9.2.4总体离散程度的估计 教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

高中数学人教A版必修二教学设计 年级：高一 学科：数学 授课人： 9.2.4《总体离散程度的估计》教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求： 根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》必修课程“统计”主题，学生应能够：理解方差、标准差的含义，会计算方差和标准差，掌握用样本方差、标准差估计总体方差、标准差的方法，体会统计思想在刻画数据离散程度中的作用. 课标分析： 本节课是在学生学习集中趋势（平均数、中位数、众数）之后，研究数据的离散程度.课标强调“理解”和“会计算”，教学中应从实际情境（如射击比赛成绩的稳定性）出发，引导学生发现仅用集中趋势不能全面刻画数据，进而引入极差、方差、标准差等离散程度指标.重点在于方差、标准差的计算公式及其意义（反映数据相对于平均数的平均偏离程度），难点是方差公式的推导（平均距离的平方化处理）以及分层随机抽样下总样本方差的计算.本节课对培养数据分析、数学运算和逻辑推理素养具有重要意义. 2、 教材分析 “总体离散程度的估计”是人教A版必修第二册第九章第2.4节内容.教材以两名射击运动员10次射击成绩为例，发现两人的平均数、中位数、众数相同，但成绩的稳定性不同，从而引出对离散程度刻画的必要性.教材介绍了极差（最大值与最小值的差），指出其信息量少；然后引入“平均距离”概念——各数据与平均数差的绝对值的平均数，但为了方便数学处理，将其平方后再平均得到方差，再开方得到标准差.教材还通过例题，让学生掌握方差、标准差的计算，以及分层抽样下总样本方差的计算方法.本节内容是数据分析的重要工具，也是后续学习正态分布、统计推断的基础. 3、 学情分析 学生已经学习了平均数、中位数、众数等集中趋势统计量，能熟练计算平均数，并已在物理或日常生活中接触过“波动大小”的概念.但是，对方差、标准差这种全新的统计量，学生可能对公式中的平方和开方感到抽象，不理解为什么要平方而不是取绝对值.另外，方差的计算涉及大量平方和运算，容易出错.分层总样本方差的计算公式较复杂，学生容易混淆权重的取法.教师应通过具体数据的计算、对比和意义解释，帮助学生理解方差和标准差的实际含义，并通过分层练习掌握计算方法. 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：从数据与平均数的“距离”概念中抽象出方差、标准差的定义，理解它们刻画数据离散程度的本质. 1. 逻辑推理素养：能说明为什么用平方和而不用绝对值和来度量离散程度，能推导方差与标准差的关系，能解释极差、方差、标准差在描述数据波动上的优劣. 1. 数据分析素养：能计算一组数据的方差和标准差，能利用样本方差估计总体方差，能比较不同组数据的稳定性. 1. 数学运算素养：能熟练运用方差公式进行数值计算，能通过平方和简化公式（）提高计算效率，能解决分层随机抽样下的总样本方差问题. 1. 数学建模素养：能将实际问题（如产品质量控制、选手选拔）抽象为离散程度估计模型，并利用方差、标准差做出合理决策. 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：方差、标准差的定义与计算；用样本方差估计总体方差. 1. 难点：方差公式中“平方”的合理性理解；分层随机抽样总样本方差的计算公式. 6、 教学过程 环节一：检查预习 1. 展示预习问题： （1）极差是一组数据中______与______的差. 答案：最大值；最小值. （2）一组数据 的方差 ______，标准差 ______. 答案：；. （3）已知一组数据的方差为 16，则标准差为______. 答案：4. （4）样本方差与总体方差的关系：样本方差通常用来估计______. 答案：总体方差. 2. 请学生回答，教师点评并强调方差公式中的平方与平均. 环节二：引入课题 1. 教师提问： (1) 刻画一组数据的集中趋势有哪些统计量？它们分别有什么优缺点？ (2) 学生回答：平均数、中位数、众数.平均数反映平均水平但易受极端值影响，中位数稳健，众数适用于分类数据. (3) 追问：如果两组数据的平均数相同，我们能否说它们的数据分布完全一样？举例说明. 2.学生举例后，教师引入：还需要考察数据的离散程度. 环节三：合作探究 1. 极差与平均距离的概念（5分钟） 教师展示两名运动员的射击成绩（环数）： 甲：7, 8, 6, 7, 7, 8, 7, 9, 5, 6（平均 = 7） 乙：7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7（平均 = 7） 问：谁的成绩更稳定？为什么？ 学生答：乙稳定，因为数据都集中在7附近. 追问：如何用数量描述这种“集中”或“分散”？ 极差：甲最大值9，最小值5，极差4；乙极差0.极差简单但只用了两个极端值，信息少. 平均距离：将每个数据与平均数的差的绝对值加起来再平均，称为平均绝对偏差. 计算甲：. 乙：0. 教师说明：平均绝对偏差能反映波动，但数学上处理不方便（绝对值不可导），因此常改用平方. 2. 方差与标准差（5分钟） 方差定义：，反映数据与平均数的平均平方距离. 计算甲： . 标准差 . 乙的方差为0，标准差为0. 教师解释：方差是原始数据单位的平方，为了统一单位，引入标准差（与原数据单位相同）. 学生通过计算体会：方差（标准差）越大，数据越分散；越小越集中. 3. 方差计算的简化公式（5分钟） 教师推导：. 因此 . 此公式在计算时更加方便，特别是样本量较大时. 举例：用简化公式重新计算甲的方差：， ，，结果一致. 环节四：学以致用 1. 基础练习（5分钟） 例1：计算下列数据的方差和标准差（结果保留两位小数）：5, 7, 9, 11, 13. 解：平均数 . $(5-9)^2=16, (7-9)^2=4, (9-9)^2=0, (11-9)^2=4, (13-9)^2=16$. 方差 $s^2 = (16+4+0+4+16)/5 = 40/5 = 8$.标准差 $s = \sqrt{8} \approx 2.83$. 答案：，. 例2：判断下列说法是否正确. （1）方差越大，数据越稳定.（ ） （2）标准差与原始数据的单位相同.（ ） （3）若一组数据的方差为0，则所有数据都相等.（ ） （4）样本方差和总体方差的计算公式完全相同.（ ） 答案：（1）×（越大越不稳定）；（2）√；（3）√（因为每个数据都等于平均数）；（4）×（样本方差分母是 的无偏估计，但高中阶段通常用 ，需注意区分）. 例3：已知一组数据的平均数为 10，方差为 4，求每个数据都加上 5 后的平均数与方差. 解：每个数据加 5，平均数也加 5，变为 15；方差不变（因为波动程度不变），仍为 4. 答案：平均数15，方差4. 2. 综合练习（7分钟） 例4（多选题）：关于方差和标准差，下列说法正确的有（ ） A. 标准差是方差的算术平方根 B. 方差越小，数据越稳定 C. 一组数据的标准差不可能为负数 D. 若每个数据都乘以2，则方差变为原来的4倍 答案：A、B、C、D（D：新方差 = ）. 例5：甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别是： 甲：0, 1, 0, 2, 2, 0, 3, 1, 2, 4 乙：2, 3, 1, 1, 0, 2, 1, 1, 0, 1 （1）分别计算两台机床次品数的平均数和方差； （2）哪台机床的性能更稳定？ 解： （1）甲平均数 甲； 方差 甲. 计算各项平方和：(2.25+0.25+2.25+0.25+0.25+2.25+2.25+0.25+0.25+6.25)=16.5， 甲. 乙平均数 乙； 方差平方和：(0.64+3.24+0.04+0.04+1.44+0.64+0.04+0.04+1.44+0.04)=6.6， 乙. （2）乙的方差较小，因此乙机床更稳定. 例6：已知样本数据 的平均数为 ，方差为 . （1）求数据 （ 为常数）的方差； （2）利用这个结论，简化例5中甲、乙数据的方差计算（如用简便方法）. 解： （1）， . 所以方差变为原来的 倍，与 无关. （2）例如，若将甲数据统一减去1.5（或进行线性变换），可简化计算，但略. 例7：某学校甲、乙两个班级各10名学生的数学成绩如下（满分100分）： 甲：85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94 乙：70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 65, 85, 90 （1）计算两班成绩的平均数和方差； （2）如果学校要表彰成绩稳定的班级，应选哪个班？ 解： （1）甲班平均数 = (85+94)×10/2/10? 等差数列平均 = (85+94)/2 = 89.5； 方差计算：每个数据与89.5的差：-4.5,-3.5,-2.5,-1.5,-0.5,0.5,1.5,2.5,3.5,4.5，平方和为 ，方差 甲. 乙班平均数 = (70+75+80+85+90+95+100+65+85+90)/10 = (70+75+80+85+90+95+100+65+85+90) = 835/10=83.5； 方差计算略（数值较大）. （2）甲班方差小，成绩更稳定，应选甲班. 例8：分层随机抽样的总样本方差计算.已知甲层有30人，平均分为80，方差为4；乙层有20人，平均分为70，方差为9.求这50人总体的平均分和方差. 解： 总平均 . 总方差公式：. 可以证明：. 计算：. . 总平方和 = 300+1200=1500，总方差 = 1500/50 = 30. 环节五：课堂小结 1. 请学生回顾： (1) 极差的定义及其局限性. (2) 方差、标准差的计算公式及意义（反映数据波动大小）. (3) 简化公式 . (4) 数据线性变换下方差的变化规律（）. (5) 分层总体的方差公式. 1. 教师强调： (1) 方差、标准差是衡量数据稳定性的重要指标. (2) 样本方差通常作为总体方差的估计. 3.注意区分总体方差与样本方差分母的差异（n 与 n-1），但高中阶段常以 n 计算. 环节六：布置作业 1. 书面作业： (1) 完成课本第214页练习第1、2、3题. (2) 配套课时达标检测《总体离散程度的估计》. 1. 拓展作业： 调查班级同学某次考试成绩，计算方差和标准差，说明成绩的波动情况. 1. 预习引导： 预习全章复习，构建统计知识网络. 授课人个案修改记录： 本节课从射击成绩稳定性问题出发，学生理解了用方差、标准差刻画离散程度的必要性.通过对比平均绝对偏差和方差，学生体会了平方处理的数学便利.在计算中，学生通过原始公式和简化公式两种方式计算方差，提高了计算效率.分层总体方差公式的推导和应用，让学生体会了统计方法在复杂数据下的灵活性.不足之处：部分学生对方差公式的“平方”原因理解仍浅，可补充说明平方函数的光滑性和可导性；另外，在分层方差计算中，公式的推导可适当放慢，多举例巩固.整体上，本节课达成了教学目标，为后续学习正态分布等打下基础. 学科网（北京）股份有限公司 $