专题02 多项式乘多项式-计算、化简与应用【期末复习重难点专题培优七大题型】-2025-2026学年数学苏科版七年级下册

**基本信息** 以7类高频易错题型为载体，通过精讲精练系统构建多项式乘多项式的计算法则、公式应用、几何建模及规律探究方法体系，强化运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |重点题型分类讲练|7题型（含杨辉三角、图形面积等典例）|公式法、整体代入、系数归零法、几何建模、规律归纳|从基本计算到(x+p)(x+q)公式，再到化简求值、参数问题、几何应用、规律探究及混合运算，形成“法则-公式-应用-拓展”的递进逻辑| |优选真题实战演练|基础夯实+拓展拔尖（共41题）|分层训练法|覆盖基础运算到综合创新，对接期末命题趋势，强化知识迁移与问题解决能力|

2025-2026学年苏科版新教材数学七年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题02 多项式乘多项式-计算、化简与应用『期末复习重难点专题培优』 【7个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共41题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 计算多项式乘多项式 1 题型二 (x+p) (x+q)型多项式乘法 3 题型三 多项式乘多项式—化简求值 6 题型四 已知多项式乘积不含某项求字母的值 8 题型五 多项式乘多项式与图形面积 10 题型六 多项式乘法中的规律性问题 12 题型七 整式乘法混合运算 14 优选真题 实战演练 17 【基础夯实 能力提升】 17 【拓展拔尖 冲刺满分】 24 题型一 计算多项式乘多项式 【精讲】（25-26七年级下·江苏南京·期中）已知均为正数，若满足，，则M，N的大小关系是 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】采用换元法简化重复的代数式，再通过作差法比较大小，利用x均为正数的条件判断差的符号即可得到结果． 【规范解答】解：设，则， ∵均为正数 ∴ ∴，即． 【精练1】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)求这个多项式； (2)请求出正确的结果． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据题意得：，然后去括号合并同类项可得答案； （2）根据（1）所得的结论，利用多项式乘法法则可得答案． 【规范解答】（1）解：∵一个多项式加上，得到的结果是， 即， ∴， ∴这个多项式为； （2）解：， ∴正确的结果是． 【精练2】（25-26七年级下·江苏南京·期中）当，时，试说明． 小丽做如下尝试： ，， ________，________， ， ∴……． (1)阅读上述材料并填空； (2)请完成小丽说理的后面步骤． 【答案】(1)5；3； (2)见解析 【思路引导】（1）利用同底数幂的除法求解即可； （2）利用底数相同，幂相同，则指数相同求解即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴__5__，__3__， ∴， ∴……． （2）解：∵，， ∴__5__，__3__， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型二 (x+p) (x+q)型多项式乘法 【精讲】（24-25七年级下·江苏镇江·期中）回答下列问题： (1)计算： ①___________； ②___________； ③___________． (2)总结公式（___________）； (3)已知均为整数，且，求的所有可能值． 【答案】(1)①；②；③ (2) (3)或6 【思路引导】本题主要考查整式运算的知识，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式的性质： （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （3）根据（2）可得，结合都是整数，通过计算即可得到答案． 【规范解答】（1）解：①； ②； ③； 故答案为：①；②；③； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵都是整数，， ∴或或或， ∴或或或， 综上，的值为或6． 【精练1】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）【概念学习】一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式． 例如：代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，因为，所以是对称式． 又如：交换代数式中字母的位置，得到代数式，因为，所以 不是对称式． 【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题： 若关于的代数式为对称式（为常数）． (1)求的值； (2)已知，若，求对称式的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了整式的化简求值，理解新定义的含义是解题的关键． （1）先求出，交换a、b的位置得出，根据对称式的定义得出，得出，求解即可； （2）就，，得出，，把代入即可求解． 【规范解答】（1）解：， 交换a、b的位置， ∵代数式为对称式， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得：； （2）解：∵，， ∴， 即， ∴，， 把代入得： ． 【精练2】观察下列两个多项式相乘的运算过程： 根据你发现的规律，若，则，的值可能分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【思路引导】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键． 观察可以得出规律：两个多项式相乘，两个多项式的一次项相乘得出运算结果的二次项，两个多项式的常数项相加得出运算结果的一次项的系数，两个多项式的常数项相乘得到运算结果的常数项．由此得到，，即可求解． 【规范解答】解：由题意得：，； ，； ，或，； ，的值可能为：，； 故选：A 题型三 多项式乘多项式—化简求值 【精讲】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）若规定符号的意义是：，则当时，的值为（   ） A． B． C． D．6 【答案】D 【思路引导】根据题意可得，再根据定义可推出，据此可得答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴ ． 【精练1】（2026七年级下·江苏·专题练习）按要求解题 (1)先化简再求值；，其中 (2)解方程： 【答案】(1)， (2) 【思路引导】（1）先根据多项式乘以多项式法则进行乘法运算，再合并同类项； （2）先根据多项式乘以多项式法则进行去括号，合并同类项后移项，再合并同类项，x系数化为1即求出x． 【规范解答】（1）解： 当时，原式； （2）解： ． 【精练2】（25-26八年级上·河北廊坊·月考）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：∵， ∴ ∴． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)10 (2)58 【思路引导】本题考查了代数式求值，多项式与多项式的乘法运算，掌握整体代入思想是解题的关键． （1）仿照题例，利用整体代入法解答即可； （2）先化简代数式，再整体代入计算即可求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴ ． （2）解：∵， ∴， ∴ ． 题型四 已知多项式乘积不含某项求字母的值 【精讲】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）关于x的代数式化简后不含有项和常数项． (1)求a和m的值． (2)若，求代数式的值． 【答案】(1) (2)20 【思路引导】（1）先将已知代数式整理后，根据题意求得的值； （2）根据，求得的值，然后代值求解即可． 【规范解答】（1）解： ， 因代数式中不含项与常数项， ， ． （2）解：∵， ， ， 解得：， ． 【精练1】（25-26七年级下·江苏镇江·月考）定义：是多项式化简后的项数．例如多项式，则，一个多项式乘多项式B，化简得到多项式C（即），如果，则称B是A的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”；例如多项式，则，则，所以是的“好多项式”，但不是A的“极好多项式”．若均是关于的多项式，且B是A的“极好多项式”，则的值为（   ） A．-2 B．2 C．4 D．-4 【答案】C 【思路引导】先求出，，再根据“极好多项式”的定义得到多项式是二项式，则，，解得，，最后代入求值即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ， ∵B是A的“极好多项式”， ∴，即多项式是二项式， ∴，， 解得，， ∴． 【精练2】已知的展开式中不含项，常数项是，求m、n的值． 【答案】， 【思路引导】先将多项式展开，合并同类项后，根据不含项得到项的系数为，根据常数项是得到常数项的等式，联立两个方程求解、的值． 【规范解答】解： 由展开式不含项，得， 由常数项为，得， 解得 ， 将代入得， 解得． 题型五 多项式乘多项式与图形面积 【精讲】（25-26七年级下·江苏盐城·期中）有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要A、B、C类卡片共_____张． 【答案】9 【思路引导】根据长方形的面积来判断各需要多少张A、B、C类卡片，最后计算卡片总和． 【规范解答】解：长方形的面积长宽， 且A、B、C类卡片面积分别为， 故需要2张A，5张B，2张C，共9张． 【精练1】（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，初一某班级的同学们在一块长为米，宽为米的长方形花圃里种植花朵，在阴影部分的区域内种植郁金香，在中间边长为米的正方形区域内种植芍药． (1)求种植郁金香区域的面积是多少平方米？（用含a，b的代数式表示）； (2)当时，种植郁金香区域的面积为多少平方米？ 【答案】(1) (2)61（平方米） 【规范解答】（1）解：由题意得，郁金香种植面积长方形面积正方形面积， 即郁金香种植面积． （2）解：当时，（平方米）． 【精练2】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，小明通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图中周长为的长方形裁成长方形A（边长为和x）和长方形B，并拼成图．由面积相等得：，所以，当时，长方形面积取得最大值为．据此可得，代数式的最大值为___________． 【答案】 【思路引导】本题考查了多项式乘多项式与图形面积．先将代数式化为，根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出的最大值，进而求出的最大值． 【规范解答】解：依题意有 ， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴， 当时，该长方形为边长是7的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是49， 的最大值为． 题型六 多项式乘法中的规律性问题 【精讲】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． 请根据规律，写出的展开式中含项的系数是______． 【答案】 【思路引导】根据题意展开，再把，代入计算即可解答． 【规范解答】解：∵， ， ， ， ∴， 令，代入得， ∴含项为， ∴的展开式中含项的系数是． 【精练1】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）《详解九章算法》中记录了“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的规律． 根据数表规律，写出的展开式中，的一次项系数是__________． 【答案】 【思路引导】观察可知，的展开式中，a的一次项系数为n，那么可得的展开式中x的一次项为，据此可得答案． 【规范解答】解：，a的一次项系数为1， ，a的一次项系数为2， ，a的一次项系数为3， ，a的一次项系数为4， ……， 以此类推，可知的展开式中，a的一次项系数为n， ∴的展开式中，x的一次项为， ∴的展开式中，的一次项系数是． 【精练2】（25-26七年级下·江苏连云港·期中）项目式学习： 【阅读学习】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：． (1)【应用体验】根据图表直接写出__________． (2)【拓展提升】 ①若，其中为各项系数，则__________； ②若，其中为各项系数，则求的值． 【答案】(1)； (2)①；②． 【思路引导】本题考查了新定义问题，多项式展开式的系数计算以及赋值法求系数和，熟练掌握二项和的乘方展开式的系数规律与赋值法是解答本题的关键． （1）根据图表规律，直接写出的展开式； （2）①利用二项式展开式的通项公式，结合图表系数规律，展开，确定对应项的系数并求和； ②利用赋值法，将代入展开式，通过等式变形求出所有系数的和． 【规范解答】（1）解：由图表可得：， 故答案为：； （2）解：①根据规律可得， ， ， ， 则，， ， 故答案为：； ②将代入可得 ， ． 题型七 整式乘法混合运算 【精讲】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为对消多项式，这个常数称为它们的“对消值”，如与互为对消多项式，它们的对消值为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）； ①与；②与；③与． (2)多项式与多项式（a，b为常数）互为对消多项式，求它们的对消值． 【答案】(1)② (2) 【思路引导】（1）根据定义，计算判断即可； （2）根据题意可得的结果是常数，据此求出、，再求出对消值即可． 【规范解答】（1）解：①，结果不是常数，所以不互为“对消多项式”； ②，是常数，所以多项式互为“对消多项式”； ③，结果不是常数，所以不互为“对消多项式”； （2）解： 因为多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”， ∴，， ∴，， ∴对消值为． 【精练1】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）定义：若多项式，，满足（其中，，是常数，且），则称多项式，，为“和谐多项式群”，常数叫做多项式，，的“和谐值”．例如多项式，，满足，那么多项式，，叫做“和谐多项式群”，常数1叫做多项式，，的“和谐值”． (1)试判定多项式，，是否是“和谐多项式群”？若是，求出“和谐值”；若不是，请说明理由； (2)若多项式，，为“和谐多项式群”（其中，，是常数，且），“和谐值”为． ①试说明，，满足的数量关系； ②设，试说明：； (3)，，为“和谐多项式群”，，满足且（，为常数），“和谐值”为，求出所有符合条件的，的值． 【答案】(1)不是，见解析 (2)①；②见解析 (3)， 【思路引导】本题主要考查了新定义、整式的乘法、解一元一次方程． （1）根据“和谐多项式群”的定义判断即可得解； （2）①根据“和谐多项式群”的定义可知未知数系数为0，建立等式得解即可；②由题可知，将①中代入求解即可； （3）根据题意分类讨论，利用未知数系数为0建立方程求解即可． 【规范解答】（1）不是 它们不是“和谐多项式群”． （2）① ，，为“和谐多项式群” ②，，为“和谐多项式群”，“和谐值”为 （3）①当时 ， ，（舍） ②当时 ， 解得 ． 【精练2】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的“福建土楼”，也有被誉为中国民居建筑典范的“山西大院”，同学们分别对建筑物的进行了数据测量，数据如图所示： (1)若图中阴影部分的面积为建筑物的占地面积，其中“福建土楼”的占地面积用表示，“山西大院”的占地用面积表示，请分别计算这两个建筑物的占地面积；（用含a，b的代数式表示） (2)若，，当时，试探究a，b满足的数量关系． 【答案】(1)， (2)当时，a，b满足的数量关系为 【思路引导】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据所给图形，用含a，b的代数式分别表示两个建筑物的占地面积即可； （2）由题意可得，结合，，求出，即可得解． 【规范解答】（1）解：由题意可得：， ； （2）解：当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当时，a，b满足的数量关系为． 【基础夯实 能力提升】 1．若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．由的取值而定 【答案】A 【思路引导】本题考查了多项式乘多项式和整式比较大小； 利用作差法比较大小，先化简和，再计算与的差，比较大小即可． 【规范解答】解：∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故选：A． 2．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）要使的展开式中项系数为1，则的值为（    ） A． B．2 C．0 D．1 【答案】D 【思路引导】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用多项式乘多项式运算法则化简，再利用含项的系数为1，进而得出答案． 【规范解答】解： ， 的展开式中项系数为1， ， 解得：． 故选：D． 3．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知，若都是整数，则的值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题考查了多项式乘多项式，进行分类讨论是解题的关键． 根据多项式乘多项式的乘法法则，得到，再根据和为整数，进行分类讨论计算即可． 【规范解答】解：， ， 都是整数，， 或，或或， 当时，； 当时； 当时， ； 当时，； 综上所述，的值为或， 故的值不可能是， 故选：C． 4．（24-25七年级下·江苏常州·期末）计算：__________． 【答案】 【思路引导】本题考查多项式乘以多项式，掌握算理是解决问题的关键．应用多项式乘法法则计算即可． 【规范解答】解：， ， ． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·江苏南京·期末）若，则的值是_____________ 【答案】 【思路引导】本题主要考查了整式的化简求值．先求出，再根据多项式乘以多项式的计算法则求出，然后整体代值计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）已知，，则的值等于______． 【答案】 【思路引导】本题考查了多项式乘以多项式，代数式求值，利用多项式乘以多项式的运算法则把代数式展开，再把已知代入计算即可求解，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【规范解答】解：∵，， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·江苏常州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】本题主要考查了指数幂与负整指数幂的运算、多项式乘以多项式． 根据指数幂与负整指数幂的运算法则，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算即可； 根据多项式乘以多项式的法则可得：原式，再根据合并同类项的法则合并同类项即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 8．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如下图是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a、b的式子分别表示出小路面积和种植区的总面积； （请将结果化为最简） (2)若，，求出此时种植区的总面积． 【答案】(1)， ； (2)216． 【思路引导】本题考查的是多项式的乘法与图形面积，列出正确的运算式是解本题的关键； （1）先利用底乘以高计算小路的面积，用长方形的面积减去小路的面积可得种植区的总面积，然后化简求解即可； （2）将代入（1）中代数式求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意可得：， ； （2）解：当，时， ； 9．【知识回顾】七年级学习代数式求值时，会遇到这样一类问题：“已知代数式的值与的取值无关，求的值．”通常的解题方法是：把看作字母，看作系数进行合并同类项，∵代数式的值与的取值无关，∴含的项的系数为0．∵原式，∴，则． 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值． （2）已知，且的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 （3）将七张如图1所示的小长方形纸片（长为、宽为）按照图2的方式无缝隙、不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两部分用阴影表示，设右上角阴影部分的面积为，左下角阴影部分的面积为．当的长度变化时，若的值始终保持不变，则之间有怎样的数量关系？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【思路引导】本题考查了整式运算中的无关型问题，注意计算的准确性即可． （1）根据即可求解； （2）计算得，即可求解； （3）设，则．计算，即可求解； 【规范解答】解：（1）． ∵代数式的值与的取值无关， ∴， 解得． （2） ． ∵的值与的取值无关， ∴， 解得． （3）设，则． ∴． ∵的值与的取值无关， ∴， ∴． 10．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）近年来城区老旧小区改造已成为群众关心的热点问题．为提高南海社区居民的宜居环境，市政府在社区规划修建一个广场（如图）． (1)用含的式子表示该广场的面积； (2)若米、米，修建该广场每平方米需要元，请求出修建该广场的总费用． 【答案】(1)； (2)660000． 【思路引导】本题主要考查了列代数式、代数式求值以及整式的运算，熟练掌握用割补法求不规则图形的面积和代数式的运算是解题的关键． （1）用大矩形的面积减去凹进去的小矩形的面积，即可表示出广场的面积． （2）将、的值代入（1）中得到的面积表达式，求出广场的面积，再乘以每平方米的费用，即可得到总费用． 【规范解答】（1）解：如图， ； （2）解：当米，米时， 平方米， 总费用(元) 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）要使的计算结果中不含的一次项，则，之间的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据不含的一次项，即含的一次项的系数为进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解： ， ∵计算结果中不含的一次项， ∴， ∴， 故选：． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期中）小红同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路．结合小红同学的思路探究，可得到结论：若，则下列关于的说法正确的是（   ） 小红的思路 设，， 则． ∵， ∴． ∴的最小值为． A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 【答案】C 【思路引导】本题考查了多项式乘以多项式，根据题意，设，，则，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． ，进行计算，即可求解． 【规范解答】解：设，， 则， ∵， ∴， 即， ∴， ∴有最小值为， 故选：C． 3．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）如图，边长为a、b的长方形，它的周长为12，面积为7，则的值为（   ） A．14 B．15 C．16 D．20 【答案】A 【思路引导】本题考查了整式混合运用的运用，先根据长方形的周长和面积求出，然后利用多项式乘以多项式法则计算，最后把整体代入计算即可． 【规范解答】解∶∵边长为a，b的长方形，它的周长为12，面积为7， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：A． 4．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）观察下列各式： ；； ； 根据规律计算：的值是______． 【答案】 【思路引导】本题考查多项式乘以多项式中的规律探究问题，将变形为，利用规律进行求解即可． 【规范解答】解：由题意：， 根据题干规律，令， ； 故答案为：． 5．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）当时，代数式的值为________． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了整式的整体代入求值，先把要求的式子变成已知式子的形式，再整体代入求出答案即可； 【规范解答】解： ， ， ， ∵， ∴， ∴原式， 故答案为： 6．在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如，；已知，则的值是___________． 【答案】 【思路引导】本题考查了多项式乘法以及对新定义求和符号的理解与运用知识点，解题的关键是根据求和符号的运算规则将式子展开并化简，再通过对比系数求出m、n的值． 首先，我们需要理解题目中给出的求和符号＂＂以及如何展开求和表达式．接着，通过已知条件列出方程，求解出未知数和的值，最后计算的值． 【规范解答】由知， 即， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·江苏·期末）“小菜园”是淮阴中学开明分校设立的特色劳动课课程之一． 如图，初一（8）班的同学们在一块长为米，宽为米的长方形菜园里种植当季蔬菜，在阴影部分的区域内种植青椒，在中间边长为米的正方形区域内种植茄子． (1)求种植青椒区域的面积是多少平方米（用含a，b的代数式表示）； (2)当，时，种植青椒区域的面积为 平方米． 【答案】(1) (2)11 【思路引导】本题考查整式的乘法的实际应用，代数式求值． （1）种植青椒区域的面积等于长方形菜园面积减去正方形区域的面积，运用整式的乘法进行计算即可； （2）把a，b的值代入求值即可． 【规范解答】（1）解：种植青椒区域的面积为 （平方米） 故答案为： （2）解：当，时， ， ∴种植青椒区域的面积为11平方米． 故答案为：11． 8．探究应用 计算： 上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式 （请用含、的字母表示）． 下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（    ） A、     B、 C、    D、 直接用公式计算： 【答案】；； ； C； ；，． 【思路引导】本题主要考查了整式的乘法，解决本题的关键是根据多项式乘以多项式的法则计算，根据计算结果得到公式，再按照公式进行计算． 根据多项式乘以多项式的法则计算即可； 根据中的计算结果总结出公式即可； 根据中的公式，把各选项整理，根据多项式的形式判断是否能用公式计算； 根据中总结的公式进行计算即可． 【规范解答】解： ； ； 解：由中的整式乘法计算结果，可以得到一个新的乘法公式； 解：A选项：与乘法公式不符合，不能用乘法公式计算； B选项： 与乘法公式不符合，不能用乘法公式计算； C选项：与乘法公式符合  ，能用乘法公式计算； D选项：与乘法公式不符合，不能用乘法公式计算； 故选：C； 解： ， 故答案为：； 解： ； 故答案为：，． 9．（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）定义：多项式A，B，C，如果满足，m为常数时，则称多项式A，B，C为一组和谐多项式．其中m是该组和谐多项式的和谐果． 例如：对于多项式，，，因为，所以多项式，，是一组和谐多项式，4是该组和谐多项式的和谐果． (1)判断多项式，，是否为一组和谐多项式？若是，请求出该组和谐多项式的和谐果；若不是，请说明理由； (2)多项式，，（a，b，c是常数）是一组和谐多项式，求a，b，c之间的数量关系； (3)多项式，，（d，e是常数）是一组和谐多项式，请直接写出该组和谐多项式的和谐果m的值． 【答案】(1)多项式，，是一组和谐多项式，和谐果为； (2)； (3)9 【思路引导】本题考查了新定义，整式的混合运算的应用，理解题意，熟练计算是解题的关键． （1）根据和谐多项式的概念，计算即可验证； （2）根据和谐多项式的概念，列式，可得结果中和的系数都为０，即可解答； （3）根据和谐多项式的概念，列式，可得结果中和的系数都为０，即可解答； 【规范解答】（1）解：， ， ， 故多项式，，是一组和谐多项式，和谐果为 （2）解： ， ， 多项式，，（a，b，c是常数）是一组和谐多项式， ； （3）解： 多项式，，（d，e是常数）是一组和谐多项式， ， 解得， ． 10．（24-25八年级上·江西南昌·期中）当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，例如，由图1，可得等式： (1)由图2， 可得等式： ； (2)利用（1） 中所得到的结论， 解决下面的问题： 已知， ， 求的值： (3)如图3，一个小长方形的长为，宽为a，把6个大小相同的小长方形放入到大长方形内（如图4）．求在大长方形中，阴影部分的面积（用含a、b的式子来表示） ． 【答案】(1) (2)113 (3) 【思路引导】此题考查了多项式乘以多项式与几何图形的面积，代数式求值问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据图2，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式； （2）根据（1）中结果，求出所求式子的值即可； （3）利用多项式乘法求得大长方形的面积，再利用大长方形的面积减去6个小长方形的面积即可求解． 【规范解答】（1）解：； 故答案为：； （2） ，， ； （3）由图可知，大长方形的面积为 ， 故阴影部分的面积为 ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版新教材数学七年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题02 多项式乘多项式-计算、化简与应用『期末复习重难点专题培优』 【7个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共41题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 计算多项式乘多项式 1 题型二 (x+p) (x+q)型多项式乘法 2 题型三 多项式乘多项式—化简求值 3 题型四 已知多项式乘积不含某项求字母的值 4 题型五 多项式乘多项式与图形面积 5 题型六 多项式乘法中的规律性问题 6 题型七 整式乘法混合运算 7 优选真题 实战演练 9 【基础夯实 能力提升】 9 【拓展拔尖 冲刺满分】 11 题型一 计算多项式乘多项式 【精讲】（25-26七年级下·江苏南京·期中）已知均为正数，若满足，，则M，N的大小关系是 A． B． C． D． 【精练1】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)求这个多项式； (2)请求出正确的结果． 【精练2】（25-26七年级下·江苏南京·期中）当，时，试说明． 小丽做如下尝试： ，， ________，________， ， ∴……． (1)阅读上述材料并填空； (2)请完成小丽说理的后面步骤． 题型二 (x+p) (x+q)型多项式乘法 【精讲】（24-25七年级下·江苏镇江·期中）回答下列问题： (1)计算： ①___________； ②___________； ③___________． (2)总结公式（___________）； (3)已知均为整数，且，求的所有可能值． 【精练1】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）【概念学习】一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式． 例如：代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，因为，所以是对称式． 又如：交换代数式中字母的位置，得到代数式，因为，所以 不是对称式． 【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题： 若关于的代数式为对称式（为常数）． (1)求的值； (2)已知，若，求对称式的值． 【精练2】观察下列两个多项式相乘的运算过程： 根据你发现的规律，若，则，的值可能分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型三 多项式乘多项式—化简求值 【精讲】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）若规定符号的意义是：，则当时，的值为（   ） A． B． C． D．6 【精练1】（2026七年级下·江苏·专题练习）按要求解题 (1)先化简再求值；，其中 (2)解方程： 【精练2】（25-26八年级上·河北廊坊·月考）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：∵， ∴ ∴． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 题型四 已知多项式乘积不含某项求字母的值 【精讲】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）关于x的代数式化简后不含有项和常数项． (1)求a和m的值． (2)若，求代数式的值． 【精练1】（25-26七年级下·江苏镇江·月考）定义：是多项式化简后的项数．例如多项式，则，一个多项式乘多项式B，化简得到多项式C（即），如果，则称B是A的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”；例如多项式，则，则，所以是的“好多项式”，但不是A的“极好多项式”．若均是关于的多项式，且B是A的“极好多项式”，则的值为（   ） A．-2 B．2 C．4 D．-4 【精练2】已知的展开式中不含项，常数项是，求m、n的值． 题型五 多项式乘多项式与图形面积 【精讲】（25-26七年级下·江苏盐城·期中）有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要A、B、C类卡片共_____张． 【精练1】（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，初一某班级的同学们在一块长为米，宽为米的长方形花圃里种植花朵，在阴影部分的区域内种植郁金香，在中间边长为米的正方形区域内种植芍药． (1)求种植郁金香区域的面积是多少平方米？（用含a，b的代数式表示）； (2)当时，种植郁金香区域的面积为多少平方米？ 【精练2】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，小明通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图中周长为的长方形裁成长方形A（边长为和x）和长方形B，并拼成图．由面积相等得：，所以，当时，长方形面积取得最大值为．据此可得，代数式的最大值为___________． 题型六 多项式乘法中的规律性问题 【精讲】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． 请根据规律，写出的展开式中含项的系数是______． 【精练1】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）《详解九章算法》中记录了“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的规律． 根据数表规律，写出的展开式中，的一次项系数是__________． 【精练2】（25-26七年级下·江苏连云港·期中）项目式学习： 【阅读学习】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：． (1)【应用体验】根据图表直接写出__________． (2)【拓展提升】 ①若，其中为各项系数，则__________； ②若，其中为各项系数，则求的值． 题型七 整式乘法混合运算 【精讲】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为对消多项式，这个常数称为它们的“对消值”，如与互为对消多项式，它们的对消值为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）； ①与；②与；③与． (2)多项式与多项式（a，b为常数）互为对消多项式，求它们的对消值． 【精练1】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）定义：若多项式，，满足（其中，，是常数，且），则称多项式，，为“和谐多项式群”，常数叫做多项式，，的“和谐值”．例如多项式，，满足，那么多项式，，叫做“和谐多项式群”，常数1叫做多项式，，的“和谐值”． (1)试判定多项式，，是否是“和谐多项式群”？若是，求出“和谐值”；若不是，请说明理由； (2)若多项式，，为“和谐多项式群”（其中，，是常数，且），“和谐值”为． ①试说明，，满足的数量关系； ②设，试说明：； (3)，，为“和谐多项式群”，，满足且（，为常数），“和谐值”为，求出所有符合条件的，的值． 【精练2】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的“福建土楼”，也有被誉为中国民居建筑典范的“山西大院”，同学们分别对建筑物的进行了数据测量，数据如图所示： (1)若图中阴影部分的面积为建筑物的占地面积，其中“福建土楼”的占地面积用表示，“山西大院”的占地用面积表示，请分别计算这两个建筑物的占地面积；（用含a，b的代数式表示） (2)若，，当时，试探究a，b满足的数量关系． 【基础夯实 能力提升】 1．若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．由的取值而定 2．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）要使的展开式中项系数为1，则的值为（    ） A． B．2 C．0 D．1 3．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知，若都是整数，则的值不可能是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·江苏常州·期末）计算：__________． 5．（24-25七年级下·江苏南京·期末）若，则的值是_____________ 6．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）已知，，则的值等于______． 7．（24-25七年级下·江苏常州·期末）计算： (1)； (2)． 8．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如下图是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a、b的式子分别表示出小路面积和种植区的总面积； （请将结果化为最简） (2)若，，求出此时种植区的总面积． 9．【知识回顾】七年级学习代数式求值时，会遇到这样一类问题：“已知代数式的值与的取值无关，求的值．”通常的解题方法是：把看作字母，看作系数进行合并同类项，∵代数式的值与的取值无关，∴含的项的系数为0．∵原式，∴，则． 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值． （2）已知，且的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 （3）将七张如图1所示的小长方形纸片（长为、宽为）按照图2的方式无缝隙、不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两部分用阴影表示，设右上角阴影部分的面积为，左下角阴影部分的面积为．当的长度变化时，若的值始终保持不变，则之间有怎样的数量关系？ 10．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）近年来城区老旧小区改造已成为群众关心的热点问题．为提高南海社区居民的宜居环境，市政府在社区规划修建一个广场（如图）． (1)用含的式子表示该广场的面积； (2)若米、米，修建该广场每平方米需要元，请求出修建该广场的总费用． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）要使的计算结果中不含的一次项，则，之间的关系为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期中）小红同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路．结合小红同学的思路探究，可得到结论：若，则下列关于的说法正确的是（   ） 小红的思路 设，， 则． ∵， ∴． ∴的最小值为． A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 3．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）如图，边长为a、b的长方形，它的周长为12，面积为7，则的值为（   ） A．14 B．15 C．16 D．20 4．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）观察下列各式： ；； ； 根据规律计算：的值是______． 5．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）当时，代数式的值为________． 6．在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如，；已知，则的值是___________． 7．（24-25七年级下·江苏·期末）“小菜园”是淮阴中学开明分校设立的特色劳动课课程之一． 如图，初一（8）班的同学们在一块长为米，宽为米的长方形菜园里种植当季蔬菜，在阴影部分的区域内种植青椒，在中间边长为米的正方形区域内种植茄子． (1)求种植青椒区域的面积是多少平方米（用含a，b的代数式表示）； (2)当，时，种植青椒区域的面积为 平方米． 8．探究应用 计算： 上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式 （请用含、的字母表示）． 下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（    ） A、     B、 C、    D、 直接用公式计算： 9．（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）定义：多项式A，B，C，如果满足，m为常数时，则称多项式A，B，C为一组和谐多项式．其中m是该组和谐多项式的和谐果． 例如：对于多项式，，，因为，所以多项式，，是一组和谐多项式，4是该组和谐多项式的和谐果． (1)判断多项式，，是否为一组和谐多项式？若是，请求出该组和谐多项式的和谐果；若不是，请说明理由； (2)多项式，，（a，b，c是常数）是一组和谐多项式，求a，b，c之间的数量关系； (3)多项式，，（d，e是常数）是一组和谐多项式，请直接写出该组和谐多项式的和谐果m的值． 10．（24-25八年级上·江西南昌·期中）当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，例如，由图1，可得等式： (1)由图2， 可得等式： ； (2)利用（1） 中所得到的结论， 解决下面的问题： 已知， ， 求的值： (3)如图3，一个小长方形的长为，宽为a，把6个大小相同的小长方形放入到大长方形内（如图4）．求在大长方形中，阴影部分的面积（用含a、b的式子来表示） ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $