精品解析：黑龙江大庆市第六十九中学2025—2026学年度下学期九年级数学试题

大庆市第六十九中学2025-2026学年度下学期初四年级数学试题 一、单选题（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1. 2026的倒数是（　　） A. B. 2026 C. D. 2. 中国是世界上对花粉认识和利用最早的国家之一，早在两千多年前，就已经有药用花粉的记载．据记载，某种花粉的直径约为0.0000000304米．将数据0.0000000304用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“榫”的实物图，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（   ） A. B. C. D. 6. 已知 是反比例函数 图象上的三个点，若 ，则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，将绕着点B逆时针旋转，得到，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法中，正确的有（ ） ①的算术平方根是2；②一个锐角和一条边相等的两个直角三角形全等；③一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是六边形；④平分弦的直径垂直于弦；⑤等腰三角形的角平分线、中线和高线互相重合；⑥的系数为； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，中，，边上的高为，点，，分别在边，，上，且．设点到的距离为，的面积为，则关于的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，四个点的坐标分别为，，，．若一次函数的图象经过上述四个点中的三个点，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8题，每题3分，满分24分） 11. 若分式有意义，则应满足______． 12. 圆锥底面半径为1，高为，则这个圆锥的侧面积是______． 13. 若方程的两个根是和，则的值为______． 14. 如图，抛物线与轴交于点，顶点在轴的正半轴上，连接，若是等腰直角三角形，则的值为___． 15. 如图，中，，若正方体的展开图恰好放置在内，则的值为___． 16. 如图，A、B是双曲线上的两点，过点A作轴于点C，交于点D，且D为的中点，若的面积为4，点B的坐标为，则m的值为______． 17. 如图，与相切于点，为的直径，点在上，连接、，且．若，，则图中阴影部分的面积是_____． 18. 定义：平面直角坐标系中，若两点、满足（为常数，且），则称点与点互为“差定比点”．例如：已知点、，它们是否互为“差定比点”． ①点与点互为“差定比点”，则． ②点与点互为“差定比点”，则． ③对于动点，直线上不一定存在一点与互为“差定比点”． ④若抛物线在范围内有且只有一个点与点互为“差定比点”，则的取值范围． 以上结论正确的是_____． 三、解答题（本大题共10题，满分66分） 19. 计算 20. 化简，再从中选一个合适的整数代入求值． 21. 2025年1月8日第二十届中央纪委四次全会在北京胜利闭幕．某校为了了解七、八年级学生对的“四次全会”精神的认知程度，现从这两个年级（各800名学生）中各随机抽取m名学生进行有关知识测试，若将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）： A：，B：，C：，D：，E：，F：．并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下： 七年级测试成绩频数分布直方图 八年级测试成绩扇形统计图 已知八年级测试成绩D组的全部数据如下： 86，85，87，86，85，89，88． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）_______，_______，八年级测试成绩的中位数是_______． （2）若测试成绩不低于90分，则认定该学生对党的“四次全会”精神认知程度高．请估计该校七、八两个年级对党的“四次全会”精神认知程度高的学生一共有多少人． （3）甲、乙、丙、丁为七年级测试成绩在90分以上的四名同学，如果从这四名同学中随机选取两名作为社区宣讲员，恰好选中甲和丙的概率为多少？ 22. 如图，在中，连接，分别以点A，C为圆心，大于的相同长度为半径作弧，弧交于点M，N，连接分别交于点E、F、O，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若F为中点，，，求的面积． 23. 如图1是小明老家的自建房，小明准备应用所学的三角函数知识测量出老家自建房的高度．如图2是房屋的侧面示意图．其中，与地面垂直，且，与底面平行，屋檐到的距离，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上的点、屋檐上的点、屋顶上的点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，求房屋的高．（参考数据：，，，，，） 24. 2025年，掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”．已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的5倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少3小时． （1）分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：TB/小时）； （2）现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用9小时至少完成的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？ 25. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）直接写出时，的取值范围； （3）若点为轴上一点，当的面积为3时，求点的坐标． 26. “五一”黄金周期间，丹尼斯百货计划购进A、B两种商品．已知购进3件A商品和2件B商品，需1200元；购进2件A商品和3件B商品，需1300元． （1）A、B两种商品的进货单价分别是多少？ （2）设A商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当时，A商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表： 销售单价x（元/件） 220 380 日销售量y（件） 180 20 请写出当时，y与x之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，设A商品的日销售利润为w元，当A商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 27. 已知为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，延长交的延长线于点E，的平分线分别交，于点F，G，求证：； （3）如图2，在（2）的条件下，若G是的中点，且，求线段的长． 28. 已知在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）． （1）如图1，当抛物线经过点时，求抛物线的解析式； （2）如图2，若点为（1）中抛物线上一动点，且点的横坐标为，过点作轴交直线于点．当是等腰三角形时，求点的坐标； （3）若抛物线上存在两点和，对于，，都有请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆市第六十九中学2025-2026学年度下学期初四年级数学试题 一、单选题（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1. 2026的倒数是（　　） A. B. 2026 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查倒数的定义，根据倒数的定义计算即可得到结果. 【详解】∵ 乘积为的两个数互为倒数， 设的倒数为，则 ， ∴ ， 故选D. 2. 中国是世界上对花粉认识和利用最早的国家之一，早在两千多年前，就已经有药用花粉的记载．据记载，某种花粉的直径约为0.0000000304米．将数据0.0000000304用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：将数据0.0000000304用科学记数法表示为． 3. 如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数，结合图形求解是解题关键． 根据平行线的性质得出，结合图形即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4. 榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“榫”的实物图，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．根据主视图是从前向后观察到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：“榫”的主视图为： 故选：D． 5. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点的对应点为，可得到相似比，即可求解． 【详解】解：∵与是位似图形，且点的对应点为， ∴与的相似比为， ∴点的对应点的坐标为． 6. 已知 是反比例函数 图象上的三个点，若 ，则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．注意是在每个象限内，随的增大而减小．不能直接根据的大小关系确定的大小关系． 先判断出函数图象在二，四象限，在每个象限内，随的增大而增大，再根据，判断出的大小． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴该反比例函数的图象在第二，四象限，在这两个象限内，随的增大而增大， 又 ∵， ， 故选：D． 7. 如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，将绕着点B逆时针旋转，得到，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作轴的垂线，根据旋转的性质及特殊角的三角函数值，求出垂线段长及垂足到原点的距离即可． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为， 点坐标为， ． 由旋转可知， ，． 在中， ， 则， ． ， 则， 点的坐标为． 8. 下列说法中，正确的有（ ） ①的算术平方根是2；②一个锐角和一条边相等的两个直角三角形全等；③一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是六边形；④平分弦的直径垂直于弦；⑤等腰三角形的角平分线、中线和高线互相重合；⑥的系数为； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根定义，全等三角形判定，多边形内角和与外角和性质，垂径定理，等腰三角形性质，单项式系数定义，逐一判断每个说法，统计正确说法个数得到答案． 【详解】解：①∵，2的算术平方根是，∴①错误； ②当相等的边是一个三角形的直角边，另一个三角形的斜边时，两个直角三角形不全等，∴②错误； ③∵任意多边形外角和为，由题意得该多边形内角和为，设多边形边数为，根据多边形内角和公式得，解得，∴③正确； ④∵当被平分的弦本身是直径时，平分弦的直径不一定垂直于该弦，∴④错误； ⑤∵等腰三角形只有顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合，并非所有角平分线，中线，高线都重合，∴⑤错误； ⑥∵单项式的系数是单项式中的数字因数，是常数，∴的系数为，∴⑥正确； 综上，正确的说法共2个． 9. 如图，中，，边上的高为，点，，分别在边，，上，且．设点到的距离为，的面积为，则关于的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作边上的高，交于点，交于点．根据相似三角形的性质求出的长，再根据三角形面积公式列出函数关系式，根据函数关系式判断图象． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ∵边上的高为，点到的距离为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，点在上， ∴点到的距离等于点到的距离，即为， ∴， ∵， ∴该函数图象是开口向下，顶点坐标为的抛物线， 当时，；当时，，观察选项，只有选项符合． 10. 在平面直角坐标系中，四个点的坐标分别为，，，．若一次函数的图象经过上述四个点中的三个点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是根据一次函数的定义求参数，解题关键是利用分类讨论思想求解． 分四种情况讨论：假设，，三点共线；，，三点共线；，，三点共线；，，三点共线，将共线三点代入一次函数解析式，推导得出的值． 【详解】解：设，，三点共线， 代入一次函数中可得， 将分别代入、可解得， 值不相等， ，，三点不共线，不符合题意； 设，，三点共线， 代入一次函数中可得， 将分别代入、可解得， 值不相等， ，，三点不共线，不符合题意； 设，，三点共线， 代入一次函数中可得， 、得， 值相等， ，，三点共线，符合题意； 设，，三点共线， 代入一次函数中可得， 将分别代入、可解得， 值不相等， ，，三点不共线，不符合题意； 综上，，，三点共线，此时， 则， 即， ． 故选：． 二、填空题（本大题共8题，每题3分，满分24分） 11. 若分式有意义，则应满足______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可． 【详解】解；∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 圆锥底面半径为1，高为，则这个圆锥的侧面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长以及圆锥的侧面积的计算公式是解题的关键． 根据勾股定理求出圆锥的母线长，根据扇形的面积公式，计算即可． 【详解】解：∵圆锥底面半径为1，高为， ∴圆锥的母线长为， ∴圆锥的侧面积为：， 故答案为：． 13. 若方程的两个根是和，则的值为______． 【答案】2025 【解析】 【分析】根据方程根的定义得到与a的等量关系，再结合根与系数的关系得到两根之和，整体代入化简即可求解． 【详解】解：∵a是方程的根， ∴，即． ∴． ∵a，b是方程的两个根， 根据根与系数的关系可得． ∴原式． 14. 如图，抛物线与轴交于点，顶点在轴的正半轴上，连接，若是等腰直角三角形，则的值为___． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】求出抛物线的顶点坐标及与y轴的交点坐标，再根据列式求解． 【详解】解：的顶点坐标为， 将代入，得：， 结合图象可得，， 是等腰直角三角形，， ， ， 解得． 15. 如图，中，，若正方体的展开图恰好放置在内，则的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】由平行关系得出，，用勾股定理计算出，最后根据正弦函数的定义求解． 【详解】解：如图， 由题意知，，， ，， 令，， 则， ． 16. 如图，A、B是双曲线上的两点，过点A作轴于点C，交于点D，且D为的中点，若的面积为4，点B的坐标为，则m的值为______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质的应用，几何意义的应用是解题关键．由三角形等底同高面积相等，得出，，再由几何意义求出k，即可求出m． 【详解】解：∵且D为的中点， ∴， ∴， ∴， 由几何意义得，， ∵， ∴， ∴， 即． 故答案为：16． 17. 如图，与相切于点，为的直径，点在上，连接、，且．若，，则图中阴影部分的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先证明也是的切线，利用锐角三角函数求出半径，然后证明，得出阴影部分的面积等于扇形的面积，求扇形的面积即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点B在上， ∴， ∴， ∴， ∵与相切于点A， ∴， ∴， ∴是的切线； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 设点到的高为， ∴， ∴阴影部分的面积等于扇形的面积， ∴． 18. 定义：平面直角坐标系中，若两点、满足（为常数，且），则称点与点互为“差定比点”．例如：已知点、，它们是否互为“差定比点”． ①点与点互为“差定比点”，则． ②点与点互为“差定比点”，则． ③对于动点，直线上不一定存在一点与互为“差定比点”． ④若抛物线在范围内有且只有一个点与点互为“差定比点”，则的取值范围． 以上结论正确的是_____． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据新定义“差定比点”的条件，逐个验证四个结论，利用一元一次方程解的情况和二次函数的图像与性质判断各结论是否正确. 【详解】解：对①，根据定义 ，代入得： ， 解得，故①正确； 对②，根据定义得：， 解得，且 符合定义要求，故②正确； 对③，设直线上的点， 根据定义得：， 整理得 ， 当时，方程左边为，右边为，方程无解； 因此时不存在满足条件的点， 故直线上不一定存在满足条件的点，故③正确. 对④，设抛物线上的点， 根据定义得：， 整理得 ， 令 ，其开口向上，对称轴为，， 要求范围内有且只有一个解，分情况讨论： 1. 端点函数值异号：时，， 时，， 则 ，解得， 当时，方程根为，均不满足，不符合要求， 当时，方程根为，满足，符合要求，得； 2. 方程有两个相等实根：此时 ，解得，根为，在范围内，符合要求； 因此的取值范围为或，原结论不完整，故④错误. 综上，正确的结论是①②③． 三、解答题（本大题共10题，满分66分） 19. 计算 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 20. 化简，再从中选一个合适的整数代入求值． 【答案】，当时，所求值为 【解析】 【详解】解： ， 由原式可知，，，即，， ∵， ∴可以取0，，，， 当时，原式． 21. 2025年1月8日第二十届中央纪委四次全会在北京胜利闭幕．某校为了了解七、八年级学生对的“四次全会”精神的认知程度，现从这两个年级（各800名学生）中各随机抽取m名学生进行有关知识测试，若将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）： A：，B：，C：，D：，E：，F：．并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下： 七年级测试成绩频数分布直方图 八年级测试成绩扇形统计图 已知八年级测试成绩D组的全部数据如下： 86，85，87，86，85，89，88． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）_______，_______，八年级测试成绩的中位数是_______． （2）若测试成绩不低于90分，则认定该学生对党的“四次全会”精神认知程度高．请估计该校七、八两个年级对党的“四次全会”精神认知程度高的学生一共有多少人． （3）甲、乙、丙、丁为七年级测试成绩在90分以上的四名同学，如果从这四名同学中随机选取两名作为社区宣讲员，恰好选中甲和丙的概率为多少？ 【答案】（1）20；4；86.5； （2）440人； （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了统计图． （1）由扇形图可知八年级D组人数为7人，其中D占，八年级总人数为人，由于两个年级抽取人数均为m人，根据直方图可知七年级总人数为人，则可求得a的值；由于八年级共20个人，所以中位数应该是第10和第11两个数据的和的把D组的成绩从小到大排序后可得第十第11个数分别为86、87，则中位数为； （2）根据直方图知七年级90分以上的有4人，根据扇形图之八年级90分以上的有7人，两个年级共抽取40人，然后用800乘以样本中测试成绩不低于90分的人数所占的百分比即可；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出甲和丙两名男同学能分在同一组的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：由题意得（人）， 故． 解得． 把八年级测试成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为86，87，故中位数为． 故答案为：20；4；86.5． 【小问2详解】 解： （人）， 该校七、八两个年级对党的“二十大”精神认知程度高的学生一共约有440人． 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有12种可能的结果，并且每种结果发生的可能性都相同，其中恰好选中甲和丙的结果有2种，． 所以恰好选中甲和丙的概率 22. 如图，在中，连接，分别以点A，C为圆心，大于的相同长度为半径作弧，弧交于点M，N，连接分别交于点E、F、O，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若F为中点，，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）48 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，，，再证明，继而得到四边相等，即可求证； （2）先求得，利用正弦函数的定义得到，再利用勾股定理求得，然后利用平行四边形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ，，，． 四边形为平行四边形， ， ，， ， ， ， 四边形为菱形； 【小问2详解】 解：∵F为中点， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴的面积． 23. 如图1是小明老家的自建房，小明准备应用所学的三角函数知识测量出老家自建房的高度．如图2是房屋的侧面示意图．其中，与地面垂直，且，与底面平行，屋檐到的距离，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上的点、屋檐上的点、屋顶上的点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，求房屋的高．（参考数据：，，，，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 如图所示，设与交于点G，过点M作于点H，解直角三角形表示出，，联立求出，，然后解直角三角形求出，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，设与交于点G，过点M作于点H， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵与底面平行，与地面垂直， ∴四边形是矩形 ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 24. 2025年，掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”．已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的5倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少3小时． （1）分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：TB/小时）； （2）现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用9小时至少完成的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？ 【答案】（1）甲数据中心的数据迁移速度为，乙数据中心的数据迁移速度为 （2）甲数据中心至少需要工作 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程和不等式的应用，解题的关键是根据不等关系列出不等式，根据等量关系列出方程． （1）设乙数据中心的数据迁移速度为，甲数据中心的数据迁移速度为，根据甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少，列出方程，解方程即可； （2）设甲数据中心需要工作，则乙数据中心工作，根据共用至少完成的数据迁移，列出不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设乙数据中心的数据迁移速度为，甲数据中心的数据迁移速度为，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴， 答：甲数据中心的数据迁移速度为，乙数据中心的数据迁移速度为； 【小问2详解】 解：设甲数据中心需要工作，则乙数据中心工作，根据题意得： ， 解得：， 答：甲数据中心至少需要工作． 25. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）直接写出时，的取值范围； （3）若点为轴上一点，当的面积为3时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或； （3）或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据图象直接写出不等式的解集即可； （3）先求出，再用待定系数法求出一次函数解析式为，设点的坐标为，根据题意得到关于的方程解得或．即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图， 由图可知，不等式时的取值范围为：或； 【小问3详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 点和在一次函数图象上， ， 解得， 一次函数解析式为， 当时，， ∴， 设点的坐标为，根据题意得： ， 解得或． 或． 26. “五一”黄金周期间，丹尼斯百货计划购进A、B两种商品．已知购进3件A商品和2件B商品，需1200元；购进2件A商品和3件B商品，需1300元． （1）A、B两种商品的进货单价分别是多少？ （2）设A商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当时，A商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表： 销售单价x（元/件） 220 380 日销售量y（件） 180 20 请写出当时，y与x之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，设A商品的日销售利润为w元，当A商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）A、B两种商品的进货单价分别是200元/件、300元/件 （2） （3）A商品的销售单价定为300元/件时，日销售利润最大，最大利润是10000元 【解析】 【分析】（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是a、b元/件，然后列出二元一次方程组并求解即可； （2）设y与x之间的函数关系式为，用待定系数法求解即可； （3）先列出利润和销售量的函数关系式，然后运用二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设A、B两种商品的进货单价分别是a、b元/件， 由题意得：， 解得：， ∴A、B两种商品的进货单价分别是200元/件、300元/件； 【小问2详解】 解：设y与x之间的函数关系式为， 将代入得： ，解得：， ∴y与x之间的函数关系式为； 【小问3详解】 解：由题意得： ， ∴当时，w取得最大值10000， ∴当A商品的销售单价定为300元/件时，日销售利润最大，最大利润是10000元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、运用待定系数法则求函数解析式以及二次函数的性质求最值等知识点，弄懂题意、列出方程组或函数解析式是解答本题的关键． 27. 已知为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，延长交的延长线于点E，的平分线分别交，于点F，G，求证：； （3）如图2，在（2）的条件下，若G是的中点，且，求线段的长． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，由即可得到结论； （2）连接，证明，即可证明结论； （3）取的中点，连接，结合是的中点，得出，从而得，设，则，证明，求出，从而求得，在中，根据勾股定理求出，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 证明：如图，连接， 由（1）知：， ， ∵是的直径， ， ， ， ， ∵是的平分线， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图，取的中点，连接， ∵是的中点， ， ， 由（2）知：， 设，则， ， ， ， ， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴． 28. 已知在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）． （1）如图1，当抛物线经过点时，求抛物线的解析式； （2）如图2，若点为（1）中抛物线上一动点，且点的横坐标为，过点作轴交直线于点．当是等腰三角形时，求点的坐标； （3）若抛物线上存在两点和，对于，，都有请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）点的坐标为或或或 （3）的取值范围为或 【解析】 【分析】（1）把代入，求出的值即可得出结论； （2）求出直线的解析式为，设点，则，分别求得，根据等腰三角形的定义分，，列式，求出的值即可解答； （3）由题可知，抛物线的对称轴为，分别求当对称轴在y轴左侧；当对称轴在y轴右侧；抛物线的对称轴为y轴时，b的取值范围即可解答． 【小问1详解】 解：把代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 把代入解析式得， ∴， ∴直线的解析式为， 设点， ∵轴， ∴， ∴， ， 若是等腰三角形，分三种情况讨论： ①当时，， 解得（不合题意，舍去），， 此时点的坐标为； ②当时，， 解得或， 此时，点的坐标为或； ③当时，， 解得（不合题意，舍去）或或（不合题意，舍去）， 此时 ，点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或； 【小问3详解】 解：由题可知，抛物线的对称轴为， ∵抛物线经过点， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∵，，都有， ∴当对称轴在y轴左侧，即时， ， 解得， ∴此时； 当对称轴在y轴右侧，即时， ， 解得， ∴； 当时， 抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为， ∵抛物线开口向下， ∵，，则，， ∴ 故此情况不符合题意， 综上所述，的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $