精品解析：福建宁德市福安市2025-2026学年八年级下学期期中考试数学试题

福安市初中2025-2026学年（下）期中市本练习 初二数学 （满分：100分 时间：90分钟） 友情提示：请将解答写在答题卡上！ 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂） 1. 剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．下列剪纸图案中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A．是中心对称图形，符合题意； B．不是中心对称图形，不符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 2. 已知，下列运用不等式基本性质变形不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据不等式的基本性质，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、不等式两边都减去5，不等号方向不变，故此选项正确，不符合题意； B、不等式两边都加上5，不等号方向不变，故此选项正确，不符合题意； C、不等式两边都乘以5，不等号方向不变，故此选项正确，不符合题意； D、不等式两边都乘以，不等号方向改变，即，故此选项不正确，符合题意． 故选：D． 3. 如图，在中，，则的长是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据30度角的性质作答即可． 【详解】解：∵， ∴． 4. 若，则的值是（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】将等式右侧的完全平方展开，对比等式左右同类项的系数，即可求出的值 【详解】解：∵，， ∴． 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示为：． 6. 若的三个内角是，且，则此三角形（ ） A. 一定有一个内角为 B. 一定有一个内角为 C. 一定是直角三角形 D. 一定是等边三角形 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵三角形内角和为 ∴ 又∵ ∴ 解得 ∴此三角形一定有一个内角为． 7. 用反证法证明命题“在中，若，则．”时，应先假设，则所得结论与下列选项相矛盾的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反证法先假设原结论不成立，经过推导推出矛盾，即可证明原结论成立． 【详解】解：∵假设，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得， ∴该结论与原命题已知条件相矛盾， 因此矛盾对应的选项为． 8. 如图，为的角平分线，于点，点为边上的动点，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质，当动点运动到点时，时，有最小值时，，即可． 【详解】解：过点作于点， ∵为的角平分线，于点， ∴， ∵点为边上的动点，， ∴点与点重合时，，，此时有最小值，即， ∴． 9. 如图，在的正方形网格中，是由绕某点旋转一定的角度得到的，G，H，P，Q都在网格线的交点上，则其旋转中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转图形的性质．根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，线段垂直平分线的交点即为所求． 【详解】解：绕点H逆时针旋转得到． 故选：D． 10. 将直线绕原点旋转得到直线，再将直线向下平移5个单位长度得到直线，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取直线上任意两点，得到绕原点旋转后的对应点，进而求出直线，根据平移的性质求出直线，进而求不等式即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴直线经过，， ∵，绕原点旋转后的对应点分别为，， ∴直线经过，， 设直线， 则， 解得：， 即， 将直线向下平移5个单位长度得到直线， 则不等式的解集即为不等式的解集， 解得． 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分．请将答案填入答题卡的相应位置） 11. 某品牌纯牛奶一瓶净含量是200毫升，且每100毫升中含有的原生高钙不少于120毫克，那么这样的一瓶纯牛奶中原生高钙的含量至少是______毫克． 【答案】240 【解析】 【分析】根据题干给出的不等关系列式计算，即可得到答案． 【详解】解：每毫升中含有的原生高钙不少于毫克， 毫升中含有的原生高钙（毫克）， 这样的一瓶纯牛奶中原生高钙的含量至少是毫克． 12. 命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是_____命题．(填“真”或“假”) 【答案】假 【解析】 【分析】首先分清题设是：两个三角形全等，结论是：对应角相等，把题设与结论互换即可得到逆命题，然后判断正误即可． 【详解】解：“全等三角形的对应角相等”的题设是：两个三角形全等，结论是：对应角相等，因而逆命题是：对应角相等的三角形全等．是一个假命题． 故答案为：假． 【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 13. 如图，将线段沿某一方向平移得到线段，若，四边形的周长为，则________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据平移的性质得到，进而求出，即可得到的值． 【详解】解：由平移的性质可知， ∵四边形的周长为， ∴， ， ， ． 14. 如图，在中，点在边上，垂直平分，垂足为点，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出，再由等边对等角得到 ，最后在中利用三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴ ， ∴ ． 15. 如图所示的四个长方形正好拼成一个面积为的大长方形，由此可得出因式分解后的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出图形，然后通过面积的两种求法即可求解． 【详解】解：如图， 大长方形的面积可以表示为一个正方形和五个长方形的面积之和： ， 还可以表示为：长宽， ∴可得到因式分解的式子为． 16. 如图，点为等边内一点，，，，交于点，若，则的长是________． 【答案】## 【解析】 【分析】延长交于点，过点作于点，得出是等边三角形，在中，得出，在中，得出，，求得，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，过点作于点 ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴是等边三角形， ∴ 在中，，， ∴， 在中，， ∴ ∴ ∴，， ∴ ∴ 三、解答题（本大题有7题，共52分．请在答题卡的相应位置作答） 17. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 18. 如图，，垂足为点，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】证明，得到，可知． 【详解】证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，在中，点在边上，且，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边对等角及三角形内角和定理得到，进而可知的度数，根据等角对等边可知的长． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 年国家进一步实施家电以旧换新补贴政策：购买一级能效家电时，旧家电由商家回收后，按以旧换新折价后售价的给予补贴，单件补贴不超过元．小明家准备购买一台一级能效空调，经商家评估后，小明家旧家电可以折价元，享受补贴后实际付款不超过元．求这台空调的售价最高是多少元？ 【答案】元 【解析】 【分析】设这台空调的售价为元，根据题意列出不等式解答即可求解． 【详解】解：设这台空调的售价为元， 根据题意，得 ， 解得， 当 时，补贴金额为 （元）， ∵ ， ∴未超过补贴上限， ∴该空调的最高售价为元． 21. 如图是由边长为个单位长度的小正方形组成的网格，点都在格点上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图．（辅助线用虚线表示，所作图形用实线表示） （1）在图中，作，使是由绕点旋转得到的，点的对应点是点，且点都在格点上； （2）在图中，作，使是由平移得到的，点的对应点分别是点，且点落在的角平分线上，． 【答案】（1）画图见解析 （2）画图见解析 【解析】 【分析】（）根据旋转的性质画出图形即可； （）取格点，连接，由网格可知，取的中点，连接并延长至格点，由等腰三角形的性质可知点落在的角平分线上，利用平移的性质即可画出，又由网格可得， ，所以有，故即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求． 22. 【探究】希望中学八年级数学兴趣小组在学习了不等式的基本性质后，通过探究发现：若，则． 数学兴趣小组给出的理由如下： 解：∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． 【思考】数学兴趣小组在【探究】发现的基础上，得出命题：若，，则． 【应用】问题：若，试比较与的大小关系，并说明理由． （1）请将【思考】中所得命题的条件①②补充完整，使得该命题是真命题，并写出推理过程； （2）解决【应用】中的问题． 【答案】（1）①，②，见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】（1）先证明，再证明，即求证； （2）先作差化简得到，再因式分解，而，则，故，即可证明． 【小问1详解】 解：若，则； 证明：∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． 【小问2详解】 解：． 理由： ． ∵， ∴． ∴． ∴， 即． 23. 如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，点的坐标为，点的坐标为，平分，交于点，将绕点沿顺时针方向旋转得到，交于点，点的坐标为，连接． （1）求的长； （2）求点的坐标； （3）设的面积为，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据等腰三角形性质得，利用勾股定理计算长度，即可得长； （2）过点作于点，于点，根据角平分线定理及求出的长，求出直线的解析式，进而求出点的坐标； （3）在轴上截取，连接，证明和，求出点的坐标，用表示，即可求的取值范围． 【小问1详解】 解：点的坐标为，点的坐标为， ． 为等腰三角形，， ． 在中，． 【小问2详解】 解：如图1， 过点作于点，于点， 平分，， ，， ， 设直线的解析式为，则 将点的坐标，点的坐标代入，得， 解得， 直线的解析式为， 将点的纵坐标3代入，得， 点的坐标为． 【小问3详解】 解：如图2，在轴上截取，连接， 是由旋转得到的，≌， ．≌， ，， ，点的坐标为， 点的坐标为，， 点的坐标为．， ， ，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福安市初中2025-2026学年（下）期中市本练习 初二数学 （满分：100分 时间：90分钟） 友情提示：请将解答写在答题卡上！ 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂） 1. 剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．下列剪纸图案中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，下列运用不等式基本性质变形不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，则的长是（ ） A. B. 1 C. D. 4. 若，则的值是（ ） A. B. 3 C. D. 6 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若的三个内角是，且，则此三角形（ ） A. 一定有一个内角为 B. 一定有一个内角为 C. 一定是直角三角形 D. 一定是等边三角形 7. 用反证法证明命题“在中，若，则．”时，应先假设，则所得结论与下列选项相矛盾的是（） A. B. C. D. 8. 如图，为的角平分线，于点，点为边上的动点，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在的正方形网格中，是由绕某点旋转一定的角度得到的，G，H，P，Q都在网格线的交点上，则其旋转中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 10. 将直线绕原点旋转得到直线，再将直线向下平移5个单位长度得到直线，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分．请将答案填入答题卡的相应位置） 11. 某品牌纯牛奶一瓶净含量是200毫升，且每100毫升中含有的原生高钙不少于120毫克，那么这样的一瓶纯牛奶中原生高钙的含量至少是______毫克． 12. 命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是_____命题．(填“真”或“假”) 13. 如图，将线段沿某一方向平移得到线段，若，四边形的周长为，则________． 14. 如图，在中，点在边上，垂直平分，垂足为点，，，则________． 15. 如图所示的四个长方形正好拼成一个面积为的大长方形，由此可得出因式分解后的结果是______． 16. 如图，点为等边内一点，，，，交于点，若，则的长是________． 三、解答题（本大题有7题，共52分．请在答题卡的相应位置作答） 17. 因式分解： （1）； （2）． 18. 如图，，垂足为点，．求证：． 19. 如图，在中，点在边上，且，求的长． 20. 年国家进一步实施家电以旧换新补贴政策：购买一级能效家电时，旧家电由商家回收后，按以旧换新折价后售价的给予补贴，单件补贴不超过元．小明家准备购买一台一级能效空调，经商家评估后，小明家旧家电可以折价元，享受补贴后实际付款不超过元．求这台空调的售价最高是多少元？ 21. 如图是由边长为个单位长度的小正方形组成的网格，点都在格点上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图．（辅助线用虚线表示，所作图形用实线表示） （1）在图中，作，使是由绕点旋转得到的，点的对应点是点，且点都在格点上； （2）在图中，作，使是由平移得到的，点的对应点分别是点，且点落在的角平分线上，． 22. 【探究】希望中学八年级数学兴趣小组在学习了不等式的基本性质后，通过探究发现：若，则． 数学兴趣小组给出的理由如下： 解：∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． 【思考】数学兴趣小组在【探究】发现的基础上，得出命题：若，，则． 【应用】问题：若，试比较与的大小关系，并说明理由． （1）请将【思考】中所得命题的条件①②补充完整，使得该命题是真命题，并写出推理过程； （2）解决【应用】中的问题． 23. 如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，点的坐标为，点的坐标为，平分，交于点，将绕点沿顺时针方向旋转得到，交于点，点的坐标为，连接． （1）求的长； （2）求点的坐标； （3）设的面积为，且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $