1.3 二次根式的运算（第2课时）课件 2025--2026学年浙教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦二次根式的加减与混合运算，通过回顾整式乘法法则及公式，以木板截正方形的实际问题为学习支架，衔接新旧知识，引导学生从整式运算迁移到二次根式运算。 其亮点在于以实际问题激发探究，培养抽象能力与创新意识，通过类比整式运算法则迁移，发展推理意识，强调“一化二找三合并”步骤培养数学语言表达。学生能理解运算本质，教师易操作可提升教学效率。

第3节 二次根式的运算 第二课时 第1章《二次根式》 1.会进行简单的二次根式的四则混合运算. 2.通过整式运算的某些法则在二次根式四则运算中的应用,体验迁移、化 归等数学思想. 学习目标 2 02 新知导入 说一说，整式的乘法法则和乘法公式. 单项式× 单项式 单项式× 多项式 多项式× 多项式 平方差公式 完全平方公式 把它们的​​系数​​、​​相同字母的幂​​分别相乘，其余字母​​连同其指数​​作为积的因式  用单项式去乘多项式的​​每一项​​，再把所得的积​​相加​​ 先用一个多项式的​​每一项​​乘另一个多项式的​​每一项​​，再把所得的积​​相加​ (a + b)(a－b) = a2－b2 (a ± b)2 = a2±2ab + b2 现有一块长为7.5dm、宽为5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板 上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板? 分析：因为大、小正方形木板的边长分 别为dm和dm，显然木板够宽.下 面考虑木板是否够长.由于两个正方形的 边长的和为()dm.这实际上是求 ，这两个二次根式的和. 新知探究 4 现有一块长为7.5dm、宽为5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出 两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板? 解：两个正方形的边长分别为dm和dm， 则两正方形的边长和为： + =2 =(2+3)=5dm， ∵<， ∴ 5<7.5即木板的长是够的. 又∵ <5, <5，∴木板的宽也是够的. 答：这块木板上可以截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板. 新知探究 5 03 新知探究 计算: （1）（x+y）·z （2）（2x+1）（x-2） （3）（2x2y+3xy2）÷xy （4）（2x+y）（2x-y） （5）（2x+1）2 =xz+yz =2x2-3x-2 =2x+3y =4x2-y2 =4x2+4x+1 m(a+b+c)=ma+mb+mc； (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb (ma+mb+mc)÷m=a+b+c 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2; 如果把上面的字母x、y、z改写成二次根式，以上的运算规律是否依然成立呢？试着写几个算一算. 做题根据 ± ± + 一起做一做！ 03 新知探究 以前我们学过的整式运算的法则和方法也适用于二次根式的运算。 例如，在二次根式的加减运算时，类似于合并同类项，我们可以把含有相同被开方数的二次根式的项进行合并。 新知探究 探究点1 认识同类二次根式 议一议 同类二次根式的定义： 定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式 判断下列各组二次根式是否为同类二次根式? （1） 与 （ ） （2） 与 （ ） （3） 与 （ ） 是 否 是 练一练 探究点2 合并同类二次根式 计算：，并说一说每一步骤理由 二次根式的加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并。 合并同类二次根式与合并同类项类似，只把“系数”相加减，根指数和被开方数不变。 做一做 解： =(化成最简二次根式) (分配律) =2 类似合并同类项 （1）化简每个二次根式 （2）找同类二次根式 （3）利用分配律合并 （4）计算结果 合并同类二次根式 新知探究 若最简根式 与 可以合并，求的值. 解：由题意，得 解得 ∴ 归纳：确定可以合并的二次根式中字母取值的方法： 利用被开方数相同，指数都为2，列关于待定字母的方程求解即可. 例1 典例分析 探究点2 合并同类二次根式 思考：二次根式的加减运算的一般步骤是什么？ 1.将每一个二次根式都化成最简二次根式. 2.将被开方数相同的二次根式进行合并. 二次根式加减运算的方法：将各个二次根式化成最简二次根式，找出化简 后被开方数相同的二次根式，将其合并.若有括号，则先去掉括号再运算. 另外，整式运算的法则和方法也适用于二次根式的运算. 新知探究 11 解：原式= 例1 化简：. = 2 =（2 ） = . 例题精讲 03 新知讲解 例3 化简： 思考：能否适用合并同类项的方法进行合并？ 解：原式= 这三个式子叫做什么？ Click to edit Master text styles Second level Third level Fourth level Fifth level 03 新知讲解 一般地，二次根式加减时，先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式合并. 二次根式的加法与减法： 二次根式加法与减法的运算步骤： （1）化——将二次根式化为最简二次根式； （2）找——找出被开方数相同的二次根式； （3）并——把被开方数相同的二次根式合并. “一化二找三合并” 探究点3 二次根式的加减 1.二次根式的加减实质是什么？ 新知探究 议一议 整式的加减的实质是合并同类项． 二次根式的加减实质是合并同类二次根式（被开方数相同） 2.二次根式的加减运算的步骤： (1)化——将非最简二次根式的二次根式化简； (2)找——找出被开方数相同的二次根式； (3)合——把被开方数相同的二次根式合并. 典例分析 探究点3 二次根式的加减 例2.计算: 解： ; 分子分母同乘以2，分母化为平方数，能开方 典例分析 探究点3 二次根式的加减 例2.计算: 解： ; 方法一 方法二 二次根式的混合运算的运算顺序： 二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方，再乘除， 最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号). 注意： ①二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式的形式. ②在二次根式的混合运算中，乘法公式和实数的运算律仍然适用. 新知探究 解：（2）原式= 例2 计算：（2）+ . = =2 . 例题精讲 03 新知讲解 例4 计算： 分母含有形如 的式子，分子、分母同乘 的式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号. 03 新知讲解 例5 计算： 此处类比“多项式×多项式”，即(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab. 运用平方差公式计算 拓展提升 1.已知 a，b 都是有理数，现定义新运算：a*b=，求 (2*3) - (27*32) 的值． 解：∵a*b = ∴ (2*3) - (27*32) 课后练习 （教材p18页） 1.计算 (1) 解答：原式 = 5 - - = (2) 解答：原式 = 4×6 - 9×2 = 24 - 18 = 6 (3) 解答：原式 = = -3 - 2 (4) 解答：原式 = + = 作业题A组 03 新知探究 归纳总结 二次根式的混合运算: 先要弄清运算种类，再确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行. 二次根式 的运算 课堂小结 加减运算的 一般步骤 混合运算的顺序 1.将每一个二次根式都化成最简二次根式 2.将被开方数相同的二次根式进行合并 二次根式的混合运算顺序与实数的混合运 算顺序一样,先乘方,再乘除，最后加减， 有括号的先算括号里的(或先去掉括号) 感谢聆听! $