精品解析：福建宁德市霞浦县2025-2026学年第二学期阶段性训练八年级数学试题

2025-2026学年第二学期阶段性训练 八年级数学试题 （满分100分，训练时间120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个以航天为主题的图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，且，则a的值可能是（ ） A. B. 0 C. D. 3. 下列因式分解正确的是（　　　） A. B. C. D. 4. 将点向左平移1个单位长度得到点，那么点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形 6. 下列生活现象中属于平移的是（ ）． A. 坐在秋千上人的运动 B. 升降式电梯的运动 C. 时钟上的秒针在不停地转动 D. 教室开门时门的运动 7. 如图，在等腰三角形中，于点，于点．若，则的长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，求证：，当用反证法证明时，第一步应假设（　　） A. B. C. D. 9. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动．各组展示作图痕迹如下，其中是的角平分线，判断正确的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①③④ D. ①②④ 10. 用表示不超过的最大整数，如，正整数小于，并满足等式，这样的正整数的个数是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分． 11. 因式分解：_________． 12. 用不等式表示“a的5倍与3的差是正数”是_________． 13. 正五边形外角和的度数是_____． 14. 如图，中，是的垂直平分线，如果，的周长为，则的周长为______． 15. 如图直线（）经过点，则不等式的解集是_________． 16. 如图，在中，平分，过点作，垂足为点，为的中点，连接，，若，则图中两个阴影部分面积之差的最大值是______． 三、解答题（共8小题，总分58分．每题须有必要的文字说明和解答过程） 17. 因式分解： ． 18. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 19. 已知：如图，点C，E在线段上，．求证：． 20. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，已知点C的坐标为． （1）画出以点O为旋转中心，将按逆时针方向旋转后得到的； （2）画出关于原点O对称的． 21. 我县享有“画本霞浦，千鲜之城”的美称，吸引了大量游客，某商铺销售A款和B款两种特色海鲜礼品．已知若卖出A款1件和B款3件特色海鲜礼品，总销售额为460元；若卖出A款2件和B款1件特色海鲜礼品，总销售额为420元． （1）求每件A款和B款特色海鲜礼品售价各是多少元； （2）某游客准备用2000元，购买A款和B款两种特色海鲜礼品共15件，则该旅客最多可以买到多少件A款特色海鲜礼品？ 22. 在函数学习中，我们经历了“确定函数的解析式——利用函数图象研究其性质———运用函数解决问题”的学习过程．同时，我们也学习了绝对值的意义： 【尝试】 探究函数的图象与性质． 此函数是我们未曾学过的函数，于是小明尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是小明的探究过程，请你补充完整． （1）列表： 根据下表格中的信息可得_______． x … 0 1 2 3 4 … y … 2 0 b 0 … （2）请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象． 【解决问题】 （3）结合画出的函数图象，解决问题： ①写出函数的一条性质____________： ②求关于x的不等式的解集． 23. 数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（x，y均为自然数．） （1）指导教师将学生的发现过程进行整理，部分信息如下（n为正整数）； N 奇数 4的倍数 表示结果 … … 一般结论 _____________ 按上表规律，完成下列问题： ①（_________）（________）； ②______________________； （2）若x，y均为奇数，设，其中k，m均为自然数，试说明：整数为4的倍数； （3）兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，…，这些形如（n为正整数）的正整数N不能表示为（x，y均为自然数）．请判断兴趣小组猜测是否正确．若正确，请给出证明；若不正确，请举出反例． 24. 【模型定义】 它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】 （1）如图1，若和均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接，易证，则的度数为________； （2）如图2，点P是等腰直角中内部一点，，且，以为直角边构造等腰直角，点C为直角顶点，则求的度数及的长； （3）如图3，若，则求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期阶段性训练 八年级数学试题 （满分100分，训练时间120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个以航天为主题的图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； B、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； C、是中心对称图形，符合题意，选项正确； D、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； 故选：C． 2. 若，且，则a的值可能是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵，且， ∴， ∴选项中满足题意． 3. 下列因式分解正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解的方法，提公因式法及公式法依次进行计算判断即可． 【详解】解：A、ax+ay=a(x+y)，故选项计算错误； B、3a+3b=3(a+b)，选项计算正确； C、，选项计算错误； D、不能进行因式分解，选项计算错误； 故选：B． 【点睛】题目主要考查因式分解的判断及应用提公因式法与公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 4. 将点向左平移1个单位长度得到点，那么点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】平移规律为：左右平移改变点的横坐标，左减右加；上下平移改变点的纵坐标，上加下减，本题仅向左平移，按规律计算横坐标即可，纵坐标保持不变． 【详解】解：∵点向左平移1个单位长度得到点， 根据平移规律，左移横坐标减，纵坐标不变， ∴的横坐标为，纵坐标仍为， ∴点的坐标为． 5. 已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】先根据三角形内角和定理求出第三个内角的度数，再根据三角形分类规则判断三角形类型即可． 【详解】解：该三角形第三个内角的度数为， 最大的内角为， ∴这个三角形为锐角三角形， ∵这个三角形有两个内角相等， ∴这个三角形一定是等腰三角形． 6. 下列生活现象中属于平移的是（ ）． A. 坐在秋千上人的运动 B. 升降式电梯的运动 C. 时钟上的秒针在不停地转动 D. 教室开门时门的运动 【答案】B 【解析】 【分析】某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移，据此一一分析，即可选出正确答案． 【详解】解：A、C、D均不属于平移；只有B属于平移． 7. 如图，在等腰三角形中，于点，于点．若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据等腰三角形三线合一的性质求出的度数，再利用含角的直角三角形的性质分别求出和的长度，最后通过求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵于点E， ∴在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 8. 如图，在中，，，求证：，当用反证法证明时，第一步应假设（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：假设结论不成立，则成立． 9. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动．各组展示作图痕迹如下，其中是的角平分线，判断正确的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】由角平分线的尺规作图可判断图①；垂直平分线的尺规作图可判断图②；由平行线和等边对等角性质可判断图③；由三线合一性质可判断图④． 【详解】解：图①，由作图得，是的平分线，符合题意； 图②，由作图得，是的垂直平分线，不符合题意； 图③，由作图得， ∴ ∴ 由作图得， ∴ ∴ ∴是的平分线，符合题意； 图④，由作图得，，垂直平分 ∴是的平分线，符合题意． 综上所述，判断正确的是①③④． 10. 用表示不超过的最大整数，如，正整数小于，并满足等式，这样的正整数的个数是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式即可得出为6的倍数，再计算小于的正整数中6的倍数的个数． 【详解】解：若，，有一个不是整数， 则或者或者， ∴， ∴，，都是整数，即n是2，3，6的公倍数，且， ∴n的值为6，12，18，24，......，共有9个． 二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分． 11. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 用不等式表示“a的5倍与3的差是正数”是_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：“a的5倍与3的差是正数”表示为：． 13. 正五边形外角和的度数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据任意多边形的外角和为，即可求解． 【详解】解：正五边形外角和的度数是． 14. 如图，中，是的垂直平分线，如果，的周长为，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质；由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到线段相等，结合周长，进行线段的等量代换可得答案． 【详解】解：垂直平分， 根据线段垂直平分线的性质可得，， 又的周长， 的周长． 故答案为：． 15. 如图直线（）经过点，则不等式的解集是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数图象的性质，当时，；由此即可求解． 【详解】解：根据题意可知，直线，且经过点， ∵， ∴， 由图象可知，当时，； ∴不等式的解集为． 16. 如图，在中，平分，过点作，垂足为点，为的中点，连接，，若，则图中两个阴影部分面积之差的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】延长交延长线于点，设交于点，根据垂直定义得到，求得，得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，求得，由两个阴影部分面积之差为，当时，的面积最大，最大面积为． 【详解】解：延长交延长线于点，设交于点，如图， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵ ， ∵， ∴当时，的面积最大，最大面积为， ∴图中两个阴影部分面积之差的最大值为． 三、解答题（共8小题，总分58分．每题须有必要的文字说明和解答过程） 17. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【解析】 【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示两个不等式的解集，确定公共部分即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 在数轴上表示不等式组的解集如图所示． ∴不等式组的解集为． 19. 已知：如图，点C，E在线段上，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证明，进一步证明即可． 【详解】证明：， ， ， 与中， ， ， ． 20. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，已知点C的坐标为． （1）画出以点O为旋转中心，将按逆时针方向旋转后得到的； （2）画出关于原点O对称的． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据网格的特点和旋转的性质作出点A，B，C旋转后的对应点，，，再顺次连接即可； （2）根据关于原点对称的点，横纵坐标都互为相反数的坐标特征，找出点A、B、C的对应点、、，再顺次连接即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求作的三角形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 如图所示，即为所求作的三角形． 21. 我县享有“画本霞浦，千鲜之城”的美称，吸引了大量游客，某商铺销售A款和B款两种特色海鲜礼品．已知若卖出A款1件和B款3件特色海鲜礼品，总销售额为460元；若卖出A款2件和B款1件特色海鲜礼品，总销售额为420元． （1）求每件A款和B款特色海鲜礼品售价各是多少元； （2）某游客准备用2000元，购买A款和B款两种特色海鲜礼品共15件，则该旅客最多可以买到多少件A款特色海鲜礼品？ 【答案】（1）每件A款特色海鲜礼品的售价是160元，每件B款特色海鲜礼品的售价是100元 （2）最多可以买8件A款特色海鲜礼品 【解析】 【分析】（1）设每件A款特色海鲜礼品的售价是x元，每件B款特色海鲜礼品的售价是y元，利用卖出A款1件和B款3件特色海鲜礼品，总销售额为460元；若卖出A款2件和B款1件特色海鲜礼品，总销售额为420元，再建立方程组求解即可； （2）设旅客最多可以买m件A款特色海鲜礼品，和件B款特色海鲜礼品，利用游客准备用2000元，购买A款和B款两种特色海鲜礼品共15件，再建立不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每件A款特色海鲜礼品的售价是x元，每件B款特色海鲜礼品的售价是y元， 根据题意得： 解得： 答：每件A款特色海鲜礼品的售价是160元，每件B款特色海鲜礼品的售价是100元； 【小问2详解】 解：设旅客最多可以买m件A款特色海鲜礼品，和件B款特色海鲜礼品， 根据题意得：， 解得：， ∴m为非负整数，m最多为8． 答：旅客最多可以买8件A款特色海鲜礼品． 22. 在函数学习中，我们经历了“确定函数的解析式——利用函数图象研究其性质———运用函数解决问题”的学习过程．同时，我们也学习了绝对值的意义： 【尝试】 探究函数的图象与性质． 此函数是我们未曾学过的函数，于是小明尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是小明的探究过程，请你补充完整． （1）列表： 根据下表格中的信息可得_______． x … 0 1 2 3 4 … y … 2 0 b 0 … （2）请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象． 【解决问题】 （3）结合画出的函数图象，解决问题： ①写出函数的一条性质____________： ②求关于x的不等式的解集． 【答案】（1） （2）见解析 （3）①当时，y随x增大而减小（答案不唯一）；② 【解析】 【分析】（1）把代入得，，即可得出结果； （2）根据表格画出函数图象即可； （3）①根据函数图象即可得出性质；②在中，当时，，当时，，联立方程组或，解得或，再结合函数图象即可得出结果． 【小问1详解】 解：把代入得，， ∴． 【小问2详解】 解：如图所示即为所求； 【小问3详解】 解：①由函数图象可得，当时，y随x增大而减小，当时，随x增大而增大． ②在中，当时，，当时，， 联立，解得； 联立，解得； 如图， ∴由函数图象可得，不等式的解集为：； 23. 数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（x，y均为自然数．） （1）指导教师将学生的发现过程进行整理，部分信息如下（n为正整数）； N 奇数 4的倍数 表示结果 … … 一般结论 _____________ 按上表规律，完成下列问题： ①（_________）（________）； ②______________________； （2）若x，y均为奇数，设，其中k，m均为自然数，试说明：整数为4的倍数； （3）兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，…，这些形如（n为正整数）的正整数N不能表示为（x，y均为自然数）．请判断兴趣小组猜测是否正确．若正确，请给出证明；若不正确，请举出反例． 【答案】（1）①8，6；② （2）见解析 （3）兴趣小组猜测正确，证明见解析 【解析】 【分析】（1）①根据规律即可求解；②根据规律即可求解； （2）利用平方差公式变形分析，进一步证明即可． （3）假设，其中x，y均为自然数．再分下列三种情形分析即可． 【小问1详解】 解：①由规律可得，； ②由规律可得，． 【小问2详解】 解：若x，y均为奇数，设，其中k，m均为自然数， 则 ， ∵k，m均为自然数， ∴、 为整数， ∴整数为4的倍数． 【小问3详解】 证明：兴趣小组猜测正确．理由如下： 假设，其中x，y均为自然数． 分下列三种情形分析： ①若x，y均为偶数，设，其中k，m均为自然数， 则，为4的倍数． 这与不是4的倍数相矛盾，故x，y不可能均为偶数； ②若x，y均为奇数，由（2）知，为4的倍数． 这与不是4的倍数相矛盾，故x，y不可能均为奇数； ③若x，y一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 这与是偶数相矛盾，故x，y不可能一个是奇数另一个是偶数． 综上，形如（n为正整数）的正整数N不能表示为． 24. 【模型定义】 它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】 （1）如图1，若和均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接，易证，则的度数为________； （2）如图2，点P是等腰直角中内部一点，，且，以为直角边构造等腰直角，点C为直角顶点，则求的度数及的长； （3）如图3，若，则求的长． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，利用定理证明；根据全等三角形的性质得到∠，结合图形计算即可； （2）连接证明，得到，由勾股定理的逆定理可证，进而证明，进一步可求解． （3）根据已知可得是等腰直角三角形，所以将绕点A顺时针旋转，得到，则，证明是直角三角形，再利用勾股定理可求值． 【小问1详解】 解：∵和均为等边三角形， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴．， ∵为等边三角形， ∴． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴． ∴． ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点P，点B，点D共线， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：过点A作，且，连接，如图所示： 则是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵，即， 在和中， ， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $