精品解析：四川成都市邛崃市高埂集团2025-2026学年八年级下学期期中考试数学试题

高埂中学教育集团2025-2026学年下期八年级半期试题 数学科目 （全卷总分：150 考试时间：120分钟） A卷 一、单选题（每小题4分，32分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是（ ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 5. 如图，函数和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 若点在第二象限，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 由于平台优化派单算法及改善交通工具，某外卖小哥现在每小时比原来可多送3件外卖，送40件的时间比原来少用了3小时．设原来平均每小时送件外卖，依题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将绕点C顺时针旋转得到．若点A，D，E在同一条直线上，，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 二、填空题（每小题4分，20分） 9. 分解因式：__________． 10. 将点向_____平移____个单位长度后，平移后坐标变为． 11. 一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是______． 12. 反证法证明“的三个内角中至少有一个内角大于或等于”，第一步应假设__________． 13. 如图，在中，，，尺规作图作出的垂直平分线与交于点，则的度数为__________． 三、解答题 14. 因式分解 （1） （2）． 15. 解不等式 （1）解不等式，并把解集表示在数轴上； （2）解不等式组，并写出所有的整数解． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． （1）作出关于点O的中心对称图形； （2）定义：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点称为“整点”，请直接写出内部所有的整点的坐标． 17. 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有其他多项式只用上述方法无法分解，如 ，观察这个式子就会发现：前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题． （1）分解因式：； （2）已知，，分别为的三条边，求证：． 18. 综合与实践 【模型感知】 手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型． （1）如图1，已知和都是等边三角形，连接，．求证：； 【模型应用】 （2）如图2，已知和都是等边三角形，将绕点A旋转一定的角度．当点D在的延长线上时，求证：； 【类比探究】 （3）如图3，已知和都是等边三角形．当点D在射线上时，过点E作于点F．直接写出线段，与之间存在的数量关系． B卷 一、填空（每小题4分，共20分） 19. 若点与关于原点对称，则的值为______． 20. 已知x、y满足，则__． 21. 若关于的不等式组无解，则的取值范围是______． 22. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，已知的周长为，，则的长为______． 23. 如图，中，，与的角平分线交于点，交于，，则的长为______． 二、解答题 24. 某服装厂设计了甲、乙两种款式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： （1）若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ （2）工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完利润不低于166500元，请通过计算设计该工厂所有可能的生产方案． 25. 如图，已知中，，，点为的中点．若两点分别从两点同时出发，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上以的速度由点向点运动，设运动时间为，回答下列问题： （1）当为何值时，在的垂直平分线上； （2）当为何值时，； （3）经过______秒后，为等腰三角形，且的周长为． 26. 如图1，与均为等腰直角三角形，且，连接BC、AG，延长AG与BC交于点F． （1）求证：； （2）当点G为CE的中点，时，求CF的长； （3）如图2，过点C作，过点A作，AD、CD交于点D，在边AB上取一点H，使得，连接DH，探究CG、CD、DH三条线段之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高埂中学教育集团2025-2026学年下期八年级半期试题 数学科目 （全卷总分：150 考试时间：120分钟） A卷 一、单选题（每小题4分，32分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、绕中心旋转后能与原图形重合，是中心对称图形，故本选项符合题意； B、 绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、 绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 2. 已知，下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，易错在不等式的基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．不等式性质：基本性质1．不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变．基本性质2．不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变．基本性质3．不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据性质逐一分析即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故不符合题意； B． ∵， ∴， ∴，故符合题意； C．∵， ∴，故不符合题意； D． ∵， ∴，故不符合题意． 故选：B． 3. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了因式分解．根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为整式的积的形式． 【详解】解：A. ，是整式的乘法运算，不符合因式分解的定义； B. ，右边的 不是整式，因此不符合要求； C. ，右边是乘积与常数的差，未完全转化为积的形式； D. ，左边是多项式，右边是整式 的平方，符合因式分解的定义； 故选：D 4. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是（ ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作图与性质，熟记角平分线的性质是解题关键．作于E，利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：作于E，如图， 由题意得平分，而 ∴， ∴的面积． 故选：B． 5. 如图，函数和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，利用图象法解不等式即可． 【详解】解：由题意得，不等式的解集可以看作是函数的图象在的图象上方部分对应的自变量的取值范围． ∵函数和的图象相交于点， ∴结合图象可得，不等式的解集为， 故选：D． 6. 若点在第二象限，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查第二象限内点的坐标特点、解一元一次不等式组等知识点，属于基础题，熟练掌握各个象限内点的坐标特点是解题关键．根据点P在第二象限知它的横坐标小于0，纵坐标大于0，列一元一次不等式组，求解集即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得：， 故选：A． 7. 由于平台优化派单算法及改善交通工具，某外卖小哥现在每小时比原来可多送3件外卖，送40件的时间比原来少用了3小时．设原来平均每小时送件外卖，依题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设原来每小时送件外卖，先表示出现在每小时送的外卖数量，再根据“时间总件数每小时送件数”分别表示出原来和现在送件外卖所用的时间，最后根据时间关系列方程即可． 【详解】解：∵原来平均每小时送件外卖，现在每小时比原来多送件， ∴现在平均每小时送件， ∴原来送件外卖所用时间为小时，现在送件外卖所用时间为小时， ∵现在送件的时间比原来少用小时， ∴原来所用时间现在所用时间， 即列方程得． 8. 如图，将绕点C顺时针旋转得到．若点A，D，E在同一条直线上，，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质，得，利用勾股定理解答即可． 本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：根据旋转的性质，得，， 故， 故． 故选：D． 二、填空题（每小题4分，20分） 9. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提取公因式法和公式法（平方差公式）分解因式，先提取公因式，再用平方差公式分解因式． 【详解】解：原式 故答案为：． 10. 将点向_____平移____个单位长度后，平移后坐标变为． 【答案】 ①. 左 ②. 5 【解析】 【分析】点的平移规律为：横坐标右移加、左移减；纵坐标上移加、下移减．本题中平移前后的坐标，纵坐标不变，只需分析横坐标的变化即可确定平移情况． 【详解】解：∵点平移后的坐标为，，， ∴点向左平移5个单位长度后，坐标变为． 11. 一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是______． 【答案】六 【解析】 【分析】利用多边形内角和公式（为边数且且为整数 ），将内角和代入公式，通过解方程求出边数．本题主要考查了多边形内角和公式，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键． 【详解】边形的内角和为， ， 解得， 这个多边形的边数是六． 故答案为六． 12. 反证法证明“的三个内角中至少有一个内角大于或等于”，第一步应假设__________． 【答案】的三个内角都小于 【解析】 【分析】本题主要考查的是反证法，掌握反证法的步骤是解题的关键． 用反证法证明命题的第一步是假设结论不成立，故需先确定命题的结论；分析命题可知其结论为“三角形中至少有一个内角大于或等于”，结合上述分析，只需假设原命题的反命题成立，即假设三个内角都小于． 【详解】解：反证法证明时，首先假设结论不成立，即假设“的三个内角都小于”，然后通过逻辑推理得出矛盾，从而证明原命题“至少有一个内角大于或等于”成立． 故答案为：的三个内角都小于． 13. 如图，在中，，，尺规作图作出的垂直平分线与交于点，则的度数为__________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题考查了作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据垂直平分线的性质得到，则，再利用三角形内角和计算出，然后根据求解即可． 【详解】解：根据题意，的垂直平分线与交于点， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题 14. 因式分解 （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先对式子变形得到公因式，提取公因式即可得到结果； （2）先提取负号与公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【小问1详解】 解：     ． 【小问2详解】 解：   ． 15. 解不等式 （1）解不等式，并把解集表示在数轴上； （2）解不等式组，并写出所有的整数解． 【答案】（1），数轴表示见解析 （2），整数解为，， 【解析】 【分析】（）根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； （）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集，再根据解集写出所有的整数解即可； 本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，求一元一次不等式组整数解，正确计算是解题的关键． 【小问1详解】 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， ∴不等式的解集在数轴上表示如下： 【小问2详解】 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有整数解为，，． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． （1）作出关于点O的中心对称图形； （2）定义：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点称为“整点”，请直接写出内部所有的整点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2），， 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，坐标与中心对称，熟练掌握中心对称的性质，是解题的关键： （1）根据中心对称的性质，画出即可； （2）数形结合，写出内部所有的整点的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图即为所求； 【小问2详解】 由图可知：内部所有的整点有：，，． 17. 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有其他多项式只用上述方法无法分解，如，观察这个式子就会发现：前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题． （1）分解因式：； （2）已知，，分别为的三条边，求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）将前两项和后两项分组，前两项用平方差公式得，后两项提取公因式得；再提取公因式，得到； （2）将和分组；前三项用完全平方公式得，再与用平方差公式得；结合三角形三边关系：，，乘积小于0，得证． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 因为a，b，c为的三边， 所以，， 因此， 即． 18. 综合与实践 【模型感知】 手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型． （1）如图1，已知和都是等边三角形，连接，．求证：； 【模型应用】 （2）如图2，已知和都是等边三角形，将绕点A旋转一定的角度．当点D在的延长线上时，求证：； 【类比探究】 （3）如图3，已知和都是等边三角形．当点D在射线上时，过点E作于点F．直接写出线段，与之间存在的数量关系． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，，从而得出，再证明，即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，，，从而得出，再证明，得出，即可得证； （3）由等边三角形的性质可得，，，从而得出，再证明，得出，，再由，得出，求出，由直角三角形的性质可得，即可得解． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． B卷 一、填空（每小题4分，共20分） 19. 若点与关于原点对称，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，代数式求值，根据关于原点对称的点，横纵坐标各互为相反数求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点与关于原点对称， ∴，， ∴， 故答案为：． 20. 已知x、y满足，则__． 【答案】6 【解析】 【分析】先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答． 【详解】解：，， ， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． 21. 若关于的不等式组无解，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先解出每个不等式，不等式组无解意味着多个不等式没有公共部分，由此判断参数的取值范围． 【详解】解： 由①得， ∵不等式组无解， ∴与没有公共部分， ∴． 22. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，已知的周长为，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由线段垂直平分线的性质推出，得到的周长，而，即可求出本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出． 【详解】解：垂直平分， ， 的周长， ， ． 故答案为：． 23. 如图，中，，与的角平分线交于点，交于，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】延长交于点，过作于点，由与的角平分线交于点，，平分，则，，即垂直平分，故有，，又，则，，最后通过等角对等边和勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，延长交于点，过作于点， ∴， ∵与的角平分线交于点， ∴平分， ∴， ∵，平分， ∴，，即垂直平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，等角对等边，勾股定理，垂直平分线的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 二、解答题 24. 某服装厂设计了甲、乙两种款式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： （1）若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ （2）工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完利润不低于166500元，请通过计算设计该工厂所有可能的生产方案． 【答案】（1）可以生产甲款服装100件，乙款服装200件 （2）共有2种可能的生产方案，方案一：生产甲款服装334件，乙款服装166件；方案二：生产甲款服装335件，乙款服装165件 【解析】 【分析】（1）设甲款服装x件，则乙款服装件，然后根据题意可得方程，进而求解即可； （2）设甲款服装m件，则乙款服装件，由题意可列出不等式组，进而求解即可． 【小问1详解】 解：设甲款服装x件，则乙款服装件，由题意得： ， 解得：， ∴； 答：可以生产甲款服装100件，乙款服装200件． 【小问2详解】 解：设甲款服装m件，则乙款服装件，由题意得： ， 解得：， ∵m是正整数， ∴m的取值为334或335； 答：共有2种可能的生产方案，方案一：生产甲款服装334件，乙款服装166件；方案二：生产甲款服装335件，乙款服装165件． 25. 如图，已知中，，，点为的中点．若两点分别从两点同时出发，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上以的速度由点向点运动，设运动时间为，回答下列问题： （1）当为何值时，在的垂直平分线上； （2）当为何值时，； （3）经过______秒后，为等腰三角形，且的周长为． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）先根据已知条件得到，；再表示出，，利用垂直平分线的性质列等式，解得； （2）由得，结合全等三角形的判定条件，确定需满足且，列出方程组求解得； （3） 先根据周长为得出，再分三种等腰三角形的情况列方程求解，最后验证三种情况均符合要求三角形三边关系即可． 【小问1详解】 解：在中，，是中点， 故，， 由动点运动得：，， 因此，， ∵点在的垂直平分线上，根据垂直平分线性质， ∴，即， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 当且， ∴对应边满足， 即， 两个方程同解得， 当时，； 【小问3详解】 解：∵为等腰三角形，且的周长为， ∴， 分三种情况讨论等腰三角形： 若时，， 解得， 此时三边为，，，符合三角形三边关系； 若时，， 解得， 此时三边为，，，符合三角形三边关系； 若时，， 解得， 此时三边为，，，符合三角形三边关系． 综上，经过或或秒后，为等腰三角形，且的周长为． 26. 如图1，与均为等腰直角三角形，且，连接BC、AG，延长AG与BC交于点F． （1）求证：； （2）当点G为CE的中点，时，求CF的长； （3）如图2，过点C作，过点A作，AD、CD交于点D，在边AB上取一点H，使得，连接DH，探究CG、CD、DH三条线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）证明△BEC≌△GEA（SAS），根据全等三角形的性质得∠BCE=∠GAE，由∠BCE+∠CBE=90°得∠GAE+∠CBE=90°，可得∠AFB=90°，即可得AF⊥BC； （2）当点G为CE的中点，AE=2时，可得EB=EG=CG=1，AE=2，利用面积法求出BF的值，根据勾股定理求出BC，即可得CF的长； （3）过点D作DH⊥AB，交BA的延长线于M，连接DG，HG，延长HG、DC交于N，证明△DHN为等腰直角三角形，可得2DH2=（CD+CN）2，再证四边形ACNH是平行四边形，则AH=CN=CG，即可得2DH2=（CD+CN）2=（CD+CG）2． 【小问1详解】 解：证明：∵△ACE与△BGE均为等腰直角三角形， ∴EB=EG，CE=AE， ∵∠AEC=∠BEC=90°， ∴△BEC≌△GEA（SAS）， ∴∠BCE=∠GAE， ∵∠BCE+∠CBE=90°， ∴∠GAE+∠CBE=90°， ∴∠AFB=90°， ∴AF⊥BC； 【小问2详解】 当点G为CE的中点，AE=2时， ∵△ACE与△BGE均为等腰直角三角形， ∴EB=EG=CG=1，AE=CE=2， ∴AB=EB+AE=3，AG=，BC=， 由（1）知AF⊥BC， ∴S△ABG=AB•EG=AG•BF， ∴3×1=BF， ∴BF=， ∴CF=BC-BF=； 【小问3详解】 ， 证明：如图：过点D作DM⊥AB，交BA的延长线于M，连接DG，HG，延长HG、DC交于N， ∵CD∥AB，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD， ∵∠AEC=∠BEC=90°， ∴∠ECD=90°， ∴四边形CEMD是矩形， ∴EM=CD，CE=DM， ∴EM=AB， ∴BE=AM， ∵AH=CG，CE=AE， ∴EG=EH． ∵EB=EG， ∴EB=EG=EH=AM， ∴∠EHG=45°，AE=HM， ∵AE=CE=DM， ∴HM=DM， ∴∠DHM=45°， ∴∠DHG=180°-∠EHG-∠DHM=90°， ∵CD∥AB， ∴∠CDH=∠DHM=45°， ∴△DHN为等腰直角三角形， ∴， ∵∠CAE=45°，∠EHG=45°， ∴AC∥NH， ∵CD∥AB， ∴四边形ACNH是平行四边形， ∴AH=CN， ∵AH=CG， ∴CN=CG， ∴ ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的相关知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $