专题01 幂的运算与应用【期末复习重难点专题培优十二大题型】-2025-2026学年数学苏科版七年级下册

**基本信息** 以12类高频易错题型为框架，通过“精讲+精练”系统构建幂的运算正逆用方法体系，覆盖从基础运算到拓展应用的完整认知链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |重点题型讲练|12题型（含江苏多地期中真题）|运算规则正逆用、科学记数法转化、新定义问题建模|从同底数幂乘除到幂的乘方/积的乘方，再到混合运算及零/负整数指数幂，形成“概念-推导-应用”递进链| |真题实战演练|56题（分基础/拓展）|分层突破策略、易错点辨析|基础题夯实运算能力，拓展题强化推理意识，契合期末命题分层特点|

2025-2026学年苏科版新教材数学七年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题01 幂的运算与应用『期末复习重难点专题培优』 【12个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共56题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 同底数幂相乘 1 题型二 同底数幂乘法的逆用 2 题型三 用科学记数法表示数的乘法 3 题型四 幂的乘方运算 3 题型五 幂的乘方的逆用 4 题型六 积的乘方运算 5 题型七 积的乘方的逆用 5 题型八 同底数幂的除法运算 6 题型九 同底数幂除法的逆用 6 题型十 幂的混合运算 7 题型十一 零指数冪 8 题型十二 负整数指数冪 9 优选真题 实战演练 10 【基础夯实 能力提升】 10 【拓展拔尖 冲刺满分】 12 题型一 同底数幂相乘 【精讲】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）已知，，且，则的值为______． 【精练1】（25-26七年级下·江苏连云港·期中）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设① 则② ②-①得，． 请仿照小明的方法解决以下问题： (1)___________； (2)求___________； (3)求的和．（请写出计算过程） 【精练2】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）阅读材料：n个相同的因数a相乘，可记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为（即）．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）． 根据以上材料，解决下列问题： (1)计算以下各对数的值：_________，_________，_________； (2)根据（1）中的计算结果，写出，，满足的关系式； (3)根据（2）中的关系式及4，16，64满足的关系式猜想一般性结论：_________（且，，）； (4)根据幂的运算法则说明（3）中一般性结论的正确性． 题型二 同底数幂乘法的逆用 【精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，则____________． 【精练1】（25-26八年级上·福建厦门·期中）规定：若实数a，b，c满足（且，），则记作．例如：，则．若，，，且，则p的值是（   ） A． B． C． D．9 【精练2】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如果，那么我们规定，例如：因为，所以． (1)（理解）根据上述规定，填空：________，________； (2)（说理）记，，，试说明：； (3)（应用）若（且），求的值． 题型三 用科学记数法表示数的乘法 【精讲】（2026七年级下·全国·专题练习）某种计算机每秒可进行次运算．它工作，可进行多少次运算？ 【精练1】（24-25八年级上·山东德州·月考）在某地，平均每平方米的土地一年从太阳得到的能量相当于燃烧的煤产生的热量．该地的土地上，一年从太阳得到的能量相当于燃烧______的煤产生的热量（用科学记数法表示）． 【精练2】经过近60年的发展，我国已建成目前世界上技术手段最为完 备的国家授时系统，授时精度从开始的毫秒级（千分之一秒）到了如今的百皮秒级（百亿分之一秒），提高了7个数量级，处于世界领先水平．已知1秒毫秒，1毫秒皮秒，则10秒等于（    ） A．皮秒 B．皮秒 C．皮秒 D．皮秒 题型四 幂的乘方运算 【精讲】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【精练1】（25-26七年级下·江苏连云港·期中）幂的运算性质在一定条件下具有可逆性，如，则（a、b为非负数、m为非负整数），请运用所学知识解答下列问题： (1)已知：，求x的值； (2)已知：，求x的值． 【精练2】（25-26七年级下·江苏南京·期中）我们规定：如果，记作．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：______，______； (2)若，，．试说明：； (3)若，，写出与的数量关系，并说明理由． 题型五 幂的乘方的逆用 【精讲】（25-26七年级下·江苏盐城·期中）阅读理解：下面是小明完成的一道作业题． 计算：． 解：原式 知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： (1) ； (2)． 【精练1】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知，则的值是________． 【精练2】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）若（且是正整数），则．请你利用上面的结论解决下面的2个问题． (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 题型六 积的乘方运算 【精讲】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知实数、、存在数量关系、，则________． 【精练1】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）计算的结果是____． 【精练2】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型七 积的乘方的逆用 【精讲】（25-26七年级下·江苏镇江·期中）【教材研究】下面方框内是2024苏科版教材内的一道例题． 计算：． 解：原式， ， ， ． 【我的感悟】请参考方框内的解法解答下列问题． (1)计算： ①； ②； (2)如果，求的值． 【精练1】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）计算___． 【精练2】（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）计算的结果为______ 题型八 同底数幂的除法运算 【精讲】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）【中档】若且，m、n是正整数，则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若，用含x的代数式表示y，则 ． 【精练1】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）解答下列各题： (1)已知，则的值为_______． (2)如果，求的值 (3)已知，求的值． 【精练2】（25-26七年级下·江苏常州·期中）按要求完成以下问题： (1)若，写出、、之间的数量关系，并说明理由； (2)已知，写出、、之间的数量关系，并说明理由． 题型九 同底数幂除法的逆用 【精讲】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）已知，． (1)求的值： (2)求的值． 【精练1】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）计算： (1)若，，求； (2)若，求的结果． (3)若，求x的值． 【精练2】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）将幂的运算逆向思维可得， ，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值； (2)若，求x的值； (3)若，求的值； (4)若，，，直接写出a，b，c之间的数量关系． 题型十 幂的混合运算 【精讲】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）计算： (1) ； (2)． 【精练1】（25-26八年级上·江西宜春·期末）计算： (1) ； (2) 【精练2】（24-25七年级下·江苏扬州·阶段检测）（1）已知，求的值． （2）已知n为正整数，且，求的值． 题型十一 零指数冪 【精讲】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）若有意义，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【精练1】（25-26七年级下·江苏常州·期中）如果，，，那么它们的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【精练2】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）探究等式的基本性质与特殊幂值的求解方法，并完成以下问题： 【课内回顾】 (1)若，则； 若（c满足条件________），则． 【阅读材料】 如果一个幂的结果等于1，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为1，例如； ③底数为的偶数次幂，例如． 【知识运用】 (2)若，求x的值． 题型十二 负整数指数冪 【精讲】（25-26七年级下·江苏南京·期中）在研究幂的运算时，我们首先研究了指数为正整数的相关运算性质． (1)类似地，当指数是负整数时，幂的相关运算性质仍然成立． 计算：①；②． (2)类似地，当指数推广到分数时，幂的相关运算性质仍然成立． ①计算：； ②填空：． 【精练1】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）规定两正数a，b之间的一种运算记作，如果，那么． 例如：因为，所以． 小明在研究这种运算时发现一个结论：． 小明给出了如下的证明： 设， 由规定，得， ∴， ∴， ∴ 请你解决下列问题： (1)填空： ，； (2)证明：； (3)如果正数、m、n，满足，求x． 【精练2】（25-26八年级上·全国·课后作业）若，定义新运算，则的值是（   ） A． B．11 C． D． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·福建莆田·期中）已知，，则代数式的值为________． 5．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）若，，则_____________． 6．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）若且为整数，能整除的有________个． 7．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）计算： (1)； (2)． 8．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：∵，∴．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，则． ∴． ∴， 即． (1)根据上述规定，填空： ① ， ；②若，则 ． (2)计算： ，并说明理由． (3)记．求证：． 9．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）【课内回顾】如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为的整数指数幂，例如； ③底数为的偶数指数幂，例如． 【知识运用】 (1)若，则_________； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 10．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求x的值． (2)若，求x的值． (3)若，，用含m的代数式表示 ． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）若a，b是正整数，且满足，则下列a与b的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）已知，则正整数m的值为（   ） A．84 B．86 C．94 D．96 3．（24-25七年级下·江苏常州·期末）已知，其中，，，是正整数，则下列说法中正确的是（    ） A．是偶数 B．是偶数 C．是偶数 D．是奇数，是偶数 4．若，则a，b，c，d的大小关系为__________．（用“”连接） 5．已知，则的值是______． 6．已知 ，，则的值为_____． 7．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 8．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）化简： (1)； (2) 9．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）计算与化简： (1)； (2)． 10．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）对于整数、定义运算：（其中、为常数），如． (1)填空：当时，______； (2)若，求的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版新教材数学七年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题01 幂的运算与应用『期末复习重难点专题培优』 【12个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共56题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 同底数幂相乘 1 题型二 同底数幂乘法的逆用 4 题型三 用科学记数法表示数的乘法 6 题型四 幂的乘方运算 7 题型五 幂的乘方的逆用 8 题型六 积的乘方运算 10 题型七 积的乘方的逆用 11 题型八 同底数幂的除法运算 13 题型九 同底数幂除法的逆用 16 题型十 幂的混合运算 18 题型十一 零指数冪 19 题型十二 负整数指数冪 21 优选真题 实战演练 23 【基础夯实 能力提升】 23 【拓展拔尖 冲刺满分】 30 题型一 同底数幂相乘 【精讲】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）已知，，且，则的值为______． 【答案】 【思路引导】根据同底数幂的乘法及已知条件求出的值，再代入计算即可． 【规范解答】解：∵，，， ∴，即， ∴， ∴． 【精练1】（25-26七年级下·江苏连云港·期中）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设① 则② ②-①得，． 请仿照小明的方法解决以下问题： (1)___________； (2)求___________； (3)求的和．（请写出计算过程） 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）设和为，给等式两边同时乘以，再将新等式与原等式相减，消去中间项，直接得到结果； （2）设和为，给等式两边同时乘以​，再将原等式与新等式相减，消去中间项，解出； （3）设和为，给等式两边同时乘以，再将原等式与新等式相减，消去中间项，解出． 【规范解答】（1）解：设，则， 故． （2）解：设，则， 则， 即， 故． （3）解：设，则， 可得， 故． 【精练2】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）阅读材料：n个相同的因数a相乘，可记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为（即）．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）． 根据以上材料，解决下列问题： (1)计算以下各对数的值：_________，_________，_________； (2)根据（1）中的计算结果，写出，，满足的关系式； (3)根据（2）中的关系式及4，16，64满足的关系式猜想一般性结论：_________（且，，）； (4)根据幂的运算法则说明（3）中一般性结论的正确性． 【答案】(1)2；4；6 (2) (3) (4)见解析 【思路引导】（1）根据对数的定义求解； （2）认真观察，即可找到规律：，； （3）由特殊到一般，得出结论：． （4）设，，根据同底数幂的运算法则：和给出的材料证明结论． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，，，， ∴； （3）解：由（2）的结果可得； （4）解：设，， 则，， ∴， ∴， ∴． 题型二 同底数幂乘法的逆用 【精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，则____________． 【答案】2 【思路引导】本题考查了同底数幂相乘及其逆运算，掌握其运算法则是解题的关键． 根据同底数幂乘法法则，将和相乘得到，计算其值并化为以为底的幂，从而求出． 【规范解答】解：∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 【精练1】（25-26八年级上·福建厦门·期中）规定：若实数a，b，c满足（且，），则记作．例如：，则．若，，，且，则p的值是（   ） A． B． C． D．9 【答案】A 【思路引导】本题考查新定义运算，同底数幂的乘法，掌握相关知识是解决问题的关键．根据规定将符号转化为指数形式，再利用 和同底数幂相乘的法则求解． 【规范解答】解：∵ ， ∴ ； ∵ ， ∴ ； ∵ ， ∴ ； 又 ∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ． 故选：A． 【精练2】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如果，那么我们规定，例如：因为，所以． (1)（理解）根据上述规定，填空：________，________； (2)（说理）记，，，试说明：； (3)（应用）若（且），求的值． 【答案】(1)3，4 (2)见解析 (3)80 【思路引导】本题主要考查有理数的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握有理数的乘方、同底数幂的乘法法则是解决本题的关键． （1）根据规定的两数之间的运算法则解答； （2）根据规定的运算可得，，，结合同底数幂的乘法法则计算即可； （3）设，，，根据规定的运算和同底数幂乘法的逆用进行求解即可． 【规范解答】（1）解∶∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3，4； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （3）解∶设，，，且， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型三 用科学记数法表示数的乘法 【精讲】（2026七年级下·全国·专题练习）某种计算机每秒可进行次运算．它工作，可进行多少次运算？ 【答案】 【思路引导】本题主要考查单项式乘以单项式及同底数幂的乘法，熟练掌握各个运算是解题的关键；由题意可列算式，然后问题可求解． 【规范解答】解：由题意得：； 答：进行次运算． 【精练1】（24-25八年级上·山东德州·月考）在某地，平均每平方米的土地一年从太阳得到的能量相当于燃烧的煤产生的热量．该地的土地上，一年从太阳得到的能量相当于燃烧______的煤产生的热量（用科学记数法表示）． 【答案】 【思路引导】此题考查科学记数法，以及用科学记数法表示数的乘法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【规范解答】解：因为， 所以， 故答案为：． 【精练2】经过近60年的发展，我国已建成目前世界上技术手段最为完 备的国家授时系统，授时精度从开始的毫秒级（千分之一秒）到了如今的百皮秒级（百亿分之一秒），提高了7个数量级，处于世界领先水平．已知1秒毫秒，1毫秒皮秒，则10秒等于（    ） A．皮秒 B．皮秒 C．皮秒 D．皮秒 【答案】B 【思路引导】本题考查了同底数幂乘法的应用，科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．据此求解即可； 【规范解答】解：1秒毫秒，1毫秒皮秒， 秒皮秒， 秒皮秒， 故选：B． 题型四 幂的乘方运算 【精讲】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【规范解答】解：A．，原运算错误，不符合题意； B．，原运算正确，符合题意； C．，原运算错误，不符合题意； D．与不是同类项，不能合并，，原运算错误，不符合题意． 【精练1】（25-26七年级下·江苏连云港·期中）幂的运算性质在一定条件下具有可逆性，如，则（a、b为非负数、m为非负整数），请运用所学知识解答下列问题： (1)已知：，求x的值； (2)已知：，求x的值． 【答案】(1)5 (2)3 【思路引导】（1）利用幂的乘方、积的乘方的逆用变形，得到，即，求解即可； （2）利用积的乘方的逆用变形及等式性质，得到，则，求出x的值即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，即， ∴， 解得：， ∴的值为5； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的值为3． 【精练2】（25-26七年级下·江苏南京·期中）我们规定：如果，记作．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：______，______； (2)若，，．试说明：； (3)若，，写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)，理由见解析 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：由题意得：，，， ， ， ． （3），理由如下： 由题意得：，， ， ， ． 方法二：， ， ． 题型五 幂的乘方的逆用 【精讲】（25-26七年级下·江苏盐城·期中）阅读理解：下面是小明完成的一道作业题． 计算：． 解：原式 知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【思路引导】（1）利用积的乘方法则的逆运算解答即可； （2）将指数化为相同的形式，再利用积的乘方法则的逆运算解答即可； 【规范解答】（1）解： ． （2）解： = = = =． 【精练1】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知，则的值是________． 【答案】8 【思路引导】将等式左侧各数化为以为底的幂，利用幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则化简左侧，再根据等式两边底数相同的幂相等则指数相等列方程求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 【精练2】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）若（且是正整数），则．请你利用上面的结论解决下面的2个问题． (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据题意可得，则，进而可得，解方程即可得到答案； （2）根据题意可得，则，进而得到，解方程即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 题型六 积的乘方运算 【精讲】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知实数、、存在数量关系、，则________． 【答案】 12 【思路引导】利用积的乘方与幂的乘方运算法则，将变形，转化为含和的形式，再代入已知条件计算. 【规范解答】解：， 【精练1】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）计算的结果是____． 【答案】 【规范解答】解：． 【精练2】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查整式的幂运算与合并同类项法则，根据对应运算法则逐一计算选项，即可判断正确结果． 【规范解答】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项符合题意． 题型七 积的乘方的逆用 【精讲】（25-26七年级下·江苏镇江·期中）【教材研究】下面方框内是2024苏科版教材内的一道例题． 计算：． 解：原式， ， ， ． 【我的感悟】请参考方框内的解法解答下列问题． (1)计算： ①； ②； (2)如果，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【思路引导】（1）①将拆为，逆用积的乘方公式，把指数相同的与结合计算；②将化为，逆用积的乘方公式，把指数相同的与结合计算； （2）先逆用积的乘方公式将左边化为，再根据同底数幂相等则指数相等列一元一次方程求解． 【规范解答】（1）解：①； ②； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 【精练1】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）计算___． 【答案】 【规范解答】解： 【精练2】（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）计算的结果为______ 【答案】 【思路引导】先将原式中的小数化为分数，拆分指数后，逆用积的乘方法则进行化简，再计算最终结果． 【规范解答】解：原式 ． 题型八 同底数幂的除法运算 【精讲】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）【中档】若且，m、n是正整数，则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若，用含x的代数式表示y，则 ． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）根据幂的乘方逆运算可得：，即可得出，再根据已知，由此可得：，得出，解方程即可得出x的值； （2）将变形为：，即，即可得出，即可得出答案； （3）由，可得，把代入y即可得出答案． 【规范解答】（1）解： ， ∵， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：已知， ∵ ， ∴， 故答案为：． 【精练1】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）解答下列各题： (1)已知，则的值为_______． (2)如果，求的值 (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）根据同底数幂的除法运算得到，进而得到，即可求解； （2）根据幂的乘方和同底数相乘法则，即可求解； （3）根据幂的乘方和积的乘方对所求式子进行变形，再代入求值即可． 【规范解答】（1）解： ， 解得； （2）解： ， ； （3）解： ， ． 【精练2】（25-26七年级下·江苏常州·期中）按要求完成以下问题： (1)若，写出、、之间的数量关系，并说明理由； (2)已知，写出、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【思路引导】（1）利用同底数幂的除法法则、同底数幂的乘法法则可得，即可求解； （2）根据幂的乘方、积的乘方逆用得出，，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：，理由如下． ， ． ． ． （2）解：，理由如下： ， ， ． ， ． ． 题型九 同底数幂除法的逆用 【精讲】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）已知，． (1)求的值： (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴． 【精练1】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）计算： (1)若，，求； (2)若，求的结果． (3)若，求x的值． 【答案】(1) (2)8 (3) 【思路引导】（1）求出的值，再根据求解即可； （2）求出，再把所求式子变形为，进一步变形为，据此可得答案； （3）把所求式子变形为，进一步变形得到，据此可得答案． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【精练2】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）将幂的运算逆向思维可得， ，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值； (2)若，求x的值； (3)若，求的值； (4)若，，，直接写出a，b，c之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)14 (4) 【思路引导】（1）逆用同底数幂的除法即可求解； （2）将分别变形成底数为2的幂，再运用同底数幂的乘法及一元一次方程即可求解． （3）由已知等式得到，将所求代数式变形，代入计算即可； （4）将72变形，根据幂的乘方逆运算变形计算即可 【规范解答】（1）解：∵ ，， ； （2）解：， ， ． （3）解：∵， ∴ ∴ （4）解：∵，，， ∴ ， ∴ 题型十 幂的混合运算 【精讲】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解：原式； （2）解：原式． 【精练1】（25-26八年级上·江西宜春·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了零指数幂、负整数指数幂、幂的混合运算及合并同类项等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）先计算负整数指数幂、零指数幂、绝对值，然后再计算减法即可； （2）先计算同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，然后再合并同类项即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【精练2】（24-25七年级下·江苏扬州·阶段检测）（1）已知，求的值． （2）已知n为正整数，且，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【思路引导】本题考查了幂的混合运算，代数式求值，掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意可求出，根据幂的乘方逆运算和同底数幂的乘法运算可将式子变形为，整体代入求值即可； （2）根据幂的乘方和其逆用法则可将所求式子变形为，将代入求值即可． 【规范解答】解：（1）∵， ∴， ； （2）∵， ∴ ． 题型十一 零指数冪 【精讲】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）若有意义，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据零指数幂的定义，底数不能为0，据此求解即可． 【规范解答】解：根据零指数幂的定义，任何非零数的零次幂有意义，零的零次幂无意义， ∵ 有意义 ∴ 底数不为，即 解得． 【精练1】（25-26七年级下·江苏常州·期中）如果，，，那么它们的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】计算出的值，再比较大小即可． 【规范解答】解：∵，，，且， ∴． 【精练2】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）探究等式的基本性质与特殊幂值的求解方法，并完成以下问题： 【课内回顾】 (1)若，则； 若（c满足条件________），则． 【阅读材料】 如果一个幂的结果等于1，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为1，例如； ③底数为的偶数次幂，例如． 【知识运用】 (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2)或 【思路引导】（1）根据等式的性质，即可求解； （2）根据材料分三种情况讨论①当且时，②当时，③当且为偶数时，根据一个幂的结果等于，分别计算即可求解． 【规范解答】（1）解：， 当时，则， 因此若，当满足时，则， 故答案为：； （2）解：分三种情况讨论如下： ①当且时，， 由，解得：，此时， 当时，； ②当时，， 由，解得：， 当时，； ③当且为偶数时，， 由，解得：， 此时不是偶数，故不合题意，舍去． 综上所述：若，则x的值为或． 题型十二 负整数指数冪 【精讲】（25-26七年级下·江苏南京·期中）在研究幂的运算时，我们首先研究了指数为正整数的相关运算性质． (1)类似地，当指数是负整数时，幂的相关运算性质仍然成立． 计算：①；②． (2)类似地，当指数推广到分数时，幂的相关运算性质仍然成立． ①计算：； ②填空：． 【答案】(1)①；② (2)①；② 【规范解答】（1）解：① ② （2）解：① ； ②， 故答案为：1． 【精练1】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）规定两正数a，b之间的一种运算记作，如果，那么． 例如：因为，所以． 小明在研究这种运算时发现一个结论：． 小明给出了如下的证明： 设， 由规定，得， ∴， ∴， ∴ 请你解决下列问题： (1)填空： ，； (2)证明：； (3)如果正数、m、n，满足，求x． 【答案】(1)4， (2)见解析 (3)5 【思路引导】（1）根据，则计算求解即可； （2）根据的证明过程证明即可； （3）根据新定义结合同底数幂的运算列出方程求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； （2）证明：设， 由题意得：， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：由题意可得：， ∴， ∴， 解得：． 【精练2】（25-26八年级上·全国·课后作业）若，定义新运算，则的值是（   ） A． B．11 C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了新定义运算，负指数幂的应用，正确的计算是解题的关键． 根据新定义运算，先分别计算出，，的值，再求和即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 故选：B． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方． 根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，对每个选项逐一计算判断即可． 【规范解答】解：，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，故D选项错误； 故选：C． 2．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了积的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方． 根据积的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方的运算法则逐一判断选项的正误即可． 【规范解答】解：≠，故A选项错误； ≠，故B选项错误； ≠，故C选项错误； ，故D选项正确； 故选：D． 3．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方及积的乘方分别运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【规范解答】解：A、，故选项计算错误，不符合题意； B、，故选项计算正确，符合题意； C、，故选项计算错误，不符合题意； D、，故选项计算错误，不符合题意． 故选：B． 4．（25-26八年级上·福建莆田·期中）已知，，则代数式的值为________． 【答案】12 【思路引导】将所求代数式利用幂的运算法则变形，代入已知条件计算即可得到结果； 【规范解答】解：根据同底数幂乘法和幂的乘方运算法则，得： ， 将，代入，得： ． 5．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）若，，则_____________． 【答案】5 【思路引导】本题考查了同底数幂相除，利用指数运算中同底数幂相除的法则，底数不变，指数相减，计算即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【规范解答】解：∵，， ∴， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）若且为整数，能整除的有________个． 【答案】/四 【思路引导】本题考查了本题考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是正确推理计算．首先将表达式分解质因数，然后找出中能整除的整数即可． 【规范解答】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∴． 故 ； ∵且为整数， 故的值可以为、、、、、、、； ，故能整除； ，故能整除； ，故能整除； ，故能整除； 综上，符合条件的为、、、，共个． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方、零指数幂、负整数指数幂、有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据零指数幂法则、负整数指数幂法则、有理数的混合运算法则进行解题即可； （2）根据同底数幂的乘除法法则，幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． 8．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：∵，∴．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，则． ∴． ∴， 即． (1)根据上述规定，填空： ① ， ；②若，则 ． (2)计算： ，并说明理由． (3)记．求证：． 【答案】(1)① 3，5；② (2)，理由见解析 (3)见解析 【思路引导】本题考查了幂的运算和新定义运算，解题关键是准确理解题意，熟练运用幂的运算法则进行计算． （1）①按照题目给出的运算方法计算即可；②根据新定义列出方程求解即可； （2）按照题目给出的运算方法计算即可； （3）按照题目给出的运算方法计算即可． 【规范解答】（1）解：①∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：3，5， ②∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． （2）解：设，则． ∴． ∴，即； 故答案为：． （3）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）【课内回顾】如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为的整数指数幂，例如； ③底数为的偶数指数幂，例如． 【知识运用】 (1)若，则_________； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为或或； (3)的值为或． 【思路引导】此题主要考查了同底数幂的除法的法则，零指数幂的定义等，分类讨论是解决问题的关键． （1）根据同底数幂的除法法则进行运算，得到，再根据零指数幂的定义求解即可； （2）根据题意进行的分类讨论，即可求解； （3）先分类讨论：（）当且时，求出的值并判断；（）当时，整理，得：，再根据题意进行的分类讨论，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵， 又∵， ∴， ∴，解得：； （2）∵， ∴如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，即且，解得：； ②底数为1的整数指数幂，即，解得：； ③底数为的偶数指数幂，即且为偶数，解得：，检验：为偶数，即成立， ∴综上，的值为或或； （3）∵， ∴分类讨论： （）当且时，解得：且，矛盾，不成立； （）当时，整理，得：， ∴如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，即且，解得：； ②底数为的整数指数幂，即，解得：； ③底数为的偶数指数幂，即且为偶数，解得：，检验：不为偶数，即不成立； ∴综上，的值为或． 10．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求x的值． (2)若，求x的值． (3)若，，用含m的代数式表示 ． 【答案】(1)6 (2)3 (3) 【思路引导】本题考查幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）利用幂的乘方的逆运算将变形为，再根据题目中的规定即可求解； （2）将变形为，计算出，即可求解； （3）由得，再将变形为即可求解． 【规范解答】（1）解： ，， ， ； （2）解： ， ， ， ， ， ； （3）解： ， ， ， 故答案为：． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）若a，b是正整数，且满足，则下列a与b的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查同底数幂的乘法运算，正确掌握同底数幂的乘法性质是解题关键．先将等式左右两边转化为同底数幂的形式，再利用同底数幂相等则指数相等的性质推导a与b的关系． 【规范解答】解：∵， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）已知，则正整数m的值为（   ） A．84 B．86 C．94 D．96 【答案】D 【思路引导】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方等的逆运算，合并同类项．将等式右边的两个幂次项提取公因数，转化为平方数的乘积形式，进而开平方得到m的值，即可解答． 【规范解答】解：∵ ， ∴． 故选D． 3．（24-25七年级下·江苏常州·期末）已知，其中，，，是正整数，则下列说法中正确的是（    ） A．是偶数 B．是偶数 C．是偶数 D．是奇数，是偶数 【答案】B 【思路引导】本题考查了同底数幂乘法．熟练掌握同底数幂乘法的法则，奇数偶数性质，是解题的关键． 将等式右边统一为3的幂，结合完全平方数的性质确定指数为偶数，进而分析各选项的奇偶性，即得． 【规范解答】∵，且左边为完全平方数， ∴必为偶数． ∵，且为偶数， ∴也需为偶数． 若为偶数，为偶数，则需为偶数； 若为奇数，为奇数，则需为奇数． ∴与奇偶性相同， ∴必为偶数． A：如为奇数时，可能为奇数，错误； B：是偶数，正确； C：的奇偶性由决定，不一定为偶数； D：的奇偶性不确定，错误． 故选：B． 4．若，则a，b，c，d的大小关系为__________．（用“”连接） 【答案】 【思路引导】本题主要考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则是解题的关键．将、、、转化为指数相同的幂，再比较底数大小，从而得出它们的大小关系． 【规范解答】解： 因为， 所以． 故答案为：． 5．已知，则的值是______． 【答案】8 【思路引导】本题考查的是幂的乘方运算的逆运算，同底数幂的乘法运算，由条件可得，把化为，再代入计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴ ∴ ． 故答案为：8 6．已知 ，，则的值为_____． 【答案】12 【思路引导】本题考查同底数幂的乘除法，幂和乘方，利用同底数幂的除法和幂的乘方运算法则计算即可． 【规范解答】解：． 故答案为：12． 7．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法以及若（且），则的结论，熟练掌握幂的运算法则和整体代换思想是解题的关键． （1）先将等式左边的底数统一为2，再根据若（且），则的结论，列出关于的方程求解． （2）先提取公因式，将等式左边化简，再把等式右边的数转化为以2为底的幂，最后根据若（且），则的结论，列出关于的方程求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）化简： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了整式的化简，熟练掌握去括号法则、合并同类项法则和幂的运算法则是解题的关键． （1）去括号，合并同类项即可； （2）先计算同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂的除法，再合并同类项即可． 【规范解答】（1）解：原式 （2）原式 ． 9．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）计算与化简： (1)； (2)． 【答案】(1)18 (2) 【思路引导】本题考查绝对值，零次幂，负整数指数幂等实数的运算，幂的运算等，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先计算绝对值，零次幂，负整数指数幂，再计算加减； （2）先计算同底数幂相乘，积的乘方，同底数幂相除，再合并同类项即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 10．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）对于整数、定义运算：（其中、为常数），如． (1)填空：当时，______； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了新定义的有理数运算、幂得乘方、同底数幂的乘除法运算． （1）先得到新定义运算的式子，再计算即可； （2）先根据幂的乘方得到，，再逆用幂的乘、除法计算即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵ ∴，， ∴， ∴ ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $