9.2.2总体百分位数的估计教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

高中数学人教A版必修二教学设计 年级：高一 学科：数学 授课人： 9.2.2《总体百分位数的估计》教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求： 根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》必修课程“统计”主题，学生应能够：理解百分位数的概念，掌握第 百分位数的计算方法，能用样本估计总体百分位数，体会用样本估计总体的思想. 课标分析： 本节课是统计描述的重要补充，在学生已经掌握用平均数、中位数等描述数据集中趋势的基础上，进一步学习用百分位数描述数据在不同位置上的分布特征.课标强调“理解”和“掌握”，教学中应从实际情境（如学生成绩排名、身体发育指标等）出发，引导学生理解第 百分位数的意义——有 的数据小于或等于这个数.重点在于原始数据求百分位数的步骤（排序、计算位置、取数）以及使用频率分布直方图估算百分位数的方法.难点是对百分位数定义中“至少”与“至多”的理解以及直方图估算时比例插值的计算.本节课对培养数据分析、数学运算和数学抽象素养具有重要作用. 2、 教材分析 “总体百分位数的估计”是人教A版必修第二册第九章第2.2节内容.教材从“百分位数在统计中的应用（如优秀率、合格线划定）”引入，通过具体样本数据（女生身高）给出了求第25、50、75百分位数的方法.首先明确百分位数的定义：一般地，一组数据的第 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 的数据小于或等于这个值，且至少有 的数据大于或等于这个值.然后给出了计算步骤：① 排序；② 计算 ；③ 若 不是整数，则取第 个数据；若 是整数，则取第 个与第 个数据的平均数.同时，教材也介绍了利用频率分布直方图估算百分位数的方法（通过面积比例插值）.本节内容为学生后续学习箱线图、比较数据分布提供工具. 3、 学情分析 学生已经学习了频率分布直方图，能通过图形描述数据分布，也掌握了平均数、中位数等统计量，但中位数只是第50百分位数的特例.学生对“百分位数”概念较为陌生，容易与“百分比”混淆.求百分位数时，索引 的计算和取整规则是易错点.特别是当 为整数时，需取第 个与第 个的平均数，学生容易直接取第 个.此外，从频率分布直方图中估算百分位数需要用到比例插值，对学生的数形结合能力要求较高.教师应通过具体示例、分步演示和变式练习，帮助学生正确掌握方法. 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：从具体数据排序与位置划分中抽象出百分位数的定义，理解其统计意义. 1. 逻辑推理素养：能根据百分位数的定义推导出中位数是第50百分位数，能解释计算规则（取整数位置或平均数）的合理性. 1. 数据分析素养：能根据原始数据计算第 百分位数，能从频率分布直方图估算百分位数，能根据实际问题选择合适的分位数进行分析. 1. 数学运算素养：能熟练进行百分位数索引的数值计算，能正确判断取整规则，能进行比例式运算. 1. 数学建模素养：能将实际问题（如学生成绩排名、人体发育指标评价）转化为百分位数模型，并利用样本估计总体特征. 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：第 百分位数的定义及计算步骤；利用频率分布直方图估算百分位数的方法. 1. 难点：理解百分位数定义中“至少 小于或等于”的含义；当索引为整数时取两个数的平均数；直方图估算时的插值计算. 6、 教学过程 环节一：检查预习 1. 展示预习问题： （1）第 百分位数的定义：一组数据的第 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 的数据______或______这个值，且至少有 的数据______或______这个值. 答案：小于；等于；大于；等于. （2）计算百分位数的步骤：① 将数据______排列；② 计算 ______；③ 若 不是整数，则取第______个数据；若 是整数，则取第 个与第 个数据的______. 答案：从小到大；（或 ）；；平均数. （3）样本数据：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8，则第25百分位数为______. 答案：，，是整数，取第2个和第3个的平均数 . （4）在第 百分位数定义中，为什么强调“至少”？ 答案：因为当数据量 不能使 恰好为整数时，需要取附近的数来满足条件. 2. 请学生回答，教师点评并强调索引计算和取整规则. 环节二：引入课题 1. 教师提问： (1) 在统计中，我们常用哪些数来刻画数据的集中趋势？ (2) 学生回答：平均数、中位数、众数. (3) 追问：中位数有什么特点？如果将一组数据从小到大排列，中位数将数据分成几部分？ (4) 学生回答：分成左右两半，各占50%. 2.教师：中位数就是第50百分位数.今天我们学习其他位置的百分位数. 环节三：合作探究 1. 百分位数的定义与计算方法（5分钟） 教师出示一组样本数据（某班级10名学生的数学成绩）：65, 70, 72, 75, 78, 80, 82, 85, 88, 90. 提问：第30百分位数是多少？ 步骤： （1）排序（已排好）； （2），，（整数）； （3）取第3个数据 和第4个数据 的平均数 . 解释：73.5这个值使得至少有30%的数据小于或等于它（实际上73.5大于等于第3个数据72，小于第4个，小于等于73.5的有3个，占30%），也至少有70%的数据大于或等于它（有7个≥73.5？实际≥73.5的有8个，≥条件也满足）. 教师总结公式：设 ， 若 不是整数，取第 个数据； 若 是整数，取第 与第 个数据的平均数. 特别地，中位数是第50百分位数. 2. 示例：求第25、50、75百分位数（女生身高数据）（5分钟） 教师呈现教材中某校高一年级女生的身高样本数据（已排序），共 个数据（可简化为6个数据示例以便计算）. 设数据：152, 155, 158, 160, 162, 165（实际应用中应30个，这里为快速演示）. 第25百分位数：？若按30个， 取第8个数据.若按6个数据，则 ，取第2个数155. 第50百分位数：（整数），取第15和第16个平均数. 第75百分位数：，取第23个数据. 强调：无论数据多少，严格按步骤计算. 3. 利用频率分布直方图估算百分位数（5分钟） 教师以教材中某次测试成绩的频率分布直方图为例（设横轴分数区间，纵轴频率/组距），说明如何估算第80百分位数. 步骤： （1）计算各组的累积频率； （2）找到累积频率首次达到或超过 的组； （3）在该组内按比例插值计算：设该组下限为 ，组距为 ，组内频率为 ，达到该组前累积频率为 ，需要增加的比例为 ，则百分位数 . 举例：某直方图中，[60,70) 累积频率0.3，[70,80) 频率0.4，[80,90) 频率0.2，求第75百分位数. 累积到[70,80) 时为0.7 <0.75，到[80,90) 时为0.9 >0.75，所以第75百分位数在 [80,90) 内. 则 . 环节四：学以致用 1. 基础练习（5分钟） 例1：判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”. （1）第25百分位数也叫下四分位数，第75百分位数也叫上四分位数.（ ） （2）中位数是第50百分位数.（ ） （3）一组数据中，第80百分位数对应的数据一定大于第70百分位数.（ ） （4）求百分位数时，若 是整数，则取第 个数据即可.（ ） 答案：（1）√；（2）√；（3）√（因为数据递增，百分位数随着 增大而增大）；（4）×（应取第 与第 的平均数）. 例2：已知一组从小到大排列的数据：2, 5, 7, 8, 10, 12, 13, 15, 18, 20. （1）求第30百分位数； （2）求第60百分位数. 解： （1），（整数），取第3和第4个的平均值 . （2）（整数），取第6和第7个的平均值 . 例3：某次考试有20名学生参加，成绩从小到大排列后，第10个成绩为75分，第11个为78分，则第50百分位数为多少？这说明了什么？ 解：第50百分位数就是中位数，，（整数），故取第10和第11个的平均数 分.说明一半学生成绩低于或等于76.5分，一半高于或等于76.5分. 2. 综合练习（7分钟） 例4（多选题）：下列关于百分位数的说法，正确的有（ ） A. 第 百分位数可能不是原始数据中的数 B. 一组数据中，第25百分位数与第75百分位数之间的数据占50% C. 对于同一组数据，第80百分位数一定大于第30百分位数 D. 用样本估计总体时，样本量越大，估计的百分位数越准确 答案：A、B、C、D（A如取平均时；B四分位距；C单调性；D大样本更可靠）. 例5：某校为了解学生每天睡眠时间，随机抽取100名学生，得到频率分布直方图如下（描述：睡眠时间分组[6,7),[7,8),[8,9),[9,10),10,11，频率/组距分别为0.05,0.20,0.40,0.25,0.10）.估计该校学生每天睡眠时间的第70百分位数. 解：计算各组的频率和累积频率： [6,7): 频率0.05，累积0.05 [7,8): 频率0.20，累积0.25 [8,9): 频率0.40，累积0.65 [9,10): 频率0.25，累积0.90 第70百分位数对应累积频率0.70，位于[9,10)组（累积0.65→0.90）. 该组下限 ，组距 ，组内频率 ，需增加比例 . 所以 （小时）. 例6：某次数学测验成绩的频率分布直方图显示，[60,70) 的频率为0.12，[70,80) 的频率为0.28，[80,90) 的频率为0.36，[90,100] 的频率为0.24. （1）求第25百分位数； （2）若规定低于第25百分位数的为不及格，估计不及格率. 解： （1）累积频率： [60,70):0.12 [70,80):0.12+0.28=0.40 已经超过0.25，所以第25百分位数在[70,80)内. （分）. （2）低于第25百分位数的分数段即小于约74.64分，这部分包括[60,70)整组及[70,80)的一部分，估计不及格率约为25%（定义使然）.实际上，根据百分位数定义，约25%的数据低于第25百分位数. 例7：某社区调查了200户居民的月收入（单位：千元），整理成如下频率分布表： 月收入 [2,4) [4,6) [6,8) [8,10) [10,12] 频率 0.10 0.20 0.30 0.25 0.15 （1）估计月收入的第80百分位数； （2）若想给低收入家庭发放补贴，通常以第20百分位数为界限，求这个界限值. 解： （1）累积频率： [2,4):0.10 [4,6):0.30 [6,8):0.60 [8,10):0.85（超过0.8），故第80百分位数在[8,10)内. （千元）. （2）累积频率0.20落在[4,6)组（0.30>0.20）， （千元）. 例8：在一次比赛中，9名选手的得分分别为：78, 82, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 98. （1）求第50百分位数； （2）求第85百分位数； （3）若增加一名选手，得分为100分，则第85百分位数会如何变化？ 解： （1），，取第5个数据89分（中位数）. （2），取第8个数据95分. （3）增加为10人，新数据排序后第 ，取第9个数据（原第8个？原数据第9是98，新序列第9是98？需重新排序：78,82,85,87,89,91,93,95,98,100，第9个是98，所以第85百分位数为98，比原来的95高.故升高. 环节五：课堂小结 1. 请学生回顾： (1) 百分位数的定义（至少 小于等于，至少 大于等于）. (2) 求百分位数的步骤（排序→计算 → 根据 是否整数取数或平均）. (3) 利用频率分布直方图估算百分位数的方法（累积频率→找组→比例插值）. (4) 中位数是第50百分位数，第25、75百分位数也称为四分位数. 1. 教师强调： (1) 索引 是位置序号，不是百分数. (2) 当 为整数时，必须取平均值，不能只取第 个. 3.直方图估算时，插值比例 =（目标累积频率 - 前组累积频率）/ 本组频率. 环节六：布置作业 1. 书面作业： (1) 完成课本第202页练习第1、2、3题. (2) 配套课时达标检测《总体百分位数的估计》. 1. 拓展作业： 结合自己班级某次考试成绩，计算第25、50、75百分位数，并结合实际分析成绩分布. 1. 预习引导： 预习下一节“总体离散程度的估计”，思考如何用方差、标准差描述数据的波动大小. 授课人个案修改记录： 本节课从实际数据出发，学生通过计算具体样本的百分位数，逐步掌握了计算方法.在定义理解上，通过举例让学生体会“至少”的含义.频率分布直方图估算百分位数是难点，教师通过画图辅助、分步插值演示，大部分学生能够理解.练习中设计了多种题型，包括原始数据求百分位数、直方图估算、实际应用等，学生参与度较高.不足之处：部分学生对索引 为整数时取平均数的原因理解不深，可补充说明为了满足定义中的“至少”条件；另外，对于较大样本量的手算，学生容易算错索引，需强调单位换算.整体上，本节课达成了教学目标，为后续箱线图、数据分布分析打下基础. 学科网（北京）股份有限公司 $