精品解析：河南安阳市龙安高级中学等校2026届高三下学期第三次练习数学试题

安阳市第三次练习 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1. 已知集合，，则中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知椭圆的焦距为，则（ ） A. 2 B. C. D. 3. 已知复数满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 4. 已知等比数列满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 5. 设 ；不等式对任意的恒成立，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 下列函数中，不是周期函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 某计算机要依次执行6个算力任务，包括3个不同的图形渲染任务､2个不同的逻辑推理任务和1个数据检索任务，为了防止芯片局部过热，系统规定同类型的任务不能连续执行，则不同的任务执行顺序共有（ ） A. 60种 B. 72种 C. 96种 D. 120种 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在的左支上，且，线段的中垂线与在第一象限内交于点为坐标原点，若的面积是的面积的4倍，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于函数和，下列说法正确的是（ ） A. 与有相同的最小正周期 B. 与有相同的零点 C. 与的图象有相同的对称轴 D. 与有相同的单调递增区间 10. 投掷一枚正方体骰子3次，所得点数依次为.设事件“”，事件“”，事件“”，则（ ） A. B. C. 事件和相互独立 D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若在上单调递增，则 B. 若，则 C. 若，则的极小值点为 D. 若，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是曲线的一条切线，则__________. 13. 已知正四棱台的上､下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其外接球的表面积为__________. 14. 设是一列向量，已知，当时，，若对任意的正整数恒成立，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角的对边分别为，已知. （1）证明：； （2）若是锐角三角形，，求的面积. 16. 如图，平行六面体的底面是正方形，. （1）证明：； （2）若，求二面角的正弦值. 17. 记数列的前项和为，已知. （1）求数列的通项公式； （2）设为正整数，从集合中随机抽取一个数，若抽到，则记随机变量，假设抽到的概率与的值成正比，求.（用表示） 18. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求； （2）当时，讨论的极值点个数； （3）若有两个零点，当取最大值时，求的值. 19. 已知抛物线的焦点为，点是上的动点且异于坐标原点.当时，. （1）求的方程. （2）若，且上存在异于的两点，使得是等边三角形.设的中心的轨迹为曲线. （i）求的方程； （ii）点在的准线上运动，过点作的两条切线，切点分别为，过点作的两条切线，切点分别为，过点作的两条切线，切点分别为，求证：直线与的交点在一条定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安阳市第三次练习 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1. 已知集合，，则中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先将集合用列举法表示，再利用集合的交集运算即可求解. 【详解】，， 则中元素的个数为. 2. 已知椭圆的焦距为，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由判断椭圆的长轴在轴上，再设半焦距为，利用及“焦距”为列方程求． 【详解】因为，所以 ，椭圆的长轴在轴上，长半轴长为，短半轴长为． 设椭圆的半焦距为，则 . 因为椭圆的焦距为，即 . 解得 .代入 ，得. 即. 所以 .解得. 因为，所以. 3. 已知复数满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】用求根公式解一元二次方程可得 ，再根据复数的模的概念即可求解. 【详解】已知 ，展开整理得：， 由求根公式： 则 4. 已知等比数列满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式将已知条件进行转化，然后通过两式相除求出公比 的相关表达式，进而求出的值. 【详解】为等比数列，已知，则， 化简可得 ①， 已知 ， 将 代入可得： ， 化简可得 ②， ①②可得：, 因为，则化简得，即 ； 所以，则. 又因为，且同号，所以，故. 5. 设；不等式对任意的恒成立，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由，变形得：， 因为是增函数，可得：，即， 不等式对任意恒成立，整理得：， 因为，，两边除以得：对任意恒成立， 令，导数，在上是增函数， 因此的最小值为， 要使恒成立，只需，即，得， 因为，故是的充分不必要条件. 6. 下列函数中，不是周期函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的周期性进行判断即可. 【详解】对于A项， ，则函数是周期函数，周期为， 对于B项， ，则函数是周期函数，周期为， 对于C项，令 可得 ，故，， ， 作函数图象可得： 函数不是周期函数， 对于D项，当时， ， 当时，， 所以 ， 且， 则函数是周期函数，周期为. 7. 某计算机要依次执行6个算力任务，包括3个不同的图形渲染任务､2个不同的逻辑推理任务和1个数据检索任务，为了防止芯片局部过热，系统规定同类型的任务不能连续执行，则不同的任务执行顺序共有（ ） A. 60种 B. 72种 C. 96种 D. 120种 【答案】D 【解析】 【分析】先用插空法求出3个图形渲染任务互不相邻的排法总数，然后利用减法原理，从中排除2个逻辑推理任务相邻的情况，即可得答案。. 【详解】第一步，先排列2个不同的逻辑推理任务和1个数据检索任务，共有种排法； 第二步，将3个不同的图形渲染任务插入到第一步中3个不同的任务产生的4个空隙中， 共有种排法； 第三步，排除2个不同的逻辑推理任务相邻的情况， 将2个逻辑推理任务捆绑视为一个元素，此元素与数据检索任务共2个元素先进行排列，产生3个空位，有种排法； 将3个不同的图形渲染任务插入这3个空位，有种排法； 捆绑的2个逻辑推理任务内部有种排法，故共有种排法。 所以满足条件的排法总数为. 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在的左支上，且，线段的中垂线与在第一象限内交于点为坐标原点，若的面积是的面积的4倍，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线定义可得  三点共线，结合面积关系判定为等边三角形，再利用余弦定理求解离心率. 【详解】如图， ，根据双曲线的定义，得 ，因为 ，所以，故 三点共线. 因为，所以 ，所以， 又 ，所以是等边三角形，所以. 在中，由余弦定理得， 整理得，故离心率 . 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于函数和，下列说法正确的是（ ） A. 与有相同的最小正周期 B. 与有相同的零点 C. 与的图象有相同的对称轴 D. 与有相同的单调递增区间 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于选项A分别求出与的最小正周期；化简可得与关于轴对称，可判断选项B、C；分别求出与的单调递增区间可判断选项D. 【详解】周期，周期， 所以与有相同的最小正周期， 选项A正确； ， 与关于轴对称， 所以与有相同的零点，图象有相同的对称轴， 选项B、C正确； 令，， 所以的单调递增区间为， 令，， 所以的单调递增区间为， 与的单调递增区间不同， 选项D错误. 10. 投掷一枚正方体骰子3次，所得点数依次为.设事件“”，事件“”，事件“”，则（ ） A. B. C. 事件和相互独立 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由古典概率及条件概率的知识进行判断． 【详解】投掷一枚正方体骰子3次，所得点数依次为的基本事件的总数有种， 对于选项A，事件“”包含： 当时，有6种， 当时，有种， 共有 种， 则，故A项正确； 对于B项，事件“”包含： 当时，有6种， 当时，有种， 当时，有种， 当时，有种， 共有种，所以，故B项错误； 对于C项，因为，， 则，故事件和不相互独立，故C项错误； 对于D项，， 事件“且”包含：对每个，有都，有种， 求和：种， 所以， 事件“且”包含：对每个，有都，有种， 求和：种， 所以， 因此且相同，故，故D项正确． 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若在上单调递增，则 B. 若，则 C. 若，则的极小值点为 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导，根据在上恒成立可求的值，判断A的真假；根据函数中心对称的性质，可求的关系，进而求的值，判断B的真假；利用导数分析函数的单调性，可求函数的极值点，判断C的真假；结合函数零点的存在性判断定理，判断满足的条件，利用不等式的性质可求的取值范围，判断D的真假. 【详解】对A：因为， 因为在上单调递增在上恒成立. 所以. 配方得， 当且仅当，即时成立.故A正确； 对B：由可得函数图象关于点成中心对称，且是函数的一个零点，和也是函数的零点， 所以是点和的中点， 所以. 此时，故B正确； 对C：当时，， . 当时，由或；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以是函数的极小值点； 当时，由或；由. 所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极大值点.故C错误； 对D：由题意，函数在和上各有1个变号零点， 不妨设，则必有. 若，则有，则； 若，则有，则. 综上，，故D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是曲线的一条切线，则__________. 【答案】1 【解析】 【详解】设切点坐标为，因为， 所以. 设，，则在上恒成立. 所以在上单调递增，且. 所以方程只有1解. 由. 13. 已知正四棱台的上､下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其外接球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据几何体的对称性，可得正四棱台的外接球的球心在上下底面中心的连线上，设球心到下底面的距离为，外接球的半径为，根据球的截面圆的性质，列出方程组，即可求解. 【详解】如图所示，正四棱台下底面对角线交点为，上底面对角线交点为， 因为正四棱台下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为， 可得上、下底面正方形的对角线长为和，可得， 根据几何体的对称性，可得正四棱台的外接球的球心在直线上， 设外接球的球心为，球心到下底面的距离为，外接球的半径为， 因为正四棱台的高为， 所以若球心在线段上，则，解得， 所以，所以外接球表面积为. 14. 设是一列向量，已知，当时，，若对任意的正整数恒成立，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合图形将代数递推式转化为向量模型，利用角平分线的性质和等比数列求和，确定位置， 再利用三角函数和勾股定理计算. 【详解】已知当时，整理关系式得， 若设，则 共线，且是 的平分线， 设，则当 时，， 当时，. 如图，设，则线段 在两侧左右摇摆，且越来越接近，要使逐项递减，则需. 设，则，，则 ， 解得（负值舍去）， . 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角的对边分别为，已知. （1）证明：； （2）若是锐角三角形，，求的面积. 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及二倍角公式进行化简整理即可得证； （2）利用同角三角函数的基本关系式及（1）中的结论可求出，再求出，最后利用正弦定理和三角形的面积公式即可求解. 【小问1详解】 ，由正弦定理得，① 在中，， ， 代入①式，得， 整理得. 利用二倍角公式，得， 去括号整理得， ，， 两边同时除以，得， 两边同时除以，得，得证； 【小问2详解】 ，是锐角三角形，， ， 由（1）可知，， 为锐角，， ，解得， ， 由正弦定理得， . 16. 如图，平行六面体的底面是正方形，. （1）证明：； （2）若，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）以，，为基底，得出的表达式，计算的模长来证明； （2）根据已知条件，求出；过作底面，底面是正方形，以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用空间向量求二面角的方法，计算二面角的正弦值. 【小问1详解】 平行六面体，，，. ，； ； 底面是正方形，，，即； ，，即，整理得； ； ，即. 【小问2详解】 平行六面体，底面是正方形，平面是正方形； ，； . ，，， ，解得，. 由（1）知，得，即. . ，而 ,故在平面上的射影为正方形的中心， 过作底面，则为的中点，因底面是正方形， 以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系； 则，，，设. ，，. ，解得，； 取，则，. ，. 设平面的法向量为，则，解得； 令，则平面的一个法向量为. 设平面的法向量为，则，解得； 令，则，平面的一个法向量为. 设二面角为，； . 17. 记数列的前项和为，已知. （1）求数列的通项公式； （2）设为正整数，从集合中随机抽取一个数，若抽到，则记随机变量，假设抽到的概率与的值成正比，求.（用表示） 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由，求解即可； （2）由及，求得，从而得，，利用错位相减求出的值，即可得答案. 【小问1详解】 当时，则有， 解得； 当时，由， 可得， 所以， 即， 所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以； 【小问2详解】 由题意可得，为常数， 因为， 即， 所以， 所以， 所以， 设， 即， 所以， 两式相减，得 ， 所以， 所以， 18. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求； （2）当时，讨论的极值点个数； （3）若有两个零点，当取最大值时，求的值. 【答案】（1） （2）当时，的极值点个数为；当时，的极值点个数为；当时，的极值点个数为； （3） 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）求导后，分、与讨论函数单调性，并根据单调性结合极值点定义计算即可得； （3）令，可得关于的方程有两根，设为、，则有，，借助比值换元及作差运算可得，计算可得取最大值时，也取得最大值，即可构造函数，求出使得取最大值时的的值. 【小问1详解】 ， 则有 ，解得； 【小问2详解】 当时，，则， 令 ，则， 当时，， ，故在上单调递减， 此时无极值点； 当时，恒成立，故在上单调递减， 又 ，当时，， 故存在，使得， 当时，，时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 此时有唯一极值点； 当时，若，，若，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又， 令 ，则在上单调递减，又 ， 故当时， ，故在上单调递减， 此时无极值点； 当时， ，又 ， 当时，， 故存在、，使得， 当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 故此时存在两个极值点、； 综上所述：当时，的极值点个数为； 当时，的极值点个数为； 当时，的极值点个数为； 【小问3详解】 若，则，令 ， 即 ，令，则， 令，则， 若，则，即单调递增，不可能有两个零点，不符； 若，则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 由题意可得有两个零点，则 ， 即有，又时，，时，， 故此时有两个零点，设为、，且，则，， 有，， 作差得， 令，则，则， 即，则， 由，可得， 则，即， 又，故， 令 ，则 ，故单调递减， 则 ，故，则恒成立， 令，则， 令 ，则 ，故单调递增， 则 ， 即对任意，恒成立， 且越大，越小，即越大， 由，则也会越大， 因此的最大值与的最大值可同时取到， 即当取最大值时，也取得最大值， 令，， 则当时， ，当时， ， 故在上单调递增，在上单调递减， 故时，取得最大值， 即取最大值时，的值为. 19. 已知抛物线的焦点为，点是上的动点且异于坐标原点.当时，. （1）求的方程. （2）若，且上存在异于的两点，使得是等边三角形.设的中心的轨迹为曲线. （i）求的方程； （ii）点在的准线上运动，过点作的两条切线，切点分别为，过点作的两条切线，切点分别为，过点作的两条切线，切点分别为，求证：直线与的交点在一条定直线上. 【答案】（1）或； （2）（i）；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合抛物线定义列出方程求出即可. （2）（i）由（1）求出抛物线的方程，设出点的坐标及正三角形中心坐标，再利用两点间距离公式建立方程化简即得；（ii）设出点坐标，利用导数的几何意义求出直线的方程，再联立求解即可得证. 【小问1详解】 抛物线的焦点为，由当时，得， 由，得，解得或， 所以抛物线的方程为或. 【小问2详解】 （i）由（1）得抛物线的方程为，设， 设正的中心坐标为，则，由， 得，整理得， 同理，两式相减得， 则，整理得，所以曲线的方程为. （ii）由（1）得抛物线的准线方程为，设， 由，求导得，设，则， 则抛物线在处的切线方程分别为， 整理得，而点在两条切线上，则， 显然点的坐标满足方程，因此直线方程为， 由，求导得，设，则， 抛物线在处的切线方程分别为， 整理得，由点在两条切线上，得， 因此直线的方程为，同理直线的方程为， 联立解得直线与直线的交点横坐标，纵坐标， 所以直线与的交点在一条定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $