天津外国语大学附属滨海外国语学校2025-2026学年高二下学期期中教学质量监测数学试题

天津外国语大学附属滨海外国语学校 2025-2026学年高二数学下学期期中教学质量监测 (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事顶： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。写在本试卷上无效。 一、单选题。（共12小题，每小题5分） 1.若随机事件A,B满足P(B)=0.4,P(AB)=0.2,则P(AB)的值为() A.0.6 B.0.5 C.0.2 D.0.08 2.设随机变量X~N(2,σ2)，且P(X<0)=02,则P(2<X<4)=( A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5 3.把10个相同的小球放入编号分别为1,2,3的三个不同的箱子中，每个箱子的球的 个数不少于其编号，则共有多少种放法() A.15种 B.45种 C.10种 D.20种 4.某科技公司要组建一个3人的科研团队，现有2名工程师和4名专家可选，则至少有 一名工程师被选中的选法共有() A.8种 B.12种 C.16种 D.20种 5.若曲线y=x+ar+b在点(0，)处的切线方程是x+y-1=0,则() A.a=-1,b=-1 B.a=-1,b=1 C.a=1,b=-1 D.a=1,b=1 6.函数f(x)=lnx-√x的单调增区间为()' A.（-e,4) B.(0,2) C.(0,4) D.(4,+o) 7.设函数f(x)在定义域内可导，∫(x)的图象如图所示，则其导函数(x)的图象可能 是() 女4A 8.下列求导运算正确的是() A.y=号 B.(cos2x=-sin2xC.(2)=x2D.（xe）=(x+1)e 9.某同学每周进行两次游泳训练，每次游5趟或6趟，第一次游5趟或6趟的概率均为0.5， 若第一次游5趟，则第二次游5趟的概率为0.4，游6趟的概率为0.6；若第一次游6趟， 则第二次游5趟的概率为0.6，游6趟的概率为0.4，若一周至少游11趟为训练量达标， 则该同学一周训练量达标的概率为() A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8 10.四只不同的鹦鹉飞回三个不同的笼子，则至少有一个笼子空出来的概率为() 8 A. 27 59 B C. D. 11.设定义在R上的函数f(x)的导函数为f"(x),若f(x)-f(x)>2,f(0)=2026,则 不等式f(x)>2024e+2（其中e为自然对数的底数)的解集为（) A.（-o,0） B.(0,+eo) C.(2026,+∞) D.（-6∞，0)U(2026,+∞) 其中e为自然常数（e≈2.71828)，则a,b,c的 大小关系是() A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.b>c>a 二、填空（共8小题，每小题5分） 13.六人排队，要求A,B两人相邻，C,D两人不相邻，则所有不同排法有 种. 第2页，共4页 (用数字作答) 14.函数f(x)=x+a2+x-1在R上是增函数，则a的取值范围是 15.函数)-4+4的所有极值点之和为一 16.已知曲线y=r+2与y=n(x+1)的公切线为l,则1在y轴上的截距为 7.中国古代儒家提出的水艺“指：礼、乐、射、御、书、数。某校国学社团欲在周六 开展“六艺课程讲座活动，周六这天准备排课六节。每艺一节，排课有如下要求：“乐” 排在“书与“数的前面，“礼和“射”不相邻且不排在最后面，则针对六艺课程讲座活动 的不同排课顺序共有 18.i 知对于x>0,都有e+2as1-ln恒成立，则实数a的极大值为 三、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19. x+ 己知 的二项展开式中二项式系数之和为64. (1)求正整数的值，第3项二项式系数及第3项系数： (2)求常数项： (3)求二项展开式中各项系数之和， 20.DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索” 反映了其探索深度学习的决心.DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代 码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等 多个领域都有广泛的应用场景.为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A,B两部门 的50名员工参加DeepSeek培训. (I)此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自A部门.从这6 名部门领导中随机选取2人，求2人都来自于A部门的概率： (2)此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概农分别 为子，宁·号，每轮培调结果相互独立。至少两轮培训达到优秀的员工才能合格。 ()求每位员工经过培训合格的概率： (i)经过预测，开展DecpSeck培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万 元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元；且公司需每年平均为每位参加 培训的员工支付3万元的其他成本和费用.试估计该公司A,B两部门培训后的年利淘（公 司年利润=员工创造的利润一其他成本和费用)， 21.已知函数∫（网）=写式：2x2+3x+1。 (I)求f(x)的单调区间： (2)求(x)在区间[-1,4上的最值： (③)若方程()=k有三个不同的实数根，求实数k的取值范围. 22.己知函数f(x)=×-lnx-m. (1)讨论函数f(x)的单调性： (2)已知g)f(x川，若存在名<x<为<x,使得g(x)=g(x)=g(x)=g(x). ()求实数m的取值范围： (i)证明：4<3为： 第4贞，共4页《期中考试题》参考答案 题号 2 3 4 6 6 7 8 9 10 答案 D B A B C A D D B 题号 11 12 答案 A C 1.D 【详解】根据条件概率公式P(AB)= P(B,可得P(AB)=P(B)P(AB)=0.08 P(AB) 2.B 【分析】利用正态分布的对称性直接求解即可. 【详解】易知正态分布X~N(2,o)关于u=2对称，因此P(X<2)=0.5, 又P(X<0)=0.2,所以P(0<X<2)=P(X<2)-P(X<0)=0.3, 所以P(0<X<2)=P(2<X<4)=0.3 3.B 【分析】采用隔板法求解 【详解】先在1号箱子放0个小球，2号箱子放1个小球，3号箱子放2个小球， 问题转化为将剩余的7个相同小球放入3个不同箱子中，方法数共有C。=15种. 故选：B. 4.C 【分析】直接用间接法计算可得， 【详解】因为从6人中选3人一共有C=X5x420种不同的选法。 3×2×1 若选中的3人均为专家人员的有C=4种不同的选法， 所以至少有一名工程师被选中的选法共有C。-C=20-4=16种不同的选法. 5.B 【详解】点(0,1)在曲线上，所以当x=0时，y=1, 代入可得1=b,即函数y=x++1, 求导可得y'=3x2+a, 因为曲线在点(0,1)处的切线方程是x+y-1=0,即切线的斜率为-1， 答案第1页，共8页 所以a=-1, 所以a=-1,b=1. 6.C 【详解】易知函数定义域为(0，+)，且了)=，↓ x 2V 令f"(x)>0,即 x 2vx 解得0<x<4, 即函数的单调增区间为(0,4). 7.C 【详解】当x<0时，由图知函数f(x)减函数，则导函数f(x)<0,排除A,B: 又因当x>0时，f(x)的图象趋势依次为增、减、增，则∫'(x)的值应依次为正、负、正，故D项不符合， C项符合. 8.D 【详解】对于A,(ln3)'=0,错误： 对于B,(cos2.x)'=-sin2x2=-2sin2.x,错误； 对于C,(2)=2ln2,错误； 对于D,(xe）=e+xe=(x+l)e,正确， 9.D 【分析】本题主要考查全概率公式的应用，根据题干条件进行分类，然后求出每种情况的概率，最后由互 斥事件，将所有概率相加即可得到达标概率， 【详解】由题意知：一周训练量达标即为游11趟或12趟，设第一次游5趟为事件A, 第一次游6趟为事件A,第二次游5趟为事件B,第二次游6趟为事件B, 可分为以下三种情况： 情况1：第一次游5趟，第二次游6趟，共游11趟，训练量达标. 则由条件概率可得P(AB2)=P(A)P(B2A)=0.5×0.6=0.3; 情况2：第一次游6趟，第二次游5趟，共游11趟，训练量达标。 则由条件概率可得P(AB)=P(A2)P(BA)=0.5×0.6=0.3: 情况3：第一次游6趟，第二次游6趟，共游12趟，训练量达标.则由条件概率可得 答案第2页，共8页 P(AB2)=P(A)P(B24)=0.5×0.4=0.2, 由三种情况为互斥事件，因此，该同学一周训练量达标的概率P=0.3+0.3+0.2=0.8. 10.B 【详解】根据题意可知，四只鹦鹉飞回三个不同的笼子的总方法数为34=81种 其中“至少有一个笼子空出来”有两种情况： 4只鹦鹉飞回同一个笼子，有C=3种： 4只鹦鹉飞回2个笼子里，有C(24-2)=42种 则所求概率为42+3_5 819 11.A 【分析】构造函数g)=(9-2,根据条件得出其单调性，再将问愿转化为解不等式g(似>g0)即可。 ex 【详解】令g问=-2，则g)=f(四)f)+2 ex 因为fe)-f(>2,所以g()=f四-)+2<0， 故g(x)在R上单调递减， 因为f(0)=2026,所以g(0)=2024, 因为fx)>2024e+2,所以f)-2>2024,即g(x)>2024=g(0). 故不等式f(x)>2024·e+2的解集为(-n,0). 12.C 【分析行】构造商效。将问婴转化为北较函数位大小即可 【详解1设心)(>0，可得a号0.6启e.c号-四 9 4 对f()求导得f)=x一 1x2-nx2x1-2nx,令f)=0,解得x=6: x4 x 当x>√e时，1-2nx<0,即f'(x)<0,f(x)在(Ve,+o)上单调递减 因为√e<2<e<3,由单调性得f(2)>f(e)>f(3),即c>b>a. 13.144 【分析】利用捆绑法和插空法求解即可. 【详解】将A,B看成一个整体，与除C,D外的两人进行排列，形成了四个空， 答案第3页，共8贝 再将C,D插入这四个空中， 所以所有不同排法有AA3A=144种. 故答案为：144 14.-V3≤a≤√3 【分析】根据条件得3x2+2+1≥0在R上恒成立，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为f(x)=x+ax2+x-1,则f'(x)=3x2+2ac+1, 由题知f(x)=3x2+2+1≥0在R上恒成立，所以△=4a2-12≤0， 解得-√3≤a≤√3，所以a的取值范围是-√5≤a≤5 15.0 【详解】f"(x)=x-4,令f(x)=0,解得x=2,x3=-2, 当x<-2时，f'(x)>0,f(x)单调递增，当-2<x<2时，f(x)<0,f(x)单调递减，当x>2时，f(x)>0, f(x)单调递增， 所以f(x)在6=-2取得极大值，在x1=2取得极小值，所以函数f(x)所有极值点之和为-2+2=0. 16.1-b2/hne 2 【分析】分别设出两曲线的切点，并写出切线方程，因为公切线，对应斜率以及截距相等得到等式进行消 元求解即可. 【详解】设曲线y=lnx+2上的切点为(；，lnx+2), 义因为所以直线：-（仙+2到--）. x. 即l:y=1x+lnx+1 X 设曲线y=h(x+1)上的切点为(，n(s+1), 义因为v=女所以直线y()动。 x+1 即1：y= ,+*+n(3+1) x2+1 6=11 因为1是公切线，所以 ￥x2+1 mx+1=n(x,+)-’解得= 水3+1 所以1：y=2x-n2+1 合条弟4页，共8页 所以1在y轴上的截距为-ln2+1 17.96 【详解】已知“乐排在书与“数”的前面，“礼”和射”不相邻且不排在最后面， 先排“乐、御、书、数”4个元素，总排列为A=4×3×2×1=24种， “乐在书与数的前面的情况占所有情况的，故符合条件的排列数为： -24=8 3 排好4个元素后，形成5个空隙，由于“礼”和射”不相邻且不排在最后面， 故排除最后一个空隙，剩下4个有效空隙， 从4个有效空隙中选2个，排列礼”和射”的排列数为：A=4×3=12种， 总排列数为： A-2M2=6称 3 2e 【分析】先将不等式变形为e2ar+x+2ar+lnx≤1，令t=2ax+lnx,化简不等式，设f(t)=e+t,，求导判 断单调性，得到f)s1等价于t<0,即2r+血x≤0(Nx>0),令g(y)=-血x,求导判断单调性，求出g(付) 的最小值，进而求得结果。 【详解】化简不等式为xe2a+2a≤1-nx,即e2ax+mx+2ax+lnx≤1. 令t=2ax+lnx,则不等式变为e+t≤1. f(t)=e+t,求导得f(t)=e+1>0,所以f(t)在R上单调递增， 又f(0)=e°+0=1，所以f(t)≤1等价于t≤0，即2ax+lnx≤0(x>0). 变形得2a≤，令8)-，求号符g- Lx-血x1nx-1 令g(x)=0,解得x=e,当0<x<e时，g'(x)<0,则g(x)单调递减： 当x>e时，g'(x)>0,则g(x)单调递增： 所以(9在x=e处取得最小值，即g(⊙)=-e。-】 ee 以要使得不等式恒成立，则2n≤名(&二。，所以Q5 1 2e 所以实数a的最大值为28 1 19.(1)n=6,第3项二项式系数为15，系数为240 (2)60 (3)729 答案第5贝，共8页 【详解】(1)二项式系数之和为2”，由题意得2”=64，解得=6， 所以二项展开式的第k+1项工w=Cg(2如-号】 =C52-tx-, 第3项即k=2时，二项式系数为C%=15,系数为C%.22=15×16=240. (2)令6--0，解得=4， 2 所以常数项为T,=C62-4=15×4=60. (3)令=1.代入原武海21+方=(2+==729， 所以各项系数之和为729. 20.@时 (②)(i):()1100万元 【分析】(1)利用古典概型的定义即可求解； (2)()记事件C=“每位员工经过培训合格”，A=“每位员工第i轮培训达到优秀”(i=1,2,3),根据概 率加法公式和事件相互独立定义即可求解： (i)记A,B两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为Y,则Y~B50, 然后根据二项分布期望公式 结合条件即得 【详解水K1限据题意，6名部门领导参加，拾有3人米白A门，2人都米日于A部门的粒率为PC之℃- (2)()记C=“每位员工经过培训合格”，4=“每位员工第i轮培训达到优秀”（i=1,2,3), C=A44UA4A4U4A,4UAA,A,根据概率加法公式和事件相互独立定义得， P(C)=P(444)+P(444)+P(A44)+P(444) =P(A)P(A)P(A)+P(4)P(4)P(A)+P(A)P(4)P(A)+P(A)P(4)P(A) -2x1×1,11121x1212_1 =232+32*33232 即每位员工经过培训合格的概率为号· (i)记A,B两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为Y,则Y~B50, 2 则8)=0分25， 所以25×30+25×20-50×3=1100（万元） 答案第6页，共8页 即估计A,B两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为ll00万元. 21.(1)f(x)的单调递增区间为(-∞，1)和(3，+∞)，单调递减区间为(1,3) ②发大位为？，最小值为号 ⑧纷到 【分析】(1)求导后计算即可得： (2)求出极大极小值后，与∫(-1)、f(4)比较即可得： (3)结合三次函数性质，利用该函数极值即可得。 【详解】(1)f'(x)=x2-4x+3=(x-1)(x-3), 当xe(-o,1)(3,+o)时，f'(x)>0,当x∈(1,3)时，f'(x)<0, 故f(x)的单调递增区间为(-∞，1)和(3，+∞)，单调递减区间为(1,3)： （2)f0-背-2xP+3x1+1-孑f)-=3-2×+3x31-1, 又（明-2(+3(1=号 4到-写-2x+3x4+1-写 放f()在区间[-14上的最大值为？，最小值为- 3 3)0)名)1，则（引 22.(1)在(0,1)上单调递减，在(1，+0）上单调递增 (2)(i)(1,+o);(i)证明见解析 【分析】(1)根据函数导数与函数单调性的关系，判断函数单调性即可. (2)()根据函数单调性与函数最值，判断函数f(x)图像，以及函数f(x)图像，判断有四个零点时的 情况，求出参数范围； (ⅱ)根据函数图像，求出四个零点的关系，进而构造函数，根据函数导数判断函数单调性，进而证明不 等式。 【详解】1)四的定义玻为@+，了=1-号 当0<x<1时，'(x)<0,则f(x)在(0,1)上单调递减： 当x>1时，f'(x)>0,则f(x)在(1，+o)上单调递增. 答案第7页，共8页 (2)(i)由(1)可知f(x)≥f)=1-, 令n=g(5)=g()=g(6)=g(x4), 若m≤1，则∫(x)≥0，则g(x)=f(x),则直线y=n与函数g(x)的图象最多有两个交点，不符合题意： 若>1，f①)=1-<0，此时f(x)存在两个零点%<1<m, 此时g(x)在(0，%)上单调递减，在(%，1)上单调递增，在(1，%)上单调递减，在(，+o)上单调递增， 此时作直线y=n,其中0<n<-1,直线y=n与g(x)的图象存在四个交点， y=g(x) m-1 V-n X21 O X3 即存在<x2<<x4,使得8()=g(5)=g(s)=g(x4), 故实数的取值范围是(L,+o). (ii)由题意得，x-n-m=x4-lnx4-m=+lnx-=m+lns3-x, 则为-lnx=x4-lnx4,h2-53=h5-为， 令是-1，年=，注孩到1，则天=，即5= X 1,同理多-血 5-1 要证<55，即<戏，即证明血t<6s, t-15-1 设到->0 测网-0+h--2x血-1-(+血-h (x2-1 (x2-1) 设i=r>1),设r间)ni6>D. i+12 则r0=之0，故7间在L+四)上单调递藏， (i+1)22i2i6+1 从而r()<r(1)=0,则h()<0,h(x)在(1，+w)上单调递减， 故<，也即fnt<ns,因此，<x t-1s-1