专题01 平行线的判定与性质、几何模型【期末复习重难点专题培优七大题型+四大模型】-2025-2026学年数学人教版七年级下册

**基本信息** 聚焦平行线判定与性质及几何模型，含7类高频题型讲练、4个几何模型拓展及期末真题实战，共53题，适合期末培优。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |重点题型讲练|约30题|平行线判定与性质的应用、角的关系探究与计算|讲练结合（精讲+精练），分层设计（基础到综合）| |几何模型拓展|约12题|M型、笔尖型等几何模型构建与应用|模型化教学，总结解题通法| |真题实战演练|约11题|生活情境（快递分拣、共享单车）与真题综合应用|选用期中期末真题，适配期末复习需求|

2025-2026学年人教版新教材数学七年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题01 平行线的判定与性质、几何模型『期末复习重难点专题培优』 【七个高频易错题型讲练+四个几何模型+期末真题实战演练 共53题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 平行线的判定的应用 1 题型二 平行线的性质的证明与应用 6 题型三 根据平行线的性质探究角的关系 10 题型四 根据平行线的性质求角的度数 15 题型五 平行线的性质在生活中的应用 20 题型六 根据平行线判定与性质求角度 25 题型七 根据平行线判定与性质证明 30 常考模型 思维拓展 36 模型一 M型（含锯齿型）-平行线解题模型 36 模型二 笔尖型-平行线解题模型 41 模型三 “鸡翅“型-平行线解题模型 46 模型四 “骨折”型-平行线解题模型 51 优选真题 实战演练 56 【基础夯实 能力提升】 56 【拓展拔尖 冲刺满分】 62 题型一 平行线的判定的应用 【精讲】（25-26七年级下·湖北武汉·期中）把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 如图，点A，B，C在同一条直线上，已知平分，，，求证：． 证明： 平分（已知）， ① =② =③ ；（④ ） 点A，B，C在同一条直线上，（已知） ，（⑤ ） ，（已知） ，（⑥ ） ，（等式的基本性质） ，（等式的基本性质） ，（已知） ，（⑦ ） （⑧ ） 【答案】；；；角平分线的定义；平角的定义；垂直的定义；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行 【规范解答】证明： 平分（已知）， ∴（角平分线的定义） 点A，B，C在同一条直线上，（已知） ，（平角的定义） ，（已知） ，（垂直的定义） ，（等式的基本性质） ，（等式的基本性质） ，（已知） ，（同角的余角相等） （内错角相等，两直线平行） 【精练1】（25-26七年级下·福建南平·期中）如图，直线、交于点平分，且 (1)求的度数； (2)若平分，且，试说明的理由． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】（1）根据角平分线的性质以及角度的比例求解即可； （2）由角平分线的性质可得角度的关系，再根据内错角相等，即可证明平行． 【规范解答】（1）解：平分， ， ， ． ． ． （2）解：平分平分， ． ， ， ． ． ． 【精练2】（25-26七年级下·湖南·阶段检测）如图1，对于两条直线被第三条直线所截的同旁内角满足，则称是的关联角． (1)当是的关联角且时，试判断直线的位置关系，并说明理由； (2)如图2，已知是的关联角，点是直线上一定点． ①求证：是的关联角； ②过点的直线分别交直线于点，且．当是图中某角的关联角时，求出所有符合条件的的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①见解析；②或 【思路引导】（1）由题意可得，，据此求出和的度数，即可确定直线，的位置关系； （2）①由与，与的互补关系，求出与之间的大小关系，进而命题得以证明； 根据直线过点的形式可分种情况，每种情况均有个角与互为同旁内角，因此共有种情况，分别解出的度数即可． 【规范解答】（1）解：，理由如下： ∵是的关联角， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①是的关联角， ∴； ∵， ∴， ， ∴， ∴， 是的关联角； ②如图当点Q在右侧时， ∵是的关联角，， ∴， 若是的关联角，则； 若是的关联角，则， ∵，， ， ∴， ∴， ∴ ∴； 如图所示，当点Q在左侧时， ∵是的关联角，， ∴，， ∴； 若是的关联角，则， ∴， ∴， ∴此种情况不成立； 若是的关联角，同理可得； 综上所述，的度数为或． 题型二 平行线的性质的证明与应用 【精讲】（25-26七年级下·山东临沂·期中）科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图．如图②，，平分，平分． (1)与有什么位置关系？请说明理由； (2)若，，与有什么位置关系？请说明理由． 【答案】(1)平行（或），见解析 (2)垂直（或），见解析 【思路引导】（1）根据平行线的性质及角平分线的定义可得，进而得出结论； （2）先求出，进而求得，即可得出结论． 【规范解答】（1）解： 理由如下：∵， ∴， ∵平分， ∴， 同理，， ∴， ∴； （2）解： 理由如下：∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴． 【精练1】（25-26七年级下·山东济宁·期中）如图，点B，A，E在同一条直线上，，，． (1)试说明； (2)求证：． （请你补全下面的证明过程） 证明：，（已知） （①_____________） 又（已知） （②_____________） （③_____________） ，（已证） ∴（④_____________） （⑤_____________）． 【答案】(1)见解析 (2)①两直线平行，内错角相等；②内错角相等，两直线平行；③两直线平行，同旁内角互补；④；⑤同角的补角相等 【思路引导】（1）由，可得，再由，可得，则可得； （2）根据证明过程填写即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：，（已知） （①两直线平行，内错角相等） 又（已知） （②内错角相等，两直线平行） （③两直线平行，同旁内角互补） ，（已证） ∴（④） （⑤同角的补角相等）． 【精练2】（25-26七年级下·山东青岛·期中）某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：； 请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵， ∴（____________）， ∵， ∴（____________）， ∴______， ∵， ∴______．（等量代换） (2)如图2，若，，，则______； (3)如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；； (2)82 (3)，见解析 【思路引导】本题考查了平行线的性质与“猪蹄模型”的应用，解题的关键是通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质推导角之间的数量关系． （1）通过作平行线，利用平行线的性质填写推理依据，推导角的和差关系； （2）过点作平行线，结合平行线的同旁内角互补求角的度数； （3）过点作平行线，利用平行线的内错角相等推导角的差的关系． 【规范解答】（1）解：∵ ， ∴ （两直线平行，内错角相等）， ∵ ， ∴ （平行于同一条直线的两条直线互相平行）， ∴ ， ∵ ， ∴ （等量代换）． 故答案依次为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；；． （2）解：过点作（点在点的右侧），如图 ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3），理由如下： 过点P作（点H在点P的右侧）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 题型三 根据平行线的性质探究角的关系 【精讲】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）如图，，点A，E，B，C不在同一条直线上． (1)如图1，直接写出的数量关系 ； (2)如图2，直线，交于点P，且 ； ①试探究与的数量关系； ②如图3，延长交射线于点Q，若，，则 的度数为 （用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2)①，证明见解析；② 【思路引导】（1）过E作，根据平行线的性质即可得到结论； （2）①设，由（1）知，，过P作，根据平行线的性质即可得到结论； ②根据平行线的性质即可得到结论． 【规范解答】（1）证明：如图1，过E作， ， ， ，， ∴，即； （2）解：①∵，， 设， ∴， 由（1）知，， 如图2，过P作， ， ， ，， ，即； ②， ， ， ，由①知，， ∵，， ∴， ． 【精练1】（25-26七年级下·安徽宿州·期中）高速列车为了方便乘客放置小件物品，在座椅的后方都安装了可折叠的小桌板，将小桌板放下后，桌面与车厢的底部AE平行，从侧面观察得到如图①所示图形，，垂足为A， ，有同学认为在这种情况下，与的和是个定值．下面是小林同学计算的度数的过程，请你将解答过程补充完整． 解：如图②，过点B作 ，因为 （已知）， 所以_______（_______），所以_______（_______）， 因为（已知），所以（_______）， 因为 ，所以， 所以，所以_______． 即：与的和是个定值． 【答案】；平行于同一条直线的两条直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；垂直的定义； 【思路引导】根据平行线的性质填写即可． 【规范解答】解：如图②，过点B作 ， 因为 （已知）， 所以（平行于同一条直线的两条直线平行）， 所以（两直线平行，同旁内角互补）， 因为（已知）， 所以（垂直的定义）， 因为 ， 所以， 所以， 所以． 即：与的和是个定值． 【精练2】（25-26七年级下·河北沧州·期中）综合与实践 【情境】在综合与实践课上，同学们利用一副直角三角板和两条平行线，探究变化过程中相关角度的变化．已知直线，在直角三角板中，，，，在直角三角板中，，． 【操作】操作一：如图1，将两块三角板的一条直角边重合，直角三角板的斜边与重合，直角三角板的顶点F在直线上． (1)在图1中，______，______； (2)利用图1，求的度数； 【探究】操作二：在操作一的基础上，直角三角板固定不动，让直角三角板绕着点G按逆时针方向旋转，旋转的度数小于．设边（或的延长线）与交于点Q． (3)如图2，当点F恰好落在上时，试判断与存在的数量关系，并说明理由； (4)当斜边与直角三角板的某一边平行时，直接写出的度数． 【答案】(1)90；135 (2) (3)，理由见解析 (4)或 【思路引导】（1）由题意得；由可求得的度数； （2）过点H作，由平行线的性质、，进而得，即可求解； （3）过点G作，由平行线的性质得及 ，由即可得两角的关系； （4）分三种情况讨论，分别画出图形，根据平行线的性质即可求解． 【规范解答】（1）解：∵将两块三角板的一条直角边重合，， ∴； ∵，， ∴； （2）解：如图，过点H作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴； （3）解：，理由如下： 如图，过点G作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）解：当时，如图3， 则， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如图4， ∴， 延长交于点T，过点H作， 则， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图5， 此时旋转角度大于，不符合题意； 综上，的大小为或． 题型四 根据平行线的性质求角的度数 【精讲】（25-26七年级下·山东泰安·期中）如图，直尺和三角板摆放在课桌面上，直尺的边缘，三角板中角的顶点在上，直角顶点在上，三角板与直尺边缘形成的，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据“两直线平行，同旁内角互补”建立等量关系求解． 【规范解答】解：由题意可知 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 【精练1】（25-26七年级下·贵州黔南·期中）综合与探究 如图，在中，，平分，交的边于点，为直线上一点，过点向直线的右边作射线，使，作的平分线交射线于点． (1)如图1，，点与点重合，求的度数； (2)如图2，若，点在的延长线上，求的度数．（用含有的式子表示） 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）过点作交于点，则可得，那么可得，，然后根据角平分线的定义以及求解即可； （2）过点作交于点，解法同（1）． 【规范解答】（1）解：如图1，过点作交于点． ， ． ，． 平分，， ， ∴， ， ． 平分， ∴， ； （2）解：如图2，过点作交于点． ， ． ，， ． 平分，平分， ， ． 【精练2】（25-26七年级下·广西钦州·期中）综合与实践． 【问题初探】如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，． (1)已知，求的度数； (2)证明：； 【类比探究】 (3)如图，在长方形的台球桌面上，选择适当的角度击打白球，可以使白球经过两次反弹后将黑球直接撞入袋中，此时，并且；如果黑球与洞口的连线和台球桌面边缘的夹角，那么_____°才能保证黑球准确入袋； 【学科融合】 (4)小明提出新的问题情境，在物理学中，光的反射跟台球的运动轨迹相似．光线反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射光线与法线的夹角（反射角）等于入射光线与法线的夹角（入射角）；如图1，为一镜面，为入射光线，入射点为点O，为法线（过入射点O且垂直于镜面的直线），为反射光线，此时反射角等于入射角．现有一激光反光装置，如图2，是两块可以分别绕A，B两点转动的镜面，O点是激光发射装置，由O点发出的激光照射在点A和点B处，是两束反射光线．A，B处于同一水平高度，已知入射光线和与水平线的夹角分别是和，镜面与立杆的夹角，则反射光线与水平面夹角____°；通过调节的角度，当______时，反射光线和平行． 【答案】(1) (2)见解析 (3)40 (4)80，50 【思路引导】（1）根据互余的定义解答； （2）根据等角的补角相等解答； （3）先根据互余求出，即可得出，再根据互余求出，则此题可解； （4）作，作，根据反射角等于入射角得，依题意可得，再根据求出，然后根据得出答案；设则，结合可得然后根据，可得，进而得，求出，则此题可解． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴ ； （3）解： ∵ ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴，才能保证黑球能直接入袋； （4）解：过点A作，过点B作，如图所示， 根据反射角等于入射角得， 依题意，得， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵ ∴， ∴， 解得， ∴ ∴， ∴． 设则， ∵ ∴， ∴, ∴． 当时，， ∴， 解得， 即． 题型五 平行线的性质在生活中的应用 【精讲】（25-26七年级下·山东枣庄·期中）在学习完《相交线和平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情境：如图1，已知，． ①问题探究：求证：； ②拓展探究：，，之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (2)迁移应用：图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若，则的度数为 ． 【答案】(1)①见解析；②，见解析 (2) 【思路引导】（1）①根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； ②过点F作，根据两直线平行内错角相等得出，，进而即可求解； （2）根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． 【规范解答】（1）证明：① ， ， ， ， ， ； ②如图所示，过点F作， ， ， ， ； （2）如图所示，过点作， 依题意，， ∴ ∴， ∴． 【精练1】（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中都与地面平行，，．若，则的度数为（   ） A．15° B．65° C．70° D．115° 【答案】C 【思路引导】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；由题意易得，利用平行线的性质求出的度数，进而求出的度数，最后根据即可求解． 【规范解答】解：，都与地面平行， ， ， ， ， ， ， ，即， ． 【精练2】已知：如图1，．求证：． 老师要求学生在完成这道题目证明后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？ (1)小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小颖用到的平行线性质可能是 ； (2)接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线，，然后在平行线间画了一点，连接，后，用鼠标拖动点，分别得到了图，，，小颖发现图正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图和图中的，与之间也可能存在着某种数量关系．于是她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系． 请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题： ①猜想图中，与之间的数量关系并加以证明； ②利用图③探究，在拖动点至上方或的下方时，，与之间还存在其他数量关系，请直接写出、与之间的数量关系 （写出一种即可）； (3)一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于点．平行于地面，若，则的度数为 ． 【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补 (2)①，证明见解析；②或（写出一种即可）； (3) 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质， （1）根据平行线的性质进行填空即可； （2）①过D作，进而根据平行线的性质进行角度的计算即可；②在拖动点至的上方或的下方两种情况下，分别过点D作，进而根据平行线的性质进行角度的计算即可； （3）过点B作，进而根据平行线的性质进行角度的计算即可． 【规范解答】（1）证明：∵ ∴（两直线平行，同旁内角互补） ∵ ∴（两直线平行，同旁内角互补） 故答案为：两直线平行，同旁内角互补． （2）① 证明：如下图，过D作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； ②当拖动点至的上方时，如下图，过点D作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴； 当拖动点至的下方时，如下图，过点D作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴； 故答案为：或（写出一种即可）． （3） 过点B作 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 题型六 根据平行线判定与性质求角度 【精讲】（25-26七年级下·山东泰安·期中）按要求完成下列各题： 问题情景： (1)如图1，已知，． ①请对说明理由； ②请对说明理由． 迁移应用： (2)如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【思路引导】（1）①根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； ②过点F作，根据两直线平行内错角相等得出，，进而即可求解； （2）根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． 【规范解答】（1）解:① ， ， ， ， ， ； ②如图所示，过点F作， ，， ， ， ； （2）如图所示，，，的顶点分别为，，， 依题意，，作， ∴ ∴， ∴． 【精练1】．（25-26七年级下·江苏南通·期中）如图，，平分，平分，若设，，则___________度（用x，y的代数式表示）；若平分，平分，可得，平分，平分，可得，…，依次平分下去，则___________度． 【答案】 【思路引导】本题考查平行线的拐点模型与角平分线的递推规律，解题核心是过拐点作平行线，利用平行线的内错角相等，求出，再归纳出的通用公式，进而求出． 【规范解答】解：过点作， ，， ，， ， ， 同理过作平行线可得， 同理过作平行线可得， 依此类推，可得， ． 【精练2】（25-26七年级下·湖北孝感·期中）已知，直线，点P为平面上一点，连接与． (1)如图1，若平分，平分，求的度数． (2)如图2，点P在直线，之间，与的平分线相交于点Q，，，，求的度数． (3)如图3，点P在直线下方，与的平分线相交于点E，写出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【思路引导】本题主要考查平行线的判定和性质、角平分线的性质和角度的和差关系等知识点， （1）过P作，则，得到、和，结合角平分的性质得到和，利用即可； （2）过P作，由（1）可知，过Q作，同理可得，，即可求得和，进一步求得和，结合角平分线得和，利用求解即可； （3）过P作，过E作，则和，得到，同理可得，结合平分线得和，利用求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，过P作， ∵， ∴， ∴，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ； （2）解：如图，过P作， 由（1）可知， 过Q作， 同理可得，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与的平分线相交于点Q， ∴，， ∴； （3）解：，理由如下： 如图，过P作，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理可得：， ∵与的平分线相交于点E， ∴平分，平分， ∴，， ∴ ． 题型七 根据平行线判定与性质证明 【精讲】（25-26七年级下·甘肃兰州·期中）如图，在中，，垂足为D，，垂足为F，，试说明：．下面是小明的解答过程，请你补充完整． 解：因为，（已知）， 所以，（垂直的概念） 所以， 所以（                     ） 所以______（                  ） 因为（已知） 所以____（                      ） 所以（                        ） 所以（                       ） 【答案】；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；3；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【思路引导】根据解答过程补充完整即可． 【规范解答】解：因为，（已知）， 所以，（垂直的概念） 所以， 所以（同位角相等，两直线平行） 所以 （两直线平行，同旁内角互补） 因为（已知） 所以 3 （同角的补角相等） 所以（内错角相等，两直线平行） 所以（两直线平行，同位角相等） 【精练1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图（1），直线与直线、分别交于点、．为钝角，． (1)求证：； (2)如图（2），点、分别在直线、上，点（不在直线上）是直线、之间一点，连接、、．若，，求等于多少度？ (3)如图（3），在（2）的条件下，平分交直线于点，平分交于点，交直线于点，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、几何图中角度的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由结合对顶角相等得出，即可得出； （2）过点作，则，，从而得到，由得出，由平行线的性质可得，最后得出； （3）过点作交于点，则，设，则，由，得出，从而得到，最后再根据角平分线的定义进行计算即可． 【规范解答】（1）证明：，． ， ； （2）解：过点作， ， ，， ， ． ， ， ． ， ， ； （3）解：过点作交于点， ，， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ，， 平分，平分， ，， ， ． 【精练2】（25-26七年级下·湖北孝感·期中）如图，，为直线，外一点，连接，． (1)如图1，求证：； (2)若平分交于点，平分交于点． ①如图2，求证：； ②如图3，过点作交于点，若平分，，则的度数为____________． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【思路引导】（1）过点作，则有，，然后可得，进而问题可求证； （2）①过点作，则有，由题意易得，，然后根据平行线的性质可得，进而问题可求证； ②设，则，由题意易得，然后可得，进而可得，最后问题可求解． 【规范解答】（1）证明：如图，过点作， ， ， ， ， ； （2）①证明：如图，过点作， ， 平分， ， ， ，， ， ． 平分， ， ， ， ， 由（1）知， ； ②解：设，则， 平分， ，则， ∵平分，平分， ， ， ， ， ， ， 即，解得， ． 模型一 M型（含锯齿型）-平行线解题模型 【精讲】（2025·山东济南·一模）将一块直角三角板按如图所示的方式放置在平行线a，b之间．若，则的度数为_________． 【答案】 【思路引导】本题考查了平行线的性质，作，推出 ，得到，据此即可求解； 【规范解答】解：作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 【精练1】（1）如图1，，，，直接写出的度数． （2）如图2，，点为直线间的一点，平分，平分，写出与之间的关系并说明理由． （3）如图3，与相交于点，点为内一点，平分，平分，若，，直接写出的度数． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【思路引导】（1）过点作，可得，，根据即可求解； （2）过点作，可求出，过点作，可求出，由此即可求解； （3）延长交于点，可得，，平分，平分，可得，由此即可求解． 【规范解答】解：（1）如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． （2），理由如下： 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 同理，过点作， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即． （3）如图，延长交于点， ∴， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点剖析】本题主要考查平行线的性质，理解平行线的性质，三角形外角的性质是解题的关键． 【精练2】（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）综合与实践 在学习平行线的性质的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“平行线的拐点问题”进行研究． 如图1，直线，点，分别在直线，上，点是直线与外一点， 连接，． (1)【问题初探】若，， 则的度数为_____． (2)【问题拓展】①如图2，作平分，平分，若设，，求出的度数（用含x，y的式子表示）． ②在①的条件下，如图3，若平分，平分,平分，平分，可得……依次平分下去， 则的度数是______． (3)【问题应用】智慧组制作了一个如图4所示的“燕子镖”，经测量发现，，试探究与之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【思路引导】（1）本题考查平行线拐点模型（M模型），拐点模型的解题特点是：遇到拐点画平行线．作，然后根据平行线的性质即可求解． （2）①利用第一问的模型可求出，再利用角平分线性质即可求出．②利用模型继续求，…，观察可发现规律． （3）本题主要考查的拐点模型的生活应用，利用模型（1），按照平行线性质即可求出． 【规范解答】（1）解：如图，作， ， ， ， ， ， ， ． （2）①由（1）的模型可得， ， 平分，平分， ，， ， 设，， ． ②由①得， ， 同理，， … ． （3）作和，使, 由第（1）问模型可知， ，， 【考点剖析】本题目主要考查平行线拐点模型-M模型，牢记遇到拐点作平行线，利用平行线的性质即可解出． 模型二 笔尖型-平行线解题模型 【精讲】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）探究题： (1)如图1，若，则，你能说明理由吗？ (2)若将点E移至图2的位置，此时、、之间有什么关系？并证明 【答案】(1)理由见解析 (2)，证明见解析 【思路引导】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，由平行线的性质可得和，再利用角的和差即可解答； （2）过点作，由平行线的性质可得和，再利用角的和差即可解答． 【规范解答】（1）解：能，理由如下： 如图，过点作， ， ， ，， ， ， ． （2）解：，证明如下： 如图，过点作， ， ， ，， ， ， ， 又， ． 【精练1】如图，直线，E，M分别为直线、上的点，N为两平行线间的点，连接、，过点N作平分交直线于点G，过点N作，交直线于点F，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质、平行公理的推论、垂线的性质，熟练掌握上述知识、灵活应用整体的思想是解题的关键． 过N点作，则，如图，由平行线的性质得，进而由平分和得，再由可变形推得． 【规范解答】解：过N点作，则，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【精练2】（25-26七年级下·重庆秀山·期中）综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线，，且，三角形是直角三角形，，，，操作发现： (1)如图，，求的度数； (2)如图，创新小组的同学把直线向上平移，并把的位置改变，发现，请说明理由． (3)缜密小组在创新小组发现的结论的基础上，将图中的图形继续变化得到图，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请写出与的数量关系并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)，见解析． 【思路引导】（1）先根据平角的性质求出的度数，再根平行线的性质求出的度数； （2）先过点作，推出，再根据，，得到，推出，结合直角三角尺的度数推出，最后代入即可求解； （3）先过点 作，根据平分结合直角三角尺的度数，推出，再根据，得出的度数，然后根据，推出，即可得到和的度数，最后根据，推出的度数，即可求出与的数量关系． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：理由如下： 过点作，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 过点 作，如图所示： ∵平分 ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 模型三 “鸡翅“型-平行线解题模型 【精讲】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，，已知，，则_________． 【答案】45 【思路引导】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．过点作，利用平行线的性质即可求解． 【规范解答】解：过点作，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：45． 【精练1】（25-26七年级下·山东枣庄·月考）【问题情境】如图①，，，，求的度数． 小明的解题思路：过作，通过平行线的性质来求的度数． (1)按小明的思路，求的度数． (2)【问题迁移】如图②，，点在直线上运动，记，，当点在线段上（不与、重合）时，与，之间有何数量关系？请说明理由． (3)【问题应用】在（2）的条件下，如果点不在线段上，请直接写出与，之间的数量关系． 【答案】(1)110° (2)，理由见解析 (3)或 【思路引导】（1）由平行线的性质求出，，进而求解即可； （2）过点作，由平行线的性质求出，，进而求解即可； （3）分两种情况讨论，分别利用平行线的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：∵ ， ， ∴， ； （2）解：如图②，当在线段上时，，理由如下： 过点作， ∴， ， ， ， ； （3）解：当在射线上时，交于，如图③，理由如下： 过点作， ∴ ， ， ∴ ； 当在射线上时，交于，如图④，，理由如下： 过点作， ∴ ， ， ∴ ； 综上所述，当点不在线段上（不与、重合）时，或． 【精练2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）已知点是直线，所确定的平面内的一点． (1)如图1，若，，，与平行吗？为什么？ (2)如图2，已知，求出，，之间的数量关系； (3)在图2的基础上，延长至点，延长至点，过点作，连接，，且，过点作平分交于点，如图3所示．若 ，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】此题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． （1）首先过点M作，易得，，进而可得，由同旁内角互补，两直线平行可得，进而可得，； （2）作， 可得，根据两直线平行，内错角相等，即可证得； （3）由（2）知，，先求出，进而可得，再证明 ，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：结论 ：， 理由：如图1所示，过点M作， ∴， ∵， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）结论 ：， 如图2，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）由（2）知，， ∵ ，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ． 模型四 “骨折”型-平行线解题模型 【精讲】如图，已知，，，则_____． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了平行线的判定和性质．解题的关键是掌握平行线的判定和性质，正确做出辅助线． 过点作，根据平行线的性质和角的和差，求解即可得到结论． 【规范解答】解：如图，过点作， ， ， 又， ， ， ， ， 故答案为：． 【精练1】已知中，点D是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点． (1)如图1，若，，直接求出的度数； (2)如图2，若，试判断与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，若，求证： ． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)详见解析 【思路引导】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理，解决该题型题目时，利用平行线的性质找出相等（或互补）的角是关键． （1）先根据三角形的内角和得，分别根据角平分线的定义和三角形外角的性质得∠G的度数； （2）根据三角形内角和定理和角平分线定义，可得和的关系； （3）根据平行线的性质和角平分线定义可得结论． 【规范解答】（1）解：如图1，∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）如图2，，理由是： 由（1）知：，， 设，， ∵， ∴，即， ∴ ， 同理得， ∴，即 ， ∴； （3）如图3，∵， ∴， 由（2）得：， 中，，， ∴， ∴ ． 【精练2】综合与探究 【问题情境】 王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动 （1）如图1，，点、分别为直线、上的一点，点为平行线间一点，请直接写出、和之间的数量关系； 　　　 　　　 　　　 【问题迁移】 （2）如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交、于点、，直线分别交、于点、，点在射线上运动， ①当点在、（不与、重合）两点之间运动时，设，．则，，之间有何数量关系？请说明理由． ②若点不在线段上运动时（点与点、、三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）①，理由见解析；②图见解析，或 【思路引导】（1）作PQ∥EF，由平行线的性质，即可得到答案； （2）①过作交于，由平行线的性质，得到，，即可得到答案； ②根据题意，可对点P进行分类讨论：当点在延长线时；当在之间时；与①同理，利用平行线的性质，即可求出答案． 【规范解答】解：（1）作PQ∥EF，如图： ∵， ∴， ∴，， ∵ ∴； （2）①； 理由如下：如图， 过作交于， ∵， ∴， ∴，， ∴； ②当点在延长线时，如备用图1： ∵PE∥AD∥BC， ∴∠EPC=，∠EPD=， ∴； 当在之间时，如备用图2： ∵PE∥AD∥BC， ∴∠EPD=，∠CPE=， ∴． 【考点剖析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等，从而得到角的关系． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线交于主光轴上一点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】由题意可知：，再根据平行线的性质求出和，从而求出． 【规范解答】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）下列图形中，由能得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】由两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补． 【规范解答】解：A、∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）； B、D、由无法证得，故错误； C、∵， ∴（两直线平行，同位角相等）， 又（对顶角相等）， 本选项正确. 3．如图，直线，平分，当的度数为时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】先根据角平分线性质得到，再通过两直线平行内错角相等即可求解． 【规范解答】解：，平分， ， ， ． 4．如图，已知在同一直线上，且，若，则为_________ 【答案】 【规范解答】解：∵， ∴根据两直线平行，内错角相等得， 根据两直线平行，同位角相等得， ∴． 5．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）如图，直线、被直线所截，若，，，则_____． 【答案】/64度 【思路引导】根据对顶角相等，可知的大小，进而根据平行线的性质，可知的大小． 【规范解答】解：∵直线、被直线所截，，， ， ， ， ， ． 6．如图，已知，，，求的度数，并说明理由． 解：因为，， 所以． 根据“ ”， 所以 ． 又因为， 根据“ ”， 所以 ． 【答案】同旁内角互补，两直线平行；；；两直线平行，同位角相等；；． 【思路引导】根据平行线性质和判定填写推理依据即可． 【规范解答】解：因为，， 所以． 根据同旁内角互补，两直线平行， 所以． 又因为， 根据两直线平行，同位角相等， 所以． 7．将下面过程填写完整． 如图，点E在上，点F在上，，．求证：． 证明：因为（已知），（____________）， 所以______， 所以______∥（____________）， 所以（____________）， 又因为， 所以， 所以（____________）． 【答案】对顶角相等；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行 【思路引导】本题主要考查平行线的性质与判定．根据题意逐一填写即可． 【规范解答】证明：因为（已知），（对顶角相等）， 所以， 所以（同位角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，同位角相等）， 又因为， 所以， 所以（内错角相等，两直线平行）． 8．如图，在四边形中，E、F分别是、延长线上的点，连接．分别交、于点G、H．若，．试证明 (1) (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了平行线的判定和性质； （1）根据对顶角相等，等量代换得到，再根据平行线的判定得出结论； （2）由推出，结合已知，等量代换得到，再根据平行线的判定得出结论． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．（24-25七年级下·云南玉溪·期中）如图，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）根据平行线的判定与性质进行证明即可； （2）根据平行线的性质进行计算即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 10．如图，在小学我们通过观察、实验的方法得到了“三角形内角和是”的结论． 小明通过这学期的学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性． 受到实验方法1的启发，小明形成了证明该结论的想法：实验1的拼接方法直观上看，是把和移动到的右侧，且使这三个角的顶点重合，如果把这种拼接方法抽象为几何图形，那么利用平行线的性质就可以解决问题了． 小明的证明过程如下： 已知：如图，．求证：．    证明：延长，过点C作． ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）． ∵（平角定义）， ∴． 请你参考小明解决问题的思路与方法，写出通过实验方法2证明该结论的过程． 【答案】见详解 【思路引导】类似小明解决问题的思路与方法，过点作，根据平行线的性质得出，，然后结合平角定义即可得解． 【规范解答】证明：过点作， ∴，（两直线平行，内错角相等） 又∵（平角定义） ∴． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．如图，，，则的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】过点C作，过点D作，得到，根据平行线的性质，角的和，等量代换思想，求解即可． 【规范解答】解：过点C作，过点D作， ， ， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．已知，如图所示，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】过点E作，利用平行线的性质得出，，然后再根据角的和差关系即可得出的度数． 【规范解答】解：过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 3．如图，已知​，​直角顶点在​上，已知​，则​（    ） A．​ B．​ C．​ D．​ 【答案】C 【思路引导】由平角和直角三角形的定义可求得的度数，再由平行线的性质即可得解． 【规范解答】解：直角顶点在上， ，， ， ， ． 4.如图，直线，，交于一点，直线，若，，则______． 【答案】 【思路引导】由平行线的性质可得，然后通过角度和差，平角定义即可求解． 【规范解答】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．如图，，，，则的度数是____． 【答案】/71度 【思路引导】根据两直线平行，同位角相等得出，根据两直线平行，内错角相等即可求解． 【规范解答】∵， ∴， ∵， ∴． 6．如图，一束光线从点上的出发，经过平面镜反射后，沿与平行的射线射出（此时），若测得，则_____________． 【答案】/49度 【思路引导】由平行线的性质可得，推出，再利用平角的定义结合，求出，即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．如图，已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）根据已知条件和邻补角得出内错角相等，可证明平行； （2）根据平行线的性质证明即可． 【规范解答】（1）证明：，， ， ； （2）证明：， ， ， ， ． 8．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2) 【思路引导】（1）根据，，得出，再根据平行线的判定方法进行求解即可； （2）由平行线的性质可得，根据，得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质求出结果即可． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．如图，已知F，E分别是射线上的点．连接平分平分． (1)试说明； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析; (2)70°． 【思路引导】（1）利用角平分线的定义可得，从而利用等量代换可得，然后利用内错角相等，两直线平行可得，即可解答； （2）根据已知可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角平分线的定义可得，再利用平角定义可得，最后进行计算可求出，从而求出的度数，即可解答． 【规范解答】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 10．学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组在练习中看到这样一道题“如图1，平分，平分，．判断，是否平行，并说明理由”，试着“玩”起数学来： 【基础巩固】 (1)条件和结论互换，改成了：“如图1，平分，平分，，则．”小明认为这个结论正确，你认同他的想法吗？请说明理由． 【尝试探究】 (2)小明发现：若将其中一条角平分线改成的垂线，则“”这个结论不成立．请帮小明完成探究： 如图2，，平分，，是与的夹角，是与的夹角，若，求的度数． 【拓展提高】 (3)如图3，若，，平分，试说明． 【答案】(1)认同，理由见解析； (2)； (3)见解析． 【思路引导】（1）根据两直线平行，同旁内角互补可得，结合根据角平分线的定义得到的，，即可证明； （2）先求出，再由两直线平行，同旁内角互补，求出，再根据角平分线的定义求出的度数即可； （3）先证明，，再结合，即可证明． 【规范解答】（1）解：认同，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （3）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版新教材数学七年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题01 平行线的判定与性质、几何模型『期末复习重难点专题培优』 【七个高频易错题型讲练+四个几何模型+期末真题实战演练 共53题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 平行线的判定的应用 1 题型二 平行线的性质的证明与应用 3 题型三 根据平行线的性质探究角的关系 5 题型四 根据平行线的性质求角的度数 7 题型五 平行线的性质在生活中的应用 9 题型六 根据平行线判定与性质求角度 11 题型七 根据平行线判定与性质证明 13 常考模型 思维拓展 14 模型一 M型（含锯齿型）-平行线解题模型 14 模型二 笔尖型-平行线解题模型 17 模型三 “鸡翅“型-平行线解题模型 18 模型四 “骨折”型-平行线解题模型 19 优选真题 实战演练 21 【基础夯实 能力提升】 21 【拓展拔尖 冲刺满分】 25 题型一 平行线的判定的应用 【精讲】（25-26七年级下·湖北武汉·期中）把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 如图，点A，B，C在同一条直线上，已知平分，，，求证：． 证明： 平分（已知）， = = ；（ ） 点A，B，C在同一条直线上，（已知） ，（ ） ，（已知） ，（ ） ，（等式的基本性质） ，（等式的基本性质） ，（已知） ，（ ） （ ） 【精练1】（25-26七年级下·福建南平·期中）如图，直线、交于点平分，且 (1)求的度数； (2)若平分，且，试说明的理由． 【精练2】（25-26七年级下·湖南·阶段检测）如图1，对于两条直线被第三条直线所截的同旁内角满足，则称是的关联角． (1)当是的关联角且时，试判断直线的位置关系，并说明理由； (2)如图2，已知是的关联角，点是直线上一定点． ①求证：是的关联角； ②过点的直线分别交直线于点，且．当是图中某角的关联角时，求出所有符合条件的的度数． 题型二 平行线的性质的证明与应用 【精讲】（25-26七年级下·山东临沂·期中）科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图．如图②，，平分，平分． (1)与有什么位置关系？请说明理由； (2)若，，与有什么位置关系？请说明理由． 【精练1】（25-26七年级下·山东济宁·期中）如图，点B，A，E在同一条直线上，，，． (1)试说明； (2)求证：． （请你补全下面的证明过程） 证明：，（已知） （①_____________） 又（已知） （②_____________） （③_____________） ，（已证） ∴（④_____________） （⑤_____________）． 【精练2】（25-26七年级下·山东青岛·期中）某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：； 请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵， ∴（____________）， ∵， ∴（____________）， ∴______， ∵， ∴______．（等量代换） (2)如图2，若，，，则______； (3)如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由． 题型三 根据平行线的性质探究角的关系 【精讲】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）如图，，点A，E，B，C不在同一条直线上． (1)如图1，直接写出的数量关系 ； (2)如图2，直线，交于点P，且 ； ①试探究与的数量关系； ②如图3，延长交射线于点Q，若，，则 的度数为 （用含α的式子表示）． 【精练1】（25-26七年级下·安徽宿州·期中）高速列车为了方便乘客放置小件物品，在座椅的后方都安装了可折叠的小桌板，将小桌板放下后，桌面与车厢的底部AE平行，从侧面观察得到如图①所示图形，，垂足为A， ，有同学认为在这种情况下，与的和是个定值．下面是小林同学计算的度数的过程，请你将解答过程补充完整． 解：如图②，过点B作 ，因为 （已知）， 所以_______（_______），所以_______（_______）， 因为（已知），所以（_______）， 因为 ，所以， 所以，所以_______． 即：与的和是个定值． 【精练2】（25-26七年级下·河北沧州·期中）综合与实践 【情境】在综合与实践课上，同学们利用一副直角三角板和两条平行线，探究变化过程中相关角度的变化．已知直线，在直角三角板中，，，，在直角三角板中，，． 【操作】操作一：如图1，将两块三角板的一条直角边重合，直角三角板的斜边与重合，直角三角板的顶点F在直线上． (1)在图1中，______，______； (2)利用图1，求的度数； 【探究】操作二：在操作一的基础上，直角三角板固定不动，让直角三角板绕着点G按逆时针方向旋转，旋转的度数小于．设边（或的延长线）与交于点Q． (3)如图2，当点F恰好落在上时，试判断与存在的数量关系，并说明理由； (4)当斜边与直角三角板的某一边平行时，直接写出的度数． 题型四 根据平行线的性质求角的度数 【精讲】（25-26七年级下·山东泰安·期中）如图，直尺和三角板摆放在课桌面上，直尺的边缘，三角板中角的顶点在上，直角顶点在上，三角板与直尺边缘形成的，则（   ） A． B． C． D． 【精练1】（25-26七年级下·贵州黔南·期中）综合与探究 如图，在中，，平分，交的边于点，为直线上一点，过点向直线的右边作射线，使，作的平分线交射线于点． (1)如图1，，点与点重合，求的度数； (2)如图2，若，点在的延长线上，求的度数．（用含有的式子表示） 【精练2】（25-26七年级下·广西钦州·期中）综合与实践． 【问题初探】如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，． (1)已知，求的度数； (2)证明：； 【类比探究】 (3)如图，在长方形的台球桌面上，选择适当的角度击打白球，可以使白球经过两次反弹后将黑球直接撞入袋中，此时，并且；如果黑球与洞口的连线和台球桌面边缘的夹角，那么_____°才能保证黑球准确入袋； 【学科融合】 (4)小明提出新的问题情境，在物理学中，光的反射跟台球的运动轨迹相似．光线反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射光线与法线的夹角（反射角）等于入射光线与法线的夹角（入射角）；如图1，为一镜面，为入射光线，入射点为点O，为法线（过入射点O且垂直于镜面的直线），为反射光线，此时反射角等于入射角．现有一激光反光装置，如图2，是两块可以分别绕A，B两点转动的镜面，O点是激光发射装置，由O点发出的激光照射在点A和点B处，是两束反射光线．A，B处于同一水平高度，已知入射光线和与水平线的夹角分别是和，镜面与立杆的夹角，则反射光线与水平面夹角____°；通过调节的角度，当______时，反射光线和平行． 题型五 平行线的性质在生活中的应用 【精讲】（25-26七年级下·山东枣庄·期中）在学习完《相交线和平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情境：如图1，已知，． ①问题探究：求证：； ②拓展探究：，，之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (2)迁移应用：图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若，则的度数为 ． 【精练1】（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中都与地面平行，，．若，则的度数为（   ） A．15° B．65° C．70° D．115° 【精练2】已知：如图1，．求证：． 老师要求学生在完成这道题目证明后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？ (1)小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小颖用到的平行线性质可能是 ； (2)接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线，，然后在平行线间画了一点，连接，后，用鼠标拖动点，分别得到了图，，，小颖发现图正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图和图中的，与之间也可能存在着某种数量关系．于是她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系． 请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题： ①猜想图中，与之间的数量关系并加以证明； ②利用图③探究，在拖动点至上方或的下方时，，与之间还存在其他数量关系，请直接写出、与之间的数量关系 （写出一种即可）； (3)一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于点．平行于地面，若，则的度数为 ． 题型六 根据平行线判定与性质求角度 【精讲】（25-26七年级下·山东泰安·期中）按要求完成下列各题： 问题情景： (1)如图1，已知，． ①请对说明理由； ②请对说明理由． 迁移应用： (2)如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数． 【精练1】．（25-26七年级下·江苏南通·期中）如图，，平分，平分，若设，，则___________度（用x，y的代数式表示）；若平分，平分，可得，平分，平分，可得，…，依次平分下去，则___________度． 【精练2】（25-26七年级下·湖北孝感·期中）已知，直线，点P为平面上一点，连接与． (1)如图1，若平分，平分，求的度数． (2)如图2，点P在直线，之间，与的平分线相交于点Q，，，，求的度数． (3)如图3，点P在直线下方，与的平分线相交于点E，写出与之间的数量关系，并说明理由． 题型七 根据平行线判定与性质证明 【精讲】（25-26七年级下·甘肃兰州·期中）如图，在中，，垂足为D，，垂足为F，，试说明：．下面是小明的解答过程，请你补充完整． 解：因为，（已知）， 所以，（垂直的概念） 所以， 所以（                     ） 所以______（                  ） 因为（已知） 所以____（                      ） 所以（                        ） 所以（                       ） 【精练1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图（1），直线与直线、分别交于点、．为钝角，． (1)求证：； (2)如图（2），点、分别在直线、上，点（不在直线上）是直线、之间一点，连接、、．若，，求等于多少度？ (3)如图（3），在（2）的条件下，平分交直线于点，平分交于点，交直线于点，若，，求的度数． 【精练2】（25-26七年级下·湖北孝感·期中）如图，，为直线，外一点，连接，． (1)如图1，求证：； (2)若平分交于点，平分交于点． ①如图2，求证：； ②如图3，过点作交于点，若平分，，则的度数为____________． 模型一 M型（含锯齿型）-平行线解题模型 【精讲】（2025·山东济南·一模）将一块直角三角板按如图所示的方式放置在平行线a，b之间．若，则的度数为_________． 【精练1】（1）如图1，，，，直接写出的度数． （2）如图2，，点为直线间的一点，平分，平分，写出与之间的关系并说明理由． （3）如图3，与相交于点，点为内一点，平分，平分，若，，直接写出的度数． 【精练2】（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）综合与实践 在学习平行线的性质的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“平行线的拐点问题”进行研究． 如图1，直线，点，分别在直线，上，点是直线与外一点， 连接，． (1)【问题初探】若，， 则的度数为_____． (2)【问题拓展】①如图2，作平分，平分，若设，，求出的度数（用含x，y的式子表示）． ②在①的条件下，如图3，若平分，平分,平分，平分，可得……依次平分下去， 则的度数是______． (3)【问题应用】智慧组制作了一个如图4所示的“燕子镖”，经测量发现，，试探究与之间有怎样的数量关系，并说明理由． 模型二 笔尖型-平行线解题模型 【精讲】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）探究题： (1)如图1，若，则，你能说明理由吗？ (2)若将点E移至图2的位置，此时、、之间有什么关系？并证明 【精练1】如图，直线，E，M分别为直线、上的点，N为两平行线间的点，连接、，过点N作平分交直线于点G，过点N作，交直线于点F，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【精练2】（25-26七年级下·重庆秀山·期中）综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线，，且，三角形是直角三角形，，，，操作发现： (1)如图，，求的度数； (2)如图，创新小组的同学把直线向上平移，并把的位置改变，发现，请说明理由． (3)缜密小组在创新小组发现的结论的基础上，将图中的图形继续变化得到图，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请写出与的数量关系并说明理由． 模型三 “鸡翅“型-平行线解题模型 【精讲】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，，已知，，则_________． 【精练1】（25-26七年级下·山东枣庄·月考）【问题情境】如图①，，，，求的度数． 小明的解题思路：过作，通过平行线的性质来求的度数． (1)按小明的思路，求的度数． (2)【问题迁移】如图②，，点在直线上运动，记，，当点在线段上（不与、重合）时，与，之间有何数量关系？请说明理由． (3)【问题应用】在（2）的条件下，如果点不在线段上，请直接写出与，之间的数量关系． 【精练2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）已知点是直线，所确定的平面内的一点． (1)如图1，若，，，与平行吗？为什么？ (2)如图2，已知，求出，，之间的数量关系； (3)在图2的基础上，延长至点，延长至点，过点作，连接，，且，过点作平分交于点，如图3所示．若 ，，求的度数． 模型四 “骨折”型-平行线解题模型 【精讲】如图，已知，，，则_____． 【精练1】已知中，点D是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点． (1)如图1，若，，直接求出的度数； (2)如图2，若，试判断与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，若，求证： ． 【精练2】综合与探究 【问题情境】 王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动 （1）如图1，，点、分别为直线、上的一点，点为平行线间一点，请直接写出、和之间的数量关系； 　　　 　　　 　　　 【问题迁移】 （2）如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交、于点、，直线分别交、于点、，点在射线上运动， ①当点在、（不与、重合）两点之间运动时，设，．则，，之间有何数量关系？请说明理由． ②若点不在线段上运动时（点与点、、三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出，，之间的数量关系． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线交于主光轴上一点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）下列图形中，由能得到的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，直线，平分，当的度数为时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知在同一直线上，且，若，则为_________ 5．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）如图，直线、被直线所截，若，，，则_____． 6．如图，已知，，，求的度数，并说明理由． 解：因为，， 所以． 根据“ ”， 所以 ． 又因为， 根据“ ”， 所以 ． 7．将下面过程填写完整． 如图，点E在上，点F在上，，．求证：． 证明：因为（已知），（____________）， 所以______， 所以______∥（____________）， 所以（____________）， 又因为， 所以， 所以（____________）． 8．如图，在四边形中，E、F分别是、延长线上的点，连接．分别交、于点G、H．若，．试证明 (1) (2)． 9．（24-25七年级下·云南玉溪·期中）如图，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 10．如图，在小学我们通过观察、实验的方法得到了“三角形内角和是”的结论． 小明通过这学期的学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性． 受到实验方法1的启发，小明形成了证明该结论的想法：实验1的拼接方法直观上看，是把和移动到的右侧，且使这三个角的顶点重合，如果把这种拼接方法抽象为几何图形，那么利用平行线的性质就可以解决问题了． 小明的证明过程如下： 已知：如图，．求证：．    证明：延长，过点C作． ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）． ∵（平角定义）， ∴． 请你参考小明解决问题的思路与方法，写出通过实验方法2证明该结论的过程． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．如图，，，则的关系是（    ） A． B． C． D． 2．已知，如图所示，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知​，​直角顶点在​上，已知​，则​（    ） A．​ B．​ C．​ D．​ 4.如图，直线，，交于一点，直线，若，，则______． 5．如图，，，，则的度数是____． 6．如图，一束光线从点上的出发，经过平面镜反射后，沿与平行的射线射出（此时），若测得，则_____________． 7．如图，已知，． (1)求证：； (2)求证：． 8．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 9．如图，已知F，E分别是射线上的点．连接平分平分． (1)试说明； (2)若，求的度数． 10．学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组在练习中看到这样一道题“如图1，平分，平分，．判断，是否平行，并说明理由”，试着“玩”起数学来： 【基础巩固】 (1)条件和结论互换，改成了：“如图1，平分，平分，，则．”小明认为这个结论正确，你认同他的想法吗？请说明理由． 【尝试探究】 (2)小明发现：若将其中一条角平分线改成的垂线，则“”这个结论不成立．请帮小明完成探究： 如图2，，平分，，是与的夹角，是与的夹角，若，求的度数． 【拓展提高】 (3)如图3，若，，平分，试说明． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $