精品解析：2026年安徽省阜阳市界首市部分学校九年级5月模考二模数学试题

数学（二） 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卷上注意事项的要求直接把答案填写在答题卷上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列各数中，最大的数是（　　） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值、相反数与有理数的大小比较，熟练掌握化简与比较方法是解题的关键．先将需要化简的数进行化简，在比较大小即可． 【详解】解：，， ， 则最大的数为． 故选：C． 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：几何体的俯视图是． 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查单项式与单项式的乘法运算，根据系数相乘，同底数幂相乘，进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故选：D． 4. 若自然数满足，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据，得出的取值范围，可得，即可确定n的值． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴即， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，运用“夹逼法”是解决本题的关键． 5. 关 于x 的方程（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　） A. 两个正根 B. 两个负根 C. 一个正根， 一个负根 D. 无实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根的判别式得到方程有两个不相等的实数根，再根据一元二次方程根与系数的关系，得到，进而得到方程两个不相等的实数根异号，即可解题． 【详解】解：， ， 即有， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程两个不相等的实数根异号， 方程有一个正根， 一个负根， 故选：C． 6. 如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】考查了平行线性质和三角形外角性质的应用，掌握平行线性质和三角形外角性质是解答本题的关键．先根据平行线性质求出，再根据邻补角的定义求出，最后根据三角形外角性质求出． 【详解】解：如图：    ，， ， ，， ， ． 故选：A． 7. 现代电子技术飞速发展，许多家庭都用起了密码锁，只要正确输入密码即可打开门．小明家的密码锁密码由六个数字组成，每个数字都是从中任选的，小明记得前五个数字，第六个数字只记得是偶数，他一次随机试验就能打开门的概率为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记小明一次随机试验能打开门为事件A，根据列举法得出第六个数字必须为偶数，可以为0，2，4，6，8共5种，根据概率公式即可求解． 【详解】记小明一次随机试验能打开门为事件A． 根据题意，每个数字为0~9中任意一个， 小明记得前五个数字，第六个数字必须为偶数，可以为0，2，4，6，8共5种， 而正确的只有其中一个，所以． 故选：B． 【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 8. 已知三个实数a，b，c满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据每个选项的假设，代入已知等式变形计算，再判断结论是否正确即可． 【详解】解：A、若，则，，代入第二个等式得，所以A选项错误； B、若，则，代入第二个等式后得到，于是解得或，所以B选项错误； C、若，则，代入第二个等式后得到，于是解得或，故C选项错误； D、若，则，，所以D选项正确． 9. 如图（a），在中，，为边的高，，，分别为边，上的动点，且．设的长为，的面积为，图（b）为点运动时随变化的关系图象，则的长度为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，函数图象，先证明，推出 ；根据函数图象得：当时，有最大值，面积为，则，求出此时，得到点为中点，推出，进而证明，得到，求出，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 根据函数图象得：当时，有最大值，面积为，则， ∴， ∵， ∴此时，点为中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，在中，，，以为边作，，点D与点A在的两侧，则的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、旋转的性质、三角形的三边关系、二次根式的性质．作出合适的辅助线是解题的关键．由于的长度是变化的，所以把绕顺时针旋转，进而使的长度和，建立联系，再利用构成三角形的条件求解即可． 【详解】解：如图，把绕顺时针旋转得到，连接， ，，， ． ， 的最大值为． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 某种细菌的直径是，用科学记数法表示为：____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用科学记数法将数表示为即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了科学记数法表示较小的数，熟练掌握科学记数法表示较小的数的方法进行求解是解决本题关键． 12. 已知，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，然后整体代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 13. 如图，为半圆O的直径，C，D是圆上两点，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先结合直径所对的圆周角是90度，得出，再算出，又因为，得出，最后根据圆周角定理进行分析，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵为半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴． 14. 如图，在正方形中，是上任意一点，连接与关于对称，延长线与延长线交于点，连接交于点． （1）度数为______； （2）若点是中点，，则的长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）如图所示，由三角形内角和定理得到，，结合对顶角相等、等腰三角形的判定与性质确定、、，代入得到关于的方程，求解即可得到，再由对称性质，在中，由两锐角互余求解即可得到答案； （2）连接，如图所示，由对称性得到,，，进而确定,，在中、中和中，由勾股定理列式求解即可得到答案． 【详解】解：（1）如图所示： 则，，， 由与关于对称，得到，则， 在正方形中，，则， ， ，即， 解得， 由与关于对称，得到， 在中，，，则； 故答案为：； （2）连接，如图所示： 由与关于对称，得到,，， 则,， 在中，由勾股定理可得, 点是中点， 设,则， 在中，由勾股定理可得,即， 解得， , 在等腰中，,,由勾股定理可得, 解得, 故答案为：． 【点睛】本题考查几何综合，涉及三角形内角和定理、正方形性质、直角三角形两锐角互余、对顶角相等、等腰三角形的判定与性质、对称性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何性质，准确构造辅助线求解是解决问题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先运算乘方，算术平方根，立方根以及化简绝对值，再运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 16. 解不等式组 【答案】 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再取两个解集的公共部分即可． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图所示，在边长为1cm的小正方形组成的网格中． （1）将沿y轴正方向向上平移5个单位长度后，得到，请作出，并求出的长度； （2）再将绕坐标原点O顺时针旋转180°，得到，请作出，并直接写出点的坐标； （3）在（1）（2）的条件下，求线段AB在变换过程中扫过图形的面积和． 【答案】（1）见解析，；（2）见解析，B2(4，﹣4)；（3） 【解析】 【分析】（1）分别将点A、B、C向上平移5个单位得到对应点，再顺次连接可得； （2）分别将点A、B、C绕点O顺时针旋转180°得到对应点，再顺次连接可得； （3）平行四边形的面积加上大半圆的面积与小半圆面积的差即可求得． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求，； （2）如图，△A2B2C2即为所求，B2（4，﹣4）； （3）在（1）（2）的条件下，线段AB在变换过程中扫过图形的面积和为： 【点睛】本题考查了作图-平移变换、旋转变换，解题的关键是熟练掌握平移变换和旋转变换的定义和性质． 18. 某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下：甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．经初步整理得如表数据： 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 6 2.6 乙组 7 （1）填空：________，________，________； （2）求乙组的值； （3）若从甲、乙两组中选择一组成绩较好的小组参加决赛，应选________组． 【答案】（1）6，7，7 （2） （3）乙 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的意义．掌握平均数表示一组数据的平均程度，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量是解题的关键． （1）根据平均数、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案； （2）根据方差的计算公式计算即可得出答案； （3）根据平均数，众数，中位数与方差的意义即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意得：甲组位于正中间的两个数均为6，乙组中出现次数最多的是7， ∴；； ； 故答案为：6；7；7 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：根据题意得：两组的平均数相同，乙组的中位数，众数均高于甲组，且乙组的方差小于甲组的， ∴乙组的成绩较好， ∴选乙组． 故答案为：乙 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，半径为的内接，，． （1）求的长； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，作于点H，于点M．得到，．求出即可求出答案； （2）求出，，根据三角形面积公式即可求出答案． 【小问1详解】 解：如图，连接，作于点H，于点M， ， ， ，，， ， ∴， ． 【小问2详解】 解：在中，， ∴， 在中，， ， ． 20. 如图在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，与轴相交于点，已知点的坐标分别为和． （1）求反比例函数的解析式； （2）点为反比例函数图象的任意一点，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象与x轴的交点，坐标与图形，三角形面积，数形结合是解题关键． （1）先通过一次函数求出点B坐标，利用待定系数法即可求出反比例函数解析式； （2）根据图象求出，再根据求出，根据三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：把代入， 得， 解得：， ∴， 把代入， 得， ∴， ∴反比例函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：把代入得：， 即点的坐标为：， 把代入， 得， 解得：， ∴， ， ， ， ， ∴， 当点的纵坐标为3时，则，解得， 当点的纵坐标为时，则，解得， 点的坐标为或． 六、（本题满分12分） 21. 【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： （1）在第1排中，第1个图案中“矩形”的个数可表示为1，第2个图案中“矩形”的个数可表示为，第3个图案中“矩形”的个数可表示为，第4个图案中“矩形”的个数可表示为，第个图案中“矩形”的个数可表示为___________； （2）在第2排中，第个图案中“矩形”的个数可表示为___________ （3）在第排中，第个图案中“矩形”的个数可表示为___________ 【规律应用】 （4）当时，结合图案中“矩形”的排列方式及上述规律，是否存在正整数，使得第排第个图案中“矩形”的个数为225？ 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）存在正整数，使得第排第个图案中“矩形”的个数为225 【解析】 【分析】本题主要考查了图形类规律题，解一元二次方程，根据题意得到规律是解题的关键． （1）根据题意规律可得第个图案中“矩形”的个数可表示为 ； （2）根据题意求出在第2排中，前4个图案中“矩形”的个数，可得到规律即可； （3）求出在第3排中，第个图案中“矩形”的个数可表示为，可得到规律即可； （4）根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：在第1排中，第个图案中“矩形”的个数可表示为 ； 故答案为： （2）根据题意得：在第2排中，第1个图案中“矩形”的个数可表示为， 在第2排中，第2个图案中“矩形”的个数可表示为， 在第2排中，第3个图案中“矩形”的个数可表示为， 在第2排中，第4个图案中“矩形”的个数可表示为， …… 在第2排中，第个图案中“矩形”的个数可表示为； 故答案为： （3）根据题意得：在第3排中，第1个图案中“矩形”的个数可表示为， 在第3排中，第2个图案中“矩形”的个数可表示为， 在第3排中，第3个图案中“矩形”的个数可表示为， 在第3排中，第4个图案中“矩形”的个数可表示为， …… 在第3排中，第个图案中“矩形”的个数可表示为， …… 在第排中，第个图案中“矩形”的个数可表示为； 故答案为： （4）根据题意得：， ∴（负值舍去）， 解得：或（舍去）， ∴存在正整数，使得第排第个图案中“矩形”的个数为225． 七、（本题满分12分） 22. 在中，，，，点O是边的中点，将绕点O顺时针旋转得到（点A，B的对应点分别为，），点不在直线上，连接． （1）如图1，连接，，，求证：四边形是矩形； （2）如图2，当落在边上时，与交于点M，连接，，求线段的长； （3）在旋转过程中，点G为的中点，连接，的最大值是________． 【答案】（1）见解析 （2） （3）7 【解析】 【分析】（1）根据中点和旋转的性质可得，以此可证明四边形是平行四边形，再由其对角线相等即可证明； （2）根据同角的余角相等得，由等边对等角得，进而得到，，于是，利用勾股定理求得，则，易证明，利用相似三角形的性质求出，再利用线段之间的关系计算即可； （3）连接，，由勾股定理求出，由是的中位线，得到，根据，得到，即可求出的最大值是． 【小问1详解】 证明：∵在中，，点O是边的中点， ∴， ∵绕点O顺时针旋转得到， ∴， ， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接，， ∵点O是边的中点，， ∴， ∴， 由旋转可得点O是边的中点，， ∵点G为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵中，当、、三点共线时取等号， ∴， ∴，即， ∴的最大值是． 八、（本题满分14分） 23. 已知二次函数，其中a，b为两个不相等的实数，与轴交点坐标为． （1）当时，求的值； （2）当时，点在该函数图象上，且，求整数的值； （3）若，对于该函数图象的顶点坐标，满足，求的取值范围． 【答案】（1） （2）整数的值为，，， （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与轴的交点问题． （1）将，代入解析式，即可求解； （2）分别表示出，根据得出，根据得出，则，根据抛物线与轴交点坐标为，得出，进而求得的取值范围； （3）根据题意可得，根据函数图象的顶点坐标，得出，根据得出，进而求得的取值范围． 【小问1详解】 解：当时，二次函数． ∵函数与y轴交于点， ∴， 【小问2详解】 解：当时，二次函数， 已知点在该函数图像上，则， ∵， ∴， 解得． ∵， ∴， 即． ∵函数与y轴交点坐标为， 当时，． ∵， ∴， 则， 即， 所以整数的值为，，，； 【小问3详解】 解：∵函数与y轴交点坐标为， 将代入，得． 当时，， 该函数图象的顶点坐标， ∴， ∵， ∴，即， ∴ ∵， ∴， ∴，即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学（二） 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卷上注意事项的要求直接把答案填写在答题卷上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列各数中，最大的数是（　　） A. 0 B. C. D. 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 4. 若自然数满足，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 关 于x 的方程（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　） A. 两个正根 B. 两个负根 C. 一个正根， 一个负根 D. 无实数根 6. 如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 现代电子技术飞速发展，许多家庭都用起了密码锁，只要正确输入密码即可打开门．小明家的密码锁密码由六个数字组成，每个数字都是从中任选的，小明记得前五个数字，第六个数字只记得是偶数，他一次随机试验就能打开门的概率为(　　) A. B. C. D. 8. 已知三个实数a，b，c满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 9. 如图（a），在中，，为边的高，，，分别为边，上的动点，且．设的长为，的面积为，图（b）为点运动时随变化的关系图象，则的长度为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 6 10. 如图，在中，，，以为边作，，点D与点A在的两侧，则的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 某种细菌的直径是，用科学记数法表示为：____________. 12. 已知，，则的值为________． 13. 如图，为半圆O的直径，C，D是圆上两点，，，则________． 14. 如图，在正方形中，是上任意一点，连接与关于对称，延长线与延长线交于点，连接交于点． （1）度数为______； （2）若点是中点，，则的长为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 解不等式组 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图所示，在边长为1cm的小正方形组成的网格中． （1）将沿y轴正方向向上平移5个单位长度后，得到，请作出，并求出的长度； （2）再将绕坐标原点O顺时针旋转180°，得到，请作出，并直接写出点的坐标； （3）在（1）（2）的条件下，求线段AB在变换过程中扫过图形的面积和． 18. 某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下：甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．经初步整理得如表数据： 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 6 2.6 乙组 7 （1）填空：________，________，________； （2）求乙组的值； （3）若从甲、乙两组中选择一组成绩较好的小组参加决赛，应选________组． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，半径为的内接，，． （1）求的长； （2）求的面积． 20. 如图在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，与轴相交于点，已知点的坐标分别为和． （1）求反比例函数的解析式； （2）点为反比例函数图象的任意一点，若，求点的坐标． 六、（本题满分12分） 21. 【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： （1）在第1排中，第1个图案中“矩形”的个数可表示为1，第2个图案中“矩形”的个数可表示为，第3个图案中“矩形”的个数可表示为，第4个图案中“矩形”的个数可表示为，第个图案中“矩形”的个数可表示为___________； （2）在第2排中，第个图案中“矩形”的个数可表示为___________ （3）在第排中，第个图案中“矩形”的个数可表示为___________ 【规律应用】 （4）当时，结合图案中“矩形”的排列方式及上述规律，是否存在正整数，使得第排第个图案中“矩形”的个数为225？ 七、（本题满分12分） 22. 在中，，，，点O是边的中点，将绕点O顺时针旋转得到（点A，B的对应点分别为，），点不在直线上，连接． （1）如图1，连接，，，求证：四边形是矩形； （2）如图2，当落在边上时，与交于点M，连接，，求线段的长； （3）在旋转过程中，点G为的中点，连接，的最大值是________． 八、（本题满分14分） 23. 已知二次函数，其中a，b为两个不相等的实数，与轴交点坐标为． （1）当时，求的值； （2）当时，点在该函数图象上，且，求整数的值； （3）若，对于该函数图象的顶点坐标，满足，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $