精品解析：河南省新乡市长垣市第一初级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

2023－2024学年下学期八年级期中测试 数学 时间：100分钟满分：120分 一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分) 1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式里面被开方数即可求解． 【详解】解：由题意知：被开方数， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，必须保证被开方数大于等于0． 2. 等式成立的条件是（ ） A. 且 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的意义和分母不为零的条件，列不等式组求解． 【详解】解：根据二次根式的意义，有，且x−3>0， 解得x>3. 故选:D. 【点睛】考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数大于等于0是解题的关键. 3. 如图，数轴上点A所表示的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先勾股定理可得：正方形的对角线为：，从而可得A表示的数． 【详解】解：由勾股定理可得：正方形的对角线为：， ∴A点表示的数为：； 故选C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，实数与数轴，熟练的确定数轴上表示的数是解本题的关键． 4. 下列二次根式：①；②；③；④中，能与合并的是（　　　　） A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】先化简各二次根式，然后找出被开方数为3的二次根式即可． 【详解】解：①②不能化简，③④ 与是同类二次根式，能合并， 故选C． 【点睛】本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 5. 在中，下列条件：①；②；③；④，，．能判断是直角三角形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，勾股定理逆定理，三角形内角和定理，根据勾股定理逆定理以及直角三角形三个内角的关系进行判断即可． 【详解】解：①，即， ∵， ∴， 故可以判定是直角三角形； ②，即， 故可以判定是直角三角形； ③ ； ∵， ∴， 故不能判定是直角三角形； ④∵，，． ∵，即， 故可以判定是直角三角形； ∴能判定是直角三角形的个数有①②④共个， 故选：C． 6. 如图所示，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，过点作轴的垂线交于点，连接．根据矩形的性质，的长度即为的长度，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线交于点，连接． 点的坐标是， ， ， 矩形， ∴， 故选：C． 7. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是（ ） A. 20 B. 25 C. 20 D. 25 【答案】D 【解析】 【详解】根据题意，得出如下图形，最短路径为AB的长， ∵AC=20，BC=3（2+3）=15， ∴AB==25， 故选D. 【点睛】本题考查的是利用勾股定理求线段的长度，关键是变曲为直，画出矩形，利用勾股定理得出对角线的长度. 8. 《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长?若设绳索长x尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用．根据题意利用勾股定理可直接进行列式求解． 【详解】解：设绳索长x尺，则木柱高为尺， 由题意得：； 故选：A． 9. 如图所示，O是矩形的对角线的中点，E为的中点，若，，则的周长为（　　） A. 10 B. C. D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线定理，根据题意可得是的中位线，则，在中，利用勾股定理求得，再根据矩形的性质可求得，从而求出的周长． 【详解】解：＝，＝， ， 点是矩形对角线的中点，点为中点， ，，，， 在中，， 则的周长为：． 故选：C． 10. 将五个边长都为 2 的正方形按如图所示摆放，点 分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和为( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】连接AP、AN，点A是正方形的对角线的交点，则AP=AN，∠APF=∠ANE=45°，易得PAF≌△NAE，进而可得四边形AENF的面积等于△NAP的面积，同理可得答案． 【详解】解：如图，连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交 则AP=AN，∠APF=∠ANE=45°， ∵∠PAF+∠FAN=∠FAN+∠NAE=90°， ∴∠PAF=∠NAE， ∴△PAF≌△NAE， ∴四边形AENF的面积等于△NAP的面积， 而△NAP的面积是正方形的面积的，而正方形的面积为4， ∴四边形AENF的面积为1cm2，四块阴影面积的和为4cm2． 故选B． 【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分) 11. 计算：__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法计算，积的乘方的逆用，根据积的乘方的逆用把原式变形为是解题的关键；根据积的乘方的逆用和二次根式的乘方计算即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 12. 若，则=_____． 【答案】9 【解析】 【详解】要使有意义， 必须，， 解得：x=3， 代入得：y=0+0+2=2， ∴==9． 故答案为9． 13. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C坐标是，则顶点B的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】延长交y轴于H，根据菱形的性质得到B的纵坐标和C的纵坐标相同，都是8，由勾股定理求出菱形的边长，即可得到B的横坐标，即可得到答案． 【详解】解：延长交y轴于H， ∵菱形， ∴轴， ∴，， 即：B的纵坐标是8， 在中，由勾股定理得：， 即：， ∴， 即B的横坐标是16， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理等知识点，解此题的关键是，求出菱形的边长． 14. 如图，M是的边的中点，平分于点N，且，则的周长是________． 【答案】41 【解析】 【分析】本题主要考查了中位线定理和全等三角形的判定及性质．延长线段交于E，证明，可得N为的中点；由已知可得是的中位线，由中位线定理可得的长，即可求解． 【详解】解：如图，延长线段交于E． ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ， 又∵M是的边的中点， ∴， ∴的周长是． 故答案为：41． 15. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，则______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用；过点作于点，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 米，米，米， （米）． 在中，由勾股定理得到（米）， 故答案为：． 三、解答题(共8小题，共75分) 16. 计算． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据二次根式的除法法则运算，再计算加减即可； （2）先利用平方差公式和完全平方公式展开，然后再合并即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 17. 如图，是平行四边形的一条对角线，，垂足分别是E、F．求证： （1） （2）四边形是平行四边形． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等： （1）先由平行四边形的性质得到，进而得到，再由垂直的定义得到，由此即可证明； （2）先由全等三角形的性质得到，再证明，即可证明四边形是平行四边形． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 18. 图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定为90°的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】符合，理由见解析 【解析】 【分析】先在中利用勾股定理求出,然后由以及勾股定理的逆定理得即可得答案． 【详解】解：在中，，dm，dm， 由勾股定理，得 因为dm，dm， 所以， 所以， 所以，即， 所以该婴儿车符合安全标准 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，解题关键是正确运用逆定理． 19. 已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，分别表示三边之长，表示周长之半，即． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”． 请你利用公式解答下列问题． （1）在中，已知，，，求的面积； （2）计算（1）中的边上的高． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据公式求得p=9，然后将AB、AC、BC和P的值代入公式即可求解； （2）根据三角形面积公式，且已知BC的长和三角形的面积，代入即可求解． 【详解】解：（1）， 所以， 答：的面积是． （2）边上的高， 答：边的高是． 故答案为（1）；（2）． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，二次根式的乘法运算，属于新定义题型，重点是掌握题目中给出的公式，代入相应值． 20. 小区内有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送1.8m（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【答案】绳索的长度是3米． 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用．设秋千的绳索长为，表示出的长，列出，代入数据即可求解． 【详解】解：设秋千的绳索长为，根据题意可得， 由题意得，， ∴， 在中，， ， 解得：， 绳索的长度是3米． 21. 如图，在中，，点D是边的中点，以、为邻边作平行四边形，连接、． （1）求证：四边形是矩形； （2）要使四边形是正方形，则需要满足的条件是________． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，，再根据平行四边形的性质可得，，再由平行四边形的判定可证四边形是平行四边形，最后由矩形的判定即可得出结论； （2）根据正方形的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵点D是边的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴，即， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：若四边形是正方形， ∴， 又∵，点D是边的中点， ∴， ∴， ∴要使四边形是正方形，则需要满足的条件是， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行四边形的性质和判定、矩形的判定、正方形的性质，熟练掌握相关定理是解题的关键． 22. 在中，，，，求的面积． 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程． 作于，设，用含的代数式表示 根据勾股定理，利用作为“桥梁”，建立方程模型求出 利用勾股定理求出的长，再计算三角形面积 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，根据提供的解题思路即可解答． 【详解】解：设，则， ∵在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长； （3）在的条件下，已知点是线段上一点，且，则的长为 ． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解决此题的关键． 根据平行 线的性质可证：，根据角平分线的定义可证，根据等角对等边可证，从而可证结论成立； 根据菱形的性质和直角三角形的性质可得，再求出，在中利用勾股定理求出，从而可得； 先根据勾股定理求出，再结合图形分情况求出即可． 【小问1详解】 证明：， ， 为的平分线， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ； 【小问3详解】 解：如下图所示， 由可知，，， ， ， 或． 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023－2024学年下学期八年级期中测试 数学 时间：100分钟满分：120分 一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分) 1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 等式成立的条件是（ ） A. 且 B. C. D. 3. 如图，数轴上点A所表示的实数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列二次根式：①；②；③；④中，能与合并的是（　　　　） A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④ 5. 在中，下列条件：①；②；③；④，，．能判断是直角三角形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图所示，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是（ ） A. 20 B. 25 C. 20 D. 25 8. 《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长?若设绳索长x尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，O是矩形的对角线的中点，E为的中点，若，，则的周长为（　　） A. 10 B. C. D. 14 10. 将五个边长都为 2 的正方形按如图所示摆放，点 分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和为( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分) 11. 计算：__________． 12. 若，则=_____． 13. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C坐标是，则顶点B的坐标是_______． 14. 如图，M是的边的中点，平分于点N，且，则的周长是________． 15. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，则______米． 三、解答题(共8小题，共75分) 16. 计算． （1）； （2）． 17. 如图，是平行四边形的一条对角线，，垂足分别是E、F．求证： （1） （2）四边形是平行四边形． 18. 图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定为90°的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 19. 已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，分别表示三边之长，表示周长之半，即． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”． 请你利用公式解答下列问题． （1）在中，已知，，，求的面积； （2）计算（1）中的边上的高． 20. 小区内有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送1.8m（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 21. 如图，在中，，点D是边的中点，以、为邻边作平行四边形，连接、． （1）求证：四边形是矩形； （2）要使四边形是正方形，则需要满足的条件是________． 22. 在中，，，，求的面积． 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程． 作于，设，用含的代数式表示 根据勾股定理，利用作为“桥梁”，建立方程模型求出 利用勾股定理求出的长，再计算三角形面积 23. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长； （3）在的条件下，已知点是线段上一点，且，则的长为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $