2025的正整数中，所有的“美好数”之和的末尾数字为______． 【答案】8 【思路引导】本题考查平方差公式，理解“美好数”的意义是解决问题的前提，得出计算结果的规律性是解决问题的关键． 根据，确定在不超过2025的正整数中，“美好数”共有253个，再求和，根据计算结果可得出答案． 【规范解答】解：依题意设连续的两个奇数为，， ∴ 解得： 在不超过2025的正整数中，“美好数”共有253个，它们之和为 ， ∴所有的“美好数”之和的末尾数字为8． 故答案为：8 5．（24-25七年级下·江苏南京·期末）若，，则______（用含有m，n的式子表示，结果需化简） 【答案】 【思路引导】本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键．将，两边分别乘方并利用完全平方公式展开，然后将两式相减求得的值即可． 【规范解答】解：，， ，， ①，②， ①-②得：， 则， 故答案为： 6．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知方程组，则______． 【答案】3 【思路引导】本题考查了平方差公式，加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握知识点是解题的关键． 先将原方程组上下两式相加和相减得到，，再由平方差公式求解． 【规范解答】解：， 两式相加得：，则； 上式－下式得：， ∴， 故答案为：3． 7．如图，是一个正方体的展开图，标注字母“a”的面是正方体的正面．如果正方体相对两个面上的代数式的值相等，试求代数式： (1)； (2)的值． 【答案】(1)17 (2)161 【思路引导】本题主要考查正方体的展开图、完全平方公式及代数式的值，熟练掌握正方体的展开图、完全平方公式及代数式的值是解题的关键； （1）由正方体展开图可知：，然后可得，进而代值求解即可； （2）由，然后根据（1）可进行求解． 【规范解答】（1）解：由正方体展开图可知：， ∴； （2）解：∵， ∴． 8．用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【思路引导】本题主要考查了平方差公式运算，熟练掌握平方差公式是解题关键． （1）将原式整理为，然后根据平方差公式进行计算即可； （2）将原式整理为，然后根据平方差公式进行计算即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 9．（23-24七年级下·江苏常州·期末）通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． （1）【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是，则相邻一边长是． ①当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形的一边长是，相邻一边长是______．如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、、满足的等量关系是______； ②当时，类似上述过程进行割补； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______； （2）【方法迁移】 当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值． 【答案】（1）；；；9；（2）见解析，32 【思路引导】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，因式分解的应用，理解材料的用意及数形结合是解题的关键． （1）根据图形面积的求法整理算式即可得到答案； （2）先将代数式化为，根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出的最大值，进而求出的最大值． 【规范解答】（1）解：如图2，长方形的一边长是，相邻一边长为， 如图3，阴影部分是一个边长为的正方形，长方形、和阴影部分组成一个边长为3的正方形， -， 当时，用类似上述过程进行割补，可以得到 -， 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是9． 故答案为：；；；9； （2）解：依题意有， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， 当时，该长方形为边长是4的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是16， 的最大值为． 10．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）阅读理解并解答：在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？ 【初步思考】 同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： 解： 因为， 所以． 所以当时，的值最大，最大值是0. 所以当时，的值最大，最大值是4. 所以的最大值是4 【尝试应用】 (1)求代数式的最大值，并写出相应的的值． (2)已知，，请比较与的大小，并说明理由． 【拓展提高】 (3)将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有无最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度；若没有，请说明理由． 【答案】(1)的最大值为14，此时的值为2． (2)，理由见解析 (3)这两个正方形面积之和有最小值，此时两段铁丝的长度均为，面积之和为 【思路引导】（1）仿照题中例子配出完全平方公式进行求解； （2）计算，仿照题中例子配出完全平方公式进行求解，即可得到结论； （3）设一段铁丝的长度为，则另一段铁丝的长度为，可分别求出两个正方形的边长为和，根据正方形的面积公式，列出代数式，仿照题中例子配出完全平方公式进行求解． 【规范解答】（1）解： ， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 解得：， 的最大值为14，此时的值为2． （2）解：，理由如下： ，， ， 当时，有最小值2， （3）解：设一段铁丝的长度为，则另一段铁丝的长度为， 根据题意得： ， ， 时，有最小值， 解得：，则， 这两个正方形面积之和有最小值，此时两段铁丝的长度均为，面积之和为． 【考点剖析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方不为负数的性质求函数值的最值是常用方法，应熟练掌握． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $