专题02无理数与实数易错必刷题型专项训练(13大题型共计49道题)2025-2026学年沪科版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦无理数与实数高频易错点，以13类题型为载体，系统梳理概念辨析、运算技巧及应用方法，构建从概念到拓展的完整逻辑链，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |无理数概念与估算|题型1-3（含9题）|定义辨析法、夹逼估值法、整数小数部分分离法|从无理数定义出发，通过数集判断、大小估算、整数部分计算逐步深化对“无限不循环”本质的理解| |实数性质与运算|题型4-9（含19题）|分类标准法、非负性应用法、数轴对应法、混合运算顺序法则|以实数概念为基础，通过分类、性质（相反数/绝对值）、数轴表示构建体系，延伸至混合运算| |拓展应用|题型10-13（含15题）|程序流程解析法、新定义转化法、实际问题建模法、规律归纳法|结合程序设计、新定义、实际应用及规律题，提升推理意识与应用能力，实现知识迁移|

专题02无理数与实数易错必刷题型专项训练 易错必刷题型 本专题汇总无理数与实数章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应 易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.无理数 题型02.无理数的大小估算 题型03.无理数整数赔部分的有关计算 题型04.实数的概念理解 题型05.实数的分类 题型06.实数的性质 题型07实数与数轴 题型08.实数的大小比较 题型09.实数的混合运算 题型10.程序设计与实数运算 题型11.新定义下的实数运算 题型12.实数运算的实际应用 题型13.与实数运算相关的规律题 易错必刷题型01无理数 典题特征：题目给出包含整数、分数、开方数、无限小数、π相关数等的数集，要求判断其 中的无理数，或直接考查无理数的定义。 易错点：①误将无限环利小数、开方开得尽的数、含π但可化简为有理践数的数判定为无理 数②混淆无理数与带根号的数，错误认为带根号的数都是无理数③忽略无理数“无限不循 环”的本质，误将有限小数判定为无理数 1.下列各数中，是无理数的是() A吉 B.0.23 C.5 D.8 22 2在下列各数3.14,0,3，，V4,,27中，无理数的个数为（门 A.2 B.3 C.4 D.5 3.下列说法：①V(-10)2=-10;②-2是V16的平方根；③任何实数不是有理数就是无理 数；④两个无理数的和还是无理数；⑤无理数都是无限小数，其中正确的说法有() 试卷第1页，共3页 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 易错必刷题型02.无理数的大小估算 典题特征：给出一个无理数，要求算其介于明哪聊两个整数之间，或北较无理数与有理数、其 他无理数的大小，也会考查估算无理数的近似值 易错点：①找错与被开方数相的两个完全平方数o或完全立方数②比较含根号的数大小时， 未先统一形式直接北较③估算近似以值时，忽略精度要求，四舍五入出错 4.估计√3的值在哪两个整数之间() A.2和3 B.3和4 C.4和5 D.5和6 5.如图，在数轴上表示实数√万-1的点可能是点. P O M N 02345→ 6.《九章算术》中勾股术曰：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，即c=√a2+b(a为“勾”， b为“股”，c为“弦”).若“勾”为5，“股”为2，则“弦”在如图所示的数轴上可表示在() A B C D 012345 A.A点 B.B点 C.D点 D.C点 7.南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”是一种用程序化寻求精确分数来表示数值的算 法.其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为P和4（即有力<x<4 其中4，b.。为正整数，则b十是x的更为精确的近似值.现已知<5<，则 a+c 10 用三次“调日法”可得到的一个更为精确的近似分数为() 71 71 69 A. B. C.69 D. 40 50 40 50 易错必刷题型03.无理数整数赔部分的有关计算 典题特征：给出一个无理数，要求确定其整数焙部分和小数焙部分，再进行相关运算，或求含该 无理数的代数式的值。 易错点：①措误表无理数的小数焙部分②计算时惚略小数焙部分的取值范围③涉及负无理 数时，整数焙部分判断描误 试卷第1页，共3页 8.阅读材料：因为√4<√万<√，即2<√万<3，所以√万的整数部分为2，小数部分为 √万-2.规定：数m的整数部分记为[m],小数部分记为{m}.则{10}的值是 。 9.91介于两个相邻的整数之间，那么这两个整数的和为() A.9 B.12 C.15 D.19 10.若a是√9-3的整数部分，b是9-3的小数部分，则(-a2+(b+4)2的值 11.若用x表示任意正实数的整数部分，例如：[2.5]=2，[2]=2，[2]=1，则式子 [V2]-[5]+[√4]-[5]+…+[2022]-[V2023]+[2024]-[2025]的值为()（式子中的 “+”,“-”依次相间) A.67 B.-22 C.68 D.-21 易错必刷题型04.实数的概念理解 典题特征：考查实数的定义，或判断秩于实数的命题的真假，也会考查实奕数与有理数、无理 数的从属关系。 易错点：①遗漏实数分类中的0，误将实数分为正实数和负实数两类②混淆奕数与有理数 的范围，认为无限小数不是实数③错误认为带根号的数都是实数以外的数 12.实数2-√万的相反数是 13.下列说法正确的是() A.正实数和负实数统称实数 B.正数、和负数统称有理数 C,带根号的数和负数统称实数 D.无理数和有理数统称实数 14.下列说法：①实数分为整数和分数；②无限不循环小数叫作无理数；③一个有理数的绝 对值一定是正数；④倒数等于它本身的数是±1；⑤带根号的数都是无理数.其中正确的是 (填序号). 易错必刷题型05.实数的分类 典题特征：题目给出一组实数，要求按有理数、无理数，或知正实数、0、负实数等标进行 分类填空 试卷第1页，共3页 易错点：①分类标准混淆，将有理数与无理数、正实数与负实数的战划分逻辑弄混②遗漏Q 的创归类，或错误将0归为正实数/负实数③对可化简的数未先化简就分类，导致分类错误 15.下列实数中，是无理数的是() A.0 B.-1 C.-√2 D.3 16.将下列各数进行分类（填序号即可）： @1,②5，③0，④-32，⑤7，@-弓，@120202…（每个2之间依次多-个 0”). 正整数： ；分数： 无理数： 17.在实数3.1259,343,0.1020020002.（每两个2之间依次多一个0），0.1030030003， -π，V169 0.326,(-0.5)3 中， 无理数有x个，有理数有y个，非负实 数有z个，则0y-z)= 易错必刷题型06.实数的性质 典题特征：考查实数的相反数、绝对值倒数的求法，或利用实数的非负性解决相关计算 易错点：①求负实数的绝对值时符号出错②忽略0没有倒数的性质，错误计算0的倒数 ③利用非负性解跟题时，遗漏“几个非负数的和为0则悔个非负数赌都为0”的条件 18,√2026的相反数是() A.2026 B.-√2026 C.√2026 D. √2026 19.√2-√万的相反数是 ,绝对值是 ;若d=V7,则x= 20.设Q、b为实数，则下列说法正确的是() A.a≠b,则a2>b2 B.若a>b,a<0,则2>0 b C.若a<0,b<0,则ab<0 D.若a>bl,则a-b>0 易错必刷题型07实数与数轴 典题特征：考查实数与数轴上的点的一对应关系，或根据数轴上点的位置判断实数的大小 符号，也会考查在数轴上表示无理数 易错点：①错误认为数轴上的点只对应有理数，忽略无理数也能在数轴上表示②根据数轴 试卷第1页，共3页 判断实数符号时，混淆源点左右的正负性③比较数轴上无理数的大小时，错误判断其对应 位置 21.如图，圆的直径为1个单位长度，圆上的点A与数轴上表示-1的点重合，将这个圆沿 数轴向右滚动一周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是() -3 0 A.元 B.-1+π C.-π D.-1-π 22.如图，以1个单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径 画弧，与正半轴交于点A,与负半轴的交点为B,已知交点A表示的数为√2，则交点B表 示的数为 -2B-1 0 1A2 23.如图，正方形ABCD的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点 E在点A的左侧)，且AE=AD,则点E所表示的数为() -5-43-2-101A2345→ A. √7-1 B.√7+1 C.-万 D.1-√7 易错必刷题型08.实数的大小比较 典题特征：给出一组含有理数、无理数的数，要求按大小顺字排列，或比较两个实数的大小。 易错点：①比较两个负实数大小时，错误认为绝对值大的数更大②比北较无理数与有理数大 小时，未先估算无理数的范围黥就直接判断③比北较多个实数时，排序逻辑乱，遗漏部分数 24.在-5、-√5、1、√4这四个数中，最小的数是() A.-5 B.-V5 C.1 D.4 25.比较大小：√73（填写“<”或“>”）. 试卷第1页，共3页 26.6,-2,-√万之间的大小关系是() A.-2>-6>-V7 B.-√7>-2>-V6 C.-V万>-√6>-2 D.-√6>-2>-V万 27.设实数a,b,C满足条件c<0<b<a,且a+b+c=1.设M=b+c,N=a+C, a b P=a+b ，则M,N,P之间的大小关系是() c A.M>N>P B.P>M>N C.N>P>M D.N>M>P 易错必刷题型09.实数的混合运算 典题特征：包含实数的加、减乘除、乖方、开方的混合运算，要求按运算顺序计算结果。 易错点：①运算顺序错误，先算加减后算乘除®开方运算时符号出错，如误将4算成±2⊙ 运算过程中去括号、合并同类项时符号错误 28.下列运算中，正确的是（) A.-62=-6 B.32+2V5=5W5 C.V16=±4 D.-64=-4 29.计算5+8- 的结果是 30.计算W22-1+-216÷V-3)+2W5的结果是() B.2-6 c.}5-2 D.2 5 31已加：a=a+0+,么是+产+日 32.计算： @5+5)月 ②2(v6-7)-26-7+(-2. 易错必刷题型10程序设计与实数运算 试卷第1页，共3页 典题特征：给出实数运算的程序框图或运算流程，要求按流程输入数值计算输出结果 易错点：①未按程序流程的训顺序运算，颠倒运算步骤②循环运算时，错误计算循环次数③ 程序中的条件判断错误，导致分支选择错误 33.一个数值转换器的原理如图.当输入的x为64时，输出的y是() 是无理数 输入x 取算术平方根 输出y 是有理数 A.⑧ B.√8 C.√2 D.8 34.小明编写了一个程序， 如图，若输入x=-8,则输出的值为 输入x 立方根 倒数 算数平方根 输出 35.如图是一种程序运算图，若输入x的值为32，则输出的值为() /输入x ×(-2) 求立方根 是 大于或等于① 求算术平方根 输出 否 A.√2 B.2 C.√5 D.4 36.如图是一个数值转换器(x<36) 输入x 计算x-2 取算术平方根 是无理数 输出y 是有理数 (1)当输入的x为-7时，输出的y值是 ； (②)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为 (3)若输出的y是√6，求x的负整数值. 易错必刷题型11新定义下的实数运算 典题特征：题目给出新的运算符号或运算规则，要求按新规呗则进行实数运算。 易错点：①误解新定义的运算规呗则，套用原有运算规律②运算时抹严格按新定义的顺序计 算③新定义涉及多层运算时，运算顺序错误 a+ba≤b 37.定义一个新运算f(a,b)= a-ba>,已知a=9,b=l,则f(a,b)等于() A.8或-8 B.8 C.2 D.2或-2 试卷第1页，共3页 38.现对实数a,b定义一种运算：a※b=ab-a+b,则√16※-8的值为 39.自定义运算：a☆b= (a-2b(a<b) 2a-ba≥b,例如：2☆-4=2×2-(-4=8，若m,n在数 轴上位置如图所示，且(m+n)☆(m-n)=-√3，则(m-3n2+2026的值等于() O m A.2025 B.2026 C.2029 D.2030 40.对于实数a,我们规定：用符号[√a]表示不大于√a的最大整数，称[√a]为a的根整数， 例如：]=3，[o]=3,我们可以对Q连续求根整数，直到结果为1为止. 例如：对10连续求根整数2次：[√10]=3→[「5]=1，这时候结果为1. (1)对64连续求根整数， 次之后结果为1. (2)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 41.新定义：若无理数√厅的被开方数(T为正整数)满足n2<T<(n+)2(其中n为正整 数)，则称无理数√厅的“青一区间”为(，n+)；同理规定无理数√厅的“青一区间”为 (-n-1,-n).例如：因为12<2<22，所以√2的“青一区间”为1,2)，√2的青一区间”为 (-2,-1),请回答下列问题： (1)√17的“青一区间”为；-√23的“青一区间”为 (2)实数x,y,满足关系式：x2=9(x>0),(y-1)=27,求的青一区间 (3)若无理数√a(a为正整数)的“青一区间”为(2,3)，√a+2的“青一区间”为(3,4)，求 a+i的值. 易错必刷题型12.实数运算的实际应用 典题特征：结合实际生活场绿（如几何边长、面积、体积计算等），考查实数运算的应用。 易错点：①实际刷问题中对无理数的取舍错误，如边长计算时抹取正根②单位换算错误，导 致计算结果不符合实际③忽略实际问题对结果的精度要求，未按要求取近值 42.一罐饮料净重300克，罐上注有“蛋白质含量”≥0.6%，其中蛋白质的含量为() 试卷第1页，共3页 A.1.8克 B.大于1.8克 C.不小于1.8克 D.不大于1.8克 43.设x、y是有理数，并且x、y满足等式x2+2y+2y=17-4√2，求x+y= 44.己知min{a,b,c表示取三个数中最小的数.例如：min{1,2,3=1,当 mnG,x=。时，则x的值为《) B. c.2 1 D.256 45.如图所示，已知正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为√2和3. E ←2 一3 (1)三角形BGF的面积为：；（结果保留根号） (②)求出图中阴影部分的面积.（结果保留根号） 易错必刷题型13.与实数运算相关的规律题 典题特征：给出一组实数运算的式子，要求找出其中的运算规律，并用规律解决相关计算 易错点：①找规律时只看表面，未总结出通用的规律耒达式②应用规律时，错误代入数值 或对应项数③验规律时，遗漏特殊情况（如n=0、n=1的情况） 46.观察下列等式：7=7,72=49,73=343,74=2401,73=16807，根据其中的 规律可得722的结果的个位数字是（) A.0 B.1 C.7 D.8 =4 4 ,类比这些等式，若 15V15 及- (n为正整数)，则n等于 n n 48.如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把√2表示在数轴上点A处，记A右侧最 近的整数点为B,以点B为圆心，A,B为半径画半圆，交数轴于点A,记A右侧最近的整 数点为B2,以点B为圆心，A,B2为半径画半圆，交数轴于点A,如此继续，则A2026Bo26的 长为(). 试卷第1页，共3页 0 1A B A2 B2A3 A.√2-1 B.2 C.V2+1 D.2-V2 49.如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把、2表示在数轴上点A处，记A右侧最 近的整数点为B,以点B为圆心，AB为半径画半圆，交数轴于点A,记A右侧最近的整 数点为B,以点B为圆心，A,B,为半径画半圆，交数轴于点A,如此继续. 0 1 A B A2 B2 As (1)点B表示的数是 (2)A,B,= 试卷第1页，共3页 专题02无理数与实数易错必刷题型专项训练 本专题汇总无理数与实数章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.无理数 题型02.无理数的大小估算 题型03.无理数整数部分的有关计算 题型04.实数的概念理解 题型05.实数的分类 题型06.实数的性质 题型07实数与数轴 题型08.实数的大小比较 题型09.实数的混合运算 题型10.程序设计与实数运算 题型11.新定义下的实数运算 题型12.实数运算的实际应用 题型13.与实数运算相关的规律题 易错必刷题型01.无理数 典题特征：题目给出包含整数、分数、开方数、无限小数、π相关数等的数集，要求判断其中的无理数，或直接考查无理数的定义。 易错点：① 误将无限循环小数、开方开得尽的数、含π但可化简为有理数的数判定为无理数② 混淆无理数与带根号的数，错误认为带根号的数都是无理数③ 忽略无理数“无限不循环”的本质，误将有限小数判定为无理数 1．下列各数中，是无理数的是（    ） A． B．0.23 C． D． 【答案】C 【详解】解：A．是有理数，不符合题意； B．是有理数，不符合题意； C．是无理数，符合题意； D．，是有理数，不符合题意． 2．在下列各数，0，，，，，中，无理数的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据无理数的定义（无限不循环小数是无理数），逐个化简判断各数，统计无理数个数即可得到结果． 【详解】整数和分数统称为有理数，无限不循环小数是无理数． 是有限小数，是整数，、是分数，是整数，以上均为有理数； 中是无限不循环小数，因此是无理数；，是无限不循环小数，因此是无理数． 故无理数共有个． 3．下列说法：①；②是的平方根；③任何实数不是有理数就是无理数；④两个无理数的和还是无理数；⑤无理数都是无限小数，其中正确的说法有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据算术平方根、平方根、实数的分类、无理数的概念与性质，逐一分析每个说法的正误即可． 【详解】解：①、∵， ∴①错误； ②、∵，而的平方根是， ∴是的平方根， ∴②正确； ③、根据实数的定义：实数分为有理数和无理数两类，不存在其他情况， ∴③正确； ④、如和都是无理数，但，是有理数， ∴④错误； ⑤、根据无理数的定义：无理数是无限不循环小数，属于无限小数， ∴⑤正确； 综上，正确的有②③⑤． 易错必刷题型02.无理数的大小估算 典题特征：给出一个无理数，要求估算其介于哪两个整数之间，或比较无理数与有理数、其他无理数的大小，也会考查估算无理数的近似值。 易错点：① 找错与被开方数相邻的两个完全平方数或完全立方数② 比较含根号的数大小时，未先统一形式直接比较③ 估算近似值时，忽略精度要求，四舍五入出错 4．估计的值在哪两个整数之间（   ） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴，即， ∴的值在和之间． 5．如图，在数轴上表示实数的点可能是_____点． 【答案】 【分析】先估算的值，即可判断． 【详解】解：， ， ， 数轴上表示实数的点可能是点． 6．《九章算术》中勾股术曰：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，即（a为“勾”，b为“股”，c为“弦”）．若“勾”为，“股”为2，则“弦”在如图所示的数轴上可表示在（    ） A．A点 B．B点 C．D点 D．C点 【答案】B 【分析】先根据题意求出“弦”，再确定这个数的范围，并在数轴上表示出来可得答案． 【详解】解：设“弦”为x，根据题意，得 ． ∵， ∴， 所以在数轴上表示在点B． 7．南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”是一种用程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中a，b，c，d为正整数），则是x的更为精确的近似值．现已知，则使用三次“调日法”可得到的一个更为精确的近似分数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，理解“调日法”的算法规则是解题关键，按照规则依次进行三次计算即可得到结果． 【详解】解：∵． ∴第一次使用“调日法”得． ∵． ∴此时． 第二次使用“调日法”得． ∵． ∴此时． 第三次使用“调日法”得． ∴使用三次“调日法”得到的近似分数为， 故选：C． 易错必刷题型03.无理数整数部分的有关计算 典题特征：给出一个无理数，要求确定其整数部分和小数部分，再进行相关运算，或求含该无理数的代数式的值。 易错点：① 错误表示无理数的小数部分② 计算时忽略小数部分的取值范围③ 涉及负无理数时，整数部分判断错误 8．阅读材料：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．规定：数的整数部分记为，小数部分记为．则的值是____________． 【答案】 【分析】先根据不等式性质确定的整数范围，得到的整数部分，再根据题目定义，用减去其整数部分得到小数部分的值． 【详解】解：， ， 的整数部分为， 小数部分． 9．介于两个相邻的整数之间，那么这两个整数的和为（   ） A．9 B．12 C．15 D．19 【答案】A 【分析】通过计算相邻整数的立方，确定的取值范围，得到两个相邻整数后计算它们的和即可． 【详解】解：∵，， 又∵ ， ∴， 即， ∴介于的两个相邻整数是和， ∴两个整数的和为． 10．若是的整数部分，是的小数部分，则的值______． 【答案】20 【分析】夹逼法求出的值，再进行计算即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 11．若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（   ）式子中的“”，“”依次相间 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的意义，本题是阅读型题，正确理解新定义的含义是解题的关键．利用题干中的新定义依次得到各数的整数部分，计算即可得出结论． 【详解】解：，， 与之间共有个数， ，， 与之间共有个数， ，， 与之间共有个数， ， ，， 与之间共有个数， ． 故选B． 易错必刷题型04.实数的概念理解 典题特征：考查实数的定义，或判断关于实数的命题的真假，也会考查实数与有理数、无理数的从属关系。 易错点：① 遗漏实数分类中的0，误将实数分为正实数和负实数两类② 混淆实数与有理数的范围，认为无限小数不是实数③ 错误认为带根号的数都是实数以外的数 12．实数的相反数是______． 【答案】 【详解】解：的相反数为：． 13．下列说法正确的是（    ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】本题考查实数、有理数的定义，解题的关键是掌握：有理数和无理数统称为实数，整数和分数统称为有理数．据此解答即可． 【详解】解：A．有理数和无理数统称为实数，实数包括正实数、负实数和0，原说法遗漏了0，故原说法不正确，故此选项不符合题意； B．有理数由正有理数、负有理数和0组成，而选项中的“正数”包含了无理数（如），故原说法不正确，故此选项不符合题意； C．有理数和无理数统称为实数，原说法不正确，故此选项不符合题意； D．无理数和有理数统称实数，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 14．下列说法：①实数分为整数和分数；②无限不循环小数叫作无理数；③一个有理数的绝对值一定是正数；④倒数等于它本身的数是；⑤带根号的数都是无理数．其中正确的是________（填序号）． 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了实数的相关概念，无理数的概念，倒数的概念，绝对值的定义，解题的关键在于熟练掌握相关概念．根据相关概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：①实数分为有理数和无理数，故①错误； ②无限不循环小数叫作无理数，故②正确； ③，既不是正数也不是负数，故③错误； ④倒数等于它本身的数是，故④正确； ⑤开方开不尽的数是无理数，故⑤错误． 综上所述，正确的有②④， 故答案为：②④． 易错必刷题型05.实数的分类 典题特征：题目给出一组实数，要求按有理数、无理数，或正实数、0、负实数等标准进行分类填空。 易错点：① 分类标准混淆，将有理数与无理数、正实数与负实数的划分逻辑弄混② 遗漏0的归类，或错误将0归为正实数/负实数③ 对可化简的数未先化简就分类，导致分类错误 15．下列实数中，是无理数的是（   ） A．0 B． C． D．3 【答案】C 【分析】整数和分数统称有理数，无限不循环小数是无理数，根据无理数和有理数的定义，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：都是整数，属于有理数；是无限不循环小数，属于无理数． 16．将下列各数进行分类（填序号即可）： ，，，，，，（每个“”之间依次多一个“”）． 正整数：_______；分数：_______；无理数：_______． 【答案】 【分析】本题考查了实数的分类，掌握相关概念是解题的关键，正整数是大于零的整数；分数包括有限小数和无限循环小数；无理数是无限不循环小数．根据实数的分类即可解答． 【详解】解：是正整数； 是开方开不尽的数，属于无理数； 是整数，不是正整数； 是有限小数，是分数； ，是正整数； 是分数； （每个“”之间依次多一个“”）是无限不循环小数，属于无理数， 故答案为：正整数：；分数：；无理数：． 17．在实数3.1259，，0.1020020002…（每两个2之间依次多一个0），0.1030030003，，，，，，中，无理数有个，有理数有个，非负实数有个，则_________． 【答案】 【分析】根据有理数、无理数和非负实数的定义，对每个实数进行判断，统计数量后计算表达式． 【详解】解：无理数有：（每两个2之间依次多一个0），，共3个，故． 有理数有：，共7个，故． 非负实数有：，，，，，，， ，共8个，故． 则． 故答案为． 【点睛】本题考查了有理数、无理数和非负实数的定义，解决本题的关键是熟练掌握这些定义. 易错必刷题型06.实数的性质 典题特征：考查实数的相反数、绝对值、倒数的求法，或利用实数的非负性解决相关计算。 易错点：① 求负实数的绝对值时符号出错② 忽略0没有倒数的性质，错误计算0的倒数③ 利用非负性解题时，遗漏“几个非负数的和为0则每个非负数都为0”的条件 18．的相反数是（    ） A．2026 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的相反数是． 19．的相反数是_______，绝对值是_______；若，则_______． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了实数的性质．根据相反数的定义以及绝对值的性质解答即可． 【详解】解：的相反数是， 的绝对值是； ∵， ∴． 故答案为：；； 20．设、为实数，则下列说法正确的是（   ） A．，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质“性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、若，则，不能确定，所以此项说法错误，不符合题意； B、若，，则，所以，此项说法正确，符合题意； C、若，，则，所以此项说法错误，不符合题意； D、若，则或，所以不一定大于0，此项说法错误，不符合题意； 故选：B． 易错必刷题型07实数与数轴 典题特征：考查实数与数轴上的点的一一对应关系，或根据数轴上点的位置判断实数的大小、符号，也会考查在数轴上表示无理数。 易错点：① 错误认为数轴上的点只对应有理数，忽略无理数也能在数轴上表示② 根据数轴判断实数符号时，混淆原点左右的正负性③ 比较数轴上无理数的大小时，错误判断其对应位置 21．如图，圆的直径为1个单位长度，圆上的点A与数轴上表示的点重合，将这个圆沿数轴向右滚动一周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是（　　） A．π B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查实数与数轴．先求出圆的周长，再根据这个圆沿数轴向右滚动一周，点A到达点B的位置即可求出答案． 【详解】解：由题意可得圆的周长为， ∵将这个圆沿数轴向右滚动一周，点A到达点B的位置， ∴点B表示的数是， 故选：B． 22．如图，以1个单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴交于点，与负半轴的交点为，已知交点表示的数为，则交点表示的数为___________． 【答案】 【分析】根据交点表示的数为，即可得出交点表示的数． 【详解】解：以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴交于点，与负半轴的交点为，且交点表示的数为， 交点表示的数为． 23．如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正方形的面积公式运算出的长，即可求解． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴ ∴点所表示的数为． 易错必刷题型08.实数的大小比较 典题特征：给出一组含有理数、无理数的数，要求按大小顺序排列，或比较两个实数的大小。 易错点：① 比较两个负实数大小时，错误认为绝对值大的数更大② 比较无理数与有理数大小时，未先估算无理数的范围就直接判断③ 比较多个实数时，排序逻辑混乱，遗漏部分数 24．在、、1、这四个数中，最小的数是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】先化简可开方的二次根式，再根据实数比较大小的规则判断即可． 【详解】解：， ∵正数大于一切负数， ∴正数和大于两个负数和，排除C，D， 比较两个负数和， ∵，，， ∴， ∴四个数中最小的数是． 25．比较大小：_____3（填写“”或“”）． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 26．，，之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了实数比较大小，得出各数绝对值的大小关系是解题关键． 比较负数大小时，先比较其绝对值，绝对值大的负数反而小. 通过比较、、的大小，得到绝对值关系，再转化为负数大小关系. 【详解】解：∵ ，， ， 且 ， ∴ ， 即. 故选：A. 27．设实数，，满足条件，且．设，，，则，，之间的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数的大小比较，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质． 先化简，根据不等式的基本性质比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵实数，，满足条件， ∴， ∴， ∴， 故选：． 易错必刷题型09.实数的混合运算 典题特征：包含实数的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算，要求按运算顺序计算结果。 易错点：① 运算顺序错误，先算加减后算乘除② 开方运算时符号出错，如误将算成±2③ 运算过程中去括号、合并同类项时符号错误 28．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对选项A，，A错误； 对选项B，与不含有相同的被开方数，所以不能合并，B错误； 对选项C，表示16的算术平方根，结果为，C错误； 对选项D，，，D正确． 29．计算的结果是____． 【答案】/0.5 【分析】本题考查实数的运算，涉及算术平方根、立方根，先计算算术平方根和立方根，再根据有理数的加减运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴原式． 故答案为：． 30．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算开方，再算括号内运算，后算除法，最后算加减的顺序求解即可． 【详解】解：∵==，=，=， ∴原式 = = =． 31．已知：，那么______________． 【答案】1 【分析】设，则，则，，得到，代入化简解答即可． 本题考查了立方和多项式乘法的应用，熟练掌握多项式是解题的关键． 【详解】解：设，则， 则，， 故， 故 ． 32．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： 易错必刷题型10.程序设计与实数运算 典题特征：给出实数运算的程序框图或运算流程，要求按流程输入数值计算输出结果。 易错点：① 未按程序流程的顺序运算，颠倒运算步骤② 循环运算时，错误计算循环次数③ 程序中的条件判断错误，导致分支选择错误 33．一个数值转换器的原理如图．当输入的为时，输出的是（   ） 　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数值转换器的原理，输入后先取算术平方根，若结果为有理数则继续取算术平方根，若结果为无理数则输出，据此逐步计算即可求解． 【详解】解：当时，是有理数， ∴需重新输入进行计算， 是无理数， ∴输出． 34．小明编写了一个程序，如图，若输入，则输出的值为_____． 【答案】/ 【分析】根据流程图和实数运算法则即可求解． 【详解】解：输入，则，然后，4的倒数为，然后得到， ∴输出的数为． 35．如图是一种程序运算图，若输入的值为32，则输出的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】读懂程序计算过程，把x代入程序中计算，判断结果是否是正数，最后得到结果． 【详解】解：， 的立方根为， ， 的立方根为， 2的算术平方根为， ∴输出的值为． 36．如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 【答案】(1) (2)2或3或1 (3)的负整数值为或 【分析】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键． （1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可； （2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定的值，进而求得的值即可； （3）由是逆推的值，进而求得的值即可． 【详解】（1）解：当时，，，3不是无理数， 再求算术平方根，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）解：∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数， ∴当或时，始终输不出y值， ∴或或； 故答案为：2或3或1； （3）解：若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值为或． 易错必刷题型11.新定义下的实数运算 典题特征：题目给出新的运算符号或运算规则，要求按新规则进行实数运算。 易错点：① 误解新定义的运算规则，套用原有运算规律② 运算时未严格按新定义的顺序计算③ 新定义涉及多层运算时，运算顺序错误 37．定义一个新运算，已知，，则等于（   ） A．8或 B．8 C．2 D．2或 【答案】D 【分析】由得，然后利用定义的新运算列式计算即可． 本题考查有理数的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 当，时， ， 当，时， ， 综上，的值为2或， 故选：D． 38．现对实数，定义一种运算：，则的值为____________． 【答案】 【分析】先计算算术平方根和立方根，再根据新定义运算规则进行计算． 【详解】解：，， 则． 39．自定义运算：，例如： ，若m，n在数轴上位置如图所示，且，则的值等于（    ） A．2025 B．2026 C．2029 D．2030 【答案】C 【分析】首先证明，进而结合，可得，据此求解的值即可． 【详解】解：由数轴可知，，， 即，， ， ， ∴ ∴． 40．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：．我们可以对连续求根整数，直到结果为1为止． 例如：对10连续求根整数2次：，这时候结果为1． （1）对64连续求根整数，__________次之后结果为1． （2）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是__________． 【答案】 3 255 【分析】根据根整数的定义对连续求根整数，统计次数即可得到结果；通过逆推确定取值范围，再验证不同正整数的运算次数，即可得到满足条件的最大正整数． 【详解】解：（1）第一次： =，第二次： =，第三次：=，因此对连续求根整数，次之后结果为； （2）设对正整数连续三次求根整数得，运算过程为：第一次 ，第二次 ，第三次 ， 由 ，得 ，即， ∴要使a最大，则m应取最大整数值3， 由 ，得，即， ∴的最大值为， 由 ，得 ，即 ， ∴只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大的是． 41．新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为______；的“青一区间”为______； (2)实数，，满足关系式：，，求的“青一区间”． (3)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据“青一区间”定义，通过平方数判断被开方数的范围即可； （2）先解出，的值，计算，再用平方数判断的区间，进而求出的“青一区间”； （3）通过两次区间条件列出的范围，取交集确定的值，再代入计算． 【详解】（1）解：， 的“青一区间”为， ， 的“青一区间”为， 的“青一区间”为． （2）解：， ，即， ， ， ， ， 的“青一区间”为． （3）解：的“青一区间”为， ，即， 的“青一区间”为， ，即， 为正整数，是无理数， ， ． 易错必刷题型12.实数运算的实际应用 典题特征：结合实际生活场景（如几何边长、面积、体积计算等），考查实数运算的应用。 易错点：① 实际问题中对无理数的取舍错误，如边长计算时未取正根② 单位换算错误，导致计算结果不符合实际③ 忽略实际问题对结果的精度要求，未按要求取近似值 42．一罐饮料净重克，罐上注有“蛋白质含量”，其中蛋白质的含量为（　　） A．克 B．大于克 C．不小于克 D．不大于克 【答案】C 【分析】根据实数的乘法解决此题． 【详解】由题意得，该饮料中蛋白质的含量最少为克． 该饮料中蛋白质的含量不少于克． 故选：C． 【点睛】本题主要考查实数的运算，熟练掌握实数的乘法是解决本题的关键． 43．设x、y是有理数，并且x、y满足等式，求_________． 【答案】或1/1或 【分析】本题主要考查了实数混合运算的应用，根据已知等式求出x与y的值，即可求出的值． 【详解】解：∵x、y是有理数，并且x、y满足等式， ∴，， 解得：，， 则或． 故答案为：或1． 44．已知表示取三个数中最小的数．例如：，当时，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较，算术平方根及其最值问题，解此类题关键要注意分类思想的运用． 比较、、的大小，最小的值为，再求出的值即可． 【详解】解：由题意可知的取值范围是； 当时，， 此时， 解得， 符合题意； 当时， 此时， 不符合题意舍去； 综上所述：； 故选：B 45．如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确列出算式，是解题的关键： （1）根据直角三角形的面积公式列式计算即可； （2）利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）解：由题意，三角形的面积为； （2）由题意， ． 易错必刷题型13.与实数运算相关的规律题 典题特征：给出一组实数运算的式子，要求找出其中的运算规律，并用规律解决相关计算。 易错点：① 找规律时只看表面，未总结出通用的规律表达式② 应用规律时，错误代入数值或对应项数③ 验证规律时，遗漏特殊情况（如n=0、n=1的情况） 46．观察下列等式：，，，，，……根据其中的规律可得的结果的个位数字是（    ） A．0 B．1 C．7 D．8 【答案】C 【分析】分析71 = 7，72=49，73=343， 74 = 2401，75= 16807，…，得出个位数字是4个数7，9，3，1循环，由2021÷4 = 505余1即可得出的结果的个位数字是7． 【详解】解：∵71 = 7，72=49，73=343， 74 = 2401，75= 16807，…， ∴个位数字是7，9，3，1循环， ∵2021÷4 = 505余1， ∴的结果的个位数字是7． 故选： C． 【点睛】本题考查了规律型尾数特征，解题关键是分析给出的等式规律，判定出尾数规律． 47．已知，，，……，类比这些等式，若（为正整数），则等于___________． 【答案】63 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与运算，解题的关键是根据所给式子得出结论．通过观察给定等式的规律，发现对于正整数a，等式成立，因此当时，n的值为． 【详解】解：已知，，，……， 可归纳出一般形式：． 当时，． 故答案为63． 48．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意依次计算出，，，，，总结规律可知，线段的长的规律，据此即可求得答案． 【详解】解：根据题意，点表示的数为， ∵， ∴点表示的数为， ∴， ∴点表示的数为， ∵， ∴点表示的数为， ∴， 同理可得，，，， ∴线段， ∴． 49．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续． （1）点表示的数是______． （2）______． 【答案】 / 【分析】本题考查实数与数轴、估算无理数大小以及探索规律，通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解决本题关键． （1）利用，右侧最近的整数点为求解即可； （2）根据实数与数轴的关系，逐一计算各点对应的数，再计算、、……，得出规律即可解决． 【详解】解：（1）根据题意得：表示在数轴上点处， ∵右侧最近的整数点为， ∴点表示的数为2； 故答案为：； （2）∵点表示的数为，点表示的数为2 ∴ ∴ ∴ ∴点表示的数为 ∵ ∴ ∴ ∴点表示的数为3， 同理可得，，，……， 以此类推可得，当n为奇数时，；当n为偶数时，； ． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $