第八章 空间直线、平面的平行与垂直讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学讲义以“空间直线、平面的平行与垂直”为单元核心，通过题型分类构建知识体系。每个题型前设“方法提炼”模块，用列表梳理证明方法如平行线传递性、线面垂直性质定理等，结合四棱锥、正方体等实例呈现知识脉络，突出平行与垂直判定的内在逻辑。 讲义亮点在于“方法-例题”的精准匹配，如证明线线垂直时融合勾股定理逆定理与三垂线定理，培养推理能力与空间观念。例题涵盖基础证明到翻折综合题，基础生可掌握通法，优秀生能深化思维，助力教师实施分层教学，提升复习针对性。

第八章空间直线、平面的平行与垂直 目录 题型1：证明线线平行 21 题型2：证明线面平行 6 题型3：证明面面平行 10 题型4：证明线线垂直 15 题型5：证明线面垂直 题型6：证明面面垂直 25 1 题型1：证明线线平行 方法提炼 证明线线平行的常见方法： (I)平行线的传递性：a∥b,b∥c→a∥c. (2)中位线法/平行四边形法 (3)平行线分线段成比例定理的逆定理 (4)线面平行的性质定理：a∥a,acB,a∩B=b三a∥b. (⑤)面面平行的性质定理：a/1B,a∩y=a,B∩y=b→a/b, (⑥线面垂直的性质定理：a上a,b1a→a∥b 【例1.1.】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PBC∩平面PAD=1,证 明：BC11 【详解】因为四边形ABCD为矩形，所以BC/IAD, 因为ADC平面PAD,BCt平面PAD,所以BCII平面PAD, 又BCc平面PBC,平面PBC∩平面PAD=1,所以BCIIl 【例1.2.】如图，在直四棱柱ABCD-A,B,CD,中，底面ABCD是菱形，点P在AD上， BC∩CB=E,直线BP与平面AB,C交于点F,求证：CPO EF, D B B 【详解】如图，连接AC,CD 2 A B B 在直四棱柱中，B,C,∥BC∥AD,B,C,=BC=AD, 所以四边形B,C,DA是平行四边形， 所以CD∥AB,AB,C平面ABC,C,D平面AB,C, 所以C,D/平面AB,C 同理，A,C,//平面AB,C 因为A,C∩CD=C,AC,CDc平面ACD, 所以平面AB,C/1平面A,C,D, 因为平面BPC,O平面AB,C=EF,平面BPC,O平面AC,D=C,P, 所以CPO EF 【例1.3.】如图，正四棱柱ABCD-A,B,CD,中，P为棱CC,上一动点，平面BPD,截正四棱 柱所得截面交棱AA于点Q.求证：DQ∥BP D A 【详解】证明：：在正四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，平面ADD A平面BCC,B,. 且平面BPD,Qn平面BCC,B,=BP,且平面BPD,Qn平面ADD,A=D,Q. :Doll BP. 3 D A 【例1.4.】如图所示，在正方体ABCD-A,BCD,中，EF与AC,AD都垂直相交，垂足分 别是点F、点E.求证：EF∥BD D A B E、 B 【详解】在正方体ABCD-A,B,CD,中，CD∥A,B,且CD=A,B, 所以四边形AB,CD是平行四边形，所以ADBC, 因为EF⊥A,D,所以EF⊥B,C, 因为EF⊥AC,ACOB,C=C,BCc平面AB,C,ACc平面AB,C. 所以EF⊥平面AB,C, D A1 B E ”二 B 又因为DD,⊥平面ABCD,ACc平面ABCD, 所以DD,⊥AC, 又因为BD⊥AC,DD,BD=D,BDC平面BDD,B,,DD,C平面BDDB,, 4 所以AC⊥平面BDDB,, 因为BD1C平面BDDB,所以AC⊥BD, 同理可证BD,⊥B,C, 又AC∩B,C=C,BCc平面ABC,ACC平面AB,C. 所以BD⊥平面AB,C. 又EF⊥平面AB,C,所以EF I/BD. 【例1.5.】如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD,M,N分别为CD, PD的中点，AC与BM交于点E,AB=6N2,K为PA上一点，PK=PA D M 证明：KE/MN; 【详解】己知底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD,M,N分别为CD,PD的中点， 则CM-cD-4B=35. 在△ABE和△CME中，ABIICM,则三个内角均对应相等，故△ABE~△CME, 相似比为B=62 =2, CM3√2 AE 2 C=2,即E=54C 已知PKPA,则K-号PA, 3 由平行线分线段成比例定理可得KEPC, 又M,N分别为CD,PD的中点， :MN IIPC,:KE/IMN 5 题型2：证明线面平行 方法提炼 证明线面平行的常见方法： (I)定义法：a∩a=0,直接证明比较困难，一般是结合反证法来证明，即只有排除“在平 面内”或“相交”这两种位置关系才能得到“直线与平面平行”的结论 aca (②)直线与平面平行的判定定理： bca→a/a. al/b (3)面面平行的性质定理：a/B,aca→a/1B 【例21.】如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC,AD=3,DE=2EP,BC= 2 D 求证：PB∥平面ACE; 【详解】连接BD交AC于点N,连接EN, A D Bl- 医为9CMD,且8c-4D,所以8N-C DN AD 2 DE3,则PE=BN 又因为PE=1 'DE-DN 所以PB∥EN, 又PBd平面ACE,ENc平面ACE, 所以PB∥平面ACE 【例2.2.】如图，在直三棱柱ABC-A,B,C中，点E,F分别为棱BC,A,B的中点 6 E B 证明：直线EF/1平面AACC; 【详解】因为F是AB的中点，E是BC的中点 所以EF是△A,BC的中位线 故EF/1A,C,又ACc平面AACC,EFa平面AACC 所以EF/1平面AAC,C 【例2.3.】如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC,M,N分别是PB,CD的中点， M B D N 求证MN∥平面PAD; 【详解】 M G 如图延长AD,连接BN并延长与AD交于点G,连接PG 因为AD∥BC且N是CD的中点， 所以DN=CN,∠DGN=∠CBN且∠DNG=∠CNB, 所以aNBC兰aNGD 所以N为GB中点， 在△PGB中，M,N分别是PB,BG的中点，所以MN∥PG 又因为MNa平面PAD,PGc平面PAD,所以MN∥平面PAD > 【例2.4.】如图，正方体ABCD-A,BC,D,中，点M,N分别在线段B,D,AD上，且 B M=A N. D M A D B 证明：MNI/平面CDD,G. 【详解】 D A B G 作ME∥B,C,交CD于点E,作NH∥AD,交D,D于点H,连接EH. 固为wEC,所E-8站 同理可得ADDA NH DN 因为在正方体ABCD-A,BCD,中，DB,=DA,B,M=A,N,所以DM=DN,所以 ME DN_NH ,因为BC,=AD,所以ME=NH, BC DA AD 因为ME∥B,C,∥A,D,∥NH,所以四边形MEHN是平行四边形，所以MN∥EH. 因为MN不在平面CDD,C内，EHc平面CDD,C,所以MNI/平面CDD,C. 【例2.5.】如图，在平行四边形ABCD中，点E为AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成 △A,DE(点A不在面BCDE内)，点F为AC的中点.在ADE翻折过程中， 8 证明：直线FB∥平面A,DE; 【详解】证明：取CD中点为G,连接GF,GB, 因为点F为AC的中点，所以FG∥AD, 又因为FGa平面ADE,A,Dc平面A,DE,所以FG∥平面ADE, 因为在平行四边形ABCD中，点E为AB的中点，所以DG//BE,DG=BE, 所以四边形EBGD是平行四边形，所以BG∥ED, 又因为BGd平面ADE,EDc平面ADE,所以BG∥平面ADE 又FGOBG=G,FG,BGC平面FGB 所以平面FGB∥平面A,DE, 又FBC平面FGB, 所以直线FB∥平面A,DE 【例2.6】如图，在正方体ABCD-A,B,CD,中，E、F、G分别是DD、CD、BB,的中点. D B A B (1)证明：A,B,E、F四点共面 (2)若P是线段CG上的动点，证明：PD,II平面A,BFE. 【详解】(1)证明：连接D,C,正方体ABCD-A,B,C,D,中，A,D/1BC且AD,=BC, 所以四边形A,D,CB为平行四边形，所以A,B/ID,C 9 D B D 夕 因为E、F分别是DD、CD的中点，所以EF/ID,C, 所以EF//AB 又两条平行线确定一个平面，所以A,B,E、F四点共面. (2)取AA,中点H,连接DH,GH 正方体ABCD-A,BCD,中，G、H为中点，则GH/IABIIDC,GH=AB=DC, 所以四边形HGCD为平行四边形，所以GC/1HD 正方形ADD,A中，AA,/DD,AA,=DD, 又E、H为中点，所以A,H=ED,A,H//ED, 所以四边形AEDH为平行四边形，所以AE/1HD,所以A,EIIGC 又AEc平面A,BFE,GCc平面A,BFE,所以GC/1平面ABFE. 由(1)知，AB//D,C,同理可得，D,C/I平面ABFE 又D,C∩GC=C,D,C,GCc平面D,CG,所以平面D,CGII平面ABFE 又PDc平面D,CG,所以PD,II平面ABFE 题型3：证明面面平行 方法提炼 证明面面平行的常用方法： (1)定义法：a∩B=☑→a11B 10 ac B bCB (2)平面与平面平行的判定定理： anb=P→a/1B. alla b/la (3)平面平行的传递性：a∥y,B∥y→a∥B (4)线面垂直的性质：a⊥a,a⊥B→a∥B 【例3.1.】下列四个正方体中，A,B,C为所在棱的中点，D,E,F为正方体的三个顶点，则能 得出平面ABC/I平面DEF的是() B F A B E D D B B E D 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断线面平行、证明线面平行、判断面面平行、证明面面平行 【分析】对于A,根据平面平行的定义，可得其正误；对于B,根据中位线定理可得线线平 行，再根据面面平行的判定，可得其正误：对于C,利用反证法，结合面面平行的性质，可 得其正误；对于D,利用反证法，根据面面平行的判定，可得其正误 【详解】对于A选项，若平面ABC/平面DEF,BCc平面ABC,则BC∥平面DEF, 由图可知BC与平面DEF相交，故平面ABC与平面DEF不平行，A不满足条件： 对于B选项，如图所示，连接NG, 11 M E G H D 因为A、C分别为PN、PG的中点， 则AC∥NG,在正方体EHDG-MFNP中，FN∥EG且FN=EG, 故四边形EFNG为平行四边形，所以NG∥EF,所以ACIEF, 因为ACa平面DEF,EFC平面DEF,所以ACII平面DEF, 同理可证BC∥平面DEF,因为AC∩BC=C, 因此，平面ABCI/平面DEF,B满足条件； 对于C选项，如图所示： M B P H D 在正方体PHDG-MNFE中，若平面ABC//平面DEF,且平面DEF 1I平面MNHP, 平面ABC与平面MNHP不重合，则平面ABC//平面MNHP,与平面ABC与平面MNHP相 交矛盾， 因此，平面ABC与平面DEF不平行，C不满足条件； 对于D选项，在正方体PDHG-FNEM中，连接PH、PM、MH,如图所示： D 因为DH∥FM且DH=FM,则四边形DHMF为平行四边形，则DF∥MH, 因为DFa平面PHM,MHc平面PHM,所以DF/I平面PHM, 12 同理可证EF∥平面PHM,，因为DF∩EF=F,所以平面DEFI/平面PHM, 若平面ABC//平面DEF,则平面ABC/I平面PHM,与平面ABC与平面PHM相交矛盾， 故平面ABC与平面DEF不平行，D不满足条件. 故选：B 【例3.2.】如图，在正方体ABCD-A,B,CD,中，点E,F,G分别为棱AD,AB,D,C,的中点 求证：平面AEF/平面GBD D G A B B 【详解】连接FG,又点F,G分别为棱AB,D,C的中点，所以AD=FG,ADI1FG, G D 所以四边形ADGF是平行四边形，所以AF/IDG, 又AFa平面GBD,DGC平面GBD,所以AF/I平面GBD, 连接B,D,又点E,F分别为棱A,D,A,B,的中点，所以EF1/B,D, 在正方体ABCD-A,B,CD中，BB,IIDD1,BB1=DD, 所以四边形DBB,D,是平行四边形， 所以DBI/BD,所以EF //BD, 又EFa平面GBD,DBC平面GBD,所以EFII平面GBD, 又EF∩AF=F,EF,AFc平面AEF,所以平面AEF II平面GBD 【例3.3.】如图，己知正方形ABCD所在平面和平行四边形DBPQ所在平面互相垂直，求证： 平面ADQ∥平面BCP. 13 D 【详解】因为ABCD为正方形，则AD/BC, 且ADd平面BCP,BCC平面BCP,可得ADII平面BCP, 又因为DBPQ为平行四边形，则DQ/1PB, 且DQ丈平面BCP,PBC平面BCP,可得DQ/I平面BCP, 且AD∩DQ=D,AD,DQc平面ADQ,所以平面ADQ∥平面BCP 【例3.4.】如图，在正方体ABCD-A,B,CD中，E为棱DD,的中点，F为棱BB,的中点 点M在棱44的延长线上，且4M-4M,求证：平面MBD1/平面EFC D 【详解】取AA,的中点N,连接BN,EN, M D 4 B 因为E为棱DD,的中点，所以EN∥AD,EN=AD, 又因为BC∥AD,BC=AD,所以EN∥BC 又EN=BC,所以四边形ENBC为平行四边形， 所以BN∥EC 因为MN∥BB,MN=BB, 所以四边形MNBB,为平行四边形， 14 所以BN∥MB,所以EC∥B,M, 又因为ECc平面EFC,MB,丈平面EFC,所以MB,∥平面EFC. 因为DE∥BF,DE=BF, 所以四边形DEFB,为平行四边形，所以EF∥B,D, 又因为EFc平面EFC,B,D,t平面EFC,所以B,D∥平面EFC 又因为B,D1OMB,=B,MB,c平面MB,D,B,D,C平面MBD, 所以平面MB,D,∥平面EFC 题型4：证明线线垂直 方法提炼 证明两直线垂直的常用方法： ()利用平面几何知识，如矩形、等腰三角形的三线合一、勾股定理逆定理、菱形对角线、 圆周角定理等 (2)定义法：证明两条直线夹角是90° (3)线面垂直的性质：a1a,bca→a1b. (4)a⊥a,b∥a→a⊥b (5)a/1b,11a→11b. (⑥三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也 和这条斜线垂直 【例4.1】（多选）已知下面给出的四个图都是正方体，A,B为顶点，E,F分别是所在棱 的中点，则满足直线AB⊥EF的图形有() 15 B F A E B B C D A E 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直、证明异面直线垂直 【分析】利用反证法、线面垂直的判定和性质判断证明各项的正误即可 【详解】A:若C为中点，又E为中点，根据正方体的结构特征有CE⊥平面ACF, ABC平面ACF,则CE⊥AB,如下图示， 又F为中点，根据中位线及正方形的性质有CF⊥AB, 由CE∩CF=C都在平面CEF内，则AB⊥平面CEF, EFC平面CEF,则AB⊥EF,满足； B:如下图示，CE⊥平面ACF,ABc平面ACF,则CE⊥AB, 若AB⊥EF,EFOCE=E都在平面CEF内，则AB⊥平面CEF, CFc平面CEF,则AB⊥CF,显然不成立，不满足； B A E C:如下图示，由中位线及正方形性质易知EF⊥AC, 由BC⊥平面CEF,EFc平面CEF,则EF⊥BC, 16 AC∩BC=C都在平面ABC内，则EF⊥平面ABC, ABC平面ABC,则AB⊥EF,满足； :A C D:若G为中点，又E,F都为中点，如下图示， 根据中位线、正方形的性质易知EG⊥BD,FG⊥AC, 由AD⊥平面BCD,EGC平面BCD,则AD⊥EG, 由BDO AD=D都在平面ABD内，则EG⊥平面ABD, ABc平面ABD,则EG⊥AB,同理可证FG⊥AB, 由EG∩FG=G都在平面EFG内，则AB⊥平面EFG, EFC平面EFG,则AB⊥EF,满足 B G D 故选：ACD 【例4.2】已知三棱柱ABC-A,B,C,中，底面ABC是正三角形，G为△A,BC的重心， ∠AAB=∠AAC,求证：B,B⊥BC C B 【详解】在三棱柱ABC-A,B,C,中，连A,G交BC于D,连AD,由G为△A,BC的重心，得 D为BC的中点， 17 C B G B 由AB=AC,A,A=A,A,∠AAB=∠AAC,得△AAB≌△AAC,则A,B=A,C, 因此AD⊥BC,AD⊥BC,又AD∩A,D=D,AD,A,DC平面A,AD, 于是BC1平面A,AD,而AAC平面AAD,则BC⊥AA,又AA/1B,B, 所以BC⊥B,B 【例4.3】如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD,AB⊥AC,BC=3, 7'已知E为线段BD上一点且BE=2BD 1 CD=7,cos∠BCD= B D 求证：AB⊥CE 【详解】证明：由余弦定理，得 BD2=BC2+CD2-2.BC.CDcos∠BCD=32+72-2x3x7× 故BD=8 又c0s∠CBD=BC2+BD2-CD2_9+64-491 2BC.BD 2×3×82 所以∠CBD= Γ3 又BE=4BD=6,DE=2 在△BCE中，于是CE2=BC2+BE2-2.BC.BEcos∠CBE=9+36-2×3×6× =27, 2 即CE=3V5,BC2+CE2=32+(3V3}=9+27=36=BE2, 故BC⊥CE 又因为平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,而CEc平面BCD, 18 所以CE⊥平面ABC,所以AB⊥CE 【例4.4】如图，在三棱台ABC-DEF中，平面ACFD⊥平面ABC,∠ACB=∠ACD=45°， DC=2BC=2√2 D E 证明EF⊥BD. 【详解】过点D作D0⊥AC于点O,连接OB, E 因为平面ACFD⊥平面ABC,交线为AC,DOc平面ACFD, 所以D0⊥平面ABC, 因为BCc平面ABC,所以DO⊥BC, 因为LACD=45°，所以CD=√2C0, 又DC=2BC=2√2，所以C0=2,BC=√2， 又∠ACB=45°，在△0BC中， 由余弦定理得B0=VOC2+CB2-20C.CBcos45 4+2-2×2V2xV2 =2， 故BO2+BC2=CO2,由勾股定理逆定理得BO⊥BC, 因为D0AB0=0,DO,BOc平面BOD,所以BC⊥平面BOD, 又BDC平面BOD,所以BC⊥BD, 又三棱台ABC-DEF中，EF//BC,所以EF⊥BD; 19 【例4.5】已知直三棱柱ABC-A,B,C中，侧面AA,B,B为正方形，AB=BC,E,F分别为AC, CC,的中点，D为棱AB上的点，BF⊥AB. A D B 证明：AB⊥平面BCC,B;BFLDE. 【详解】因为AA,BB为正方形，所以A,B,⊥BB, 又BF⊥A,B,且BB,OBF=B,BB,BFc平面BCCB, 所以AB⊥平面BCCB, 因为直三棱柱ABC-A,B,C,所以AB,∥AB,所以AB⊥平面BCCB, 取BC中点G,连接EG,B,G,EA,EB,如图所示， A B 因为E、G分别为AC、BC的中点，所以EG∥AB, 则EG⊥平面BCCB, 因为BFC平面BCC,B,所以EG⊥BF, 因为BG=CF,BB,=BC,所以RtABCF≌RtaB,BG, 则∠BB,G=∠FBC,则∠FBC+∠B,GB=90°，所以BF⊥B,G, 因为EG∩B,G=G,EG,B,Gc平面B,EG, 所以BF⊥平面B,EG, 20 因为BEc平面B,EG,所以BF⊥B,E, 因为BF⊥A,B,,且AB1∩BE=B,A,B1,B,EC平面A,B,E, 所以BF⊥平面A,B,E, 因为D为棱AB上的点，所以DEc平面A,B,E, 所以BF⊥DE. 题型5：证明线面垂直 方法提炼 l⊥a 1⊥b (1)线面垂直的判定定理：a∩b=O→1⊥u. aca bca (2)面面垂直的性质定理：a⊥阝，0∩阝=m,1c阝，l⊥m→1⊥a (3)垂直于平面的传递性：a/b,a⊥a→b⊥a (④)a∥B,a⊥a→a⊥B 【例5.1】如图，在三棱锥A-BCD中，AB=√2，平面ABD⊥平面BCD,点O在BD上， 且B0=1,A0=1. 4 求证：AO⊥平面BCD 【详解】在三角形AB0中，AB=√2，B0=1,A0=1,所以AB2=BO2+AO2, 可得AO⊥BD 由于平面ABD⊥平面BCD,AO在平面ABD内，平面ABDO平面BCD=BD, .AO⊥平面BCD. 21 【例5.2】如图1是一个由菱形ABCD和两个直角三角形△ADQ和△CDP所组成的平面图 形，其中PD⊥CD,QD⊥AD,现将△ADQ和△CDP分别沿AD,CD折起，使得点P与点Q 重合于点S,连接BS,得到如图2所示的四棱锥S-ABCD.求证：AC⊥平面SBD: 图1 图(2) 【详解】连结AC,交BD于点O, 0 B 又：底面ABCD为菱形，AC⊥BD 由题可得SD⊥AD,SD⊥CD,且AD∩CD=D,ADc平面ABCD,CDC平面ABCD, SD⊥平面ABCD,又ACc平面ABCD,.SD⊥AC, :SD∩BD=D,SDC平面SBD,BDc平面SBD, .AC⊥平面SBD, 【例5.3】如图，在五面体ABCEA,B,中，CE⊥平面ABC,CE∥AA,四边形ABB,A,为矩 形，AB⊥AC,AB=AC=V5,AA=4,CE=1. 22 A B B 证明：AE⊥平面A,B,E. 【详解】在矩形ABB,A中，4B∥AB,AB⊥AA, 因为AB⊥AC,AA,∩AC=A,AA,ACc平面A,ACE, 所以AB⊥平面A,ACE.,因为AEc平面AACE,所以AB⊥AE,即A,B,⊥AE. 因为CE⊥平面ABC,ACc平面ABC,所以CE⊥AC. 过点E作EF⊥AA,垂足为F. A B E B AE=AC+CE=2.AF=1,AF=3,EF=3,AE=AF2+EF2=213, 所以A,E2+AE2=AA2,即AE⊥A,E. 又A,B,∩A,E=A,,A,B,AEc平面A,BE, 所以AE⊥平面A,B,E. 【例5.4】如图，长方体ABCD-A,B,C,D的底面ABCD是正方形，AB=2,AA=4,M, N分别为棱AA,CC,的中点. 23 D B D A B 求证：AN⊥平面BDM; 【详解】连接MC,BC1,DC,因为ABCD-A,B,CD1是长方体， D C A B M M,N分别为棱AA,CC的中点，所以AM/INC,且AM=NC, 所以四边形AMC,N为平行四边形，所以AN /IMC,. 因为AB=2,A4=4,所以BM=V22+22=2V2, BC=V22+42=2V5,MC=V22+22+22=2√5， 则有MC+BM2=BC,则有MC,⊥BM: 同理，MC⊥DM,并且BM ODM=M,BM,DMC平面BDM, 所以MC,⊥平面BDM,又因为AN∥MC,所以AN⊥平面BDM: 【例5.5】已知ABC与△ABE都是等边三角形，平面ABE⊥平面ABC,CD⊥平面ABC, AB=2,CD=3 24 证明：DE⊥平面ABE 【详解】证明：取AB的中点O,连接OE,OC, D 因为△ABE,ABC是等边三角形，所以OE⊥AB,OC⊥AB 因为平面ABE⊥平面ABC,平面ABEO平面ABC=AB, 所以OE⊥平面ABC,OC⊥平面ABE, 因为CD⊥平面ABC,所以OEIICD, 又0E=VAE2-A02=√4-1=3=CD, 所以四边形OCDE是平行四边形， 所以OCIIDE, 所以DE⊥平面ABE 题型6：证明面面垂直 方法提炼 (I)定义法：若两个平面所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直 (2)面面垂直的判定定理：1⊥，IcB→a⊥B (3)1/1a,l⊥B→⊥B (4)a11B,a⊥y→B⊥y. 25 【例6.1】如图，在正方体ABCD-A,B,CD,中，E为DD,的中点 D A B E B 求证：平面BDD,⊥平面ACE. 【详解】因为DD⊥平面ABCD,ACc平面ABCD,所以DD⊥AC, 又AC⊥BD,BD,DD,C平面BDD,BD∩DD=D, 所以AC⊥平面BDD, 又ACC平面ACE,所以平面BDD,⊥平面ACE 【例6.2】如图，在矩形ABCD,E是线段AB上的一点，将ADE沿DE翻折，使A点到 达P的位置，且点P不在平面BCDE内. D A E ⊙ 若平面PCD⊥平面BCDE,证明：平面PDC⊥平面PBC; 【详解】因为四边形ABCD是矩形，所以BC⊥DC. 因为平面PCD⊥平面BCDE,平面PCDn平面BCDE=DC,BCc平面BCDE, 所以BC⊥平面PCD, 而BCc平面PBC,因此平面PDC⊥平面PBC. 【例6.3】如图，圆柱OO,轴截面ABB,A是正方形，动点C在底面圆周上. 26 A 6 求证：平面A,AC⊥平面BBC 【详解】如图，连接BC, A B ,BB∥CC且BB,=CC,所以四边形BB,CC为平行四边形，所以BCIB,C :AA⊥平面ABC,BCC平面ABC,.AA⊥BC 又：AB为圆O的直径：AC⊥BC :AC⊥BC,AA,⊥BC,AC∩AA=A,ACC平面AA,C,AA,C平面AAC, BC⊥平面AAC,又：BC∥B,C,B,C1⊥平面AAC,BC,C平面BCB ·.平面AA,C⊥平面BCB 【例6.4】如图，在四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，底面ABCD为平行四边形，AC与BD交于 点O,B在底面ABCD的投影为O,F为B,C中点 A C B 证明：平面CFD⊥平面ABCD 27 【详解】取CD中点E,连接B,O、FE、OE, A D B C B 因为OEC/B,F,且OE=3BC=BF, 所以四边形B,OEF为平行四边形，所以BO/FE, 因为B,O⊥平面ABCD,所以FE⊥平面ABCD, 又因为FEc平面CFD，,所以平面CFD⊥平面ABCD 【例6.5】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，平面PAB⊥平面ABCD, △PAB是等边三角形，E为侧棱PB的中点，F为线段BC上一点. B 证明：平面AEF⊥平面PBC 【详解】：平面PAB⊥平面ABCD,平面PABO平面ABCD=AB,BC⊥AB,且BCc平 面ABCD,则BC⊥平面PAB, 因AEC平面PAB,则BC⊥AE,又PA=AB,PE=EB,则AE⊥PB, 因PBBC=B,PB,BCC平面PBC,则AE⊥平面PBC, 又AEc平面AEF,故平面AEF⊥平面PBC 28第八章空间直线、平面的平行与垂直 目录 题型1：证明线线平行2 题型2：证明线面平行 3 题型3：证明面面平行， 5 题型4：证明线线垂直… 7l 题型5：证明线面垂直.9 题型6：证明面面垂直 .11 1 题型1：证明线线平行 方法提炼 证明线线平行的常见方法： (1)平行线的传递性：a∥b,b∥c→a∥c. (2)中位线法/平行四边形法. (3)平行线分线段成比例定理的逆定理 (④线面平行的性质定理：a1/Q,acB,a∩B=b→a∥b. (⑤)面面平行的性质定理：a/B,a∩y=a,B∩y=b→a11b ( )线面垂直的性质定理：a上a,b上a→a/b 【例1.1】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PBC∩平面PAD=I,证明： BC//. D 【例1.2.】如图，在直四棱柱 BCD-ABCD中，底面4BCD是菱形，点P在 上 BC∩CB=E BP ABC CPIEF ,直线”与平面交于点F,求证： D B A B PD 【例1.3.】如图，正四棱柱 BCD-ABCD中，P为楼CC上一动点，平面 截正四棱柱所 于点求证 AA D,Q∥BP 得截面交棱 【例14.】如图所示，在正方体 BCD-4BCD中，EF与4C,AD 都垂直相交，垂足分别是 F、点E求证： EF//BD D A B E、 【例1.5】如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD,M,N分别为CD,PD 的中点，4C与BM交于点E,AB=6N2:K为PH上一点，PK=PA. 3 证明：KEIIMN: 题型2：证明线面平行 方法提炼 证明线面平行的常见方法： (①)定义法：a∩α=2，直接证明比较困难，一般是结合反证法来证明，即只有排除“在平面 内”或“相交”这两种位置关系才能得到“直线与平面平行”的结论 aca bca→a//a (2)直线与平面平行的判定定理： a//b (3)面面平行的性质定理：a/1B,aca→a/1B 【例21】如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC,AD=3,DE=2EP,BC=; 求证：PB∥平面ACE: 4 【例2.2.】如图，在直三棱柱 BC-4BG中，点E,F分别为棱 C,AB 的中点 A B F B AACC 证明：直线EF/平面 【例2.3】如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC,M,N分别是PB,CD的中点， M 求证MN∥平面PAD: ABCD-ABC D 中，点MN分别在线段8D,4D上」 BM=A N 【例2.4.】如图，正方体 上，且 D M B D 证明：MNII平面CDDC. 【例2.5.】如图，在平行四边形ABCD中，点E为AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成 △4DE(点4不在面BCD5内)，点F为4C的中点在△MDE想折过程中， 5 证明：直线FB∥平面4DE 【例2.6.】如图，在正方体 BCD-ABCD中，E、F、G分别是D0 DD CD BB 的中点 D B A D B (1)证明： AB,E、F四点共面， (2)若P是线段CG上的动点，证明： PD/ABFE 平面 题型3：证明面面平行 方法提炼 证明面面平行的常用方法： I)定义法：a∩B=O→a1IB acB bCB a∩b=P→a/1B alla (2)平面与平面平行的判定定理： blla 6 (3)平面平行的传递性：a',P'→aB (4线面垂直的性质：a1,a1B→awB. 【例31】下列四个正方体中，A,B,C为所在棱的中点，D,E,F为正方体的三个顶点，则能得 出平面ABCII平面DEF的是() E B B O F 分 E F ! C D ABCD-ABCD E.F,G AD,AB,DC 【例3.2.】如图，在正方体 中，点 分别为棱 的中点 求证：平面AEF平面GBD. D G C E A F 【例3.3】如图，已知正方形ABCD所在平面和平行四边形DBPQ所在平面互相垂直，求证：平 面ADO∥平面BCP. 7 Q BCD-AB,CD中，E为楼DD的中点，F为棱A8的中点 DD BB 【例3.4.】如图，在正方体 点M在棱M的延长线上，且4M=4,求证：平面MBB/平面EFC D 题型4：证明线线垂直 方法提炼 证明两直线垂直的常用方法： (1)利用平面几何知识，如矩形、等腰三角形的三线合一、勾股定理逆定理、菱形对角线、圆 周角定理等 (2)定义法：证明两条直线夹角是90° (3)线面垂直的性质：a⊥a,bca→a⊥b (4)a1a,b∥a→a⊥b (5)a/1b,11a→11b 8 (⑥三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它 也和这条斜线垂直 【例4.1】（多选）已知下面给出的四个图都是正方体，A,B为顶点，卫，F分别是所在 棱的中点，则满足直线AB⊥EF的图形有() B B F B A E B B 0 E A 【例4.2】己知三棱柱 BC4BC中，底面△M8C是正三角形，G为AABC 重心， ∠AAB=∠AAC BB⊥BC ,求证： 9 G B C B 【例4.3】如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD,AB⊥AC,BC=3, CD=7,cos∠BCD三-，，已知E为线段BD上一点且BE=3BD B D 求证：AB⊥CE 【例4.4】如图，在三棱台ABC-DEF中，平面ACFD⊥平面ABC,∠ACB=∠ACD=45°， DC=2BC=22 D E 证明EF⊥BD. ABB 【例4.5】己知直三棱 ABC-ABG中，侧面 为正方形，AB=BC,E,F分别为 CC AC, 的中点，D为楼18上的点， BF⊥AB, 10 B BCC B 证明：AB⊥平面 ；BFLDE. 题型5：证明线面垂直 方法提炼 l⊥a 1⊥b a∩b=O→1⊥ aca (1)线面垂直的判定定理： bca (2)面面垂直的性质定理：a1B,a∩B=m,lcB,1Lm→1⊥a (3)垂直于平面的传递性：a/b,aLa→b⊥a (4)a1B,a⊥a→aLB 【例5,1】如图，在三棱锥4←BCD中，B=V5,平面ABD1平面A BCD BD上， ,点在 且B0=1,A0=1. A 11 求证：AO⊥平面BCD 【例5.2】如图1是一个由菱形ABCD和两个直角三角形△ADQ和△CDP所组成的平面图 形，其中PD⊥CD,QD⊥AD,现将△ADO和△CDP分别沿AD,CD折起，使得点P与点 9 BS S-ABCD AC⊥ SBD 重合于点，连接，得到如图2所示的四棱锥 .求证： 平面 D B 图1 图(2) 【例5.3】如图，在五面体 8CE44中.CE1子有48C.CE.四边 ABBA为矩 形，AB⊥AC,AB=AC=5.A4=4CE=1 A B B 证明： EL平面486 ABCD-ABCD 【例5.4】如图，长方体 的底面ABCD是正方形，B=2,M=4,M AA CC N分别为棱 的中点。 12 D C M D C B 求证：AW⊥平面BDM: 【例5.5】己知△ABC与△ABE都是等边三角形，平面ABE⊥平面ABC,CD⊥平面ABC, AB=2 CD=3 D E B 证明：DE⊥平面ABE. 题型6：证明面面垂直 方法提炼 (1)定义法：若两个平面所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直 (2)面面垂直的判定定理：11a,1cB→a⊥B )111a,1LB→a⊥B 4a/1B,a⊥y→B⊥y. 13 ABCD-AB,CD, DD 【例6.1】如图，在正方体 中，E为的中点 D E D B BDD⊥ 求证：平面 平面ACE 【例6.2】如图，在矩形ABCD,E是线段AB上的一点，将△ADE沿DE翻折，使A点到 达P的位置，且点P不在平面BCDE内. P D A B 若平面PCD⊥平面BCDE,证明：平面PDC⊥平面PBC; 00, ABBA C 【例6.3】如图，圆柱轴截面 是正方形，动点在底面圆周上 A B 平面98g 求证：平面44C 【例6.4】如图，在四棱 ABCD-ABCD中，底面 BCD为平行四边形， AC与BD交 丁点0,8在底面18CD的投影为Q,F为8C中点 B 14 D B C O B 证明：平面CFD⊥平面ABCD 【例6.5】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，平面PAB⊥平面ABCD, △PAB是等边三角形，E为侧棱PB的中点，F为线段BC上一点 E 证明：平面AEF⊥平面PBC. 15