专题七 圆周运动的临界问题 讲义 -2027届高三物理一轮复习

该高中物理高考复习讲义聚焦圆周运动临界问题，涵盖水平面、竖直面、倾斜面三大核心考点，按运动特点、临界条件、典例分析的逻辑架构梳理知识，通过考点分类梳理、临界方法指导、高考典例训练等环节，帮助学生构建系统的圆周运动临界问题分析框架。 讲义采用模型对比教学法，如表格对比水平面内不同连接物块的临界状态、竖直面轻绳轻杆模型差异，培养学生科学思维与模型建构能力。设计从基础临界分析到综合应用的分层典例，配合受力方程推导和临界条件判断训练，有效提升学生解题效率，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

专题七　圆周运动的临界问题 讲义 考点一　水平面内圆周运动的临界问题 一.运动特点 (1)运动轨迹是水平面内的圆。 (2)合外力沿水平方向指向圆心，提供向心力，竖直方向合力为零，物体在水平面内做匀速圆周运动。 二.常见的两种临界极值问题 1.与摩擦力有关的临界极值问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。 (1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Ffm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心。 (2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。 2．与弹力有关的临界极值问题 (1)两个接触物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。 (2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。 物块随圆盘转动的几种临界问题分析(最大静摩擦力等于滑动摩擦力) 一物块随圆盘 一起运动 两物块用轻绳连接，其中一个位于圆盘中心(μ相同) 两物块用轻绳连接，位于圆盘中心同侧(μ相同) 两物块用轻绳连接，分别位于圆盘中心两侧(rA>rB，mA＝mB，μ相同) 情境图 出现临界状态之前 静摩擦力提供向心力，即F静＝mω2r。 对物块B:静摩擦力提供向心力，即F静＝mBω2rB。 对物块A:FA静＝mAω2rA，对物块B:FB静＝mBω2rB。 对物块A:FA静＝mAω2rA，对物块B:FB静＝mBω2rB。 临界状态1 物块刚好相对圆盘滑动:静摩擦力达到最大静摩擦力，由μmg＝mω2r得ω＝(临界角速度)。 轻绳恰好绷直时，对物块B有:静摩擦力达到最大静摩擦力，由μmBg＝mBω2rB得ω＝。 轻绳恰好无拉力时，物块B的静摩擦力达到最大静摩擦力，由μmBg＝mBω2rB得ω＝。 轻绳恰好无拉力时，物块A的静摩擦力达到最大静摩擦力，由μmAg＝mAω2rA得ω＝。 临界状态2 —— 物块A刚好相对圆盘滑动时，对A有FT＝μmAg，对B有μmBg＋FT＝mBω2rB。 物块A刚好要相对圆盘滑动时，对A有μmAg－FT＝mAω2rA，对B有μmBg＋FT＝mBω2rB。 物块B刚好要相对圆盘滑动时，对B有FT－μmBg＝mBω2rB，对A有μmAg＋FT＝mAω2rA。 典例1：(多选)如图所示 ，两个质量均为m的小物块A和B(可视为质点)放在水平圆盘上，A与转轴OO'的距离为L，B与转轴的距离为2L。物块与圆盘间的最大静摩擦力为物块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。整个装置能绕过圆盘中心的竖直转轴转动，若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是(　　) A.B一定比A先开始滑动 B.A、B所受的摩擦力始终相等 C.ω＝是B开始滑动的临界角速度 D.当ω＝时，A所受摩擦力的大小为kmg [答案]　AC[解析]　小物块A、B做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即Ff＝mω2r。当角速度增大时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对物块A有FfA＝mL，当FfA＝kmg时，kmg＝mL，ωA＝;对物块B有FfB＝m·2L，当FfB＝kmg时，kmg＝m·2L，ωB＝，则ω＝是B开始滑动的临界角速度，且B比A先开始滑动，故A、C正确;两物块滑动前转动的角速度相同，则FfA＝mω2L，FfB＝mω2·2L，则FfA<FfB，故B错误;ω＝<ωA＝，A没有滑动，则FfA'＝mω2L＝kmg，故D错误。 典例2：(多选)如图所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上O、A两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m的小球上，OA＝OB＝AB，现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形OAB始终在竖直平面内，若转动过程OB、AB两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是(　　) A．OB绳的拉力范围为0～mg B．OB绳的拉力范围为mg～mg C．AB绳的拉力范围为0～mg D．AB绳的拉力范围为0～mg [答案]　BC[解析]　转动的角速度为0时，OB绳的拉力最小，AB绳的拉力最大，这时两者的值相同，设为T1，则2T1cos 30°＝mg，T1＝mg，增大转动的角速度，当AB绳的拉力刚好等于0时，OB绳的拉力最大，设这时OB绳的拉力为T2，则T2cos 30°＝mg，T2＝mg，因此OB绳的拉力范围为mg～mg，AB绳的拉力范围为0～mg，故B、C两项正确。 典例3：(多选)如图所示，一种圆锥筒状转筒左、右分别系着一长一短两根轻质绳子，两端挂着相同的小球，圆锥筒静止时绳子平行于圆锥面。当圆锥筒绕中心轴开始缓慢加速转动时，不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　) A．角速度慢慢增大，一定是绳子较长的球先离开圆锥筒 B．角速度达到一定值时两个球一定同时离开圆锥筒 C．两个球都离开圆锥筒后，高度不一定相同 D．两个球都离开圆锥筒后，高度一定相同 [答案]　AD[解析]　设绳子与竖直方向的夹角为θ，小球质量均为m，绳长为L，圆锥筒转动的角速度为ω，小球恰好离开圆锥筒时，圆锥筒对小球的支持力为0，有mgtan θ＝mω2Lsin θ，解得ω＝，对于小球来说，绳子的长度越长，小球离开圆锥筒的临界角速度越小，即越容易离开圆锥筒，A正确，B错误；当两个球都离开圆锥筒时，设此时绳子与竖直方向夹角为α，小球只受重力和绳子的拉力，有mgtan α＝mω2Lsin α，h＝Lcos α，整理有h＝，因为两个小球绕同一个轴转动，所以两小球的角速度相同，即两小球高度相同，C错误，D正确。 考点二　竖直面内圆周运动的临界问题 1．运动特点 (1)竖直面内的圆周运动一般是变速圆周运动。 (2)只有重力做功的竖直面内的变速圆周运动机械能守恒。 (3)竖直面内的圆周运动问题，涉及知识面比较广，既有临界问题，又有能量守恒问题，要注意物体运动到圆周的最高点的速度。 (4)一般情况下，竖直面内的圆周运动问题只涉及最高点和最低点两种情形。 2．竖直面内圆周运动的两种模型 轻绳模型 轻杆模型 模型图示 有支撑的小球 弹力特征 小球受到的弹力可能向下，也可能等于零 小球受到的弹力可能向下，可能向上，也可能等于零 受力 示意图 力学方程 mg＋FT＝m mg±FN＝m 临界特征 FT＝0，mg＝m，v＝ F向＝0，FN＝mg，v＝0 v＝ 的意义 v＝，球恰过最高点； v>，球所受弹力向下； v<，球不能达到最高点 v＝，球所受弹力为零； v>，球所受弹力向下； v<，球所受弹力向上 轻“绳”模型问题 典例4：如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，重力加速度大小为g，下列说法正确的是(　　) A．过山车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来 B．人在最高点时对座位不可能产生大小为mg的压力 C．人在最低点时对座位的压力等于mg D．人在最低点时对座位的压力大于mg [答案]　D[解析]　过山车在最高点时人处于倒坐状态，向心力是靠重力与座椅的支持力提供，速度越大支持力越大，所以没有保险带，人也不会掉下来，A错误；人在最高点时，由牛顿第二定律可得mg＋FN＝m，当速度为v＝时，支持力为mg，由牛顿第三定律可得，人在最高点时对座位可以产生大小为mg的压力，B错误；人在最低点时，由牛顿第二定律可得FN－mg＝m，则人在最低点时对座位的压力大于mg，C错误，D正确。 总结：(1)最高点，若v≥，F弹＋mg＝m，绳或轨道对球产生弹力F弹。 (2)若v<，则不能到达最高点，即到达最高点前小球已经脱离了圆轨道。 轻杆模型 1.在最高点，杆(或管道)的弹力与速度的关系 (1)当v＝0时，F弹＝mg，F弹背离圆心。 (2)当0<v<时，mg－F弹＝m，F弹背离圆心并随v的增大而减小。 (3)当v＝时，F弹＝0。 (4)当v>时，mg＋F弹＝m，F弹指向圆心并随v的增大而增大。 2.解题技巧 (1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程。 (2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处速度关系。 (3)注意:求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律求出压力。 典例５：(多选)如图所示，长为0.1 m的轻杆一端固定一质量为0.1 kg的小球，小球绕圆心O在竖直面内做圆周运动。P是圆周上的最高点，重力加速度g＝10 m/s2，下面说法正确的是(　　) A.当小球运动到与O相平的水平位置时，杆对小球作用力为零 B.若小球经过P点时速度为1 m/s，杆对小球作用力为零 C.若小球经过P点时杆对小球作用力等于0.36 N，小球的速度一定等于0.8 m/s D.若小球经过Q点时杆对小球作用力等于5 N，小球速度一定等于2 m/s [答案]　BD[解析]　当小球运动到与O相平的水平位置时杆对小球提供一个指向圆心的拉力，故A错误;在最高点P，当只有重力提供向心力时有mg＝m，代入数据解得vP＝＝1 m/s，故B正确;在最高点P，杆对小球的作用力可能向上，也可能向下，因此有mg－F1＝m或mg＋F2＝m，其中F1＝F2＝0.36 N，解得v1＝0.8 m/s或v2＝ m/s，故C错误;当小球运动到最低点时，小球受杆的拉力为5 N，有F3－mg＝m，代入数据解得vQ＝2 m/s，故D正确。 典例6：如图，轻杆长2l，中点装在水平轴O上，两端分别固定着小球A和B(均可视为质点)，A球质量为m，B球质量为2m，重力加速度为g，两者一起在竖直平面内绕O轴做圆周运动。 (1)若A球在最高点时，杆的A端恰好不受力，求此时B球的速度大小； (2)若B球到最高点时的速度等于第(1)问中的速度，求此时O轴的受力大小和方向； (3)在杆的转速逐渐变化的过程中，能否出现O轴不受力的情况？若不能，请说明理由；若能，求出此时A、B球的速度大小。 [答案]　(1)　(2)2mg　方向竖直向下　(3)能；当A、B球的速度大小为时，O轴不受力 [解析]　(1)A在最高点时，对A根据牛顿第二定律得mg＝m， 解得vA＝， 因为A、B两球的角速度相等，半径相等，则vB＝vA＝。 (2)B在最高点时，对B根据牛顿第二定律得2mg＋FTOB′＝2m 代入(1)中的vB，可得FTOB′＝0 对A有FTOA′－mg＝m 可得FTOA′＝2mg 根据牛顿第三定律，O轴所受的力大小为2mg，方向竖直向下。 (3)要使O轴不受力，根据B的质量大于A的质量，设A、B的速度为v，可判断B球应在最高点 对B有FTOB″＋2mg＝2m 对A有FTOA″－mg＝m O轴不受力时有FTOA″＝FTOB″ 联立可得v＝ 所以当A、B球的速度大小为时，O轴不受力。 考点三　倾斜面上圆周运动的临界问题 物体在倾斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力大小相等，平行斜面的分力与静摩擦力的合力提供向心力。 在转动过程中，转动越快，物体最容易滑动的位置是最低点，恰好滑动时， 有μmgcos θ－mgsin θ＝mω2R。 典例7：如图所示为半径为R的匀质实心圆盘，盘面所在平面与水平面的夹角为θ，开始时圆盘静止。其上表面均匀覆盖着一层细沙没有掉落，细沙与盘面间的动摩擦因数为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现让圆盘绕垂直于盘面的固定轴旋转，其角速度从0开始缓慢增加到ω(未知)。此时圆盘表面上有的细沙被甩掉，重力加速度为g，则ω的值为(　　) A． B． C． D． [答案]　D[解析]　根据Fn＝mω2r可知，在角速度相同的情况下，半径越大，向心力越大，所以最外边的细沙随着角速度的增大最先发生滑动，因为圆盘表面上有的细沙被甩掉，即面积的细沙发生滑动，剩下的未滑动，设未滑动部分的半径为r，则πr2＝πR2，解得r＝R，在最低点有mg(μcos θ－sin θ)＝mω2r，解得ω＝，D正确，A、B、C错误。 典例8：如图所示，在倾角为θ的足够大的固定斜面上，一长度为L的轻绳一端固定在O点，另一端连着一质量为m的小球(视为质点)，可绕斜面上的O点自由转动。现使小球从最低点A以速率v开始在斜面上做圆周运动，通过最高点B。重力加速度大小为g，轻绳与斜面平行，不计一切摩擦。下列说法正确的是(　　) A．小球通过B点时的最小速度可以小于 B．小球通过A点时的加速度为gsin θ＋ C．若小球以的速率通过B点时突然脱落而离开轻绳，则小球到达与A点等高处时与A点间的距离为2L D．小球通过A点时的速度越大，此时斜面对小球的支持力越大 [答案]　C[解析]　小球通过最高点B时，当绳的拉力为零时速度最小，即mgsin θ＝，最小速度vmin＝，故A错误；小球在A点受重力、斜面的支持力以及绳的拉力，沿斜面方向有F－mgsin θ＝＝maA，可得aA＝，故B错误；若小球以的速率通过B点时突然脱落而离开轻绳，则小球在斜面上做类平抛运动，在平行于斜面底边方向做匀速直线运动，在垂直于斜面底边方向做初速度为零的匀加速直线运动，故s水平＝vBt＝·t,2L＝at2，其中a＝gsin θ，联立解得s水平＝2L，即小球到达与A点等高处时与A点间的距离为2L，故C正确；斜面对小球的支持力始终等于重力沿垂直于斜面方向的分力，与小球的速度大小无关，故D错误。 学科网（北京）股份有限公司 $