精品解析：河南省长垣市2025-2026学年下学期期中考试八年级数学试卷

八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列生活实例中，运用到“四边形的不稳定性”的是（ ） A. B. C. D. 2. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，矩形的对角线交于点，若，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 4. 若最简二次根式和能合并，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．勾股定理描述：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如图，以直角三角形三边为边作三个正方形，正方形的面积为（ ） A. 5 B. 13 C. 20 D. 25 6. 2026年1月1日新施行的《中华人民共和国治安管理处罚法》首次将“高空抛物”列为单独的治安违法行为，明确了处罚标准，只要高空抛物危害公共安全，无论是否造成后果都将依法处罚．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响），那么物体从的高空落到地面的时间是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 若，则m的值为（ ） A. 25 B. 31 C. 36 D. 45 9. 如图，在中，，，，E为边上一点．把沿折叠，使落在直线上，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 5 10. 如图，在矩形中，边的长为，点，分别在，上，连接，，，，与交于点．若四边形是菱形，且，则菱形的面积为（ ） A. B. 2 C. D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 从七边形的一个顶点出发的所有对角线，可以把这个七边形分割成_____________个三角形． 12. 2026年3月20日下午，在完成既定任务后，中越海军舰艇编队举行分航仪式，标志着第40次北部湾联合巡逻暨首次海上联合训练顺利结束．如图，在演习过程中一艘船以5海里/时的速度从港口出发，向西北方向航行，另一艘船以12海里/时的速度同时从港口出发，向西南方向航行，离开港口1小时后，两船相距_______海里． 13. 如图，的对角线，交于点，平分交于点，，，连接，则的长为______． 14. 用一种或几种完全相同（全等形）的三角形或多边形无间隙且不重叠地覆盖（铺砌）平面的一部分，叫做平面镶嵌，平面镶嵌又称为“平面密铺”．如图所示，由边长相等的正方形和正六边形相间围成一圈，则中间的正多边形的边数为______． 15. 将按如图方式排列，若规定表示第m行从左向右数的第n个数，则表示的数是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算及解方程 （1）计算：； （2）解方程：． 17. 如图，在四边形中，，，，，求的长． 18. 如图，在中，E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求四边形的周长． 19. 定义：若两个二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”． （1）若m与是关于的友好二次根式，求的值； （2）若与是关于的友好二次根式，求的值． 20. 如图，在等腰直角三角形中，，是边上的中线，以为邻边作． （1）求证：为正方形； （2）连接，若，求的长． 21. 【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，数字2称为“穿墙”数．具有这种现象的数还有许多，例如：，等． 【猜想】 （1）________； 【推理】 （2）请用含n（n为“穿墙”数，）的等式表示上述规律：_________； 【应用】 （3）按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 22. 2026年3月14日是第七个“国际数学日”，今年国际数学日的主题是“数学与希望”，勾股定理作为数学几何中最基本的定理之一，早在我国西汉时期的《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫作正整数直角三角形，这三个正整数叫作一组勾股数，如：3，4，5；6，8，10；8，15，17等都是勾股数． （1）小明在研究勾股数时发现，某些正整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差，我们把这样的勾股数叫作完美勾股数．如3，4，5中，，；8，15，17中，，．判断12，35，37这组勾股数是不是完美勾股数，并说明理由； （2）有一个直角三角形两直角边长分别为和，斜边长为，且a和b均为正整数，用含b的代数式表示a，并求出a和b的值． 23. 完成下列题目 （1）如图1，将的顶点放在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合），探究，和之间的数量关系； （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，当时，（1）中的结论是否仍成立，请说明理由； （3）在（2）的条件下，当旋转至如图3的位置时，交的延长线于点，交于点，请直接写出此时，，之间满足的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列生活实例中，运用到“四边形的不稳定性”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、B、D选项都含有三角形，故利用了三角形的稳定性，不符合题意； C选项伸缩门是用到了四边形的不稳定性，符合题意． 2. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 3. 如图，矩形的对角线交于点，若，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵矩形的对角线交于点， ． ∴． 4. 若最简二次根式和能合并，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵两个最简二次根式能合并，则它们是同类二次根式，同类二次根式的被开方数相等， ∴， 解得． 5. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．勾股定理描述：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如图，以直角三角形三边为边作三个正方形，正方形的面积为（ ） A. 5 B. 13 C. 20 D. 25 【答案】B 【解析】 【详解】解：依题意，正方形的面积为． 6. 2026年1月1日新施行的《中华人民共和国治安管理处罚法》首次将“高空抛物”列为单独的治安违法行为，明确了处罚标准，只要高空抛物危害公共安全，无论是否造成后果都将依法处罚．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响），那么物体从的高空落到地面的时间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：当时， ． 7. 如图，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据邻补角的概念，多边形的外角和是进行解答即可． 【详解】解：如图： ∵四边形的外角和是， ∴， ∵， ∴， ∴． 8. 若，则m的值为（ ） A. 25 B. 31 C. 36 D. 45 【答案】B 【解析】 【分析】先根据二次根式确定的取值范围，再化简绝对值，整理后解方程即可得到的值． 【详解】解∶∵二次根式有意义， ∴ ，即． ∵， ∴ ，可得 ． 将化简结果代入原方程得 ， 整理得， 两边平方得， 解得． 经检验符合题意． 9. 如图，在中，，，，E为边上一点．把沿折叠，使落在直线上，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先证明为直角三角形，且，由折叠的性质可得，，则，设，则，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∵把沿折叠，使落在直线上， ∴，，， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴． 10. 如图，在矩形中，边的长为，点，分别在，上，连接，，，，与交于点．若四边形是菱形，且，则菱形的面积为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质和菱形的性质得，，，，，，进而证明，最后根据含的直角三角形的性质，勾股定理，求得的长，进而求得菱形的面积． 【详解】解：四边形是矩形，四边形是菱形， ，，，，，， ． ， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， ，， ， 菱形的面积为． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 从七边形的一个顶点出发的所有对角线，可以把这个七边形分割成_____________个三角形． 【答案】5 【解析】 【分析】从n边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个多边形分割成个三角形，依此作答． 【详解】解：过七边形的一个顶点的所有对角线可将七边形分成个三角形． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查多边形的对角线，从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为． 12. 2026年3月20日下午，在完成既定任务后，中越海军舰艇编队举行分航仪式，标志着第40次北部湾联合巡逻暨首次海上联合训练顺利结束．如图，在演习过程中一艘船以5海里/时的速度从港口出发，向西北方向航行，另一艘船以12海里/时的速度同时从港口出发，向西南方向航行，离开港口1小时后，两船相距_______海里． 【答案】 【解析】 【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程速度时间，得两条船分别走了海里和海里，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：由题意得，西北方向与西南方向的夹角为， ∴如图，两艘船的航行路线构成直角三角形，港口为直角顶点，即， 由题意得，，， ∴． 13. 如图，的对角线，交于点，平分交于点，，，连接，则的长为______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得，再根据角平分线的性质得，即可得是等边三角形，再证得是的中位线，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴，， ∵平分交于点， ∴， ， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点E是的中点， ∵四边形是平行四边形， ∴点O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 14. 用一种或几种完全相同（全等形）的三角形或多边形无间隙且不重叠地覆盖（铺砌）平面的一部分，叫做平面镶嵌，平面镶嵌又称为“平面密铺”．如图所示，由边长相等的正方形和正六边形相间围成一圈，则中间的正多边形的边数为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：正方形的一个内角的度数为，正六边形每个内角的度数为， ∴中间的正多边形一个内角的度数为， 设中间的正多边形的边数为； ∴ ， 解得：． 15. 将按如图方式排列，若规定表示第m行从左向右数的第n个数，则表示的数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了规律探索的数字变化类，根据图形得出所表示的数为图形中的第个数，再根据，得到相应的数即可求解． 【详解】解：由图可得， 第排个数， 第排个数， 第排个数， ， 第排个数， ∴第排到第排共有个数， ∴表示的数为第个数， ∵ ∴第个数为． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算及解方程 （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原方程可化为． ∴． ∴或． 17. 如图，在四边形中，，，，，求的长． 【答案】24 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出答案即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． ∵在中，，， ∴． 18. 如图，在中，E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）24 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定证明 ，则，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证得结论； （2）根据平行四边形的性质得到，，进而即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形为平行四边形， ∴． ∴． ∵E是边的中点， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：∵四边形和四边形为平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，． ∴四边形的周长为． 19. 定义：若两个二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”． （1）若m与是关于的友好二次根式，求的值； （2）若与是关于的友好二次根式，求的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）根据新定义计算即可求解； （2）根据题意，得，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，得． 【小问2详解】 解：根据题意，得． ∴． ∴． ∴． 20. 如图，在等腰直角三角形中，，是边上的中线，以为邻边作． （1）求证：为正方形； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）因为等腰直角三角形中，是斜边上的中线，所以先利用等腰直角三角形三线合一的性质，得出与的位置关系和数量关系。因为四边形是平行四边形，且已得出 ，所以根据正方形的判定定理，一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，可完成证明． （2）先根据的长度和等腰直角三角形的性质，求出的长度，进而得到正方形的边长。然后通过分析图形中线段的位置和数量关系，利用勾股定理来计算的长度． 【小问1详解】 证明：∵为等腰直角三角形，是边上的中线， ∴， ∴为矩形． ∵， ∴矩形为正方形． 【小问2详解】 解：∵为等腰直角三角形，，， ∴． ∴． ∵四边形为正方形， ∴，． ∴． 21. 【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，数字2称为“穿墙”数．具有这种现象的数还有许多，例如：，等． 【猜想】 （1）________； 【推理】 （2）请用含n（n为“穿墙”数，）的等式表示上述规律：_________； 【应用】 （3）按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 【答案】（1） （2） （3）89 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质化简二次根式即可得到答案； （2）根据题意得出规律即可； （3）根据规律计算求出a，b的值，代入计算即可． 【小问1详解】 解：； 理由：； 【小问2详解】 解：∵， ， ， …… 猜想：； 证明：； 【小问3详解】 解：∵， ∴根据（2）的规律可得 解得 ∴． 22. 2026年3月14日是第七个“国际数学日”，今年国际数学日的主题是“数学与希望”，勾股定理作为数学几何中最基本的定理之一，早在我国西汉时期的《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫作正整数直角三角形，这三个正整数叫作一组勾股数，如：3，4，5；6，8，10；8，15，17等都是勾股数． （1）小明在研究勾股数时发现，某些正整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差，我们把这样的勾股数叫作完美勾股数．如3，4，5中，，；8，15，17中，，．判断12，35，37这组勾股数是不是完美勾股数，并说明理由； （2）有一个直角三角形两直角边长分别为和，斜边长为，且a和b均为正整数，用含b的代数式表示a，并求出a和b的值． 【答案】（1）是，见解析 （2），a的值为7，b的值为1 【解析】 【分析】（1）根据完美勾股数的定义可得答案； （2）由勾股定理可得a，b的关系式，变形可用含b 的代数式表示出a，再根据b的范围分别代值验证，可求得a，从而求解． 【小问1详解】 解：这组勾股数是完美勾股数． 理由如下： ∵，， ∴12，35，37这组勾股数是完美勾股数． 【小问2详解】 解：由勾股定理得， 即． ∴． ∵，， ∴，． ∵a和b均为正整数， ∴b的值可能是1，2，3． 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意． ∴a的值为7，b的值为1． 23. 完成下列题目 （1）如图1，将的顶点放在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合），探究，和之间的数量关系； （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，当时，（1）中的结论是否仍成立，请说明理由； （3）在（2）的条件下，当旋转至如图3的位置时，交的延长线于点，交于点，请直接写出此时，，之间满足的数量关系． 【答案】（1） （2）结论不成立，见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，可证，从而得到，即可得到； （2）取的中点，连接，根据菱形的性质，即可得是等边三角形，利用可证，再由全等三角形的对应边相等可得，由，即可得出； （3）当点落在线段延长线时，点落在线段上时，同理可证，那么有，从而得到． 【小问1详解】 解：正方形的对角线，交于点， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：（1）中的结论不成立，结论为，证明如下： 如图：取的中点，连接， 四边形为菱形，， ，，，， 是等边三角形， ，， ， ∴， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：当点落在线段延长线时，点落在线段上时，如图所示， 取线段的中点，同理可证，那么有， ， 为线段的中点， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $