1.3+二次根式的运算（第3课时）课件 2025--2026学年浙教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦二次根式的混合运算及实际应用，通过知识回顾（平方与开方互逆、四则运算法则）搭建学习支架，衔接整式混合运算顺序，引导学生从基础运算过渡到解决梯形面积、扶梯坡比等实际问题。 其特色在于以“问题探究”为主线，结合等腰直角三角形剪纸、滑梯坡比计算等实例，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。通过规范解题步骤和推理过程，强化数学思维，提升用数学语言表达实际问题的能力。学生能深化知识应用，教师可直接借鉴案例与方法，提高教学效率。

第3节 二次根式的运算 第三课时 第1章《二次根式》 01 教学目标 01 02 会应用二次根式解决简单的实际问题． 进一步体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值. 基 本 性 质 知识回顾 1. 平方与开方互逆 （） 2. 去根号与绝对值 （ 为任意实数） 3. 积的算术平方根 4. 商的算术平方根 (a≥0，b≥0) (a≥0, b>0) 四 则 运 算 知识回顾 二次根式的加减即为对同类二次根式的合并 3.二次根式的加减 1.二次根式的乘法法则 (a≥0，b≥0) 2.二次根式的除法法则 (a≥0，b>0) 先化为最简二次根式 把同类二次根式合并（合并系数） 整式混合运算（已知） 3a + 2a(a - 1) ÷ a 运算顺序规则： 1. 先算括号内的运算 2. 再算乘除，最后算加减 二次根式混合运算（未知） 3 + 2( - ) ÷ 如果将字母替换成根式，它的运算顺序和整式运算完全一样吗？ 新知导入 二次根式的混合运算与整式混合运算顺序一致 新知探究 探究点1 二次根式的混合运算 议一议 1、计算+，说一说计算顺序 解+ 66+3+3÷ 括号里不能直接运算，用分配律先去括号 运算顺序： 与实数运算顺序一致，先乘方，再乘除，最后加减；有括号的先算括号里的。 运算律： 整式的交换律、结合律、分配律，以及乘法公式在二次根式运算中仍然适用。 02 新知导入 二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行. 二次根式乘法法则： 二次根式加减法法则： 二次根式除法法则： 二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将同类二次根式进行合并。（口诀：一化二找三合并） 二次根式混合运算法则： 二次根式的运算法则 03 新知探究 在日常生活和生产实践中，我们在解决一些问题，尤其是涉及直角三角形边长计算的问题时，经常用到二次根式及其运算。 二 次 根 式 化 简 知识回顾 （２）被开方数不含分母． （１）被开方数各因式的指数都为1． 1.二次根式化简结果满足 最简二次根式 形如 的式子，分子、分母同乘以 ，可以使分母不含根号. 形如 的式子，分子、分母同乘或构成平方差公式，可以使分母不含根号. 2.分母含二次根式的化简 梯形的上底是 ，下底 ，高是 ，面积是多少？ 实数的运算法则、运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用. 练一练 知识回顾 新知探究 探究点1 二次根式的混合运算 ① 先算乘方（二次根式的乘方： ，；，）； ② 再算乘除（遵循二次根式乘除法则，先将二次根式化为最简，再计算）； ③ 最后算加减（只有同类二次根式才能合并，非同类二次根式不能合并）； ④ 有括号的先算括号内的（先小括号，再中括号，最后大括号），括号内运算仍遵循上述顺序。 议一议 ① 运算过程中，所有二次根式都要化为最简二次根式，再进行后续运算； ② 合并同类二次根式时，只合并系数，被开方数不变； ③ 乘除运算中，符号判断与有理数运算一致（同号得正，异号得负）； ④ 运算结果必须是最简二次根式，若结果含分母，分母不能含二次根式。 二次根式混合运算顺序 注意事项： 新知探究 探究点2 利用乘法公式进行二次根式的运算 1、整式乘法运算中的乘法公式有哪些? 议一议 平方差公式 完全平方公式 (a + b)(a - b) = a2 - b2 (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2. 2、整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗? 整式的乘法公式就是多项式×多项式 前面我们已经知道二次根式运算可类比整式运算，所以适用哟！ 03 新知讲解 例6 如图，扶梯AB的坡比为1:0.8，滑梯CD的坡比为1:1.6，AE=米，BC=CD.一男孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，经过的总路程是多少米？（要求先化简，再取近似值。结果精确到0.01m) BE与AE的长度之比 A E F D B C 03 新知讲解 例6 分析：男孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，经过的总路程是 AB+BC+CD。根据坡比的定义和勾股定理可分别求得AB和CD的长。 解：在Rt△AEB中，AE=m，BE=÷0.8=（m）， 所以AB=（m）. 在Rt△CFD中，DF=×1.6=3（m） 所以CD=（m）. 新知探究 探究点2 利用二次根式解决等腰直角三角形问题 由面积公式得： ∵ ∴a= 代入得： 议一议 在等腰直角三角形中，直角边与斜边有怎样的数量关系？斜边上的高与斜边有怎样的关系？ 结论： 在等腰直角三角形中，斜边长度是直角边长度的 倍 已知：等腰直角三角形中 ，直角边为， 为斜边 由勾股定理易得： 斜边上的高等于斜边的一半 典例分析 探究点2 利用二次根式解决等腰直角三角形问题 例2.已知等腰直角三角形的直角边长为 ，求斜边上的高。 解答： 直角边长 ， 由勾股定理：， 斜边 ； 斜边上的高 ， 。 新知探究 探究点3 化简分母中的二次根式 1、常见分母中含根号的形式 议一议 ① 类型1：分母为单个二次根式（如，）， 化简方法：分子分母同乘以分母中的二次根式 = ② 类型2：分母为二次根式与整式的和（或差） （如或，，为有理数）， 分子分母同乘：或（与分母构成平方差形式），分母化为或。 03 新知讲解 例7 如图是一张等腰直角三角形彩色纸，AC=BC=40cm.将斜边上的高CD四等分，然后裁出三张宽度相等的长方形纸条. (1)分别求出三张长方形纸条的长度 C A D B E F 03 新知讲解 例7 分析：（1）图中，最上面的长方形纸条的长可以看作等腰直角三角形ECF的斜边，其长度是等腰直角三角形ECF斜边上高线的2倍，即CD的2倍。用同样的方法可求得其余两个长方形纸条的长度。 解：（1）如图，在Rt△ABC中，AC=BC=40（cm）, 则AB=(cm)。 因为CD⊥AB，AD=BD , 所以CD=，CD= . 典例分析 例 3，如图，扶梯 的坡比为 ，滑梯 的坡比为 ，，。求男孩从 到 再滑到 经过的总路程。 解答：，坡比 ， ； ； ，坡比 ， ； ； ，； 总路程 。 典例分析 例4 如图，等腰直角三角形彩纸 ，将斜边上的高线 四等分，裁出三张宽度相等的长方形纸条。 （1）三张纸条的长度； （2）用这些纸条为正方形美术作品镶边，求作品面积。 解：（1）， ； ； 每段高 ； 最上面纸条长 ； 中间纸条长 ； 最下面纸条长 。 （2）总长度 ； ， ； 。 典例分析 探究点3 化简分母中的二次根式 例3、化简下列式子 （1）； （2） （3） （1） （2） （3） 分母含，分子分母乘 分子分母乘（），形成平方差 分子分母乘（），形成平方差 新知探究 探究点3 化简分母中的二次根式 议一议 化简分母中的二次根式注意事项 💡 ② 分母有理化后，需将分子、分母化为最简形式，若分子含二次根式，需检查是否能化简； 💡 ① 分母含二次根式化简时，分子、分母必须同时乘以同一个式子，保证分式的值不变； 💡 ③ 若分子、分母有公因式，需先约分，再进行化简，简化运算。 03 新知探究 归纳总结 运用二次根式解决简单的实际问题： 1.读懂题意 2.分析解题思路 3.写出解题过程 03 新知探究 二次根式的应用的注意事项 课堂小结 核心方法： 将实际问题转化为直角三角形问题，利用勾股定理和二次根式运算求解。 关键步骤： 分析问题，建立几何模型（如坡比、等腰直角三角形）。利用勾股定理列出二次根式表达式。化简二次根式并计算结果。 注意事项： 结果要根据实际意义进行取舍，注意单位和精度要求；数学公式书写要规范，二次根式化简要彻底。   $