精品解析：2026年安徽省阜阳市临泉县第四中学等校二模数学(A卷)（试题卷）

数学（A卷）（试题卷） 注意事项： 1.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列各数中，比小的数是（） A. B. C. D. 2. 若，则下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在化学实验室里，一个实验量杯如图水平放置，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 国家电影局发布数据：2026年春节全国电影票房为57.52亿元，其中57.52亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，点在边上，于，为的中点，连接，若，则（ ）． A. B. C. D. 7. 已知一次函数的图象经过不同的两点和，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点在边上移动（不与点，重合），以为一边作，连接，则下列为定值的是（ ） A. 的面积 B. 四边形的面积 C. D. 9. 已知实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，为的中点，延长至点，使得，P、Q分别为、上的动点，，连接，作于点，连接，，，，，则下列结论错误的是（ ） A. 的最小值为 B. 面积的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：_________． 12. 如图，在正n边形中（n为大于3的整数），A、B、C、D四个顶点连续，两条对角线，相交于点P，设，则_____．（用含的式子表示） 13. 能表示为两个不同正整数的平方和的数称为“希望数”，如：，则称13为“希望数”．在3，5，9，10这四个数中，随机选取两个数，这两个数均为“希望数”的概率是_____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，，反比例函数的图象分别与交于点为的中点． （1）_____； （2）分别连接，，若的面积为，则_____． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系的顶点均为格点（网格线的交点），其中点的坐标为． （1）将先向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，画出； （2）将绕点顺时针旋转，得到，画出； （3）在平面直角坐标系的第三象限内找一点，使得点在线段的垂直平分线上，直接写出点的坐标为_____． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某公司使用甲、乙两种文字生成软件，同时使用每秒钟可以生成400个字符的文章内容，升级后同时使用每秒钟可以生成450个字符的文章内容，其中甲软件生成字符效率比升级前增加，乙软件生成字符效率比升级前增加，求该公司使用的甲、乙两种文字生成软件在升级前每秒钟分别可以生成字符的个数． 18. 如图，一尊横截面为凹四边形的雕塑矗立在地面上，数学兴趣小组测得，求的长． 参考数据：；． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某班级同学在老师的带领下前往某乡调查该乡28岁岁男性农民去年的年收入(以下简称年收入)，为乡村全面振兴提供参考．他们将调查的年收入(万元)样本分为如下五组：A组：，B组：，C组：，D组：，E组：．其中，A组数据为,,,,,,,．根据样本数据绘制了不完整的统计图(如图所示)． 根据以上信息，完成下列问题： （1）_____，在扇形统计图中B组所对应的扇形圆心角是_____． （2）A组数据的中位数是_____，众数是_____； （3）该乡28岁～60岁男性农民共有4600人，根据样本估计有多少人去年的年收入达到或超过10万元？ 20. 如图，内接于，，分别为，的中点，连接分别为，于，两点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践 【项目主题】班级劳动实践小组拟用正方形和等腰直角三角形地砖铺设社区小广场． （1）【项目准备】已知图中小正方形地砖的面积为，则等腰直角三角形地砖的面积为①_____，图形中心的稍大正方形地砖的面积为②_____． （2）【项目分析】第1个图形中，小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为； 第2个图形中，小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为； 第3个图形中，小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为； ．．． 根据规律， 第4个图形中，小正方形的个数为③_____，等腰直角三角形的个数为④_____， （3）【项目实施】如果社区小广场是按以上方法铺设的面积为的正方形广场，则需要小正方形地砖的块数为⑤_____，等腰直角三角形地砖的块数为⑥_____． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①_____；②_____；③_____；④_____；⑤_____．⑥_____． 七、（本题满分12分） 22. 在四边形中，为两条对角线，． （1）如图1，若． （i）求证：； （ii）已知，求的长； （2）如图2，若平分，，过点作的垂线，交的延长线于点，求证：． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线和直线同时经过，两点． （1）求的值； （2）若两点均在抛物线上，且．当时，求的最大值； （3）若点在线段上（不与点，重合），点在抛物线（）上，且，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学（A卷）（试题卷） 注意事项： 1.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列各数中，比小的数是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有理数大小比较，利用“正数大于负数，两个负数比较，绝对值大的数反而小”的规则即可求解． 【详解】解：、，不符合题意； 、由，， ∵， ∴，不符合题意； 、由，， ∵， ∴，符合题意； 、，不符合题意． 2. 若，则下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、当时，，原式计算错误，不符合题意； B、当时，，原式计算错误，不符合题意； C、，则，原式计算错误，不符合题意； D、，则，原式计算正确，符合题意． 3. 在化学实验室里，一个实验量杯如图水平放置，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】俯视图是从物体的上面看，所得到的图形． 【详解】解：一个实验量杯如图水平放置，它的俯视图为两个同心圆． 4. 国家电影局发布数据：2026年春节全国电影票房为57.52亿元，其中57.52亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题关键是正确换算单位并确定和的值． 【详解】解：∵亿， ∴亿， 根据科学记数法对的要求，对式子变形得． 5. 下列方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：将方程化为一般式，判断的取值，若则方程没有实数根。 选项A，化为一般式得，，方程有两个相等的实根，不符合题意； 选项B，化为一般式得，，方程没有实数根，符合题意； 选项C，化为一般式得，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； 选项D，化为一般式得，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 6. 如图，在中，，，点在边上，于，为的中点，连接，若，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，即，解直角三角形可得、，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，最后代入化简即可． 【详解】解：设，则，即， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴． 7. 已知一次函数的图象经过不同的两点和，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用待定系数法求得，根据题意得到，求得，据此求解即可判断． 【详解】解：∵一次函数的图象经过不同的两点和， ∴，且， ∴得， ∵， ∴， ∴随的增大而增大，观察四个选项，选项A符合题意． 8. 如图，在中，点在边上移动（不与点，重合），以为一边作，连接，则下列为定值的是（ ） A. 的面积 B. 四边形的面积 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于，由已知可得，、、、、、的值不定，分别表示出的面积、的面积，再根据四边形的面积的面积的面积的面积，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作于， ∵点在边上移动（不与点，重合），以为一边作， ∴，、、、、、的值不定， ∵的面积，的面积， ∴的面积、、不是定值， 四边形的面积的面积的面积 的面积， 四边形的面积为定值． 故选：B． 9. 已知实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由已知得，再将不等式变形，整体代入得，再由分别得到，，分别代入，解不等式即可得出答案． 【详解】， ， ， ， ∴， ∴， 由，得， ， ∴； 由得， ， ． 故选：D． 10. 如图，在中，，，为的中点，延长至点，使得，P、Q分别为、上的动点，，连接，作于点，连接，，，，，则下列结论错误的是（ ） A. 的最小值为 B. 面积的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】设，在中利用勾股定理表示出，再配方即可求出极值来判断A项；设，表示出的面积，再配方即可求出极值来判断B项；过点作于，连接，结合三角形中两边之和大于第三边，可得出不等式，再根据的面积得，可求出，随即可判断D项；过点作的垂线，在这条垂线上取一点，使得，先证明，根据，可得的最小值为，利用相似可得，进而求出、，进而可得、，可判断C项． 【详解】解：∵，为的中点，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即 ， 当时，取最小值为，故A正确； 设，则，， 当时，面积的最大值为，故B正确； 如图1，过点作于，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴，即， 又∵， ∴ 的最小值为， ， ， 由的面积得， ， 的最小值为，故D正确； 如图2，过点作的垂线，在这条垂线上取一点，使得， ， ， ， 连接交于， ， 即的最小值为， 即的最小值为， ， ，即， ，， ，， ，，， 的最小值为，故C错误．故选C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，两点之间线段最短等知识． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的化简、绝对值的性质即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式的运算，绝对值的性质，掌握二次根式的运算法则，绝对值的性质是解题的关键． 12. 如图，在正n边形中（n为大于3的整数），A、B、C、D四个顶点连续，两条对角线，相交于点P，设，则_____．（用含的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】先由所给条件得出，从而由等量关系可得出，由三角形内角和为即可得出答案． 【详解】解：在正n边形中，A、B、C、D四个顶点连续， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ，， ． 13. 能表示为两个不同正整数的平方和的数称为“希望数”，如：，则称13为“希望数”．在3，5，9，10这四个数中，随机选取两个数，这两个数均为“希望数”的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据“希望数”的定义判断四个数中的“希望数”个数，再列举出随机选取两个数的所有等可能结果，最后根据概率公式计算所求概率． 【详解】解：根据定义判断各数是否为“希望数”： 无法写成两个不同正整数的平方和，不是“希望数”， ，能写成两个不同正整数的平方和，是“希望数”， 无法写成两个不同正整数的平方和，不是“希望数”， ，能写成两个不同正整数的平方和，是“希望数”， 因此中共有个“希望数”，随机从四个数中选取两个数，所有等可能的结果共种，其中两个数均为“希望数”的结果共种， 根据概率公式得：。 14. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，，反比例函数的图象分别与交于点为的中点． （1）_____； （2）分别连接，，若的面积为，则_____． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】先设线段，结合边长关系写出点B坐标，代入反比例函数解析式，求出a与的关系式．利用中点坐标求出点C坐标，代入另一反比例函数，求出与的关系式，进而算出的值．根据点位置和反比例函数特点，求出点D坐标．借助反比例函数k的几何意义，利用等面积替换，把面积转化为梯形面积．套用梯形面积公式列方程，求出，再代入求出a、b，最后计算． 【详解】解：（1）设， ，， 点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， ， ． 是的中点， 点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， ， ． ． （2）过点作轴于点， 点在上，横坐标为，且在反比例函数上， 点的纵坐标为，即． 点、都在反比例函数上， ，， ． ， ． 已知， ． 梯形的上底，下底，高， ． 即： ． ，， ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先利用分式的混合运算法则化简，然后将代入求值即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系的顶点均为格点（网格线的交点），其中点的坐标为． （1）将先向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，画出； （2）将绕点顺时针旋转，得到，画出； （3）在平面直角坐标系的第三象限内找一点，使得点在线段的垂直平分线上，直接写出点的坐标为_____． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）利用平移的性质作出图形即可； （2）根据旋转的性质找到点A，B，C的对应点，再顺次连接即可； （3）根据线段的中点为，作出线段的垂直平分线即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：作出线段的垂直平分线，在平面直角坐标系的第三象限内找一点的坐标为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某公司使用甲、乙两种文字生成软件，同时使用每秒钟可以生成400个字符的文章内容，升级后同时使用每秒钟可以生成450个字符的文章内容，其中甲软件生成字符效率比升级前增加，乙软件生成字符效率比升级前增加，求该公司使用的甲、乙两种文字生成软件在升级前每秒钟分别可以生成字符的个数． 【答案】该公司使用的甲、乙两种文字生成软件在升级前每秒钟分别可以生成字符100个，300个 【解析】 【分析】设该公司使用的甲、乙两种文字生成软件在升级前每秒钟分别可以生成字符的个数为个，然后根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设该公司使用的甲、乙两种文字生成软件在升级前每秒钟分别可以生成字符的个数为个 根据题意得， 解得. 答：该公司使用的甲、乙两种AI文字生成软件在升级前每秒钟分别可以生成字符100个，300个． 18. 如图，一尊横截面为凹四边形的雕塑矗立在地面上，数学兴趣小组测得，求的长． 参考数据：；． 【答案】的长约为 【解析】 【分析】过点作于，设，分别求得，根据，建立方程得出，根据，求得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，设， 在中，， ， ， 在中，， , , ，解得， 在中，． 答：的长约为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某班级同学在老师的带领下前往某乡调查该乡28岁岁男性农民去年的年收入(以下简称年收入)，为乡村全面振兴提供参考．他们将调查的年收入(万元)样本分为如下五组：A组：，B组：，C组：，D组：，E组：．其中，A组数据为,,,,,,,．根据样本数据绘制了不完整的统计图(如图所示)． 根据以上信息，完成下列问题： （1）_____，在扇形统计图中B组所对应的扇形圆心角是_____． （2）A组数据的中位数是_____，众数是_____； （3）该乡28岁～60岁男性农民共有4600人，根据样本估计有多少人去年的年收入达到或超过10万元？ 【答案】（1）30，54 （2）， （3）估计有3542人去年的年收入达到或超过10万元 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图、中位数与众数、用样本估计总体；解题的关键是结合统计图信息，利用频数、频率、总数的关系计算，并掌握中位数、众数的定义． （1）由A组频数与对应百分比求总人数，再求C组频数，用B组频数占比求圆心角； （2）将A组数据排序，根据中位数、众数定义求解； （3）先求样本中年收入达到或超过万元的频率，再用总人数乘以该频率估计总体人数． 【小问1详解】 解：样本总数：（人）， C组频数：， B组对应圆心角：． 故答案为：． 【小问2详解】 解：A组数据排序：， ， ， ， ， ， ， ，中位数：， 众数：（出现2次，次数最多）． 故答案为：． 【小问3详解】 解：样本中年收入达到或超过万元的频率， 估计总体人数：（人）． 答：估计有人去年的年收入达到或超过万元． 20. 如图，内接于，，分别为，的中点，连接分别为，于，两点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，首先得到，，，等量代换得到，推出，即可得到； （2）证明，得到，然后代入得到，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ．分别为的中点， ，，， ，， ， ， ； 【小问2详解】 解：是的中点， ， ， 又， ， ， ，， ， ， ， ， ． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践 【项目主题】班级劳动实践小组拟用正方形和等腰直角三角形地砖铺设社区小广场． （1）【项目准备】已知图中小正方形地砖的面积为，则等腰直角三角形地砖的面积为①_____，图形中心的稍大正方形地砖的面积为②_____． （2）【项目分析】第1个图形中，小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为； 第2个图形中，小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为； 第3个图形中，小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为； ．．． 根据规律， 第4个图形中，小正方形的个数为③_____，等腰直角三角形的个数为④_____， （3）【项目实施】如果社区小广场是按以上方法铺设的面积为的正方形广场，则需要小正方形地砖的块数为⑤_____，等腰直角三角形地砖的块数为⑥_____． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①_____；②_____；③_____；④_____；⑤_____．⑥_____． 【答案】①；②2；③56；④28；⑤756；⑥84 【解析】 【分析】（1）根据题目条件及图形计算即可； （2）根据图片的序号与图形中的数据关系，找出规律即可； （3）由（2）中的数量关系列方程求解即可． 【详解】解：（1）图中小正方形地砖的面积为，则等腰直角三角形地砖的面积是小正方形地砖的面积的一半，为，图形中心的稍大正方形地砖的面积是小正方形地砖的面积的两倍，为； （2）第1个图形可分成4个等腰梯形， 其中1个等腰梯形中，小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为， 第1个图形中小正方形的个数为 ，等腰直角三角形的个数为； 第2个图形中小正方形的个数为 ，等腰直角三角形的个数为 ， 第3个图形中小正方形的个数为 ，等腰直角三角形的个数为； 第4个图形中小正方形的个数为 ，等腰直角三角形的个数为 ； （3）第个图形中小正方形的个数为 ，等腰直角三角形的个数为 ； 第1个图形的面积是， 第2个图形的面积是， 第3个图形的面积是， ．．． 第个图形的面积是， 当 时，解得（负值舍去）， 当时，． 铺设该广场需要小正方形地砖的块数为756，等腰直角三角形地砖的块数为84． 七、（本题满分12分） 22. 在四边形中，为两条对角线，． （1）如图1，若． （i）求证：； （ii）已知，求的长； （2）如图2，若平分，，过点作的垂线，交的延长线于点，求证：． 【答案】（1）（i）证明见解析；（ii） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）（i）证明即可得到结论；（ii）延长相交于点，求出，，，证明，利用相似三角形的性质即可求出答案； （2）过点作于，证明四边形为正方形，则，证明，则，根据线段的和差关系即可得到结论． 【小问1详解】 解：（i）证明，如图，作的平分线交于，则， ． ． ∵ ∴ ； （ii）如图，延长相交于点， ， 又 ， ， ∴ ∴， ∴， ∴ ， ∴ ∴ 【小问2详解】 如图，过点作于， ∵， ∴四边形为正方形， ， ， 在和中， ∴ ． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线和直线同时经过，两点． （1）求的值； （2）若两点均在抛物线上，且．当时，求的最大值； （3）若点在线段上（不与点，重合），点在抛物线（）上，且，当时，求的值． 【答案】（1） （2）的最大值为 （3） 【解析】 【分析】（1）将代入可求得a、c，再将代入可求得b； （2）先说明抛物线的对称轴为直线，再分，两点关于直线对称和不对称两种情况，分别求最值即可； （3）由（1）知直线为，即 ，进而得到，整理得 ，然后求解并取符合题意的解即可． 【小问1详解】 ．解：直线经过两点， ，解得， 抛物线经过点， ，即，解得． 综上，． 【小问2详解】 解：由（1）知抛物线为， 其对称轴为直线， 若，两点关于直线对称，则； 若两点不关于直线对称， 则由题意得， ， ， ，即的最大值为． 综上，的最大值为． 【小问3详解】 解：由（1）知直线为， 由题意得： ， ， ， ， ， ， ， 整理得 ， ，解得：或， ， ， （不合题意，舍去）， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $