精品解析：2026年安徽省芜湖市南陵县中考二模数学试题

数学 注意事项： 满分150分，时间为120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 3月22日是第三十四个“世界水日”，记者从2026年“节水中国行·安徽合肥”主题宣传活动上了解到，2025年我国开发利用非常规水量已超过250亿立方米，其中250亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由几个相同的小正方体组成的一个几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 当自变量时，下列函数随的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知平面直角坐标系中有，两点，若在轴上取点，使为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 7. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，，点分别在边，上，且满足，连接，，点，分别在，上移动（不与端点重合），且满足，则下列说法不正确的是（ ） A. 连接， B. 的最小值为 C. D. 当时，四边形为矩形 9. 百货商场规定：当顾客消费每达到一定金额时，就拥有一次转盘抽奖的机会．如图，转盘被均分成六个区域，一个区域表示一等奖，两个区域表示二等奖，三个区域表示三等奖．抽奖时，顾客转动转盘，转盘停止后指针指向区域的文字就是获奖的等级（若指针停在分界线上，则重新转动转盘）．某顾客有两次抽奖机会，记他两次获得都是二等奖的概率为，一次获得一等奖和一次获得二等奖的概率为，则与之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 10. 如图，在中，，，．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿边向点运动．过点作交折线于点，以为边在右侧作正方形．设正方形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒，则与之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 因式分解：______________ 12. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，液面到烧瓶底部最大距离为，则截面圆中弦的长为_______． 13. 如图，为矩形内的一点，且满足，若，则_______． 14. 对于正整数，定义其“交替差”运算如下：将的各个数位上的数字按降序排列得到数，按升序排列得到数，定义．例如：，降序排列：，升序排列：，则． （1）计算： _______； （2）如果一个三位数，三个数位上的数字均不相同， ，且的十位数字比个位数字大，则_______．（写出所有满足条件的） 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在轴上找一点，使得的长度最小； （2）以原点为位似中心在第三象限画出，使它与的相似比为2． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点． （1）求一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出时，的取值范围． 18. 某部队在海上开展演训．如图所示，两艘战舰，之间的距离为海里，测得战舰在战舰的北偏东方向，同时测得战舰在战舰的北偏西方向，求此时战舰，之间的距离．（精确到海里，参考数据：，，） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，红旗学校在全校开展了“逐梦科技强国”为主题的学生模具设计竞赛．为了了解学生竞赛情况，信息组随机抽查了部分同学的竞赛成绩为样本（成绩为百分制，用表示），将其分成如下四组：：，：，：，：．整理并绘制竞赛成绩频数直方图和扇形统计图如下： 其中组的竞赛成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了_______名学生的竞赛成绩，在扇形统计图中，组对应圆心角的度数为_______，并补全频数直方图； （2）志明同学竞赛成绩为分，他对同学说：“我的竞赛成绩能位于全校的中上等”，你认为他的说法合理吗？并说明理由． 20. 如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的交于点． （1）求的长； （2）过点作的切线与的延长线交于点，连接，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 年某春晚舞台采用了一种新型的“智能光阵”背景墙，由若干个发光单元按一定规律排列组成．这些发光单元分为两种：型（圆形）和型（星形）．设计师按照如下方式排列：第行：个型；第行：个型；第行：个型；第行：个型；第行：个型；……即第奇数行全为型，数量等于行数；第偶数行全为型，数量等于行数． 一、基础探究 （1）按初始规则摆放至第行时，型发光单元的总数为_______个，型发光单元的总数为_______个； （2）若继续按初始规则摆，前行的发光单元总数为_______个； 二、数量与成本计算 导演组调整规则：摆放共行，将前行（）全部设置为型，剩余第行到第行全部设置为型（每行发光单元数量仍等于行数）． （3）用含，的代数式表示：型发光单元总数为_______个，型发光单元总数为_______个； （4）已知型每个20元，型每个30元，则购买所有发光单元的总成本为_______元（用含，的代数式表示）； 三、优化设计 调整规则后，当摆放总行数时，结合预算和视觉效果要求，现要求满足条件：型发光单元的总数不少于型发光单元的总数且不超过型发光单元总数的2倍． （5）此时的值为_______； （6）此时的总成本为_______元． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，在中，，，点是射线上的一点，连接，在右侧以为斜边作等腰直角三角形． （1）若点在线段上，且平分，与交于点，延长交的延长线于点，求证：； （2）如图2，点是射线上一点，平分交于点，平分交于点，交延长线于点． （ⅰ）当点与点重合时，求的值； （ⅱ）当点在射线上时，如图3，连接，直接写出与的位置关系及的值． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线的顶点位于轴的正半轴上，抛物线与轴交于点，为坐标原点，且有，直线经过点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当时，有最大值为，求满足条件的的值； （3）若抛物线与直线在的范围内只有一个交点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项： 满分150分，时间为120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据零指数幂的运算法则计算出的值，再根据相反数的定义求出结果即可． 【详解】， 的相反数是； 故的相反数是． 2. 3月22日是第三十四个“世界水日”，记者从2026年“节水中国行·安徽合肥”主题宣传活动上了解到，2025年我国开发利用非常规水量已超过250亿立方米，其中250亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：亿， 亿． 3. 如图是由几个相同的小正方体组成的一个几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从几何体的正面看，得到的平面图形，即可求解． 【详解】解：该几何体的主视图是． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据单项式乘单项式的运算法则、积的乘方运算法则、二次根式的性质、二次根式的乘法运算法则逐项计算，即可求解． 【详解】解：选项A：，故A选项计算错误，不符合题意； 选项B：，故B选项计算错误，不符合题意； 选项C： ，故C选项计算正确，符合题意； 选项D：，故D选项计算错误，不符合题意． 5. 当自变量时，下列函数随的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数性质、反比例函数性质、正比例函数性质、二次函数性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，，当时，函数随的增大而增大； B、，，当时，函数随的增大而减小； C、，，当时，函数随的增大而减小； D、，，对称轴为直线，当时，函数随的增大而减小． 6. 如图，已知平面直角坐标系中有，两点，若在轴上取点，使为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【详解】解：当，以为圆心，为半径作圆，与y轴有2个交点，点，故有2个等腰三角形； 当时，作出的垂直平分线，与y轴有1个交点，故有1个等腰三角形； 综上所述，满足条件的点的个数是3个． 7. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程根和系数的关系解答即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∵， ∴， 解得． 8. 如图，在矩形中，，，点分别在边，上，且满足，连接，，点，分别在，上移动（不与端点重合），且满足，则下列说法不正确的是（ ） A. 连接， B. 的最小值为 C. D. 当时，四边形为矩形 【答案】C 【解析】 【分析】连接，证出四边形是菱形即可得A正确；连接，根据垂线段最短可得当时，的值最小，再利用三角形的面积公式计算可得B正确；连接，先证出四边形为平行四边形，再得出要使得，则需，由此即可得C错误；连接，先证出，则，再根据矩形的判定可得D正确． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵， ∴，， 同理可得：， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，则说法A正确； 如图，连接， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， ∴此时有， ∴， 即的最小值为，说法B正确； 如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 假设， ∴平行四边形是矩形， ∴，但由已知条件不能得出这个结论， ∴假设不成立，即不成立，说法C错误； 如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由上已得：四边形是平行四边形， ∴四边形为矩形，则说法D正确． 9. 百货商场规定：当顾客消费每达到一定金额时，就拥有一次转盘抽奖的机会．如图，转盘被均分成六个区域，一个区域表示一等奖，两个区域表示二等奖，三个区域表示三等奖．抽奖时，顾客转动转盘，转盘停止后指针指向区域的文字就是获奖的等级（若指针停在分界线上，则重新转动转盘）．某顾客有两次抽奖机会，记他两次获得都是二等奖的概率为，一次获得一等奖和一次获得二等奖的概率为，则与之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【详解】解：列表得： 一 二1 二2 三1 三2 三3 一 一，一 一，二1 一，二2 一，三1 一，三2 一，三3 二1 二1，一 二1，二1 二1，二2 二1，三1 二1，三2 二1，三3 二2 二2，一 二2，二1 二2，二2 二2，三1 二2，三2 二2，三3 三1 三1，一 三1，二1 三1，二2 三1，三1 三1，三2 三1，三3 三2 三2，一 三2，二1 三2，二2 三2，三1 三2，三2 三2，三3 三3 三3，一 三3，二1 三3，二2 三3，三1 三3，三2 三3，三3 两次都抽中二等奖的结果数为4种， ∴； 1.第一次一等奖，第二次二等奖2种， 2.第一次二等奖，第二次一等奖2种， ∴； ∴． 10. 如图，在中，，，．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿边向点运动．过点作交折线于点，以为边在右侧作正方形．设正方形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒，则与之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据重叠部分的图形的形状确定边界点时的运动时间为，然后分三种情况讨论，根据重叠部分的图形的形状，可求与之间的函数关系式，最后根据函数的性质确定图象． 【详解】解：如图，当点落在边上时， 在中，，， ， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ； 如图，当点与点重合时，此时， 即，解得 ； 当点与点重合时，此时， 即，解得 ； 如图1，当时，正方形与重叠部分图形的面积为正方形的面积， 即； 此时，与之间的函数图象为开口向上的抛物线，且为对称轴的右半段， 如图2，当时，正方形与重叠部分图形的面积为五边形的面积， 此时， ，， ， ， ， ， ， ， ； ，对称轴为直线， 此时，与之间的函数图象为开口向下的抛物线，且包含对称轴， 如图3，当时，正方形与重叠部分图形的面积为的面积， 此时， ， ． ，对称轴为直线， 此时，与之间的函数图象为开口向上的抛物线，且为对称轴的左半段； 综上，与之间的函数图象大致是选项D所示． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 因式分解：______________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式与公式法因式分解，先提取公因数2，再利用平方差公式分解 【详解】解：， 故答案为： 12. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，液面到烧瓶底部最大距离为，则截面圆中弦的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交于点，延长交于点，连接，根据题意可得，，，，先求出，再根据勾股定理求出，即可求出，即可得出答案． 【详解】解：过点作交于点，延长交于点，连接，如图： 则，，，， ∴， 在中，， ∴． 即截面圆中弦的长为． 13. 如图，为矩形内的一点，且满足，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点O作于点F，交于点E，于点G，交于点H，可得四边形均为矩形，可设，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点O作于点F，交于点E，于点G，交于点H， ∵为矩形内的一点， ∴， ∴， ∴四边形均为矩形， ∴， 设， ∵，，， ∴， 解得：， ∴． 14. 对于正整数，定义其“交替差”运算如下：将的各个数位上的数字按降序排列得到数，按升序排列得到数，定义．例如：，降序排列：，升序排列：，则． （1）计算： _______； （2）如果一个三位数，三个数位上的数字均不相同， ，且的十位数字比个位数字大，则_______．（写出所有满足条件的） 【答案】 ①. ②. ，， 【解析】 【分析】（1）根据定义的运算法则，计算即可求解； （2）设三位数的降序排列为，升序排列为，根据定义的运算法则，求出，结合是三位数，且的十位数字比个位数字大，分情况讨论即可求解． 【详解】解：（1） ； （2）设三位数的降序排列为，升序排列为， ∴， 根据题意，可得 ， 得． 当时，， ∵是三位数，且的十位上的数字比个位上的数字大， 故不是百位上的数字，也不是十位上的数字，只能是个位上的数字， ∴的十位上的数字为，的百位上的数字是， 此时，为． 当时，， ∵是三位数，且的十位上的数字比个位上的数字大， 故不是十位上的数字，不是个位上的数字， 当是个位上的数字时，十位上的数字是，是百位上的数字， 即的百位上的数字是，十位上的数字是，个位上的数字是， 此时，为． 当是百位上的数字时，是十位上的数字，个位上的数字是， 即的百位上的数字是，十位上的数字是，个位上的数字是， 此时，为． 或或． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：方程两边同乘得：， 解得， 检验：将代入， 得， 方程的解为． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在轴上找一点，使得的长度最小； （2）以原点为位似中心在第三象限画出，使它与的相似比为2． 【答案】（1）见详解 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用轴对称性质，作点A关于x轴的对称点，连接对称点与C，与x轴交点即为所求P点． （2）位似变换中，位似中心为原点，相似比为2，则各顶点坐标乘以（第三象限为负）． 【小问1详解】 解：作点A关于x轴的对称点A′(0,-3)，连接A′C，与x轴交于点P，则点P即为所求． 【小问2详解】 解：∵ 位似中心为原点O，相似比为2，且在第三象限， ，即， ，即， ，即， 在网格中描出三点，顺次连接即可得． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点． （1）求一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出时，的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）把，两点的坐标代入，求出，，得出点、点的坐标，再根据待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）根据两个图象的交点坐标，即可得时，的取值范围． 【小问1详解】 解：∵点，在反比例函数的图象上， 把，两点的坐标代入，得，， 故点的坐标为，点的坐标为； ∵点，在一次函数的图象上， 把，代入得，， 解得， ∴一次函数表达式为． 【小问2详解】 解：由（1）可得点的坐标为，点的坐标为， 由图象可得，当时，的取值范围为或． 18. 某部队在海上开展演训．如图所示，两艘战舰，之间的距离为海里，测得战舰在战舰的北偏东方向，同时测得战舰在战舰的北偏西方向，求此时战舰，之间的距离．（精确到海里，参考数据：，，） 【答案】此时战舰，之间的距离约为海里 【解析】 【分析】过点作交于点，则，，根据余弦的定义得出海里，结合直角三角形的性质求出海里，即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点，则，， 在中，，海里，， 由， 得（海里）， 在中，， （海里）， 故此时战舰，之间的距离约为海里． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，红旗学校在全校开展了“逐梦科技强国”为主题的学生模具设计竞赛．为了了解学生竞赛情况，信息组随机抽查了部分同学的竞赛成绩为样本（成绩为百分制，用表示），将其分成如下四组：：，：，：，：．整理并绘制竞赛成绩频数直方图和扇形统计图如下： 其中组的竞赛成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了_______名学生的竞赛成绩，在扇形统计图中，组对应圆心角的度数为_______，并补全频数直方图； （2）志明同学竞赛成绩为分，他对同学说：“我的竞赛成绩能位于全校的中上等”，你认为他的说法合理吗？并说明理由． 【答案】（1），，补全频数分布直方图见解析 （2）他的说法是合理的，理由见解析 【解析】 【分析】（1）从两个统计图可知，被抽查的学生的模具设计成绩在组的有人，占被调查学生人数的，由频率频数总数可求出被调查学生总人数；求出模具设计成绩在组的学生人数所占的百分比，即可求出相应的圆心角度数；求出样本中组的人数，即可补全频数分布直方图； （2）根据中位数的计算方法求出其中位数，即可判断． 【小问1详解】 解：被调查学生总人数为（名）， 在扇形统计图中，组对应圆心角的度数为， 样本中组的人数为（名）， 补全频数分布直方图如图所示； 【小问2详解】 解：他的说法是合理的，理由为： 将名学生的竞赛成绩按照从小到大的顺序排列，排在第和名的成绩分别为，， 成绩的中位数是 （分）， 由此可以估计学校学生的竞赛成绩的中位数为分， 又∵， ∴志明同学的说法是合理的． 20. 如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的交于点． （1）求的长； （2）过点作的切线与的延长线交于点，连接，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，根据直角三角形的性质得出，结合勾股定理列出方程，求出，得出，，即可求解； （2）设与相切于点，连接，过点作交于点，则，结合直角三角形的性质得出，，，根据勾股定理求出，根据角平分线的判定得出平分，根据角平分线的定义得出，求得，，，推得，根据等角对等边得出，求得，结合勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可得， 在中，，，， ∴， 则， 即， 解得， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：设与相切于点，连接，过点作交于点，如图： 则． ∵，， ∴， ∴， 在中，，， ，，， 故点在的角平分线上， 即平分， ∴， 则， ， ， 即， ∴， ∴， 在中， ， ∴． 六、（本题满分12分） 21. 年某春晚舞台采用了一种新型的“智能光阵”背景墙，由若干个发光单元按一定规律排列组成．这些发光单元分为两种：型（圆形）和型（星形）．设计师按照如下方式排列：第行：个型；第行：个型；第行：个型；第行：个型；第行：个型；……即第奇数行全为型，数量等于行数；第偶数行全为型，数量等于行数． 一、基础探究 （1）按初始规则摆放至第行时，型发光单元的总数为_______个，型发光单元的总数为_______个； （2）若继续按初始规则摆，前行的发光单元总数为_______个； 二、数量与成本计算 导演组调整规则：摆放共行，将前行（）全部设置为型，剩余第行到第行全部设置为型（每行发光单元数量仍等于行数）． （3）用含，的代数式表示：型发光单元总数为_______个，型发光单元总数为_______个； （4）已知型每个20元，型每个30元，则购买所有发光单元的总成本为_______元（用含，的代数式表示）； 三、优化设计 调整规则后，当摆放总行数时，结合预算和视觉效果要求，现要求满足条件：型发光单元的总数不少于型发光单元的总数且不超过型发光单元总数的2倍． （5）此时的值为_______； （6）此时的总成本为_______元． 【答案】（1）， （2） （3）， （4） （5） （6） 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别列出摆放至第行时，奇数行和偶数行的发光单元的排列方法，即可求解； （2）根据题意，分别列出摆放至第行时，奇数行和偶数行的发光单元的排列方法，即可求解； （3）结合调整后，每行发光单元数量仍等于行数，求出前行发光单元的总数和前行发光单元的总数，即可求解； （4）根据总价单价数量，列出代数式，即可求解； （5）先求出摆放总行数时，发光单元的总数为个，设型发光单元的总数为（个），则型发光单元的总数为（个），根据题意列出不等式，得出 ，通过检验可知，当时， ，不满足；当时， ，满足 ；当时， ，不满足，因此； （6）求出时，，代入（4）中购买所有发光单元的总成本的代数式，进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：奇数行：第行个型；第行个型；第行个型； 故按初始规则摆放至第行时，型发光单元的总数为（个）， 偶数行：第行个型；第行个型；第行个型； 故按初始规则摆放至第行时，型发光单元的总数为（个）． 【小问2详解】 解：奇数行：第行个型；第行个型；第行个型；第行个型； 偶数行：第行个型；第行个型；第行个型；第行个型； 若继续按初始规则摆，前行的发光单元总数为（个）． 【小问3详解】 解：∵前行（）全部设置为型，每行发光单元数量等于行数， 则型发光单元总数为（个）． ∵摆放共行，每行发光单元数量等于行数， 则型和型发光单元总数为（个）， ∴型发光单元总数为（个）． 【小问4详解】 解：购买型发光单元的成本为（元）， 购买型发光单元的成本为（元）， 则购买所有发光单元的总成本为（元）． 【小问5详解】 解：调整规则后，当摆放总行数时，发光单元总数为 （个）， 设型发光单元的总数为（个），则型发光单元的总数为（个）， 根据题意可得， 即， 整理得， 即 ，为整数，且满足． ∴ ， ∵，， ∴当时， ，不满足，故舍去； 当时， ，满足 ； 当时， ，不满足 ，故舍去； 综上，． 【小问6详解】 解：由（5）可得：时，， 故总成本为 （元）． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，在中，，，点是射线上的一点，连接，在右侧以为斜边作等腰直角三角形． （1）若点在线段上，且平分，与交于点，延长交的延长线于点，求证：； （2）如图2，点是射线上一点，平分交于点，平分交于点，交延长线于点． （ⅰ）当点与点重合时，求的值； （ⅱ）当点在射线上时，如图3，连接，直接写出与的位置关系及的值． 【答案】（1）见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ）， 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角和三角形内角和定理求得，角平分线的定义得出，根据等腰直角三角形的性质得出，，，求得，，根据三角形的外角性质和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定定理即可证明； （2）（ⅰ）连接，根据角平分线的定义得出，根据直角三角形的性质得出是直角三角形，，根据全等三角形的判定和性质得出，根据垂直平分线的判定和性质得出，根据等边对等角得出，求得，即可得出为等腰直角三角形，推得，根据勾股定理得出，求得 ，根据相似三角形的判定和性质得出． （ⅱ）当点在射线上时，延长交于点，设与交于点，过点作交的延长线于点，过点作交射线于点，根据角平分线的性质得出，，根据全等三角形的判定和性质得出，，，，推得， ，根据垂直平分线的判定得出，根据直角三角形的性质和等角的余角相等得出，根据垂直平分线的性质得出，根据等边对等角求得，根据三角形内角和定理求得，根据直角三角形的性质和等角对等边得出，根据角平分线的性质推得，设，则，根据勾股定理求得，进一步求出 ， ，即可求出． 【小问1详解】 解：∵，， ∴． 平分， ， 为等腰直角三角形， ，，， ，， ∵，，， ∴， 即， ，，， ． 【小问2详解】 （ⅰ）如图1，连接， 由（1）得， ∵平分，平分， ∴． 在中，，， ∴， 故是直角三角形，． 在和中， ， ∴， ， 故． ，， 垂直平分， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 在中，， 故， ∴ ， ∵， ∴， ， 即， 整理得：． （ⅱ），． 当点在射线上时，延长交于点，设与交于点，过点作交的延长线于点，过点作交射线于点，如图： 则， 平分，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ，． 在和中， ， ， ，． ，， 即，， ，， ∴点和点是垂直平分线上的点， 垂直平分， ， ∵，，， ， 点在垂直平分线上， ， ， ， ， ， ，， ， 为等腰直角三角形， ， 平分，，， ， 即， 设，则，， ∴， ， ， ． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线的顶点位于轴的正半轴上，抛物线与轴交于点，为坐标原点，且有，直线经过点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当时，有最大值为，求满足条件的的值； （3）若抛物线与直线在的范围内只有一个交点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意可得抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，设抛物线的解析式为，则点的坐标为，点的坐标为，将代入，求出，即可求解； （2）先待定系数法求出直线的解析式，令，则 ，结合二次函数的性质可得当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，分情况讨论：①当，即时，，取最大值，列出方程求出的值，②当，即时，，取最大值，列出方程求出的值，③当，即时，，取最大值，列出方程求出的值，即可求解； （3）根据“抛物线与直线在的范围内只有一个交点”，列出方程，求出，，再分情况讨论：①若时，，列出不等式，求出，②当，即时，列出方程，求出，③当时，列出不等式，得出不等式无解，即没有交点． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线图象的开口向下， ∵抛物线的顶点位于轴的正半轴上， 故抛物线与轴的交点在轴的负半轴上， 设抛物线的解析式为，则点的坐标为， ， 点的坐标为， 将代入，得， 解得或（舍去）， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵ ， 抛物线的函数表达式为 ． 【小问2详解】 解：∵直线经过点， 故将代入，得， 故直线的解析式为． 令，则 ， 的对称轴为直线．抛物线的图象开口向下， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； ①当，即时，有最大值为， 即时，取最大值， ∴ ， 解得或（舍去）， ； ②当，即时，有最大值为， 即时，取最大值， ∴ ， 解得或（舍去）， ， ③当，即时，有最大值为， 即时，取最大值， ∴ ， 解得（舍去）， 综上，或1． 【小问3详解】 解：∵抛物线与直线在的范围内只有一个交点， 令， ， ， 解得，， ①若时，，要使抛物线与直线在的范围内只有一个交点， 需， 解得； ②当，即时，得， 解得， 抛物线与直线在范围内只有一个交点，满足题意； ③当，即时，要使抛物线与直线在的范围内只有一个交点， 需， 不等式无解，即没有交点． 综上，的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $