专题06平行四边形的性质、判定定理期末复习讲义（12大核心题型+知识点全归纳+进阶练习）-2025-2026学年浙教版数学八年级下学期.

专题06平行四边形的性质、判定定理期末复习讲义 期末复习◆目标 理解基本概念：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，为中心对称图形。 掌握性质定理：对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分。 熟练运用判定定理：两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；两组对角分别相等；对角线互相平分。 掌握周长面积公式，能够运用性质、判定定理解决相关问题。 核心题型◆归纳 题型1利用平行四边形的性质求解 题型2利用平行四边形的性质证明 题型3平行四边形性质的其他应用 题型4求平行线间的距离 题型5利用平行线间距离解决问题 题型6证明四边形是平行四边形 题型7判断能否构成平行四边形 题型8添一个条件成为平行四边形 题型9求与已知三点组成平行四边形的点的个数 题型10利用平行四边形的判定与性质求解 题型11利用平行四边形性质和判定证明 题型12平行四边形性质和判定的应用 题型13进阶练习 重点知识◆梳理 考点一、平行四边形的性质 1.边的性质 对边平行：AB∥CD，AD∥BC 对边相等：AB=CD，AD=BC 2.角的性质 对角相等：∠A=∠C，∠B=∠D 邻角互补：∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180° 3.对角线性质 对角线互相平分：OA=OC，OB=OD（对角线绝不相等、绝不垂直！普通平行四边形无此性质） 考点二、平行四边形的判定 判定1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 几何语言：∵AB∥CD，AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形 判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 几何语言：∵AB=CD，AD=BC ∴∴四边形ABCD是平行四边形 判定3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 几何语言：∵AB∥CD，AB=CD ∴四边形ABCD是平行四边形 判定4（角）：两组对角分别相等的四边形平行四边形。 几何语言：∵∠DAB =∠ABC=∠BCD=∠CDA ∴四边形ABCD是平行四边形 判定5（对角线）：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 几何语言：∵OA=OC，OB=OD ∴四边形ABCD是平行四边形 考点三、周长与面积 1.周长公式 设平行四边形邻边长分别为a、b，周长为C： C = 2(a + b) 核心考点：利用对边相等性质，已知周长求边长、已知边长求周长，常结合方程解题。 2、面积公式 设底边长为a，这条底边对应的高为 h，面积为S： S = 底 × 高 = ah 关键注意：底和高必须一一对应！不能混用不同底边的高。 3、拓展结论 ① 等底等高的平行四边形，面积相等；面积相等的平行四边形，不一定等底等高。 ② 平行四边形对角线将图形分成两个全等三角形，单个三角形面积为平行四边形的一半。 ③ 两条对角线把平行四边形分成四个面积完全相等的小三角形。 对角线平分平行四边形面积，分成两个全等三角形、四个面积相等小三角形 考点四、期末高频题型总结 角度计算：利用对角相等、邻角互补求值 边长、周长计算：利用对边相等，列方程求解 对角线线段计算：利用对角线互相平分性质 平行四边形证明题：优先用一组对边平行且相等 综合压轴：三角形全等+平行四边形判定综合推理 题型解析◆精准备考 题型1利用平行四边形的性质求解 1．在平行四边形中，的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据平行四边形的两组对角分别相等．可知只有选项D正确． 2．如图，的对角线交于点，且，若它的对角线的和是，则的周长为_________ ． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质，可得对边相等，对角线互相平分，故此可求出的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴的周长． 故答案为：． 3．如图，在平行四边形中，对角线，与相交于点O，点M、N分别为、的中点，连接、． (1)求证：； (2)若，且，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）根据平行四边形的性质，，，平行线的性质可得出，结合线段中点的定义可得出，然后根据证明即可； （2）根据三线合一的性质得出，由（1）中得出，根据勾股定理求出，最后根据线段中点定义和平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵点M、N分别为、的中点， ∴，， ∴， 又，， ∴； （2）解：∵，， ∴， 又M是的中点， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴． 题型2利用平行四边形的性质证明 1．如图，在中，点O是对角线，的交点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．平行四边形的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点．根据平行四边形的性质判断即可. 【详解】解：∵， ∴，，， 不一定成立，结论A错误，符合题意． 故选：A． 2．如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 作，交的延长线于点H，求出得，由勾股定理求出，由折叠的性质得，，，得出，设，根据求出，进而可求出的长． 【详解】如图，作，交的延长线于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 由折叠的性质得，，， ∴，， ∴． 设， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 3．如图，在中，对角线与相交于点O，过点A作于E，过点C作于点F． (1)求证：； (2)若，，，则的长度为__________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质证明即可； （2）先在中由勾股定理求解，然后由面积法求解，最后在中运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵在中，，， ∴，， ∵， ∴在中，， ∵ ∴，即 ∴， ∴在中，． 题型3平行四边形性质的其他应用 1．如图，在中，，，的平分线交边于点E，则的长是（   ）    A．5 B．7 C．3.5 D．3 【答案】D 【分析】根据角平分线及平行线的性质可得，继而可得，根据即可． 【详解】解: ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 又∵的平分线交边于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是得出，判断三角形中，，难度一般． 2．如图，已知的面积为，点在线段上，点在线段的延长线上，且，，，连接，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】5 【分析】由，可得，过点A作AG⊥BC于G，交ED延长线于K，过B作BH⊥ED于H，可得：四边形BGKH是矩形，即：，再根据三角形面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，过点A作AG⊥BC于G，交ED延长线于K，过B作BH⊥ED于H， ∵， ∴四边形DCFE是平行四边形 ∴DE∥BC，DE=CF ∵BF=4CF ∴BC=3CF ∵AG⊥BC，BH⊥ED ∴AG⊥DE ∴∠AGB=∠GKH=∠BHK=90° ∴四边形BGKH是矩形， ∴BH=GK ∵AG=AK+KG ∴AG=AK+BH ∴S△ADE+S△BDE=DE•AK+DE•BH=DE（AK+GK）=CF•AG ∵S△ABC=15，即：BC•AG=15 ∴×3CF•AG=15 ∴CF•AG=5 ∴S△ADE+S△BDE=5 故答案为：5． 【点评】本体考查了平行四边形性质及三角形面积，是一道基础几何计算题，解题关键能得到：两个阴影三角形的底和高分别与△ABC的底和高的数量关系． 3．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的两端点A，B都在格点（网格线的交点）上． (1)在图1中画一个以为边的矩形；（要求：另外两个顶点也在格点上） (2)在图2中画一个以为对角线的平行四边形（非正方形）．（要求：另外两个顶点也在格点上） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据矩形的性质画出图形即可； （2）根据平行四边形的性质画出图形即可． 【详解】（1）解：如图，矩形即为所求，答案不唯一． （2）解：如图，平行四边即为所求，答案不唯一． 题型4求平行线间的距离 1．如图，公路的两侧看作直线a，b，且，则直线a，b之间的距离是（   ） A．线段 B．线段 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】D 【分析】本题考查垂线的性质及应用，熟练掌握垂线的性质是解题的关键，根据垂线的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴线段的长度是直线a，b之间的距离， 故选：D． 2．已知一点到两条平行线的距离分别是，，则这两条平行线之间距离是___． 【答案】4或8 【分析】分为点在两条平行线之间和点在两条平行线外侧两种情况，根据点到平行线的距离与平行线间距离的关系求解．本题主要考查了平行线间的距离，熟练掌握点与两条平行线的位置关系对平行线间距离的影响是解题的关键． 【详解】解：情况一：当点在两条平行线之间时， 点到两条平行线的距离分别是，， 两条平行线之间的距离为． 情况二：当点在两条平行线外侧时， 点到两条平行线的距离分别是，， 两条平行线之间的距离为． 故答案为：或． 3．如图，直线点在直线m上，点C在直线n上，且，．求： (1)直线m与直线n的距离； (2)点A到的距离； (3)点D到的距离． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线间的距离，点到直线的距离： （1）根据平行线间的距离解答，即可； （2）根据点到直线的距离解答，即可； （3）设点D到的距离为h，根据，解答即可． 【详解】（1）解∶∵，， ∴直线m与直线n的距离为； （2）解∶ ∵，， ∴点A到的距离为； （3）解∶设点D到的距离为h， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即点D到的距离为． 题型5利用平行线间距离解决问题 1．如图，四边形中，，，，，，，则四边形的面积为(　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点，，，分别作，，，，交直线于点，，，，证明，，则设，，则，则，求出，再由四边形的面积，然后整体代入求解即可． 【详解】如图，过点，，，分别作，，，，交直线于点，，，， ∴， ∵． ∴，， ∵，． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， 设，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的面积， ∴四边形的面积， ． 2．如图，，，为直线上的任意两点，若，则___________． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形的面积，平行线间的距离，根据平行线间的距离相等可以得出和的面积相等，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴与之间的距离相等， ∴， 故答案为：5． 3．画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，小正方形的顶点叫格点． (1)将向左平移6格，再向上平移1格，请在图中画出平移后的； (2)利用网格在图中画出的高线； (3)在图中能使 的格点P的个数有几个？(点P异于C)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)8个 【分析】本题主要考查了作图−平移变换，平行线的性质等知识点， （1）根据图形平移的性质画出平移后的即可； （2）延长，作垂直于，交的延长线于点E，即为的高线； （3）过点A作直线的平行线，此直线与格点的交点即为P点； 熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所作， ； （2）解：如图，即为所作， ； （3）如下图， 过点A作直线的平行线， ∵平行线间的距离相等， ∴直线的所有点与的连线组成的三角形都与相等， ∴能使 的格点P的个数共有8个点． 题型6证明四边形是平行四边形 1．下列说法中，不正确的是（　　） A．一组邻角互补的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．有一个角为直角的平行四边形是矩形 D．一组邻边相等的平行四边形是菱形 【答案】A 【分析】本题考查特殊四边形的判定定理，相邻两角互补的四边形不一定是平行四边形，如梯形；再结合特殊四边形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、四边形中相邻两角互补只能推出一组对边平行，但无法保证另一组对边平行，因此不一定是平行四边形（例如梯形），故选项A不正确； B、对角线互相垂直的矩形是正方形，故选项B正确； C、有一个角为直角的平行四边形是矩形，故选项C正确； D、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项D正确； 故选：A． 2．如图，已知，分别以，为圆心，， 的长为半径作弧，两弧交于点，连接，，则四边形是平行四边形的依据是______． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【分析】本题考查了尺规基本作图-作线段等于已知线段，平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 利用平行四边形的判定方法可直接求解． 【详解】解：分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点， ，， 四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）， 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 3．如图，在中，延长对角线至点E，延长至点F，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】连接，交于点，证明两条对角线互相平分即可． 【详解】解：连接，交于点， ， ， ， ， ， 故四边形是平行四边形． 题型7判断能否构成平行四边形 1．在四边形中，已知，添加以下条件不能证明四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C．D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定定理，逐项验证各条件能否推出四边形是平行四边形即可． 【详解】解：已知在四边形中，， A 若，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定四边形是平行四边形，不符合题意； B 若，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定四边形是平行四边形，不符合题意； C ， ， 又， ， ，因此四边形两组对边分别平行，可判定是平行四边形，不符合题意； D ，本身即可推出， 无法推出另一组对边平行或，不能判定四边形是平行四边形，符合题意． 2．下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的是________（填序号）． ①，；②，；③，；④，． 【答案】③ 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出答案． 【详解】解：①∵，，∴四边形是平行四边形，不符合题意； ②∵，，∴四边形是平行四边形，不符合题意； ③，不能判定四边形是平行四边形，符合题意； ④∵，，∴四边形是平行四边形，不符合题意； 故答案为：③． 3．如图，在中，点F是的中点，点E是线段延长线上一动点，连接，过点C作的平行线，与线段的延长线交于点D，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，则在点E的运动过程中： ①当 时，四边形是矩形； ②当 时，四边形是菱形． 【答案】(1)见详解； (2)①；②． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质和等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形、矩形和菱形的判定与性质是解决问题的关键． （1）证 ，得，再由，即可得出结论； （2）①由矩形的性质得，再求出，则；②由菱形的性质得，再证是等边三角形，即可得出． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵点F是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：①． ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即当时，四边形是矩形； ②． ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即当时，四边形是菱形． 题型8添一个条件成为平行四边形 1．如图，在四边形中，，对角线和交于点，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定定理，三角形全等的判定，平行线的性质，掌握平行四边形的判定条件是解题关键． 根据平行四边形的判定定理对选项依次判断即可． 【详解】解：已知，要使四边形为平行四边形， 选项：仅且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 错误； 选项：且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 错误； 选项：平行四边形要求对角线互相平分，仅不满足，故错误； 选项：， ， 在和中， , ， ， 四边形为平行四边形． 故正确． 故选：． 2．如图，四边形的对角线、相交于点，且，请你添加一个适当的条件：_________，使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，能找到合适的条件证明平行四边形或全等三角形是解题的关键． 添加可证四边形是平行四边形，可得． 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 3．如图，在中，点，分别在边，上，． (1)求证：； (2)连接．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)添加（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定； （1）根据平行四边形的性质得出，，结合已知条件可得，即可证明； （2）添加，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴即， 在与中， ， ∴； （2）添加（答案不唯一） 如图所示，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴，即， 当时，四边形是平行四边形． 题型9求与已知三点组成平行四边形的点的个数 1．以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】C 【分析】分别以△ABC的三边为对角线作出平行四边形即可得解. 【详解】如图，分别以AB、BC、AC为对角线作平行四边形，共可以作出3个平行四边形. 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键在于以三角形的三边作为所作平行四边形的对角线. 2．已知以A，B，C，D四个点为顶点的平行四边形中，顶点A，B，C的坐标分别为，则顶点D的坐标为___________． 【答案】 【分析】分别在平面直角坐标系中确定出A、B、C的位置，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可确定D的位置． 【详解】解：由图可知，满足条件的点D坐标为 故答案为： 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 3．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中，以为边画一个菱形（正方形除外）； (2)在图②中，以为边画一个面积为2的平行四边形； (3)在图③中，以为边画一个面积为3的平行四边形（菱形除外）． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题是四边形综合题，主要考查作图——应用与设计作图，平行四边形和菱形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． （1）取格点C、D，连接、、，因为，小正方形的边长均为1，所以，，，，所以， 即四边形是菱形； （2）取格点E、F，连接、、，因为，5×5的正方形网格中，小正方形的边长均为1，所以，，，，所以，四边形ABEF是平行四边形， 因为，所以，平行四边形的面积，平行四边形即为所求； （3）取格点M、N，连接、、，得，，所以，四边形是平行四边形，不是菱形；因为，平行四边形的面积，所以，平行四边形即为所求． 【详解】（1）如图①，取格点C、D，连接、、， 菱形即为所求． （2）如图②中，取格点E、F，连接、、， 平行四边形即为所求． （3）如图③中，取格点M、N，连接、、， 平行四边形即为所求． 、 题型10利用平行四边形的判定与性质求解 1．如图，六边形的内角都相等，，，则下列结论成立的个数是（    ） ①；②；③；④四边形是平行四边形；⑤六边形既是中心对称图形，又是轴对称图形． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质、平行线的判定和性质、轴对称图形、中心对称图形等知识，根据六边形的内角都相等，，平行线的判定，平行四边形的判定，中心对称图形的定义一一判断即可． 【详解】解：六边形的内角都相等， ， ， ， ，， ，故②正确， ， ，， ， ，故①正确， ，，， 四边形，四边形是等腰梯形， ，， ， ，故③正确， 连接与交于点，连接、、、、． ， ， 又， 四边形是平行四边形，故④正确， 同法可证四边形是平行四边形， 与，与互相平分， ，，， 六边形是中心对称图形，且是轴对称图形，故⑤正确， 故选：D． 2．如图，垂直平分，交于E，，垂足为A，，则的长为_____． 【答案】9.6 【分析】首先证明四边形为平行四边形，易得，设，则，在和中，由勾股定理解得的值，然后由求解即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，垂直平分， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 即，解得， ∴， ∴，， ∴． 3．如图，在平行四边形中，的平分线交于点E． (1)用无刻度的直尺和圆规作的平分线，交于点F；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，四边形是什么特殊的四边形？请加以证明； (3)在（2）的条件下，若，，求平行四边形中边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)菱形，见解析 (3) 【分析】本题考查了尺规作---角平分线，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质． （1）根据尺规作角平分线的步骤作图即可； （2）根据平行线+角平分线得到等腰三角形，即可证明，，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形先证明四边形是平行四边形，再由邻边相等证明为菱形； （3）过点作于点，先由勾股定理求出，然后根据菱形的性质结合等面积法得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）解：四边形是菱形， 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （3）解：过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形中边上的高为． 题型11利用平行四边形性质和判定证明 1．如图，点，是平行四边形对角线上两点，在条件；；；中，添加一个条件，使四边形是平行四边形，可添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 连接，交于点O，根据四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，逐个分析判断即可解答． 【详解】解：连接，交于点O，如图 ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 当时，不能证明对角线互相平分，不符合题意； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故②符合题意； ③当时， ∵， ∴， 即， ∵， ∴四边形是平行四边形，故③符合题意； 当时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故④符合题意； 综上所述，②③④符合题意， 故选：D． 2．如图，在平行四边形中，相交于点O，点E，F在对角线上，有下列条件：①；②；③；④．其中一定能判定四边形是平行四边形的是______． 【答案】①④ 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 根据全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质分别推理论证，即可得到结论． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形； ②∵，不能判定， ∴不能判定四边形是平行四边形； ③添加不能判定四边形是平行四边形； ④∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 故答案为：①④． 3．如图，在平行四边形中，，分别是边和上的点，且，连接，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】由四边形是平行四边形，可得，，再结合，可得，即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 题型12平行四边形性质和判定的应用 1．如图，在正方形中，点E，F分别在和边上，，，，则的面积为（   ） A．3 B．8 C． D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形中面积的计算，解题关键是发现平行四边形． 本题主要考查了正方形中面积的计算，解题关键是发现平行四边形．由正方形，，，，得，得四边形为平行四边形，得，得，即可得的面积． 【详解】解：在正方形中，，，， 得， 得四边形为平行四边形， 得， 得， 得的面积． 故选：D． 2．如图，在菱形中，，．点为边上一点，且不与点，重合，连接，过点作，且，连接，，则四边形的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，平行四边形的性质和判定，等边三角形的判定与性质及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和平行四边形的性质是解题关键． 连接，，由菱形的性质可知是等边三角形，过点作于点，过点作于点，可得，继而得出，根据勾股定理求出长度，再证明四边形是平行四边形，依据进行求解即可． 【详解】解：连接，，如图： ∵四边形是菱形，， ，，， 是等边三角形， 过点作于点，过点作于点， 则， ，， ， ， ， ， ，， ∴四边形是平行四边形， ， ， ； 故答案为： 3．如图，菱形的对角线交于点O，点E是菱形外一点，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接交于点F，当，时，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，，，即可证明； （2）连接，利用勾股定理得出，进一步证明出四边形是平行四边形，得到，，最后利用勾股定理计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形 ． （2）连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， ∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、菱形的性质、矩形的性质与判定、勾股定理、含的直角三角形，熟练掌握平行四边形的性质与判定、菱形的性质、矩形的性质与判定是解题的关键． 进阶练习◆培优 一、单选题 1．把两块形状大小完全相同的含有角的三角板的一边拼在一起，则所得到的图形不可能有（    ） A．正方形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．平行四边形（非矩形、菱形、正方形） 【答案】B 【分析】根据常识可知，含有角的三角板为等腰直角三角形，故可知，当斜边拼在一起可得正方形，将一条直角边拼在一起可得等腰直角三角形和平行四边形，即只有B选项不符题意，问题得解． 【详解】解：将两块三角板的斜边拼在一起可得正方形，将一条直角边拼在一起可得等腰直角三角形和平行四边形，不可能拼成等边三角形． 故选：B 【点睛】本题主要考查了正方形、平行四边形、等边三角形、等腰直角三角形的判定，理解相关知识并根据题意灵活应用是解题关键． 2．如图，在中，点D是斜边的中点，过点D作于点E，连接，过点E作的平行线，交的延长线于点F．若，则的长为（   ） A． B．4 C．5 D．8 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边的中线，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键； 由直角三角形斜边中线的性质推出，判定四边形是平行四边形，得到． 【详解】中，点D是斜边的中点， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ． 故选：C． 3．如图，点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由翻折得出，，求出，根据勾股定理求出，进而求出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，， 点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上， ，， ， ， ， ． 4．如图，在四边形中，，添加下列条件后，仍无法判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出结果，熟练掌握平行四边形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、由，，可得出四边形是平行四边形，故不符合题意； B、由，，不可得出四边形是平行四边形，故符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意； D、由，，可得出四边形是平行四边形，故不符合题意； 故选：B． 5．如图，在中，，，，点是延长线上一点，以，为邻边作平行四边形，连接，，有下列结论：①的面积不变；②的最小值为；③的最小值为4，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】由于底边AC是已知的，因此先求出底边AC上的高，根据三角形的面积公式，即可判断结论①；由条件可知A，B为定点，E为动点，首先确定点的运动轨迹为一条直线，进而把问题转化为“将军饮马”模型，由此可判断结论②；根据点的运动轨迹，利用垂线段最短求出的最小值，继而判断结论③． 【详解】解：对于结论①，如图1所示，过点E作于点J，则， ∵ 四边形是平行四边形， ∴ , ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ (AAS)， ∴ ， ∴ ， ∴ 的面积不变，故结论①符合题意； 对于结论②，如图2，过点E作， 由上面已知， ∴ 点到直线的距离为， ∴ 点在直线上运动． 作点关于直线上的对称点，连接，，设交直线l于点T，交直线l于点F,则当点E和点F重合时取得最小值，最小值为的长，且易知点C在上． ∵ ，，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 在中，， ∴ 的最小值为，故结论②不符合题意； 对于结论③，∵ 点在直线上运动， ∴ ， ∴的最小值为，故结论③符合题意； 综上可知，结论①③符合题意． 二、填空题 6．2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图，登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了______． 【答案】平行四边形的不稳定性 【分析】本题考查了四边形的特性，根据平行四边形的性质即可得出答案，熟练掌握四边形的特性是解此题的关键． 【详解】解：机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了平行四边形的不稳定性， 故答案为：平行四边形的不稳定性． 7．在同一平面内，已知直线，若直线与直线之间的距离为，直线与直线之间的距离为，则直线与直线之间的距离为_______． 【答案】7或3 【分析】本题考查了平行线间的距离，分两种情况画出图形，分别进行解答即可． 【详解】解：如图，直线在直线与直线外时， 直线与直线之间的距离为，直线与直线之间的距离为， 直线与直线之间的距离为， 如图，直线在直线与直线之间时， 直线与直线之间的距离为，直线与直线之间的距离为， 直线与直线之间的距离为， 综上所述，与之间的距离为或， 故答案为：7或3． 8．如图，在中，，分别是边，上的点，与相交于点，与相交于点，若四边形的面积，则图中阴影部分的面积为_______________． 【答案】20 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积公式，平行线之间的距离（利用平行线间距离解决问题）等知识点，由平行线间距离处处相等得出是解题的关键． 连接，由平行四边形的性质可得，由平行线间距离处处相等可得和同高且等底，由三角形的面积公式可得，进而可得，即，同理可得，则图中阴影部分的面积，于是得解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是平行四边形， ， 和等底同高， ， ， ， 同理可得：， 图中阴影部分的面积 ， 故答案为：20． 9．如图，四边形的对角线交于点O，，过O作直线分别交于E，F两点，若，则四边形周长的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，推出当时，四边形周长的最小是解题的关键．先证明四边形是平行四边形，得到，再推出四边形周长，然后求出的最小值即可． 【详解】解：， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形周长 ， 四边形周长最小时，只要最小即可， 过点O作交于点，交于点，如图， 此时的最小值为，四边形周长的最小值， ， 由勾股定理，得， ， ， 四边形周长的最小值， 故答案为： 10．如图，在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点Q是点P的等积点．已知点．    （1）在，，中，点P的等积点是_________． （2）点Q是点P的等积点，点C在x正半轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为_________． 【答案】 【分析】（1）根据定义通过计算可知，即可知道点P的等积点； （2）设，则，即，可知点Q在直线上，且，当点Q在x轴上方时，则；当点Q在x轴上方时，则，分别求出x的值再求出点C的坐标即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 因为，所以不是点P的等积点， 因为，所以是点P的等积点， 因为，所以不是点P的等积点， 故答案为：； （2）解：如图1所示：    设，则，即， 可知点Q在直线上，且， 作轴于点D，轴于点F，则，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，， 若点Q在x轴上方，则，即， 所以； 当点Q在x轴上方时，则，即， 所以； 因为点C在x正半轴上， 所以点C的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形与坐标、一次函数的图象与性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、新定义问题的求解、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法． 三、解答题 11．已知：如图，在中，E，F分别为和上的点，和相交于点O，且．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】先证明，然后根据全等三角形的性质得到，再由证明即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，     ∴， 即， ∵           ∴四边形为平行四边形． 12．如图所示，的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图． (1)图1中，在边上找一点，连接，使得面积为面积的； (2)图2中，在边上找一点，连接，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，平行四边形的性质，全等三角形的性质． （1）根据网格的特点以为对角线，作平行四边形，对角线交于点，即可求解； （2）根据网格的特点作，找到的格点的对角线交于点，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图所示，即为所求 13．如图，在中，点是对角线，的交点，过点且垂直于． (1)求证：； (2)若，，则与之间的距离为____________； (3)若的周长是24，，则四边形的周长为____________． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)16 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定等，解题的关键是证明． （1）先由平行四边形的性质得到，，则，，即可证明得到； （2）由三角形面积公式可得，据此求解即可； （3）由（1）的结论知，，再利用四边形周长公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，O是与的交点， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形，O是与的交点， ∴， ∴， ∵过点且垂直于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即与之间的距离为4， 故答案为：4； （3）解：∵四边形是平行四边形，周长是24， ∴， ∵， ∴， 由（1）的结论知， ∴四边形的周长为， 故答案为：16． 14．如图，直线，于点A，于点B，直线分别与，相交于点C和点D，，，．点E，F，G分别在线段，，上，且，，连接，，过点F，G分别作，的平行线相交于点H． (1)求证：； (2)若点H落在四边形内或其边上，求面积的最大值与最小值； (3)当为等腰三角形时，请画图确定H的位置，并简要说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)面积的最大值为与最小值为 (3)见详解 【分析】（1）连接，由判定，由全等三角形的性质即可得证； （2）过作，过作于点，由可判定，由全等三角形的性质，由三角形的面积得，①当与重合时，取得最大值， ②当在线段上时，取得最小值； （3）过作，是定值，在直线上运动，以为圆心长为半径画弧交于、；作的垂直平分线交于． 【详解】（1）证明：连接， 过点F，G分别作，的平行线相交于点H， ，， ， ， ， （）， ； （2）解：过作，过作于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （）， ， ， ①当与重合时，取得最大值， 此时， 面积的最大值为： ； ②当在线段上时，取得最小值， 过作， 直线，，， 平行线之间的距离处处相等， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 面积的最小值为： ； 故面积的最大值为与最小值为； （3）解：过作， 是定值， 在直线上运动， 以为圆心长为半径画弧交于、， ， 、是等腰三角形； 如图，作的垂直平分线交于， ， 是等腰三角形． 【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，掌握平行线的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质是解题的关键． 15．如图，菱形纸片中，，将菱形沿剪开，不动，绕点A逆时针旋转度（）得到，其中点C与点对应． (1)如图1，当时，、的延长线交于点E． ①用α表示的度数； ②如图2，当时，求证：四边形是菱形； (2)如图3，连接、，当______时，． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2)140 【分析】（1）①由菱形的性质可得是等腰三角形，结合，可得，从而得到，同理．由四边形的内角和为，可得； ②由可得，同理，从而证明四边形是平行四边形，结合，进一步证明四边形是菱形； （2）由，可以证明四边形是平行四边形，则．结合，可以计算出，结合三角形内角和定理，计算出，从而得到的值． 【详解】（1）解：①∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质可得，，，， ∴， ∵， ∴； ②证明：由①可得，， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：由旋转的性质可得，， 在菱形中，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理与四边形的内角和定理，熟练掌握相关知识是解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06平行四边形的性质、判定定理期末复习讲义 期末复习◆目标 理解基本概念：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，为中心对称图形。 掌握性质定理：对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分。 熟练运用判定定理：两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；两组对角分别相等；对角线互相平分。 掌握周长面积公式，能够运用性质、判定定理解决相关问题。 核心题型◆归纳 题型1利用平行四边形的性质求解 题型2利用平行四边形的性质证明 题型3平行四边形性质的其他应用 题型4求平行线间的距离 题型5利用平行线间距离解决问题 题型6证明四边形是平行四边形 题型7判断能否构成平行四边形 题型8添一个条件成为平行四边形 题型9求与已知三点组成平行四边形的点的个数 题型10利用平行四边形的判定与性质求解 题型11利用平行四边形性质和判定证明 题型12平行四边形性质和判定的应用 题型13进阶练习 重点知识◆梳理 考点一、平行四边形的性质 1.边的性质 对边平行：AB∥CD，AD∥BC 对边相等：AB=CD，AD=BC 2.角的性质 对角相等：∠A=∠C，∠B=∠D 邻角互补：∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180° 3.对角线性质 对角线互相平分：OA=OC，OB=OD（对角线绝不相等、绝不垂直！普通平行四边形无此性质） 考点二、平行四边形的判定 判定1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 几何语言：∵AB∥CD，AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形 判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 几何语言：∵AB=CD，AD=BC ∴∴四边形ABCD是平行四边形 判定3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 几何语言：∵AB∥CD，AB=CD ∴四边形ABCD是平行四边形 判定4（角）：两组对角分别相等的四边形平行四边形。 几何语言：∵∠DAB =∠ABC=∠BCD=∠CDA ∴四边形ABCD是平行四边形 判定5（对角线）：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 几何语言：∵OA=OC，OB=OD ∴四边形ABCD是平行四边形 考点三、周长与面积 1.周长公式 设平行四边形邻边长分别为a、b，周长为C： C = 2(a + b) 核心考点：利用对边相等性质，已知周长求边长、已知边长求周长，常结合方程解题。 2、面积公式 设底边长为a，这条底边对应的高为 h，面积为S： S = 底 × 高 = ah 关键注意：底和高必须一一对应！不能混用不同底边的高。 3、拓展结论 ① 等底等高的平行四边形，面积相等；面积相等的平行四边形，不一定等底等高。 ② 平行四边形对角线将图形分成两个全等三角形，单个三角形面积为平行四边形的一半。 ③ 两条对角线把平行四边形分成四个面积完全相等的小三角形。 对角线平分平行四边形面积，分成两个全等三角形、四个面积相等小三角形 考点四、期末高频题型总结 角度计算：利用对角相等、邻角互补求值 边长、周长计算：利用对边相等，列方程求解 对角线线段计算：利用对角线互相平分性质 平行四边形证明题：优先用一组对边平行且相等 综合压轴：三角形全等+平行四边形判定综合推理 题型解析◆精准备考 题型1利用平行四边形的性质求解 1．在平行四边形中，的值可以是（   ） A． B． C． D． 2．如图，的对角线交于点，且，若它的对角线的和是，则的周长为_________ ． 3．如图，在平行四边形中，对角线，与相交于点O，点M、N分别为、的中点，连接、． (1)求证：； (2)若，且，，求的长． 题型2利用平行四边形的性质证明 1．如图，在中，点O是对角线，的交点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，，则的长为___________． 3．如图，在中，对角线与相交于点O，过点A作于E，过点C作于点F． (1)求证：； (2)若，，，则的长度为__________． 题型3平行四边形性质的其他应用 1．如图，在中，，，的平分线交边于点E，则的长是（   ）    A．5 B．7 C．3.5 D．3 2．如图，已知的面积为，点在线段上，点在线段的延长线上，且，，，连接，，则图中阴影部分的面积为______． 3．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的两端点A，B都在格点（网格线的交点）上． (1)在图1中画一个以为边的矩形；（要求：另外两个顶点也在格点上） (2)在图2中画一个以为对角线的平行四边形（非正方形）．（要求：另外两个顶点也在格点上） 题型4求平行线间的距离 1．如图，公路的两侧看作直线a，b，且，则直线a，b之间的距离是（   ） A．线段 B．线段 C．线段的长度 D．线段的长度 2．已知一点到两条平行线的距离分别是，，则这两条平行线之间距离是___． 3．如图，直线点在直线m上，点C在直线n上，且，．求： (1)直线m与直线n的距离； (2)点A到的距离； (3)点D到的距离． 题型5利用平行线间距离解决问题 1．如图，四边形中，，，，，，，则四边形的面积为(　　）． A． B． C． D． 2．如图，，，为直线上的任意两点，若，则___________． 3．画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，小正方形的顶点叫格点． (1)将向左平移6格，再向上平移1格，请在图中画出平移后的； (2)利用网格在图中画出的高线； (3)在图中能使 的格点P的个数有几个？(点P异于C)． 题型6证明四边形是平行四边形 1．下列说法中，不正确的是（　　） A．一组邻角互补的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．有一个角为直角的平行四边形是矩形 D．一组邻边相等的平行四边形是菱形 2．如图，已知，分别以，为圆心，， 的长为半径作弧，两弧交于点，连接，，则四边形是平行四边形的依据是______． 3．如图，在中，延长对角线至点E，延长至点F，且．求证：四边形是平行四边形． 题型7判断能否构成平行四边形 1．在四边形中，已知，添加以下条件不能证明四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C．D． 2．下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的是________（填序号）． ①，；②，；③，；④，． 3．如图，在中，点F是的中点，点E是线段延长线上一动点，连接，过点C作的平行线，与线段的延长线交于点D，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，则在点E的运动过程中： ①当 时，四边形是矩形； ②当 时，四边形是菱形． 题型8添一个条件成为平行四边形 1．如图，在四边形中，，对角线和交于点，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 2．如图，四边形的对角线、相交于点，且，请你添加一个适当的条件：_________，使． 3．如图，在中，点，分别在边，上，． (1)求证：； (2)连接．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 题型9求与已知三点组成平行四边形的点的个数 1．以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．无数 2．已知以A，B，C，D四个点为顶点的平行四边形中，顶点A，B，C的坐标分别为，则顶点D的坐标为___________． 3．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中，以为边画一个菱形（正方形除外）； (2)在图②中，以为边画一个面积为2的平行四边形； (3)在图③中，以为边画一个面积为3的平行四边形（菱形除外）． 题型10利用平行四边形的判定与性质求解 1．如图，六边形的内角都相等，，，则下列结论成立的个数是（    ） ①；②；③；④四边形是平行四边形；⑤六边形既是中心对称图形，又是轴对称图形． A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，垂直平分，交于E，，垂足为A，，则的长为_____． 3．如图，在平行四边形中，的平分线交于点E． (1)用无刻度的直尺和圆规作的平分线，交于点F；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，四边形是什么特殊的四边形？请加以证明； (3)在（2）的条件下，若，，求平行四边形中边上的高． 题型11利用平行四边形性质和判定证明 1．如图，点，是平行四边形对角线上两点，在条件；；；中，添加一个条件，使四边形是平行四边形，可添加的条件是（    ） 2．如图，在平行四边形中，相交于点O，点E，F在对角线上，有下列条件：①；②；③；④．其中一定能判定四边形是平行四边形的是______． 3．如图，在平行四边形中，，分别是边和上的点，且，连接，，求证：四边形是平行四边形． 题型12平行四边形性质和判定的应用 1．如图，在正方形中，点E，F分别在和边上，，，，则的面积为（   ） A．3 B．8 C． D．12 2．如图，在菱形中，，．点为边上一点，且不与点，重合，连接，过点作，且，连接，，则四边形的面积为________． 3．如图，菱形的对角线交于点O，点E是菱形外一点，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接交于点F，当，时，求的长度． 进阶练习◆培优 一、单选题 1．把两块形状大小完全相同的含有角的三角板的一边拼在一起，则所得到的图形不可能有（    ） A．正方形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．平行四边形（非矩形、菱形、正方形） 2．如图，在中，点D是斜边的中点，过点D作于点E，连接，过点E作的平行线，交的延长线于点F．若，则的长为（   ） A． B．4 C．5 D．8 3．如图，点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在四边形中，，添加下列条件后，仍无法判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，，点是延长线上一点，以，为邻边作平行四边形，连接，，有下列结论：①的面积不变；②的最小值为；③的最小值为4，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题 6．2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图，登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了______． 7．在同一平面内，已知直线，若直线与直线之间的距离为，直线与直线之间的距离为，则直线与直线之间的距离为_______． 8．如图，在中，，分别是边，上的点，与相交于点，与相交于点，若四边形的面积，则图中阴影部分的面积为_______________． 9．如图，四边形的对角线交于点O，，过O作直线分别交于E，F两点，若，则四边形周长的最小值为___________． 10．如图，在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点Q是点P的等积点．已知点．    （1）在，，中，点P的等积点是_________． （2）点Q是点P的等积点，点C在x正半轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为_________． 三、解答题 11．已知：如图，在中，E，F分别为和上的点，和相交于点O，且．求证：四边形为平行四边形． 12．如图所示，的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图． (1)图1中，在边上找一点，连接，使得面积为面积的； (2)图2中，在边上找一点，连接，使得． 13．如图，在中，点是对角线，的交点，过点且垂直于． (1)求证：； (2)若，，则与之间的距离为____________； (3)若的周长是24，，则四边形的周长为____________． 14．如图，直线，于点A，于点B，直线分别与，相交于点C和点D，，，．点E，F，G分别在线段，，上，且，，连接，，过点F，G分别作，的平行线相交于点H． (1)求证：； (2)若点H落在四边形内或其边上，求面积的最大值与最小值； (3)当为等腰三角形时，请画图确定H的位置，并简要说明理由． 15．如图，菱形纸片中，，将菱形沿剪开，不动，绕点A逆时针旋转度（）得到，其中点C与点对应． (1)如图1，当时，、的延长线交于点E． ①用α表示的度数； ②如图2，当时，求证：四边形是菱形； (2)如图3，连接、，当______时，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $