精品解析：吉林省长春市榆树市教育联盟2025--2026学年下学期4月份月考八年级数学试题

榆树市教育联盟4月份月考八年级数学试题 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 如图，在平面直角坐标系中，垂直x轴，垂直y轴，且，，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 小病毒是一类已知最小的动物病毒，已知某种小病毒的直径约为， 即． 数据“” 用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 扩大为原来的4倍 C. 不变 D. 不能确定 4. 直线和在同一平面直角坐标系内的大致图象为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 6. 若点，都在函数的图象上，则的值是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 7. 如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，交的延长线于点，若，则的长为（ ） A. B. 6 C. 5 D. 8. 如图，直线轴于点，且与反比例函数和的图象分别交于点和，连接和，若，则的面积是（ ） A. 5 B. 3 C. D. 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 函数中，自变量的取值范围是______． 10. 将直线向右平移2个单位，再向下平移4个单位后，所得的直线的解析式为______． 11. 如图，在中，对角线，相交于点，，垂足为点，过点，交于点，交于点．若，，则图中阴影部分的面积是______． 12. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小芳家有一个菱形中国结装饰．测得，．则该菱形的面积为____________． 13. 函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是_______． 14. 如图，在矩形中，，，平分交于点E，，垂足为H，连接并延长交于点F．下列结论中正确的是__________（填序号）． ①；②；③；④． 三．解答题（共10小题，满分78分） 15. 先化简，然后从这四个数中选一个合适的数代入求值． 16. 小月与小方分别驾车从人民广场，到净月潭．两人同时出发，小月走线路，全程，小方走线路，全程，小方的平均速度是小月的1.2倍，结果小方比小月早到6分钟，问小月每小时走多少千米？ 17. 学习了特殊平行四边形后，小明同学在数学研修活动中进行了拓展性研究．他利用菱形，借助直尺和圆规，作出了矩形．请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）尺规作图：如图，在菱形中，对角线相交于点．在的延长线上截取，连接，再过点作的垂线交于点（只保留作图痕迹，不写作法，不另外添加字母和符号）； （2）求证：四边形为矩形． 证明：，①______． 四边形是菱形， ，，， ， ，②______， 又，四边形为③______． ，④______． ， 四边形为矩形． 18. 如图2 - 4所示，长方形ABCD的长为5 cm，宽为4 cm，如果将它的长和宽都减去x(cm)，那么它剩下的小长方形AB′C′D′的面积为y(cm2)． (1)写出y与x的函数关系式； (2)上述函数是什么函数? (3)自变量x的取值范围是什么? 19. 如图，在中，点E，F分别是上的两点．且．相交于点M，相交于点N． （1）写出图中除外的所有平行四边形； （2）求证：． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点C和点D． （1）求一次函数与反比例函数的表达式． （2）直接写出不等式的解集． （3）连接，在y轴上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 21. 一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地装货耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）求A，B两地之间的距离及a的值； （2）求线段所在直线的函数表达式； （3）货车出发多少小时两车第一次相距15千米？ 22. 某班数学兴趣小组对函数的图像和性质进行了研究，探究过程如下，请补充完整 （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y … 1 0 1 2 m 0 1 2 …. 其中，m=______________； （2）根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图像的一部分，请画出该函数的另一部分图像； （3）方程的解是__________________； （4）关于x的方程有4个实数解，则a的取值范围是______________________． 23. 如图1~图3，菱形的边长为6，，M，N，K分别在边，，上，，，．点P从点M出发，沿折线匀速运动，到达点N时停止．连接，作，射线与菱形的另一边交于点E，若与对角线有交点，设交点为F．设点P运动的路程为x． （1）______； （2）淇淇认为：“当点P在折线上运动时，如图1和图2，始终满足．”请判断淇淇的说法是否正确？并说明理由； （3）如图2，若点P在边上运动（不含端点，即）， ①请用含x的式子表示的长； ②当取得最大值时，试确定与的位置关系； （4）当点K在外部时，直接写出符合条件的x的整数值． 24. 【了解概念】 已知函数是自变量的函数，当时，称函数为函数的“相关函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上一点，称点为点关于函数的“相关点”，点在函数的“相关函数”的图象上． 【理解运用】 例如：函数．当时，称函数是函数的“相关函数”．在平面直角坐标系中，函数图象上任意一点，点为点关于的“相关点”，点在函数的“相关函数”的图象上． （1）函数的“相关函数”的表达式为 ； （2）如图1，函数，点在函数图象上，点在函数的“相关函数”的图象上．若轴，，求点的坐标； （3）函数，点在函数图象上，点在函数的“相关函数”图象上，且是点的相关点，若，求的取值范围； 【拓展提升】 （4）在（3）的条件下，，是整数，函数的图象与轴交于点，以点为中心，作边长为2个单位长度且各边与坐标轴平行的正方形，将该正方形沿轴负半轴方向平移，设平移后正方形的中心的坐标为，若在平移的过程中正方形的对边被截得的线段的长度相等，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 榆树市教育联盟4月份月考八年级数学试题 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 如图，在平面直角坐标系中，垂直x轴，垂直y轴，且，，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，象限内点的符号特征，根据图象，得到点在第四象限，根据点到坐标轴的距离为点的横纵坐标的绝对值，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，且点在第四象限， ∴， ∴点P的坐标为； 故选D． 2. 小病毒是一类已知最小的动物病毒，已知某种小病毒的直径约为， 即． 数据“” 用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：, 故选A． 3. 如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 扩大为原来的4倍 C. 不变 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质．根据分式的基本性质进行解答即可． 【详解】解：分式中的x，y都扩大为原来的2倍，变为 ， 所以分式的值扩大为原来的2倍， 故选：A． 4. 直线和在同一平面直角坐标系内的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数的图象有四种情况：①当，，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限．利用一次函数的性质进行判断． 【详解】解：由一次函数图象可知，，由一次函数可知，，矛盾，故A不合题意； 由一次函数图象可知，，由一次函数可知，，一致，故B符合题意； 由一次函数图象可知，，由一次函数可知，，矛盾，故C不合题意； 由一次函数图象可知，，由一次函数可知，，矛盾，故D不合题意； 故选：B． 5. 如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理． 【详解】、由可得，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意； 、由，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意； 、∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，符合题意； 、由，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意； 故选：． 6. 若点，都在函数的图象上，则的值是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式以及性质，把代入函数，用待定系数法求出函数的解析式，再把点B代入反比例函数解析式即可求出a的值． 【详解】解：把代入函数， 得：， 解得：， ∴函数的解析式为：， 再把代入， 得：， 解得：， 故选：C． 7. 如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，交的延长线于点，若，则的长为（ ） A. B. 6 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由角平分线的定义结合平行四边形的性质可得，，证明，由相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：由作图可得：平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 8. 如图，直线轴于点，且与反比例函数和的图象分别交于点和，连接和，若，则的面积是（ ） A. 5 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解决问题的关键．①在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．②在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．根据反比例函数系数的几何意义即可求解． 【详解】解：根据反比例函数系数的几何意义可知：的面积为，的面积为，的面积为， ， 的面积为． 故选D． 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查函数自变量的取值范围和分式有意义的条件，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0． 根据分式有意义的条件是分母不为0，分析原函数式可得关系式，解可得答案． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故答案为：． 10. 将直线向右平移2个单位，再向下平移4个单位后，所得的直线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：平移后所得的直线的解析式为： 故答案为： 11. 如图，在中，对角线，相交于点，，垂足为点，过点，交于点，交于点．若，，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】24 【解析】 【分析】证明，可得，则可推出，由勾股定理求出的长，再根据平行四边形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 12. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小芳家有一个菱形中国结装饰．测得，．则该菱形的面积为____________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，菱形的面积，熟练运用菱形的面积公式是解题的关键． 根据菱形的面积为对角线乘积的一半即可． 【详解】四边形是菱形， ， ，， 故答案为：24． 13. 函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式的关系，先求出直线与轴的交点坐标，再根据一次函数的图象即可得出结论． 【详解】解：当时，，则 直线与轴的交点坐标为， 当时，的取值范围是． 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，，平分交于点E，，垂足为H，连接并延长交于点F．下列结论中正确的是__________（填序号）． ①；②；③；④． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】对于①，证明即可；证明，则，即可判断③；由于不是等边三角形，则，故，即可判断②；取中点，连接，则由三角形中位线得到，，则为等腰直角三角形，，由角平分线得到，则，又，故，即可判断④． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∵， ∴和是等腰直角三角形， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∵， ∴， ∵和是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴不是等边三角形， ∴， ∴，故②错误； 取中点，连接， ∵， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∵，， ∴， ∴， 又， 故，故④正确； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，角平分线的性质定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 三．解答题（共10小题，满分78分） 15. 先化简，然后从这四个数中选一个合适的数代入求值． 【答案】，0 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，注意分母不能为零． 先根据分式的运算法则进行运算，再化简结果，注意代入的值不可令分母为0，求解即可． 【详解】解：原式 ， 由题意，得， 取，则原式， 16. 小月与小方分别驾车从人民广场，到净月潭．两人同时出发，小月走线路，全程，小方走线路，全程，小方的平均速度是小月的1.2倍，结果小方比小月早到6分钟，问小月每小时走多少千米？ 【答案】小月每小时走50千米 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设小月的每小时走千米，根据小方的平均速度是小月的1.2倍，结果小方比小月早到6分钟，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设小月每小时走千米，则：小方的速度为千米每小时，由题意，得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解； 答：小月每小时走50千米． 17. 学习了特殊平行四边形后，小明同学在数学研修活动中进行了拓展性研究．他利用菱形，借助直尺和圆规，作出了矩形．请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）尺规作图：如图，在菱形中，对角线相交于点．在的延长线上截取，连接，再过点作的垂线交于点（只保留作图痕迹，不写作法，不另外添加字母和符号）； （2）求证：四边形为矩形． 证明：，①______． 四边形是菱形， ，，， ， ，②______， 又，四边形为③______． ，④______． ， 四边形为矩形． 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③平行四边形；④ 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，菱形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质，矩形的判定等，解题的关键是根据要求尺规作图． （1）根据题意画图即可； （2）根据垂直的性质可得，根据菱形的性质可得，根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，根据矩形的判定可得四边形为矩形． 【小问1详解】 解：如图即为所求： 作法：延长，以为圆心，的长为半径，在的延长线上画弧，即为点；连接，分别以，为圆心，的长为半径，在的上方画弧，两弧交于一点，连接该点与点，与交于一点，即为点 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ， ， ， ∴四边形为矩形． 故答案为：①；②；③平行四边形；④． 18. 如图2 - 4所示，长方形ABCD的长为5 cm，宽为4 cm，如果将它的长和宽都减去x(cm)，那么它剩下的小长方形AB′C′D′的面积为y(cm2)． (1)写出y与x的函数关系式； (2)上述函数是什么函数? (3)自变量x的取值范围是什么? 【答案】(1) y＝x2－9x＋20；(2) 二次函数;(3) 0＜x＜4. 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据长方形的面积公式，根据图示求解即可得到函数关系式； （2）通过二次函数的定义可判断； （3）根据x取值不能大于原方程的长方形的宽进行分析. 试题解析：(1)根据长方形的面积公式，得y＝(5－x)·(4－x)＝x2－9x＋20，所以y与x的函数关系式为y＝x2－9x＋20． (2)上述函数是二次函数． (3)自变量x的取值范围是0＜x＜4． 点睛：此题主要考查了根据题意列函数的解析式，熟悉掌握根据题意列函数关系式是解决此题的关键. 19. 如图，在中，点E，F分别是上的两点．且．相交于点M，相交于点N． （1）写出图中除外的所有平行四边形； （2）求证：． 【答案】（1），， （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的判定定理可得答案； （2）先证四边形和是平行四边形，进而证明四边形是平行四边形，可得． 【小问1详解】 解：除外的平行四边形有：，，． 【小问2详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 又， 四边形是平行四边形， ． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点C和点D． （1）求一次函数与反比例函数的表达式． （2）直接写出不等式的解集． （3）连接，在y轴上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2），或者 （3）存在，或者 【解析】 【分析】（1）把点代入反比例函数可求出的值，再计算出，运用待定系数法即可求解； （2）根据，，结合图形分析即可求解； （3）先求出，即有，则有，，可得，结合，，可得，问题随之得解． 【小问1详解】 解：把代入反比例函数，得， ∴反比例函数的表达式， ∵点在图象上， ，即， 把，两点代入， ， 解得， ∴一次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：已知一次函数与反比例函数的图象分别交于点和点， 不等式，变形为：， 即需求出一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围， ∴当，或者时，， ∴解集为：，或者； 【小问3详解】 存在点P，设， 如图， 在上，当时，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴或者． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数图象，一次函数与几何图形，根据图形求一次不等式的解集，待定系数法求解析式，注重数形结合的思想是解题的关键． 21. 一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地装货耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）求A，B两地之间的距离及a的值； （2）求线段所在直线的函数表达式； （3）货车出发多少小时两车第一次相距15千米？ 【答案】（1）A，B两地之间的距离是60千米，； （2） （3）货车出发小时两车第一次相距15千米 【解析】 【分析】（1）根据货车从A地到B地花了小时结合路程速度时间即可求出A、B两地的距离；根据货车装货花了15分钟即可求出a的值； （2）利用待定系数法求解即可； （3）根据题意建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：千米， ∴A，B两地之间的距离是60千米， ∵货车到达B地装货物耗时15分钟， ∴； 【小问2详解】 解：设线段所在直线的解析式为， 将，代入，得 ， 解得， ∴线段所在直线的函数解析式为； 【小问3详解】 解：设货车出发x小时两车相距15千米， 由题意得，巡逻车的速度为千米/小时， 当两车都在前往B地的途中且未相遇时两车相距15千米，则， 解得（舍去）； 当两车都在前往B地的途中且相遇后两车相距15千米，则， 解得； 货车出发小时两车第一次相距15千米． 22. 某班数学兴趣小组对函数的图像和性质进行了研究，探究过程如下，请补充完整 （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y … 1 0 1 2 m 0 1 2 …. 其中，m=______________； （2）根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图像的一部分，请画出该函数的另一部分图像； （3）方程的解是__________________； （4）关于x的方程有4个实数解，则a的取值范围是______________________． 【答案】（1）1 ；（2）答案见解析；（3）x=±5；（4） 【解析】 【分析】（1）根据表格直接求解即可； （2）根据表格的数据进行描点作图即可； （3）根据绝对值的意义进行求解即可； （4）根据图象直接进行解答即可． 【详解】解：（1）由图表可得：把x=1代入函数，得，即m=1； 故答案为1； （2）作图如下： （3）由可得： ，所以有或（不符合题意，舍去）， 解得； 故答案为； （4）当关于x的方程有4个实数解，即直线与（2）的图像有4个交点，所以由图像可直接得； 故答案为． 【点睛】本题主要考查函数图像，关键是根据题意得到函数的性质及图像，由此即可求解． 23. 如图1~图3，菱形的边长为6，，M，N，K分别在边，，上，，，．点P从点M出发，沿折线匀速运动，到达点N时停止．连接，作，射线与菱形的另一边交于点E，若与对角线有交点，设交点为F．设点P运动的路程为x． （1）______； （2）淇淇认为：“当点P在折线上运动时，如图1和图2，始终满足．”请判断淇淇的说法是否正确？并说明理由； （3）如图2，若点P在边上运动（不含端点，即）， ①请用含x的式子表示的长； ②当取得最大值时，试确定与的位置关系； （4）当点K在外部时，直接写出符合条件的x的整数值． 【答案】（1）6 （2）淇淇的说法错误 （3）①；② （4）12或13 【解析】 【分析】（1）由菱形和，可得是等边三角形，则； （2）当点在上时，由得到，满足； 当点在上时，由，，证明，得到，不满足； （3）①点P在边上运动（不含端点，即），，，证明，得到，代入计算即可； ②，则当时，取得最大值，此时，结合是等边三角形，得到，即可求出，； （4）在线段上时，，，，证明，得到，代入整理得，由图1和图2可以发现，当点P在折线上运动时点K在内部，当点K在外部时，在线段上，此时，据此解不等式即可． 【小问1详解】 解：∵菱形的边长为6，， ∴，，，，， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：淇淇的说法错误，理由如下： 当点在上时，如图1， ∵， ∴， ∴； 当点在上时，如图2， ∵，， ∴， ∴，不满足； ∴淇淇的说法错误； 【小问3详解】 解：①∵， ∴， ∵点P在边上运动（不含端点，即）， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； ②∵， ∴当时，取得最大值，此时， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴当点到达点时，， ∴在线段上时，，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，解得， 由图1和图2可以发现，当点P在折线上运动时点K在内部， ∴当点K在外部时，在线段上，此时， ∴，即， ∴符合条件的x的整数值为或． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程． 24. 【了解概念】 已知函数是自变量的函数，当时，称函数为函数的“相关函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上一点，称点为点关于函数的“相关点”，点在函数的“相关函数”的图象上． 【理解运用】 例如：函数．当时，称函数是函数的“相关函数”．在平面直角坐标系中，函数图象上任意一点，点为点关于的“相关点”，点在函数的“相关函数”的图象上． （1）函数的“相关函数”的表达式为 ； （2）如图1，函数，点在函数图象上，点在函数的“相关函数”的图象上．若轴，，求点的坐标； （3）函数，点在函数图象上，点在函数的“相关函数”图象上，且是点的相关点，若，求的取值范围； 【拓展提升】 （4）在（3）的条件下，，是整数，函数的图象与轴交于点，以点为中心，作边长为2个单位长度且各边与坐标轴平行的正方形，将该正方形沿轴负半轴方向平移，设平移后正方形的中心的坐标为，若在平移的过程中正方形的对边被截得的线段的长度相等，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）或 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据“相关函数”的概念计算即可； （2）根据题意设，函数的“相关函数”的解析式为：，设，由轴，，列方程组求解即可； （3）根据题意可得，，结合题意，根据不等式的性质即可求解； （4）根据题意得到，，点到正方形各边的距离为1，即点到正方形各边的距离为1，则，点在直线的直线上，根据角的正切值的计算得到，，，设，，，由，即可求解． 【详解】解：（1）函数，“相关函数”为， ∴, 故答案为：； （2）函数，点在函数图象上， ∴设， 函数的“相关函数”的解析式为：， ∵点在函数的“相关函数”的图象上， ∴设， ∵轴， ∴， 当时，， 解得，， ∴， ∴； 当时，， 解得，， ∴， ∴； （3）函数，点在函数图象上， ∴，即， ∵点是点的相关点， ∴，即， 若， ∴， ∴， 解得，； （4）在（3）的条件下，，是整数， ∴，， ∴，， 当时，，即点在函数的函数图象上， 根据题意，函数的“相关函数”的解析式为：， ∵函数的图象与轴交于点， ∴当时，，即， 当时，，即，即与交于点， 以点为中心，作边长为2个单位长度且各边与坐标轴平行的正方形，如图所示， ∴，， ∵点是正方形的中心， ∴点到正方形各边的距离为1，即点到正方形各边的距离为1， ∴， 点在直线的直线上， 如图所示，截于，截于，则，设与轴交于点，与轴交于点，且，设， ∴，，，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 同理直线的解析式为：， 当时，， 解得，， ，解得，， ∴ 当时，， 解得，， ∴， ∵， ∴， 解得，． 【点睛】本题主要考查新定义，一次函数图象的性质，图形平移，待定系数法求解析式，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $