9.2.4 总体离散程度的估计教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学教学设计聚焦“总体离散程度的估计”，核心知识点为用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差）。课堂通过射击运动员成绩比较情境导入，在已学集中趋势参数基础上，发现成绩波动差异，引出离散程度度量需求，搭建知识支架。 特色在于情境驱动与问题链探究，以射击成绩分析为实例，引导学生从极差到方差、标准差的概念生成，培养数学抽象与数学运算素养。通过电子表格计算、跟踪训练巩固，帮助学生理解统计含义，提升数据分析能力，教师教学逻辑清晰，易实施。

教学设计 课题 9.2.4 总体离散程度的估计 学科 数学 年级 高一 教学目标 1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差）.（数学运算） 2.理解离散程度参数的统计含义.（数学抽象） 重点 用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差）. 难点 用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差）. 教学环节 教学过程 设计意图 新课导入 情境导入：问题3 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？ 设置问题情境，激发学生学习兴趣，培养学生严谨的逻辑思维能力，并引出本节新课. 新课讲授 知识点：总体离散程度的估计 师生活动：学生提出评价标准，教师利用电子表格软件进行计算，并请学生回答如何决策，原因是什么． 通过简单的排序和计算，可以发现甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数都是7．从这个角度看，两名运动员之间没有差别．但从图中看，甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中，即甲的成绩波动幅度比较大，而乙的成绩比较稳定．可见，他们的射击成绩是存在差异的．那么，如何度量成绩的这种差异呢？ 一种简单的度量数据离散程度的方法就是用极差．根据甲、乙运动员的10次射击成绩，可以得到甲命中环数的极差 ，乙命中环数的极差 ． 可以发现甲的成绩波动范围比乙的大． 极差在一定程度上刻画了数据的离散程度．但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少． 我们知道，如果射击的成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远；相反，如果射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远．因此，我们可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的“平均距离”来度量成绩的波动幅度． 教师提问：你还能想出其他刻画数据离散程度的办法吗？ 学生回答：方差和标准差． 教师提问：如何定义“平均距离”？ 教师讲解假设一组数据是，用表示这组数据的平均数．我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”，即作为到的“距离”．可以得到这组数据到的“平均距离”为． 教师提问：想一想，为什么用“平均距离”刻画离散程度，用“总距离”行吗？ 学生回答：行，但是不如“平均距离”更直观． 为了避免式中含有绝对值，通常改用平方来代替，即． 方差：称为这组数据的方差．有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成以下形式． 可以使用计算器求一组数据的方差．需要注意的是，计算器可能按计算方差，此时需要乘进行调整． 标准差：由于方差的单位是原始数据的单位的平方，与原始数据不一致．为了使二者单位一致，我们对方差开平方，取它的算术平方根，即．称为这组数据的标准差． 教师提问：标准差的取值范围是什么？标准差为0的一组数据有什么特点？ 学生回答标准差的取值范围是非负值；标准差为0的一组数据都相等． 总体方差与总体标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为，总体平均数为，则称为总体方差，为总体标准差． 与总体均值类似，总体方差也可以写成加权的形式．如果总体的N个变量值中，不同的值共有个，不妨记为，其中出现的频数为，则总体方差为． 样本方差与样本标准差：如果一个样本中个体的变量值分别为，样本平均数为，则称为样本方差，为样本标准差． 标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．显然，在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的．但在解决实际问题中，一般多采用标准差． 在实际问题中，总体平均数和总体标准差都是未知的．就像用样本平均数估计总体平均数一样，通常我们也用样本标准差去估计总体标准差．在随机抽样中，样本标准差依赖于样本的选取，具有随机性． 在问题3中，我们可以根据标准差来判断两名运动员的成绩的离散程度，计算可得 ．由 可知，甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小．由此可以估计，乙比甲的射击成绩稳定． 如果要从这两名选手中选择一名参加比赛，要看一下他们的平均成绩在所有参赛选手中的位置．如果两人都排在前面，就选成绩稳定的乙选手，否则可以选甲． 例6 在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62．你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？ 样本标准差刻画了数据离平均数波动的幅度大小，平均数和标准差一起能反映数据取值的信息． 跟踪训练 1.已知一组数据3，5，7，4，6，则该组数据的标准差为( ) A.1 B. C. D.2 2.某班50名学生骑自行车和骑电动车到校所需时间统计如下： 到校方式 人数 平均用时/分钟 方差 骑自行车 20 30 36 骑电动车 30 20 16 则这50名学生到校时间的方差为( ) A.48 B.46 C.28 D.24 3.某校高一年级开设了丰富多彩的校本课程，现从甲、乙两个班随机抽取了5名学生校本课程的学分，统计如表： 甲 8 11 14 15 22 乙 6 7 10 23 24 用，分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的方差，计算它们的方差，得__________，并由此可判断成绩更稳定的班级是__________班. 培养学生学会数形结合的方法和能力. 通过案例，帮助学生回忆方差的概念和统计意义，并掌握应用方差刻画一组数据的离散程度. 利用问题情境探究得出“平均距离”，培养学生探索的精神. 让学生主动探索多个统计量刻画数据的离散程度，并认识到每个统计量的优缺点. 将总体方差的计算公式在问题的推广到一般，让学生体会由具体到一般的思想. 巩固对方差和标准差的理解. 利用例题引导学生对统计结果进行解释，加深本节课知识的掌握. 通过课堂练习，让学生反复巩固极差、方差和标准差的公式及其统计意义，并能够灵活运用. 课堂小结 用样本估计总体的离散程度参数 （标准差、方差、极差） 通过总结，进一步巩固本节所学. 板书设计 9.2.4 总体离散程度的估计 用样本估计总体的离散程度参数 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $