精品解析：陕西靖边县靖边中学2025-2026学年普通高等学校招生全国统一考试高三数学冲刺押题卷(四)

2026年普通高等学校招生全国统一考试・冲刺押题卷（四） 数学 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 3 2. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则（ ） A. 8 B. C. D. 3. 已知向量，，定义，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，圆柱的侧面积为，体积为，则以圆柱的底面为底面的圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 已知直线平分圆：的面积，圆与圆：外切，则（ ） A. B. C. 6 D. 7 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义域为的偶函数在上单调递减，若，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某省城市足球联赛中13个球队角球数如下：5，5，5，5，6，7，8，8，9，9，10，14，17，则（ ） A. 该组数据的众数为5 B. 该组数据的极差为12 C. 该组数据的平均数为 D. 该组数据的第40百分位数为7 10. 已知前 项和为的数列满足，则（ ） A. 数列是等比数列 B. C. 数列的前18项和为 D. 存在互不相等的正整数，，，使得，，成等差数列 11. 已知抛物线的焦点为F，过点的直线与抛物线C交于P，Q两点，异于P，Q两点的点在抛物线C上，则（ ） A. B. 直线PA与AQ的斜率之和为4 C. 与面积之比为 D. 过点P，Q作抛物线C的切线分别交直线AB于M，N两点，则点M，N的横坐标之积为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 集合的真子集的个数为______. 13. 已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ，，，若，，则 面积的最大值为______. 14. 已知直线是函数和函数图象的公切线，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数（）图象的相邻两对称轴之间的距离为. （1）求； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标缩小为原来的（横坐标不变），得到函数的图象，若在上恒成立，求实数的取值范围. 16. 如图，在直三棱柱中，，，，，． （1）证明：平面 ； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 同时抛掷两颗质地均匀的骰子，每颗骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6. （1）若抛掷一次，求这两颗骰子朝上一面的数字之和是3的倍数的概率； （2）若重复抛掷次，记这两颗骰子朝上一面的数字都是奇数、都是偶数、一个奇数一个偶数的次数分别为，，.证明：. 18. 设椭圆 ：的离心率为，点在椭圆 上. （1）求椭圆 的标准方程； （2）若点是椭圆 上任意一点，则椭圆 在点 处的切线方程为.已知点为直线（其中）上任意一点，过点作椭圆 的两条切线，切点分别为， ， 为坐标原点，直线与直线交于点. （ⅰ）若，，求的值； （ⅱ）若 是圆上的动点，求的最大值. 19. 已知函数. （1）若是函数的极大值点，求实数 的取值范围； （2）若函数有且仅有两个零点，. （ⅰ）求实数 的取值范围； （ⅱ）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生全国统一考试・冲刺押题卷（四） 数学 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】由， 得复数的共轭复数为，它的虚部为1. 2. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则 （ ） A. 8 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为 ，所以该双曲线的焦点在 轴上，由渐近线方程为得，解得 3. 已知向量，，定义，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据新定义结合数量积坐标公式计算求解参数即可. 【详解】由题知，解得. 4. 如图，圆柱的侧面积为，体积为，则以圆柱的底面为底面的圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，则解得 所以圆锥的母线长为，其侧面积为. 5. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】取，得；取，得， 所以. 6. 已知直线平分圆：的面积，圆与圆：外切，则（ ） A. B. C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】由直线过圆心得出 ，再根据外切得出圆心间距离即可求解参数. 【详解】由题意知，圆的圆心在直线上，则，解得 ， 所以圆的标准方程为，圆心为，半径为1. 又圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为圆与外切，所以，解得. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，解得， 所以. 8. 已知定义域为的偶函数在上单调递减，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据偶函数性质得出在上的单调性，再应用对数函数单调性比较大小，最后结合单调性求解. 【详解】因为定义域为的偶函数在上单调递减，所以在上单调递增. 因为，，， 所以. 又，所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某省城市足球联赛中13个球队角球数如下：5，5，5，5，6，7，8，8，9，9，10，14，17，则（ ） A. 该组数据的众数为5 B. 该组数据的极差为12 C. 该组数据的平均数为 D. 该组数据的第40百分位数为7 【答案】ABD 【解析】 【详解】由题意，该组数据的众数为5，故A正确； 极差为，故B正确； 平均数为，故C错误； 因为，所以该组数据的第40百分位数是第6个数据，即7，故D正确． 10. 已知前 项和为的数列满足，则（ ） A. 数列是等比数列 B. C. 数列的前18项和为 D. 存在互不相等的正整数，，，使得，，成等差数列 【答案】BC 【解析】 【分析】通过构造新数列求通项公式判断A，结合等比数列求和公式计算判断B，先化简再应用裂项相消计算求解判断C，应用反证法计算判断D. 【详解】由，得，则. 当 时，，解得； 当 时，，所以. 又符合，所以数列的通项公式为，所以，所以数列不是等比数列，A错误； ，B正确， 因为，所以， 所以数列的前18项和为，C正确； 数列为递增数列，不妨设，假设，，成等差数列，则，即，即. 又和都是偶数，所以无解，故D错误. 11. 已知抛物线的焦点为F，过点的直线与抛物线C交于P，Q两点，异于P，Q两点的点在抛物线C上，则（ ） A. B. 直线PA与AQ的斜率之和为4 C. 与面积之比为 D. 过点P，Q作抛物线C的切线分别交直线AB于M，N两点，则点M，N的横坐标之积为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】常规方法设点与设直线，联立利用韦达定理得到相关定值，计算即可. 【详解】对于A，因为点 在抛物线上，代入抛物线方程得. 对于B，设直线，，则直线PA与AQ的斜率之和为 联立得到，所以代入上式得到直线PA与AQ的斜率之和为2，故B错误. 对于C，首先证明，等价于证明直线与的斜率之和为0，即 所以，所以，故C正确 对于D，直线，设过点P作抛物线C的切线为，与抛物线联立，得到，因为相切，所以，即，所以，所以过点P作抛物线C的切线为，联立直线 ，得到，同理，所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 集合的真子集的个数为______. 【答案】3 【解析】 【分析】求解方程，确定集合中元素个数，再结合真子集个数公式即可求解. 【详解】方程可化为，解得或1， 则，故集合 的真子集的个数为. 13. 已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ，，，若，，则 面积的最大值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】先应用余弦定理计算，再结合基本不等式计算得出，最后应用面积公式计算求解. 【详解】在 中，,，故, 由余弦定理，得. 又（当且仅当时取等号），所以， 所以， 所以 面积的最大值为. 14. 已知直线是函数和函数图象的公切线，则______. 【答案】4 【解析】 【分析】通过切线斜率即可直接求得的值，再设函数的图象的切点为，由切线斜率得到，结合函数单调性求得，得到 ，即可求解. 【详解】设直线与函数的图象的切点为， 由求导得，由，得， 所以直线与函数的图象的切点为， 将点代入，解得. 设直线与函数的图象的切点为， 又，则（*）. 由，代入上式得， 因为函数单调递增，且， 所以，代入（*），解得， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数（）图象的相邻两对称轴之间的距离为. （1）求； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标缩小为原来的（横坐标不变），得到函数的图象，若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由相邻两对称轴之间的距离求得周期，根据周期的计算公式求得； （2）由（1）得的解析式，根据图象变换法则得的解析式，从而求得在上的取值范围，再根据不等式在上恒成立，求得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为的图象相邻两对称轴间的距离为， 所以函数的周期为，即，解得. 【小问2详解】 由（1）知， 由题意知，， 当时，，，即. 由在上恒成立， 得在上恒成立. 所以，解得. 故实数的取值范围为. 16. 如图，在直三棱柱中，，，，，． （1）证明：平面 ； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：如图所示，连接， 因为，且四边形为矩形，所以， 又因为，所以， 因为平面 ， 平面 ，所以 平面 ． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证得，结合线面平行的判定定理，即可证得 平面 ； （2）以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得向量和平面 的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为两两垂直，以 为坐标原点，所在直线分别为轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 可得，，，，，， 则，，． 设平面 的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 设直线与平面 所成角为 ， 可得， 所以直线与平面 所成角的正弦值为． 17. 同时抛掷两颗质地均匀的骰子，每颗骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6. （1）若抛掷一次，求这两颗骰子朝上一面的数字之和是3的倍数的概率； （2）若重复抛掷次，记这两颗骰子朝上一面的数字都是奇数、都是偶数、一个奇数一个偶数的次数分别为，，.证明：. 【答案】（1） （2）证明：记每次操作，这两颗骰子朝上一面的数字都是奇数、都是偶数、一个奇数一个偶数分别记为事件 ， ， ， 则，，. 因为，，， 所以，，， 因此，即. 【解析】 【小问1详解】 抛掷这两颗骰子一次，共有36个基本事件， 这两颗骰子朝上一面的数字之和是3的倍数包括的基本事件为，，，，，，，，，，，，共12个基本事件， 故这两颗骰子朝上一面的数字之和是3的倍数的概率为. 【小问2详解】 略 18. 设椭圆 ：的离心率为，点在椭圆 上. （1）求椭圆 的标准方程； （2）若点是椭圆 上任意一点，则椭圆 在点 处的切线方程为.已知点为直线（其中）上任意一点，过点作椭圆 的两条切线，切点分别为， ， 为坐标原点，直线与直线交于点. （ⅰ）若，，求的值； （ⅱ）若 是圆上的动点，求的最大值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）1；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）根据点在椭圆上、离心率及椭圆的参数关系列方程求参数值，即可得； （2）（i）设，，，则 为， 为，进而得到为，为，从而得点的轨迹方程为，设且有，最后应用两点距离公式求；（ii）根据两点距离公式及圆的性质求最大值即可. 【小问1详解】 由题知，解得， 故椭圆 的标准方程为 . 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知，设，，， 切线 的方程为，切线 的方程为， 代入点的坐标得， 故直线的方程为，直线的方程为. 因为点不可能是原点，将代入，整理得， 所以点的轨迹方程为. 设，则，. 由，得， 所以， ， 所以. （ⅱ）圆的圆心坐标为，半径为1， 故 ， 当时，的最大值为， 由圆的性质可知，的最大值为. 19. 已知函数. （1）若是函数的极大值点，求实数 的取值范围； （2）若函数有且仅有两个零点，. （ⅰ）求实数 的取值范围； （ⅱ）证明：. 【答案】（1） （2）（ⅰ）； （ⅱ）由（ⅰ）不妨令， 由，得. 又 . 令，有， 所以函数在上单调递增， 又，所以（当且仅当时取等号）. 因为，所以，即，所以. 因为，，在上单调递减， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，再令，应用导数及分类讨论研究其单调性，结合其区间函数值符号，进而研究的极值点，即可得； （2）（i）讨论参数 ，结合函数零点的个数并应用导数研究对应的零点情况，即可得参数范围；（ii）不妨令，且，构造并应用导数研究其最值，即可证. 【小问1详解】 由题知，令，则， 又函数的定义域为， ①当时，，函数在上单调递增，又， 所以时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极小值点，不合题意. ②当 时， 令，得，在上单调递增； 令，得，在上单调递减， 所以，则函数在上单调递减， 所以不是函数的极大值点，不合题意. ③当时， 令，得，在上单调递增； 令，得，在上单调递减， 由及，知时；时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极小值点，不是极大值点，不合题意. ④当时， 令，得，在上单调递增； 令，得，在上单调递减， 由及，知时；时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极大值点，满足题意. 综上，若是函数的极大值点，则实数 的取值范围为. 【小问2详解】 （ⅰ）①当 时，函数在上单调递减，在上单调递增， 又，当 时；当时， 所以函数有且仅有两个零点. ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 又，所以，函数仅有一个零点 . ③当 时，函数在上单调递减，所以函数最多只有一个零点. ④当时，由（1）知，存在是函数的极大值点， 所以函数在，上单调递减，在上单调递增， 又，所以函数最多只有一个零点. ⑤当时，由（1）知，存在是函数的极小值点， 所以函数在，上单调递减，在上单调递增， 令且 ，则，故时 ，时， 所以在上单调递减，在上单调递增，故， 所以在上恒成立， 当时，， 所以最多只有一个零点. 综上，若函数有且仅有两个零点，则实数 的取值范围为. （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $