精品解析：黑龙江大庆市第三十六中学2025—2026学年第二学期初三学年数学学科期中检测试题

大庆市第三十六中学教育集团2025—2026学年第二学期 初三学年数学学科期中检测试题 一．选择题（每题3分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一元二次方程需满足三个条件：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程，逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故A错误； 对于选项B：方程含有分式，不是一元二次方程，故B错误； 对于选项C：当时，方程不是一元二次方程，故C错误； 对于选项D：整理，得，符合一元二次方程的定义，故D正确． 2. 已知点在反比例函数（k为常数且）的图象上，则下列不在该函数图象上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知点坐标求出反比例函数的值，再根据反比例函数的性质，图象上任意点的横纵坐标乘积等于，计算各选项点的横纵坐标乘积，即可判断出结果． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴把代入得， 即该反比例函数图象上的点满足， 依次验证各选项： A、，满足条件，点在图象上； B、，不满足条件，点不在图象上； C、，满足条件，点在图象上； D、，满足条件，点在图象上． 3. 如果，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据，设，（），将、用含的代数式表示，再代入所求分式进行计算求解． 【详解】解：， 设，（）， ， 原式的值为． 故选：C． 4. 如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在第三象限内，以原点O为位似中心，在第一象限内作与的相似比为3的位似图形，若点D的坐标为，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质． 根据点D的坐标结合相似比为3作答即可． 【详解】解：以原点O为位似中心，在第一象限内作与的相似比为3的位似图形， ，即 故选：D． 5. 如图，小明在8：30测得某树的影长为16m，13：00时又测得该树的影长为4m，若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为（ ） A. 10m B. 8m C. 6m D. 4m 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，画出示意图，证明△EDC∽△FDC，进而可得，即DC2=ED•FD，代入数据可得答案． 【详解】解：根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF=90°，ED=4m，FD=16m； ∵∠E+∠F=90°，∠E+∠ECD=90°， ∴∠ECD=∠F， 又 ∴△EDC∽△CDF， ∴，即DC2=ED•FD=4×16=64， 解得CD=8m（负值舍去）． 故选：B． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义可得二次项系数不为0，再根据方程有实数根，利用判别式列不等式求解，即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程是一元二次方程， ∴， 又∵该方程有实数根， ∴， 化简得， 解得， ∴的取值范围是且． 7. 如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解含角的直角三角形，依次求出，的长，再求出的度数，求出点的坐标，即可求得的值．本题考查了反比例函数图象上点的坐标和解直角三角形，解题的关键是掌握解含有角的直角三角形，求函数图象上点的坐标． 【详解】解：过点作轴，垂足为， ，，，， ，， 在中，， 即， ， 在中，， 即，， ∵， 即， ， 点， ． 故选：C． 8. 若关于x的一元二次方程有一根为，则关于y的一元二次方程必有一根为（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，代入一元二次方程，得，两边同时除以可确定所求方程的一个根． 【详解】解：把代入一元二次方程，得， 两边除以，得， ∴， ∴是一元二次方程的一根． 故选：C． 9. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例关系，它的图象如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 函数解析式为 B. 当时， C. 当时， D. 当电压一定时，电流随电阻的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】将，代入求出的值，再根据反比例函数的图象与性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：观察图象，可知图中函数为反比例函数， 即， 当时，， 得， 解得， ∴函数解析式为，故选项A正确； 当时，，故选项B错误； 当时，， 得，故选项C正确； ∴当电压一定时，电流随电阻的增大而减小，故选项D正确． 10. 如图，设是四边形的对角线，的交点，若，且，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，过点作，交于，通过证明，可求，通过证明，可求，即可求，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是本题的关键． 二．填空题（每题3分） 11. 已知线段c是线段a、b的比例中项，如果，，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查比例中项及比例的基本性质，根据比例中项的定义及比例的基本性质得．解题的关键是掌握：如果比例线段的中项是两条相同的线段，即或，那么线段叫做线段、的比例中项． 【详解】解：∵线段是线段、的比例中项， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 解得：或， 又∵为线段的长度， ∴不符合题意，舍去， 即． 故答案为：． 12. 已知一元二次方程的两个根分别是，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】将整理为，然后根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别是， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系：，，是解本题的关键． 13. 已知反比例函数的图象上有三个点，，，，，的大小关系是_______．（用“”号连接）． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质解题即可． 【详解】解：反比例函数中，， ∴它的图象在第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大， ∵，且，在第四象限， ∴， 而在第二象限，即， ∴． 14. 如图，矩形的对角线、相交于点，点为边的中点，连接，连接交于点．若，则的长是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，，从而判定，则，计算得，因此． 【详解】解：∵点为边的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 15. 已知点在反比例函数的图象上，点在轴正半轴上，若为等腰三角形，且腰长为5，则点坐标为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】因为等腰三角形的腰不确定，所以分三种情况分别计算即可． 【详解】解：当时，过点A作，垂足为C， ∵，设， ∴， 解得：或或（舍）或（舍）， 代入计算可得：或， ∴点B的坐标为或； 当时， ∵腰长为5， ∴， ∴点B坐标为； 当时， ∵腰长为5， ∴， ∴点B坐标为； 综上：点B的坐标为或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，考查分类讨论的思想，当时，求出点的坐标是解题的关键． 16. 如图，在平行四边形中，点是边上的一点，且，交对角线于点， ，则为 ____． 【答案】 【解析】 【分析】容易证明，则，，从而计算出，，求和即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 17. 若a，b是方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出、，是解题的关键． 根据一元二次方程的解得出，，进而求出，再利用根与系数的关系可得出 ， ，整体代入化简后的表达式计算． 【详解】解：∵是方程 的根， ∴，即， ∴ ， 同理：． ∴， ∵， ， ∴原式． 故答案为：． 18. 阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：当时， ∵， ∴当且仅当，即时，取得最小值，最小值为． 请利用以上结果解决下面的问题： 若，则的最小值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】依据题意，先化成材料中的例子的形式，再仿照材料中的例子，即可求得答案． 【详解】解：， ∴当且仅当，即时，取得最小值，最小值为． 三．解答题 19. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）无解 【解析】 【分析】（1）根据因式分解法计算； （2）根据因式分解法计算； （3）根据公式法计算； （4）计算判别式可得到方程无解． 【小问1详解】 解：， ， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴，； 【小问3详解】 解：， ， ， ∴，； 【小问4详解】 解：， ， ， ∴原方程无解． 20. 如图，在中，点D，E分别在边、上，且，连接，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴． 21. 已知关于的方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程有两个实数根，分别为和，当时，求的值． 【答案】（1）；（1）1. 【解析】 【分析】(1)根据方程有实数根，可分为k=0与k≠0两种情况分别进行讨论即可得； (2)根据一元二次方程根与系数的关系可得，，由此可得关于k的方程，解方程即可得. 【详解】(1)当时，方程是一元一次方程，有实根符合题意， 当时，方程是一元二次方程，由题意得 ， 解得：， 综上，的取值范围是； (2)和是方程的两根， ，， ， ， 解得， 经检验：是分式方程的解，且， 答：的值为. 【点睛】本题考查了方程有实数根的条件，一元二次方程根与系数的关系，正确把握相关知识是解题的关键. 22. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，求树的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．先证明，求得，根据解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 答：树的高度为． 23. 为了预防流感，大庆市第三十六中学对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段室内每立方米空气中的含药量y（）与燃烧时间x（）成正比例．燃烧完毕后，y与x成反比例（如图）．根据图中信息解答下列问题： （1）请求出药物燃烧时及药物燃烧后，y与x函数关系式及自变量的取值范围； （2）当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒副作用．那么从有人开始消毒，至少经过多长时间后学生才可以回教室． 【答案】（1）药物燃烧时；，药物燃烧后 （2）至少经过分钟后学生才可以回教室 【解析】 【分析】（1）设，将点代入函数解析式求出即可；设，将点代入函数解析式求出即可； （2）令，然后结合图象进一步求解可得答案．． 【小问1详解】 解：设， ∵函数经过点， ∴，， ∴； 根据函数图象可得 ∴药物燃烧时；， 设， ∵函数经过点， ∴，， ∴； 根据函数图象可得 ∴药物燃烧后； 【小问2详解】 解：∵当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒害作用， ∴当时，， 经检验，是原分式方程的解， 由函数图象可知，至少经过分钟后学生才可以回教室． 24. 已知：在中，，点D、E分别在边AC、AB上，连接BD、CE交于点，且. （1）求证：. （2）求证：. 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，即可得出∠BFC=∠DCB，由∠FBC是公共角即可证明△BCF∽△BDC；（2）由（1）得△BCF∽△BDC，根据相似三角形的性质可得，由∠BFC=∠EBC，∠BCF=∠ECB可证明△CFB∽△CBE，即可得△CBE∽△DCB，根据相似三角形的性质可得，进而可得结论. 【详解】（1）∵AB=AC， ∴， ∵， ∴∠BFC=∠DCB， ∵， ∴△BCF∽△BDC. （2）∵△BCF∽△BDC， ∴，即， ∵∠BFC=∠EBC，∠BCF=∠ECB， ∴△CFB∽△CBE， ∴△CBE∽△DCB， ∴，即， ∴ 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键. 25. 如图，一次函数与反比例函数的图象有公共点，直线轴于点，与一次函数和反比例函数的图象分别交于点、． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）请直接写出一次函数值大于反比例函数值的的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将点的坐标分别代入两个函数的解析式即可； （2）先求出点和点的坐标，再求出的面积； （3）设一次函数与反比例函数的另一个交点为点，联立两个函数求出点的坐标，结合图象判断的取值范围即可． 【小问1详解】 解：将点代入，得， ∴一次函数的解析式为， 将点代入，得， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵直线轴于点， ∴， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，设一次函数与反比例函数的另一个交点为点， 联立一次函数与反比例函数，得， ， 解得或， ∴点的坐标为， 由图可知，点的右侧到轴以及点的右侧，一次函数值大于反比例函数值， ∴的取值范围为或． 26. 2025年9月3日纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵中，受阅武器装备以新型四代装备为主体，展示我军强大的战略威慑实力，某商场以30元/件的进价购进一批坦克模型，并以50元/件的售价进行销售，第一周销售50件，第二、三周销售量持续上涨，第三周的销售量达到72件． （1）求第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率； （2）经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，通过调查发现，该坦克模型每件每降价1元，周销售量就增加4件，当该坦克模型每件降价多少元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元？ 【答案】（1） （2） 7元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． （1）设第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为x，根据第一周的销量为50件和第三周的销量为72件建立方程求解即可； （2）设当该坦克模型每件降价m元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元，则每件的利润为元，销量为件，再根据总利润等于每一件的利润乘以销量建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为； 【小问2详解】 解：设当该坦克模型每件降价m元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：当该坦克模型每件降价7元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元． 27. 如图所示，正比例函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于点，过点作轴的垂线，垂足为，已知的面积为． （1）求反比例函数及正比例函数的解析式； （2）如果点为反比例函数在第一象限图象上的点（点与点不重合），且点的横坐标为，在轴上有一点，使的值最小，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先利用反比例函数的几何意义求出，得到反比例函数解析式，再求出点坐标，代入正比例函数解析式求； （2）作点关于轴的对称点，连接与轴交点即为，此时最小，通过求直线解析式进而求交点坐标． 【小问1详解】 解：已知点， 轴， ， 解得： ， ， 对于反比例函数，将代入得：， 解得， 反比例函数解析式为， 对于正比例函数 ，将代入得： ， 解得， 正比例函数解析式为． 【小问2详解】 解：点在反比例函数第一象限图象上，横坐标为1， 当时，，即， 作点关于轴的对称点，则， 连接，交轴于点，此时最小，如图所示， 设直线的解析式为，将、代入得：， 解得：， 直线解析式为， 令，则 ，解得， 点坐标为． 28. 【问题初探】 数学课上，老师提出如下问题： 如图①，是的中线，M是的中点，的延长线交于N，求证：． 经过思考，甲、乙两名同学分别给出如下解题思路： 甲同学的思路：如图②，过点D作，交于点K，利用全等将与的数量关系转化为与之间的关系； 乙同学的思路：如图③，过点A作的平行线交的延长线于点K，利用相似将与的数量关系转化为与之间的关系． （1）请你选择一名同学的思路，写出证明过程； （2）【类比分析】 老师发现两名同学都利用了转化思想．为了帮助同学更好地利用转化思想解决问题提出： 如图④，在中，是边上的中线，N，K是的三等分点，交于M，交于P，求的值．请你写出解答过程； （3）【学以致用】 在中，．在直线上取点B，使，连接，在线段上取点A，连接，直线交直线于F，当时，请直接写出的值． 【答案】（1）证明见解析； （2），过程见解析； （3）或 【解析】 【分析】（1）①甲同学的思路，过点D作，交于点K，由判定，由全等三角形的性质得，证明得，进而可证结论成立；②乙同学的思路，作交的延长线于，由判定，由全等三角形的性质得，由平行线得，由相似三角形的性质得，即可求证； （2）连接，证明得，证明得，即可得解； （3）①在线段上，如图，过作交的延长线于，延长交于，连接，过作交于，证明得，，证明得，，证明得，由可判定，由全等三角形的性质得，即可求解； ②当在射线上，过作交于，过作交于，延长交于，过作交于，由可判定，由全等三角形的性质得，证明得，可求，证明，，求出，，可得，，进一步求解即可． 【小问1详解】 解：①甲同学的思路： 证明：如图，过点D作，交于点K， ， M是的中点， ， 在和中 ， （）， ， 是的中线， ， ∵， ∴， ∴， ， ； ②乙同学的思路： 如图，作交的延长线于， ， M是的中点， ， 在和中 ， （）， ， 是的中线， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵N，K是的三等分点， ∴． ∵， ∴为的中位线， ∴，， 设，则． ∵， ∴， ∴ ∴． ∵， ∴， ； 即； 【小问3详解】 解：①在线段上， 如图，过作交的延长线于，延长交于，连接，过作交于， ，， ∴， ∴， ，， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中 ， （）， ， ， ， ； ②当在射线上， 如图，过作交于，过作交于，延长交于，过作交于， ， ， ，， ，， ∵， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， ∴， ， ， ， ， ，， ，， ∴，， ， ， ， ， ， ， ； ∴． 综上所述：的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆市第三十六中学教育集团2025—2026学年第二学期 初三学年数学学科期中检测试题 一．选择题（每题3分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知点在反比例函数（k为常数且）的图象上，则下列不在该函数图象上的点是（ ） A. B. C. D. 3. 如果，那么的值是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在第三象限内，以原点O为位似中心，在第一象限内作与的相似比为3的位似图形，若点D的坐标为，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小明在8：30测得某树的影长为16m，13：00时又测得该树的影长为4m，若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为（ ） A. 10m B. 8m C. 6m D. 4m 6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 7. 如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点，则（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的一元二次方程有一根为，则关于y的一元二次方程必有一根为（ ） A. 2025 B. C. D. 9. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例关系，它的图象如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 函数解析式为 B. 当时， C. 当时， D. 当电压一定时，电流随电阻的增大而减小 10. 如图，设是四边形的对角线，的交点，若，且，，，，则（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每题3分） 11. 已知线段c是线段a、b的比例中项，如果，，则______． 12. 已知一元二次方程的两个根分别是，则的值为_______． 13. 已知反比例函数的图象上有三个点，，，，，的大小关系是_______．（用“”号连接）． 14. 如图，矩形的对角线、相交于点，点为边的中点，连接，连接交于点．若，则的长是_________． 15. 已知点在反比例函数的图象上，点在轴正半轴上，若为等腰三角形，且腰长为5，则点坐标为______． 16. 如图，在平行四边形中，点是边上的一点，且，交对角线于点， ，则为 ____． 17. 若a，b是方程的两个实数根，则的值为_____． 18. 阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：当时， ∵， ∴当且仅当，即时，取得最小值，最小值为． 请利用以上结果解决下面的问题： 若，则的最小值为_____． 三．解答题 19. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 如图，在中，点D，E分别在边、上，且，连接，求证：． 21. 已知关于的方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程有两个实数根，分别为和，当时，求的值． 22. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，求树的高度． 23. 为了预防流感，大庆市第三十六中学对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段室内每立方米空气中的含药量y（）与燃烧时间x（）成正比例．燃烧完毕后，y与x成反比例（如图）．根据图中信息解答下列问题： （1）请求出药物燃烧时及药物燃烧后，y与x函数关系式及自变量的取值范围； （2）当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒副作用．那么从有人开始消毒，至少经过多长时间后学生才可以回教室． 24. 已知：在中，，点D、E分别在边AC、AB上，连接BD、CE交于点，且. （1）求证：. （2）求证：. 25. 如图，一次函数与反比例函数的图象有公共点，直线轴于点，与一次函数和反比例函数的图象分别交于点、． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）请直接写出一次函数值大于反比例函数值的的取值范围． 26. 2025年9月3日纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵中，受阅武器装备以新型四代装备为主体，展示我军强大的战略威慑实力，某商场以30元/件的进价购进一批坦克模型，并以50元/件的售价进行销售，第一周销售50件，第二、三周销售量持续上涨，第三周的销售量达到72件． （1）求第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率； （2）经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，通过调查发现，该坦克模型每件每降价1元，周销售量就增加4件，当该坦克模型每件降价多少元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元？ 27. 如图所示，正比例函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于点，过点作轴的垂线，垂足为，已知的面积为． （1）求反比例函数及正比例函数的解析式； （2）如果点为反比例函数在第一象限图象上的点（点与点不重合），且点的横坐标为，在轴上有一点，使的值最小，求点的坐标． 28. 【问题初探】 数学课上，老师提出如下问题： 如图①，是的中线，M是的中点，的延长线交于N，求证：． 经过思考，甲、乙两名同学分别给出如下解题思路： 甲同学的思路：如图②，过点D作，交于点K，利用全等将与的数量关系转化为与之间的关系； 乙同学的思路：如图③，过点A作的平行线交的延长线于点K，利用相似将与的数量关系转化为与之间的关系． （1）请你选择一名同学的思路，写出证明过程； （2）【类比分析】 老师发现两名同学都利用了转化思想．为了帮助同学更好地利用转化思想解决问题提出： 如图④，在中，是边上的中线，N，K是的三等分点，交于M，交于P，求的值．请你写出解答过程； （3）【学以致用】 在中，．在直线上取点B，使，连接，在线段上取点A，连接，直线交直线于F，当时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $