精品解析：甘肃庆阳市西峰区学院路实验学校2025-2026学年第二学期期中考试试卷高一数学

学院路实验学校2025-2026学年度第二学期期中考试试卷 高一数学 （考试时间120分钟，满分150分） 一､单选题（每小题5分，总分40分） 1. 若（为虚数单位），其中，为实数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数相等直接求解即可. 【详解】因为，所以，所以． 故选：C 2. 如果一架飞机向西飞行，再向东飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据路程、位移的概念分别求出、即可得解. 【详解】因为一架飞机向西飞行，再向东飞行， 则飞机飞行的路程， 位移为向东，所以， 所以. 故选：A 3. 已知平面向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标表示，列式计算即得. 【详解】平面向量，，由，得， 所以. 故选：A 4. 在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先利用同角三角函数的基本关系求，再运用三角形面积公式计算即得结果. 【详解】因为，，故， 所以的面积为. 故选：A. 5. 已知向量，满足，，且与夹角的余弦值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算律运算即可. 【详解】由题得， 所以. 故选：. 6. 已知，，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由诱导公式得，结合角的范围求，应用倍角正弦公式求. 【详解】，又，则， ∴. 故选：A 7. 已知向量，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将两式平方作差，化简即可求出答案. 【详解】由，，两式作差可得． 故选：C． 8. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据所求先利用诱导公式转化为，由于有正切值，无角度范围，结合平方公式，将所求化为分式齐次式，同除，转化为只含的式子，即可求解. 【详解】解： 故选：C. 二､多选题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，总分18分） 9. 下列能使成立的是（ ） A. B. C. 与方向相反 D. 或 【答案】ACD 【解析】 【分析】 根据向量共线的定义判断可得； 【详解】解：对于A，若，则与大小相等且方向相同，所以；对于B，若，则与的大小相等，而方向不确定，因此不一定有；对于C，方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若与方向相反，则有；对于D，零向量与任意向量平行，所以若或，则. 故选： 【点睛】本题考查平行向量共线的定义的理解，属于基础题. 10. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二倍角的正弦公式即可判断A；根据二倍角的余弦公式即可判断B；先利用商数关系化弦为切，再根据两角和的正切公式即可判断C；先化切为弦，再根据二倍角的正弦公式即可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D， ，故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期为 C. 的最大值为 D. 在上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】由偶函数的定义可得选项A正确；根据可得选项B错误；根据，结合倍角公式可得选项C正确；当时，函数可化为，根据正弦型函数的性质可得选项D错误. 【详解】因为定义域为，，所以，为偶函数，选项A正确． 因为， 的最小正周期不为选项，B错误． ，选项C正确． ，，， 时，，在上单调递增， 时，，在上单调递减，选项D错误． 故选：AC. 三､填空题（每小题5分，总分15分） 12. 如图，，且，则实数________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理即可得解. 【详解】由， 得 ， 所以. 故答案为：. 13. 若复数在复平面内所对应的点在直线上．请写出一个满足上述条件的复数＝_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】设，根据题意列出，即可得出答案. 【详解】设， 则在复平面内所对应的点为， 所以， 满足上式的有无数个， 如，，等. 故答案为：（答案不唯一） 14. 已知，，则______. 【答案】##0.75 【解析】 【分析】利用同角三角函数的平方关系及商数关系计算即可. 【详解】由同角三角函数的平方关系及已知条件可知：， 当，此时，不合题意； 当，符合题意； 所以. 故答案为： 四､解答题（总分77分） 15. 已知内角的对边分别是，若，，. （1）求； （2）求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）在中，由正弦定理得，再由余弦定理，列出方程，即可求解得值； （2）由（1）求得，利用三角形的面积公式，即可求解三角形的面积． 【详解】（1）在中，，，， 由正弦定理得， 由余弦定理得， 解得或不合题意，舍去， （2）由（1）知，所以， 所以的面积为． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 16. 已知复数． （1）若复数为纯虚数，求实数的值； （2）若复数在复平面内对应点位于第二象限，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的定义即可求解， （2）根据复数的几何意义，结合第二象限点的特征即可求解. 【小问1详解】 因为复数为纯虚数，所以， 解的 解得，； 【小问2详解】 因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以 解之得 得． 所以实数的取值范围为． 17. ，， （1）若，求值； （2）若，且三点一线.，求的值； （3）若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性坐标运算求出，然后利用向量共线的坐标公式列方程求解即可； （2）根据向量的线性坐标运算求出，的坐标，然后利用向量共线的坐标公式列方程求解即可； （3）根据向量的线性坐标运算求出，然后利用向量垂直的坐标公式列方程求解即可． 【小问1详解】 因为，，所以， 又，且，所以，解得； 【小问2详解】 因为，，所以，， 又三点共线，所以，所以，解得； 【小问3详解】 因为，，所以， 又，且，所以，解得. 18. 如图，某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口北偏西方向且与该港口相距的处，并以的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以的航行速度匀速行驶，经过与轮船相遇. （1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ （2）假设小艇的最高航行速度只能达到，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由． 【答案】（1）航行速度为 （2）航行方向为北偏东30°，航行速度为30,理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理和二次函数的最值求解； （2）要用时最小，则首先速度最高，然后是距离最短，则由(1)利用余弦定理得到方程解得对应的时间，再解得相应角，即可求解. 【小问1详解】 如图设小艇的速度为，时间为相遇， 则由余弦定理得:, 叩:, 当时，取得最小值，此时速度， 此时小艇的航行方向为正北方向，航行速度为. 【小问2详解】 要用时最小，则首先速度最高，即为:30 ， 则由(1)可得: , 即:,解得:， 此时, 此时，在中，， 故可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东30°，航行速度为30，小艇能以最短时间与轮船相遇. 19. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求图象的对称中心､对称轴，的单调递增区间； （3）当时，求的最值. 【答案】（1） （2）对称中心：；对称轴：；单调递增区间： （3）的最大值为1，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据二倍角及辅助角公式，将函数化简为，利用周期公式求周期. 由（1）知，根据正弦函数的对称中心、对称轴及单调递增区间，利用整体代入法求解即可. 当时，，利用整体法求出函数的最值. 【小问1详解】 由，则的最小正周期为； 【小问2详解】 由（1）得，令，解得 即图像的对称中心为； 令，解得，即图像的对称轴为; 令，解得 即的单调递增区间为， 【小问3详解】 ，则， 当，即时， 当，即时， 即的最大值为1，最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 学院路实验学校2025-2026学年度第二学期期中考试试卷 高一数学 （考试时间120分钟，满分150分） 一､单选题（每小题5分，总分40分） 1. 若（为虚数单位），其中，为实数，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 如果一架飞机向西飞行，再向东飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，那么（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 2 4. 在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，满足，，且与夹角的余弦值为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则的值等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，满足，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，总分18分） 9. 下列能使成立的是（ ） A. B. C. 与方向相反 D. 或 10. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期为 C. 的最大值为 D. 在上单调递增 三､填空题（每小题5分，总分15分） 12. 如图，，且，则实数________. 13. 若复数在复平面内所对应的点在直线上．请写出一个满足上述条件的复数＝_____． 14. 已知，，则______. 四､解答题（总分77分） 15. 已知内角的对边分别是，若，，. （1）求； （2）求的面积. 16. 已知复数． （1）若复数为纯虚数，求实数的值； （2）若复数在复平面内对应点位于第二象限，求实数的取值范围． 17. ，， （1）若，求值； （2）若，且三点一线.，求的值； （3）若，求的值. 18. 如图，某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口北偏西方向且与该港口相距的处，并以的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以的航行速度匀速行驶，经过与轮船相遇. （1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ （2）假设小艇的最高航行速度只能达到，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由． 19. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求图象的对称中心､对称轴，的单调递增区间； （3）当时，求的最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $