1.3 二次根式的运算（第2课时 ）（教学课件）数学新教材浙教版八年级下册

第3节 二次根式的运算 第二课时 第1章《二次根式》 学 习 目 标 1 2 3 体会二次根式运算与整式运算的内在联系，理解“同类二次根式”的合并方法与“合并同类项”的类比思想。 掌握二次根式的加减运算及混合运算的法则，能熟练进行二次根式的化简与运算。 理解二次根式运算中算理的合理性，能运用运算律和公式简化计算，提升运算的准确性与灵活性。 知识回顾 1.把被开方数分解因式（或因数） ； 2. 把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； 3.如果因式中有平方式（或平方数），应用关系式 (a≥0)把这个因式（或因数）开出来，将二次根式化简. 用途：化简二次根式 1.二次根式乘法 互逆 解：原式 练一练 计算 2.二次根式的除法 用途：化简二次根式 1.把被开方数中移出根号，使根号内不含分母； 2.分母中不含二次根式 互逆 解： （2）原式 知识回顾 练一练 化简 相信你能行 知识回顾 3.最简二次根式 （2）被开方数不含分母： （1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 简记为：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方. 注意： 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式. 下列各式中属于最简二次根式的是(　　 ) A. 　 B. 　　　C. 　　 D. 解： 是分数0.1是小数故选项AB不符合题意； ·a故的被开方式中含有能开方的因式 选项C不符合题意； 的被开方式无法开方且20.故选D. D 两个条件 练一练 知识回顾 4.整式的加减 1.同类项的概念： 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 2.合并同类项的概念： 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 3.合并同类项法则： 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变. 我们已经学过整式的加减运算，其核心是合并同类项。在二次根式的运算中，也存在类似的“同类”概念——同类二次根式。今天我们就来学习如何合并同类二次根式，并在此基础上进行二次根式的混合运算。 导入新课 在二次根式的运算中，也存在类似的“同类”概念——同类二次根式。 问题 化简下列两组二次根式，每组化简后有什么共同特点? 化简后被开方数相同 新知探究 探究点1 认识同类二次根式 议一议 同类二次根式的定义： 定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式 判断下列各组二次根式是否为同类二次根式? （1） 与 （ ） （2） 与 （ ） （3） 与 （ ） 是 否 是 练一练 探究点2 合并同类二次根式 计算：，并说一说每一步骤理由 二次根式的加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并。 合并同类二次根式与合并同类项类似，只把“系数”相加减，根指数和被开方数不变。 做一做 解： =(化成最简二次根式) (分配律) =2 类似合并同类项 （1）化简每个二次根式 （2）找同类二次根式 （3）利用分配律合并 （4）计算结果 合并同类二次根式 新知探究 若最简根式 与 可以合并，求的值. 解：由题意，得 解得 ∴ 归纳：确定可以合并的二次根式中字母取值的方法： 利用被开方数相同，指数都为2，列关于待定字母的方程求解即可. 例1 典例分析 探究点2 合并同类二次根式 探究点3 二次根式的加减 1.二次根式的加减实质是什么？ 新知探究 议一议 整式的加减的实质是合并同类项． 二次根式的加减实质是合并同类二次根式（被开方数相同） 2.二次根式的加减运算的步骤： (1)化——将非最简二次根式的二次根式化简； (2)找——找出被开方数相同的二次根式； (3)合——把被开方数相同的二次根式合并. 典例分析 探究点3 二次根式的加减 例2.计算: 解： ; 分子分母同乘以2，分母化为平方数，能开方 典例分析 探究点3 二次根式的加减 例2.计算: 解： ; 方法一 方法二 典例分析 例3 化简： 分析：先将各项化为最简二次根式，再合并同类二次根式。步骤如下 化简每一项：，，； 2. 合并同类二次根式： 3. 计算系数和，得出结果： 解： 新知巩固 （教材p18页） 1.化简： 解：原式= 课内练习 注意每一项的化简 ， 有括号，先计算括号里面的 新知巩固 （教材p18页） 2.计算： (1) (2) 解： (1)原式= 课内练习 (2)原式= 提示： 新知巩固 4、在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AC=2，AB=3。求Rt△ABC的周长和面积。 解：在Rt△ABC中，由勾股定理得： ∴ ： ； ∴三角形周长：； 三角形面积： C ∟ A B （教材p18页） 课内练习 拓展提升 1.已知 a，b 都是有理数，现定义新运算：a*b=，求 (2*3) - (27*32) 的值． 解：∵a*b = ∴ (2*3) - (27*32) 拓展提升 例4 已知 a，b，c 满足 (1) 求 a，b，c 的值； (2) 以 a，b，c 为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，求出其周长；若不能，请说明理由. 解：(1) (2) 能. 理由如下：由（1）得： 即 a＜c＜b， 解得 ∴ 能构成三角形，周长为： ∴ a + c＞b. 真题感知 1．（2024·山东济宁·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． B 2．（2023·甘肃武威·中考真题）计算：． 解： ． （1）求； （2）若，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集． 3.（2020·内蒙古通辽·中考真题）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：． 解： （1） = = = （2）∵， ∴ 解得： 真题感知 二次根式的加减 法则 注意 运算顺序 运算原理 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式合并. 运算律仍然适用 与实数的运算顺序一样 课堂小结 加减运算的核心是合并同类二次根式。 同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式 课后练习 （教材p18页） 1.计算 (1) 解答：原式 = 5 - - = (2) 解答：原式 = 4×6 - 9×2 = 24 - 18 = 6 (3) 解答：原式 = = -3 - 2 (4) 解答：原式 = + = 作业题A组 4.如图，在等腰三角形 中，，。求 的面积。 解：由勾股定理可得： 高AD = = ， 面积 = = 2 课后练习 （教材p18页） 作业题A组 D ∟ 感谢聆听! $