专题05 解二元一次方程组【期末复习重难点专题培优七大题型】-2025-2026学年数学苏科版七年级下册

**基本信息** 以7类高频易错题型为框架，通过精讲精练系统构建消元法、换元法等解题体系，实现从基础运算到参数综合的逻辑递进 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代入/加减消元法|2题型+精练|消元步骤优化、整体代换技巧|从基本解法到运算能力培养| |特殊解法|1题型+精练|换元法、结构类比|体现数学思维的转化与迁移| |错解复原/构造方程组|2题型+精练|错解信息提取、新运算建模|强化推理意识与模型意识| |参数/相同解问题|2题型+精练|解的情况分类讨论、公共解联立|深化知识内在联系与逻辑推理|

2025-2026学年苏科版新教材数学七年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题05 解二元一次方程组『期末复习重难点专题培优』 【7个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共41题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 代入消元法 1 题型二 加减消元法 3 题型三 二元一次方程组的特殊解法 6 题型四 二元一次方程组的题错解复原问题 8 题型五 构造二元一次方程组求解 10 题型六 已知二元一次方程组的解的情况求参数 13 题型七 方程组相同解问题 15 优选真题 实战演练 18 【基础夯实 能力提升】 18 【拓展拔尖 冲刺满分】 23 题型一 代入消元法 【精讲】（2026七年级下·江苏·专题练习）形如的式子称为二阶行列式，其运算法则为：，例如．若，，则_________． 【答案】2 【思路引导】本题主要考查解二元一次方程组，由新定义可得方程组，求解可得， 的值．再由新定义运算即可求得答案． 【规范解答】根据题意，可得 解得 所以． 故答案为：2 【精练1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）解方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解： 将①代入②得， 解得 将代入①得， ∴方程组的解为； （2）解： 整理得， 将②代入①得， 解得 将代入②得， ∴方程组的解为． 【精练2】（24-25七年级下·河北邢台·月考）已知关于x，y的二元一次方程（a，b均为常数，且）． (1)当，时，用含x的式子表示y，则__________； (2)若是该二元一次方程的一组解． ①探索a与b的数量关系； ②小明发现无论a，b取何值，方程都有一组公共解，请求出这组解． 【答案】(1)； (2)①；② 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值． （1）把，代入关于x、y的二元一次方程得关于x,y的方程，把y用x表示出来即可； （2）①把代入关于x、y的二元一次方程得关于a,b的方程，进行整理即可得到答案； ②把代入原方程变形，根据无论a,b取何值，这些方程都有一个公共的解，求出所求结果即可． 【规范解答】（1）解：当，时，得 （2）解：①把代入，得，整理得； ②由①可知， ∴原方程化为，即． 当时，无论a取任意值，都有，此时， ∴这组公共解为． 题型二 加减消元法 【精讲】（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知二元一次方程组． (1)求的值； 甲，乙两位同学分别给出下列思路，请补全乙的思路； 甲的思路：先解方程组，求出、的值，再代入，计算求值； 乙的思路：将，得______． (2)求的值．请根据丙的思路完成解答． 丙的思路：设(其中m，n是常数)，先求m，n的值，再求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据题意计算，即可求解； （2）根据题意得出，求得的值，代入代数式即可求解． 【规范解答】（1）解：将，得 （2）解： 解得 【精练1】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）解二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解： 把①代入②得， 解得， 把代入得， ∴， ∴原方程组的解为； （2）解：， 得， 解得， 把代入得， ∴， ∴原方程组的解为． 【精练2】（25-26七年级下·江苏连云港·期中）解下列二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据加减消元法解二元一次方程组的步骤，逐步计算求解即可； （2）把方程整理为，再加减消元法解二元一次方程组的步骤，逐步计算求解即可． 【规范解答】（1）解： ，得③， ，得，， 将代入①，得，， ∴原方程组的解为； （2）解：原方程组可化为， ，得 ，得， ，得，， 将代入①，得，， ∴原方程组的解为． 题型三 二元一次方程组的特殊解法 【精讲】三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以6，通过换元替换的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是_________． 【答案】 【思路引导】参考题中思路，将所求方程组的两个方程两边同时除以6，通过换元替换，与已知解的原方程组对比求解即可． 【规范解答】解：将方程组两边同时除以6得， 该方程组与原方程组结构相同， 由原方程组的解为，可得， 解得． 【精练1】若关于x、y的二元一次方程组 的解是 ，则关于、的二元一次方程组的解是_____． 【答案】 【思路引导】将待求解方程组变形，利用同结构方程组的解的对应关系，得到关于新方程组未知数的关系，即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵方程组的解为， ∴， 解得． 【精练2】（25-26八年级上·山西晋中·期末）小红完成教材142页第7题时遇到了这样一个问题：解方程组 【尝试】 （1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看作一个整体，先通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面的解题过程补充完整． 解：设，则原方程组可化为___________， 解关于的方程组，得， 所以，解这个方程组得； 【迁移】 （2）利用上述方法解方程组 【答案】（1），；（2） 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握整体换元法是解题的关键． （1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案． 【规范解答】解：（1）设，则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以， 解这个方程组，得， 故答案为：，； （2）设，，则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以， 解这个方程组，得． 故原方程组的解为． 题型四 二元一次方程组的题错解复原问题 【精讲】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）甲、乙两人解关于x，y的方程组，甲看错方程“”中的a，得到方程组的解为；乙看错方程“”中的b，得到方程组的解为，求的值． 【答案】2 【思路引导】根据题意可知，甲所得的方程组的解满足方程，乙所得的方程组的解满足方程，分别把甲、乙所得的方程组的解代入方程和方程中求出的值即可得到答案． 【规范解答】解：∵甲看错方程“”中的a，得到方程组的解为， ∴满足题中的方程， ， 解得：， ∵乙看错方程“”中的b，得到方程组的解为， ∴满足题中的方程， ， 解得：， ． 【精练1】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）甲、乙两人同时解关于x，y的方程组，甲看错了b，求得解为，乙看错了a，求得的解为，求原方程组的解． 【答案】 【思路引导】根据题意，把甲求得的解代入①，求出，把乙求得的解代入②，求出，即可得到答案． 【规范解答】解：甲看错了b，把甲求得的解代入①得，, 得， 乙看错了a，把乙求得的解代入②得，, 得， ∴， 得：， 解得， 把代入②得：， ∴原方程组的解为． 【精练2】小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的，解得，小童看错了①中的，解得． (1)求正确的的值． (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】本题考查二元一次方程组的解的应用以及解二元一次方程组．关键在于理解“看错系数但解对另一个方程”的核心逻辑：当看错某个方程的系数时，所得的解仍满足另一个未被看错系数的方程． （1）小鑫看错方程②的，因此解满足方程①，代入可得到关于、的方程；小童看错方程①的，因此解满足方程②，代入可得到关于的方程，联立这两个方程即可求解正确的、； （2）将求得的、代入原方程组，得到标准的二元一次方程组，再通过代入消元法求解方程组的解． 【规范解答】（1）解：∵小鑫看错了方程②中的，解得， ∴该解满足方程①，将代入①得：，化简得③； ∵小童看错了①中的，解得， ∴该解满足方程②，将代入②得：，即， 解得； 将代入③得：，解得； 故正确的； （2）解：将代入原方程组，得， 由①得③， 将③代入②得：，解得； 将代入③得：； ∴原方程组的正确解为． 题型五 构造二元一次方程组求解 【精讲】对整数、定义一种新运算，规定（其中、是常数），如：． (1)填空： （用含，的代数式表示）； (2)若，． ①求与的值； ②若，求出此时的值． 【答案】(1) (2)①，；② 【思路引导】（1）根据题干中的计算规则进行计算即可； （2）①根据题干中的计算规则可列方程组，解方程组即可求出、的值； ②根据，可得关于的方程，解方程即可求出的值． 【规范解答】（1）解：； （2）①解：，， ， 整理得：， 解得：； ②解：，， ， 解得：． 【精练1】（24-25七年级下·山西吕梁·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1)1， (2) (3) 【思路引导】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【规范解答】（1）解： ，得， ∴， 把代入②，得， ∴， 解得：； 故答案为：，； （2）， ，． ， ． 解得； （3）依题意得， 解得：， ， ． 解得∶． 【精练2】对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，则结论正确的个数为（    ） ；若，、取整数，则或或或； 若对任意有理数都成立（这里和均有意义），则． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【思路引导】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，解决本题的关键是根据新定义运算得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，然后再根据新定义运算的规则计算即可． 【规范解答】解：， ， ， ， 解方程组， 得到：， 故正确； 由可知， ， ， 又 、取整数， 有或或或， 故正确； 对任意有理数都成立， ， ， ， ， 故正确． 正确的有三个． 故选：D ． 题型六 已知二元一次方程组的解的情况求参数 【精讲】（25-26七年级下·江苏南京·期中）已知方程组的解满足，则m的值为_____． 【答案】 【思路引导】根据加减消元法解二元一次方程组得到，代入中，求出即可． 【规范解答】解：， ，得， ∴， 又， ∴， ∴． 【精练1】（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解均为整数，则正整数的值是（    ） A．2或10 B．3或9 C．2或9 D．3或10 【答案】C 【思路引导】先通过加减消元法解方程组，再根据为整数，m为正整数，确定是28和70的正公约数，进而求出m的值． 【规范解答】解： ∵ ①+②得 ∴ 将代入②得 ∵ 方程组的解均为整数，为正整数 ∴ 是28和70的正公约数，且 28和70的正公约数为 符合条件的或 当时，；当时， ∴ 正整数的值为2或9． 【精练2】（25-26七年级下·江苏连云港·期中）已知关于x，y的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解； (2)若原方程组的解满足，求m的值． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】（1）由x，y为正整数，从而可得方程的正整数解； （2）先构建新的方程组，再解方程组求解x，y的值，再把x，y的值代入，再求解m的值即可． 【规范解答】（1）解：方程的所有正整数解：或； （2）解：由题意得：， 解得， 把代入， 得： ， 解得． 题型七 方程组相同解问题 【精讲】（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）解方程组的应用： (1)如果方程组与方程组有相同的解，那么__________． (2)甲、乙两人同时解关于x、y的方程组时，甲看错了方程①中的a，解得乙看错了方程②中的b，解得，求原方程组的正确解． 【答案】(1)1 (2) 【思路引导】（1）两个方程组有相同的解，因此该相同解同时满足两个只含x，y的方程，先求出x，y的值，再代入含m，n的方程求出m，n，即可计算得到的值； （2）甲看错a得到的解满足正确的方程②，乙看错b得到的解满足正确的方程①，分别代入求出正确的a，b，再解原方程组即可得到正确解． 【规范解答】（1）解：∵两个方程组有相同的解， ∴x、y满足方程组，解得， 将，代入， 得，解得， ∴． （2）解：将代入方程②，得：，解得， 将代入方程①，得：，解得， 把，代入原方程组，得到， 解得， ∴原方程组的正确解为． 【精练1】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知关于x，y的方程组 和关于x，y的方程组 的解相同，求 的值． 【答案】0 【思路引导】先求出，再将代入，解得，即可得到答案． 【规范解答】解：两个方程组的解相同，故是两个方程组的公共解， 解得， 将代入，得， 解得， ． 【精练2】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得．原方程组的解为． (1)解方程组． (2)解方程组 (3)已知关于x、y的方程组的解是，关于x、y的方程组的解是__________． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路引导】本题考查了用换元法解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，解得，把代入，，得，解方程即可； （2）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，解得，把代入，，得，解方程即可； （3）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，根据题意得，把代入，，得，解方程即可． 【规范解答】（1）解：， 移项整理得，， 令，， 原方程组化为， 解得， 把代入，， 得，解得， 原方程组的解为； （2）解方程组， 移项整理得，， 令，，原方程组化为， 解得， 把代入，， 得，解得， 原方程组的解为； （3）将关于x、y的方程组， 移项为， 整理得， 令，，原方程组化为， 根据题意得， 把代入，， 得，解得或， 原方程组的解为或． 【基础夯实 能力提升】 1．若是同类项，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查同类项，解二元一次方程组，掌握相关知识是解决问题的关键．根据同类项定义列出方程组，求解方程组即可． 【规范解答】解：∵是同类项， ∴， 解得． 故选：B． 2．（23-24七年级下·江苏南通·期末）已知方程组，则的值是（　　） A．2 B．0 C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查解二元一次方程组，将两个方程相加后，即可得出结果． 【规范解答】解：， 得：， 则 故选：A 3．已知关于，的二元一次方程组的解为，那么代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把代入方程组得，然后即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴， ∴得：， 故选：． 4．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）已知是二元一次方程组的解，则______． 【答案】0 【思路引导】本题考查解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．将两个方程相加，可得，即可得出答案． 【规范解答】解：， 由①＋②得，， ， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）如果方程组和的解相同，则______． 【答案】 【思路引导】本题考查二元一次方程组的同解问题，解二元一次方程组，根据题意可先组合得到解后再代入两外两个方程求出，进而求解即可． 【规范解答】解：解方程组得， 把代入得， 解得 ∴． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）方程组的解为______． 【答案】 【思路引导】本题主要考查解二元一次方程组，由求出，将代入②得，从而求出方程组的解． 【规范解答】解：， 得：， 解得：， 将代入②得：， 解得：， 所以和，方程组的解为：， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）若方程组的解为，则方程组的解为______． 【答案】 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，理解题意是解题的关键． 将方程组化为，根据题意得出，即可求出此方程组的解． 【规范解答】解：方程组可化为， 方程组的解为， ， ， 即方程组的解为， 故答案为：． 8．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）方程组利用加减消元法求出解即可； （2）方程组利用加减消元法求出解即可． 【规范解答】（1）解： 得， 得：， 解得， 将代入①得， 解得， ∴该方程组的解为； （2）解： 由②式得③， ①③得， 解得， 将代入①得， 解得 ∴原方程组的解为． 9．关于x，y的方程组的解也是方程的解，求k得值 【答案】 【思路引导】本题考查了解二元一次方程组，同解方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先理解题意得出，再运用加减消元法解出，，再把它们分别代入，进行计算，即可作答． 【规范解答】解：∵关于x，y的方程组的解也是方程的解， ∴， 由得， 解得， 把代入②，得：， ∴， 解得， 把，分别代入， 得． 10．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有非负整数解． (2)若该方程组的解也满足方程，求m的值． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，关键是掌握解二元一次方程（组）的思路：消元． （1）直接列举即可； （2）先联立求出x、y的值，再代入求解即可． 【规范解答】（1）解：∵ ∴所有非负整数解有，； （2）解：依题意得：， 得， 把代入①得： 解得 方程组的解为： 把代入到得， 解得． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（24-25七年级下·江苏南京·期中）当依次取1，3，5，7时，小淇算得多项式的值分别为0，5，11，17，经验证，只有一个结果是错误的，这个错误的结果是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】A 【思路引导】此题主要考查二元一次方程组的求解，通过判断所解的、值是否相等即可得出原来多项式，即可判断哪个是否正确，所以此题的关键是要掌握解二元一次方程组．解组成的各个方程组，根据方程组的解逐个判断即可． 【规范解答】解：当分别等于3、5时，代数式的值是5、11， 代入得：， 解得：； 当分别等于5、7时，代数式的值是11、17， 代入得：， 解得：； ∴当分别等于3、5、7时，多项式的值分别为5，11，17， 而当时，多项式的值为， 当时，错误， 故选：A． 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值，仿照已知方程组的解确定出所求方程组x，y的关系，再联立解出x，y的值即可． 【规范解答】解：∵方程组的解是， ∴方程组的解为：， 解得， 故选：C． 3．解方程组时，一学生把c看错而得到，而正确的解是，那么a，b，c的值是（  ） A．不能确定 B．，， C．a、b不能确定， D．，， 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了解二元一次方程组的方法，虽然看错了c，但题中两组解都符合方程①，代入方程①可得到一个关于a和b的二元一次方程组，用适当的方法解答即可求出a和b，至于c，可把正确结果代入方程②，直接求解即可，熟练掌握解方程组的方法是解决此题的关键． 【规范解答】把和分别代入，得， 得：， 将代入①解得：， 把代入得：， ∴， 故选：B． 4．若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则的值为______． 【答案】/0.5 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的解，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组中． 将与组成方程组，解方程组可得x，y的值，然后代入中，解方程即可． 【规范解答】解：由题意知， 解得， 将代入，得：， 解得， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于x，y的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握用换元、整体代换方法解方程组是解题的关键．设，可得，即可求解． 【规范解答】解：由，得： ， 设， 由得：， 方程组的解是， 是方程组的解， ， 解得：， 故答案为：． 6．（23-24七年级下·江苏南通·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则所有符合条件的整数n的个数为______． 【答案】3 【思路引导】本题考查了解二元一次方程组，能求出是解此题的关键． 先求出方程组的解，再结合已知条件得到，然后根据a，b均为正整数最后得出答案即可． 【规范解答】解方程组得： ∵方程组的解满足 ∴， ∴， ∵ ∴ 整理得， ∵a，b均为正整数 ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； ∴n的值为0，，，共3个． 故答案为：3． 7．解方程组： 【答案】 【思路引导】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．方程组整理后，利用加减消元法求解即可． 【规范解答】解：方程组整理得： 得， 解得：， 把代入①得， 解得：， 故原方程组的解为：． 8．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）（1）观察发现：材料：解方程组，将①整体代入②，得，解得，把代入①，得，所以，这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请直接写出方程组的解为__________； （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组； （3）若，则的值为__________； （4）拓展运用：若关于的二元一次方程组的解满足，请直接写出满足条件的的所有正整数值__________． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）1，2，3，4 【思路引导】此题考查了整体代入法求二元一次方程组，代数式求值，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握整体思想的运用是解本题的关键． （1）由①得出，然后整体代入②式，求出y的值，再把代入，即可求出x的值． （2）由①得出，然后整体代入②式，求出y的值，再把代入，即可求出x的值． （3）将原式变形成，然后整体代入计算即可． （4）将方程组两式相加，得到，再结合题意列出关于m的不等式，解之取正整数解即可． 【规范解答】解：（1） 由①得出，然后将整体代入②式得∶ ， 解得：， 把代入， 解得：， 则方程组的解为： （2） 由①得出， 把代入②得： 解得：， 把代入， 解得：， 则方程组的解为： （3）∵， 则 （4） 由①②得：， 即， ∵ ∴， 解得：， 则满足条件的的所有正整数值为1，2，3，4． 9．对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”， (1)方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？说明你的理由； (2)若方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值； (3)未知数为x，y的方程，其中a与x、y都是正整数，该方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？如果具有，请求出a的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由． 【答案】(1)具有“邻好关系”，见解析； (2)或； (3)具有“邻好关系”，，方程组的解为 【思路引导】本题主要考查了解二元一次方程组，解绝对值方程，求一个数的绝对值，正确理解题意和熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）先利用加减消元法求出方程组的解，进而求出的值即可得到答案； （2）先利用加减消元法求出方程组的解，再根据“邻好关系”的定义得到，即，据此求解即可； （3）先利用加减消元法求出方程组的解，再根据a与x，y都是正整数，求出a的值为1或2，进而讨论当和当时，方程组的解是否具有“邻好关系”即可． 【规范解答】（1）解：， 将②代入①得，， 解得， 将代入②得，， ∴方程组的解为， ∴， ∴方程组的解x与y具有“邻好关系”； （2）解：， 得，， ∴， 将代入①得，m， ∴方程组的解为， ∵方程组的解x与y具有“邻好关系”， ∴， 解得或； （3）解：方程组的解x与y具有“邻好关系”，理由如下： ， 得，， 解得， 将代入②得， ∵a、y都是正整数， ∴是12的公约数， ∵a、x都是正整数， ∴， ∴是24的公约数， ∴或或或， ∴a的值为1或2或4或10， ∵， ∴a的值只能是1或2， 当时，方程组的解为； 当时，方程组的解为（舍）， 综上所述：，方程组的解为． 10．阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题： 解方程组时，我们如果直接考虑消元；那将是比较繁杂的，而采用下面的解法则比较简便． 解：得，，所以，③ 将③，得，④ ，得，由③，得， 所以方程组的解是． (1)解方程组． (2)猜想：下列关于x、y的方程组的解是什么？并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【思路引导】本题考查了解二元一次方程组，仔细阅读题目信息，理清方程组求解的方法思路是解题的关键． （1）根据题目信息，两个方程相减求出的值，然后再利用加减消元法求解； （2）根据题目信息以及（1）的结论猜想方程组的解． 【规范解答】（1）解：， ①②得，， 所以，③， 将③，得④， ②④，得， 把代入③得，， 方程组的解是； （2）解：猜想：关于、的方程组的解是． 理由：， ①②得，， 所以，③， 将③，得④， ②④，得， 把代入③得，， 方程组的解是． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版新教材数学七年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题05 解二元一次方程组『期末复习重难点专题培优』 【7个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共41题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 代入消元法 1 题型二 加减消元法 2 题型三 二元一次方程组的特殊解法 3 题型四 二元一次方程组的题错解复原问题 4 题型五 构造二元一次方程组求解 5 题型六 已知二元一次方程组的解的情况求参数 6 题型七 方程组相同解问题 6 优选真题 实战演练 8 【基础夯实 能力提升】 8 【拓展拔尖 冲刺满分】 9 题型一 代入消元法 【精讲】（2026七年级下·江苏·专题练习）形如的式子称为二阶行列式，其运算法则为：，例如．若，，则_________． 【精练1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）解方程组： (1) ； (2) 【精练2】（24-25七年级下·河北邢台·月考）已知关于x，y的二元一次方程（a，b均为常数，且）． (1)当，时，用含x的式子表示y，则__________； (2)若是该二元一次方程的一组解． ①探索a与b的数量关系； ②小明发现无论a，b取何值，方程都有一组公共解，请求出这组解． 题型二 加减消元法 【精讲】（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知二元一次方程组． (1)求的值； 甲，乙两位同学分别给出下列思路，请补全乙的思路； 甲的思路：先解方程组，求出、的值，再代入，计算求值； 乙的思路：将，得______． (2)求的值．请根据丙的思路完成解答． 丙的思路：设(其中m，n是常数)，先求m，n的值，再求的值． 【精练1】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）解二元一次方程组： (1)； (2)． 【精练2】（25-26七年级下·江苏连云港·期中）解下列二元一次方程组： (1) (2) 题型三 二元一次方程组的特殊解法 【精讲】三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以6，通过换元替换的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是_________． 【精练1】若关于x、y的二元一次方程组 的解是 ，则关于、的二元一次方程组的解是_____． 【精练2】（25-26八年级上·山西晋中·期末）小红完成教材142页第7题时遇到了这样一个问题：解方程组 【尝试】 （1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看作一个整体，先通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面的解题过程补充完整． 解：设，则原方程组可化为___________， 解关于的方程组，得， 所以，解这个方程组得； 【迁移】 （2）利用上述方法解方程组 题型四 二元一次方程组的题错解复原问题 【精讲】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）甲、乙两人解关于x，y的方程组，甲看错方程“”中的a，得到方程组的解为；乙看错方程“”中的b，得到方程组的解为，求的值． 【精练1】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）甲、乙两人同时解关于x，y的方程组，甲看错了b，求得解为，乙看错了a，求得的解为，求原方程组的解． 【精练2】小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的，解得，小童看错了①中的，解得． (1)求正确的的值． (2)求原方程组的正确解． 题型五 构造二元一次方程组求解 【精讲】对整数、定义一种新运算，规定（其中、是常数），如：． (1)填空： （用含，的代数式表示）； (2)若，． ①求与的值； ②若，求出此时的值． 【精练1】（24-25七年级下·山西吕梁·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 【精练2】对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，则结论正确的个数为（    ） ；若，、取整数，则或或或； 若对任意有理数都成立（这里和均有意义），则． A．个 B．个 C．个 D．个 题型六 已知二元一次方程组的解的情况求参数 【精讲】（25-26七年级下·江苏南京·期中）已知方程组的解满足，则m的值为_____． 【精练1】（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解均为整数，则正整数的值是（    ） A．2或10 B．3或9 C．2或9 D．3或10 【精练2】（25-26七年级下·江苏连云港·期中）已知关于x，y的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解； (2)若原方程组的解满足，求m的值． 题型七 方程组相同解问题 【精讲】（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）解方程组的应用： (1)如果方程组与方程组有相同的解，那么__________． (2)甲、乙两人同时解关于x、y的方程组时，甲看错了方程①中的a，解得乙看错了方程②中的b，解得，求原方程组的正确解． 【精练1】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知关于x，y的方程组 和关于x，y的方程组 的解相同，求 的值． 【精练2】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得．原方程组的解为． (1)解方程组． (2)解方程组 (3)已知关于x、y的方程组的解是，关于x、y的方程组的解是__________． 【基础夯实 能力提升】 1．若是同类项，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·江苏南通·期末）已知方程组，则的值是（　　） A．2 B．0 C． D． 3．已知关于，的二元一次方程组的解为，那么代数式的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）已知是二元一次方程组的解，则______． 5．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）如果方程组和的解相同，则______． 6．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）方程组的解为______． 7．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）若方程组的解为，则方程组的解为______． 8．解下列方程组： (1) (2) 9．关于x，y的方程组的解也是方程的解，求k得值 10．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有非负整数解． (2)若该方程组的解也满足方程，求m的值． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（24-25七年级下·江苏南京·期中）当依次取1，3，5，7时，小淇算得多项式的值分别为0，5，11，17，经验证，只有一个结果是错误的，这个错误的结果是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 3．解方程组时，一学生把c看错而得到，而正确的解是，那么a，b，c的值是（  ） A．不能确定 B．，， C．a、b不能确定， D．，， 4．若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则的值为______． 5．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于x，y的二元一次方程组的解为______． 6．（23-24七年级下·江苏南通·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则所有符合条件的整数n的个数为______． 7．解方程组： 8．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）（1）观察发现：材料：解方程组，将①整体代入②，得，解得，把代入①，得，所以，这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请直接写出方程组的解为__________； （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组； （3）若，则的值为__________； （4）拓展运用：若关于的二元一次方程组的解满足，请直接写出满足条件的的所有正整数值__________． 9．对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”， (1)方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？说明你的理由； (2)若方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值； (3)未知数为x，y的方程，其中a与x、y都是正整数，该方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？如果具有，请求出a的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由． 10．阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题： 解方程组时，我们如果直接考虑消元；那将是比较繁杂的，而采用下面的解法则比较简便． 解：得，，所以，③ 将③，得，④ ，得，由③，得， 所以方程组的解是． (1)解方程组． (2)猜想：下列关于x、y的方程组的解是什么？并说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $