10.2～10.3事件的相互独立性、频率与概率讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本高中数学讲义聚焦第十章概率的10.2事件的相互独立性与10.3频率与概率，系统梳理相互独立事件的定义、性质及乘法公式，衔接频率稳定性与随机模拟（蒙特卡洛方法），通过思维导图构建知识框架，形成从概念到运算的学习支架。 资料以生活情境例题（如抛硬币实验、射击比赛、选科概率）引导学生用数学眼光观察现实，通过独立与互斥事件辨析培养推理能力（数学思维），随机模拟题强化数据意识（数学语言），课中例题变式助概念理解，课后分层练习（选择、填空、解答）便于学生查漏补缺。

第十章概率 10.2~10.3事件的相互独立性、频率与概率 【思维导图】 相互独立事件的含义 独立事件与对立事件 独立事件的乘法公式 对立事件的概率 10.2事件的相互独立性运算 频率的稳定性 随机模拟 10.3频率与概率 【知识点归纳】 1. 相互独立事件： 对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立, 简称为独立。 2. 相互独立事件性质： 如果事件A与B相互独立,那么A与 , 与B, 与也都相互独立. A, B同时发生 P=P(AB)=P(A)P(B) A, B至少有一个发生P=1-P( )=1-P()P()=1-(1-P(A))(1-P(B)) 3.频率的稳定性 大量试验表明,在任何确定次数的随机试验中,一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A),我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 4.随机模拟 用频率估计概率,需做大量的重复试验,我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验,这样就可以快速地进行大量重复试验了.我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法. 【典型例题】 例1．掷一枚硬币的试验中，下列对“伯努利大数定律”的理解正确的是（    ） A．大量的试验中，出现正面的频率为0.5 B．不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5 C．试验次数增大，出现正面的经验概率为0.5 D．以上说法均不正确 【答案】B 【分析】根据频率、概率、经验概率的概念分析可得答案. 【详解】对于A，大量的试验中，出现正面的频率越来越接近于0.5，故A不正确； 对于B，事件发生的概率是一个常数，与试验次数无关，所以不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5，故B正确； 对于C，经验概率是指特定的事件发生的次数占总体试验样本的比率，随着试验次数增大，出现正面的经验概率约为0.5，故C不正确； 对于D，显然不正确. 故选：B 变式1．甲同学在数学探究活动中做抛硬币实验，共抛掷了2000次，其中正面朝上的有1034次，则下列说法正确的是（    ） A．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.517 B．甲同学的实验中，反面朝上的频率为0.483 C．抛掷一枚硬币，反面朝上的概率小于0.5 D．甲同学的实验中，正面朝上的频率接近0.517 【答案】B 【分析】根据概率与频率的关系判断. 【详解】甲同学的实验中，正面朝上的频率为0.517，反面朝上的频率为0.483，故B正确； 抛掷一枚硬币，正面朝上与反面朝上的概率均为0.5，为定值，故AC错误； 甲同学的实验中，正面朝上的频率就是0.517，而不是接近0.517，故D错误. 故选：B 例2．有4个分别标有数字1，2，3，4的相同小球，从中不放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是3”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则下列选项正确的是（   ） A．甲与乙互斥 B．丙与丁对立 C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 【答案】D 【分析】根据题意列出两次取球所有可能情况，并分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件、互斥事件的定义判断即可. 【详解】由题意可得两次取球所有可能情况为，共种情况； 令事件表示：第一次取出的球的数字是1，则， 令事件表示：第二次取出的球的数字是3，则， 显然，所以甲与乙不互斥，故A错误； 令事件表示：两次取出的球的数字之和是4，则， 令事件表示：两次取出的球的数字之和是5，则， 显然，所以丙与丁不对立，故B错误； 由，，，所以， 所以甲与丙不独立，故C错误； 又，， 所以乙与丁相互独立，故D正确. 变式2．投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（    ） A．A与B 是互斥事件 B．A 与B 是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C 是独立事件 【答案】C 【分析】根据互斥事件，对立事件，独立事件概率公式和定义，即可判断选项. 【详解】和有公共事件：点数为3，所以不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误； 事件表示点数为4或6，，，，所以，所以与是独立事件，故C正确； 事件表示点数为2，则，，，所以，所以与不是独立事件，故D错误 故选：C 例3．已知事件A，B相互独立，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据独立事件概率的计算公式可得，再根据概率的乘法公式和加法公式可分别判断BCD得出正确选项. 【详解】根据事件A，B相互独立，且，， 可得，即A正确； 而，所以，即B错误； 由独立事件的概率可知， 所以，故C正确； 由概率加法公式可得，故D错误； 故选：AC 变式3．若 ，则关于事件 的关系正确的是（ ） A．事件 与 互斥 B．事件 与 不互斥 C．事件 与 不相互独立 D．事件 与 相互独立 【答案】BD 【分析】根据互斥事件和独立事件的定义判断即可. 【详解】因为，所以事件与不互斥，A错误B正确； 因为，所以. 所以，又， 所以，所以事件与相互独立，C错误D正确. 故选：BD. 例4.为了备战2024年法国巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运动会），中国射击队甲、乙两名运动员展开队内对抗赛.甲、乙两名运动员对同一目标各射击两次，且每人每次击中目标与否均互不影响.已知甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为. (1)求甲两次都没有击中目标的概率； (2)在四次射击中，求甲、乙恰好各击中一次目标的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设甲第一次击中目标为事件，甲第二次击中目标为事件，结合独立事件乘法公式，求出事件概率即可得到答案； （2）设乙第一次击中目标为事件，乙第二次击中目标为事件，结合独立事件乘法公式，求出事件的概率即可， 【详解】（1）设甲第一次击中目标为事件，甲第二次击中目标为事件， 则. 因为事件“甲两次都没有击中目标”即为事件， 则所求的概率为. （2）设乙第一次击中目标为事件，乙第二次击中目标为事件， 则. 所以事件“四次射击中，甲、乙恰好各击中一次目标”表示为， 所以所求的概率为 变式4．新高考实行“”模式，其中“3”为语文，数学，外语这3门必选科目，“1”由考生在物理，历史2门首选科目中选择1门，“2”由考生在政治，地理，化学，生物这4门再选科目中选择2门.已知武汉大学临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学，生物至少1门. (1)从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求的概率； (2)假设甲，乙，丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的，求这三人中恰好有一人的选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据古典概型计算即可； （2）根据独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式计算即可. 【详解】（1）用a,b分别表示“选择物理”,“选择历史”, 用c,d,e,f分别表示选择“选择化学”,“选择生物”,“选择政治”,“选择地理”, 则所有选课组合的样本空间为 , 则, 设M为选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求, 则,, 所以选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求的概率为； （2）设甲、乙、丙每人选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求分别是事件,,,由题意可知,,相互独立, 由（1）可得, 记N为甲、乙、丙三人中恰好有一人的选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求, 则,因为事件两两互斥,根据互斥事件概率加法公式可得. 【强化练习】 一、单选题 1．设、是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（    ） A．事件，则 B．若和互斥，则和可能相互独立 C．若事件、满足，则与是对立事件 D．事件与事件中至少有一个发生的概率不一定比与中恰有一个发生的概率大 【答案】D 【分析】根据事件的包含关系可判断A，利用互斥事件和相互独立事件的概念可判断B，利用对立事件的概念可判断C和D. 【详解】对于A，若事件，则，故A错误； 对于B，若事件、互斥，则， 若事件、相互独立，则， 所以若和互斥，则和不可能相互独立，故B错误； 对于C，若掷一枚骰子掷出的点数为奇数，掷一枚骰子掷出的点数大于3， 满足，但明显事件、不是对立事件，故C错误； 对于D，若事件与事件是对立事件， 则事件与事件中至少有一个发生的概率和与中恰有一个发生的概率相等，故D正确. 故选：D. 2．若事件与相互独立，且，则的值等于（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】由相互独立事件的概率计算公式，我们易得，将代入即可得到答案. 【详解】因为事件与相互独立，由相互独立事件的概率计算公式，可得： . 故答案选：B. 3．在荷花池中，有一只蜻蜓在呈品字形的三片荷叶上飞来飞去（每次飞时，均从一叶飞到另一叶），而且逆时针方向飞的概率是顺时针方向飞的概率的3倍，如图所示，假设现在蜻蜓在叶上，则跳三次之后停在叶上的概率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件先求出逆时针和顺时针跳的概率，然后根据跳3次回到A，则应满足3次逆时针或者3次顺时针，根据概率公式即可得到结论． 【详解】由题意，知蜻蜓沿逆时针方向跳的概率是，沿顺时针方向跳的概率是. 蜻蜓跳三次要回到叶上只有两条途径： 第一条，按，此时停在叶上的概率； 第二条，按，此时停在A叶上的概率. 所以跳三次之后停在叶上的概率. 4．在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为（    ） A．0.12 B．0.88 C．0.28 D．0.42 【答案】D 【分析】先分别求出甲地不下雨的概率，和乙地不下雨的概率，再根据独立事件的概率求解. 【详解】因为甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4， 所以甲地不下雨的概率为0.7，乙地不下雨的概率为0.6， 所以甲、乙两地都不下雨的概率为 故选：D 5．一袋中装有100只球．其中有20只白球，在有放回的摸球中，记“第一次摸得白球”，“第二次摸得白球”，则事件与是（   ） A．相互独立事件 B．对立事件 C．互斥事件 D．无法判断 【答案】A 【分析】根据相互独立事件的定义判断. 【详解】由于采用有放回地摸球，所以每次是否摸到白球互不影响， ，， ， ， 所以事件与是相互独立事件. 故选：A. 6．某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生10组随机数：812，832，569，684，271，989，730，537，925，907.由此估计3例心脏手术全部成功的概率为（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【答案】B 【分析】利用古典概率的概率公式进行计算即可. 【详解】随机模拟产生10组随机数中，有3组随机数表示手术成功， 故3例心脏手术全部成功的概率为：. 故选：B 7．中国农历的二十四节气是中华民族的智慧与传统文化的结晶，二十四节气歌是以春、夏、秋、冬开始的四句诗.在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”.2016年11月30日，二十四节气被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.某小学三年级共有学生600名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校三年级的600名学生中，对二十四节气歌一句也说不出的有（    ） A．17人 B．83人 C．102人 D．115人 【答案】C 【分析】根据频率计算出正确答案. 【详解】一句也说不出的学生频率为， 所以估计名学生中，一句也说不出的有人. 故选：C 8．三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，且是互相独立的.若将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，“电路不发生故障”为事件M，由M=(A2∪A3)∩A1求解. 【详解】解：记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P(A1)=，P(A2)=，P(A3)=， 记“电路不发生故障”为事件M，则M=(A2∪A3)∩A1， ∴不发生故障的概率为P(M)=P[(A2∪A3)∩A1]=[1-P() P()] P(A1)=×=. 故选：A. 二、多选题 9．高中某学校对一次高三联考物理成绩进行统计分析，随机抽取100名学生成绩得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，同时计划从样本中随机抽取个体进行随访，若从样本随机抽取个体互不影响，把频率视为概率，则下列结论正确的是（    ）    A．学生成绩众数估计为75分 B．考生成绩的第75百分位成绩估计为80分 C．在内随机抽取一名学生访谈，则甲被抽取的概率为0.01 D．从和内各抽1名学生，抽2名学生调研，又从他们中任取2人进行评估测试，则这2人来自不同组的概率为0.13 【答案】AB 【分析】根据频率分布直方图估计出众数，第75百分位数可判断AB；利用频率估计概率，古典概型等知识可判断CD. 【详解】由频率分布直方图得，成绩在的频率最高，所以估计成绩的众数为75分，故A正确； 因为，所以估计第75百分位成绩为80分，故B正确； 因为成绩在内的人数为，所以随机抽取一名学生访谈，甲被抽取的概率为，故C错误； 记从抽取的1名学生为a，从抽取的1名学生为b，从抽取的2名学生为c,d,则从这4人中抽取2人，所有的可能结果为 ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6种， 其中不同组的有ab，ac，ad，bc，bd，共5种， 所以这2人来自不同组的概率为，故D错误； 故选：AB. 10．抛掷一枚质地均匀的骰子所得的样本空间为，令事件，，，则下列说法中错误的有（    ） A．A与B独立 B．A与C独立 C．B与C独立 D． 【答案】AC 【分析】根据事件相互独立的定义和事件之间的关系的定义判断即可. 【详解】由题意得，则，，，，．故只有A与C独立．B正确. 事件，，满足，D正确. 故选：AC 11．设A，B是两个概率大于的随机事件，则下列结论正确的是（    ） A． B．若A和B互斥，则A和B一定相互独立 C．若事件，则 D．若A和B相互独立，则A和B一定不互斥 【答案】CD 【分析】根据事件的包含关系、互斥事件以及事件的相互独立性概念与性质，结合反例即可判断各个选项. 【详解】对于A，若，，则，A错误； 对于B、D，若事件和互斥，则，若事件和相互独立， 则，B错误，D正确； 对于C，若事件包含事件，则，C正确. 故选：CD. 三、填空题 12．对于下列说法： ①设有一批产品，其次品率为0.01，则从中任取200件，必有2件次品； ②抛掷骰子100次，得点数是1的结果是16次，则出现1点的频率是； ③做100次抛硬币的试验，有49次出现正面.因此出现正面的概率是0.49； ④随机事件发生的频率就是这个事件发生的概率； 其中正确的所有序号是__________ 【答案】② 【分析】依据频率与概率的基本知识进行判断即可. 【详解】对于①，次品率是大量产品的估计值，并不是必有件是次品，故①错误； 对于②，抛掷骰子100次，得点数是1的结果是16次， 则出现1点的频率是，故②正确； 对于③，抛硬币出现正面的概率是，而不是，故③错误； 对于④，频率与概率不是同一个概念，故④错误. 故答案为：②. 13．已知小张每次射击命中十环的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定2，4，6，8表示命中十环，0，1，3，5，7，9表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：据此估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率约为__________. 【答案】0.3 【分析】确定随机数组中以恰有两个数字是2，4，6，8，再由概率公式计算． 【详解】由题意，随机数组421，292，274，632，478，663共6个，表示恰有两次命中十环， 所以概率为． 故答案为：0.3． 14．、分别是事件、的对立事件，如果、两个事件独立，那么以下四个概率等式一定成立的是____________．（填写所有成立的等式序号） ① ② ③ ④ 【答案】②③ 【分析】根据事件的独立性定义判断即可. 【详解】①，故①不一定成立； ②③由事件的独立性定义可得与，与相互独立，所以，，故②③正确； ④，故④不一定成立. 故答案为：②③. 四、解答题 15．某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表： 汽车型号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ 回访客户/人 250 100 200 700 350 满意率 0.5 0.3 0.6 0.3 0.2 其中，满意率是指某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值． (1)从Ⅲ型号汽车的回访客户中随机选取1人，求这个客户不满意的概率； (2)从所有客户中随机选取1个人，估计这个客户满意的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用对立事件的概率公式求解计算即可. （2）先求出样本中的回访客户的总数和样本中满意的客户人数，由此估计客户的满意概率. 【详解】（1）由表中数据知，Ⅲ型号汽车的回访客户的满意率为0.6，则从Ⅲ型号汽车的回访客户中随机选取1人，这个客户不满意的概率为． （2）由题意知，回访客户的总人数是， 回访客户中满意的客户人数是， 所以回访客户中客户的满意率为， 所以从所有客户中随机选取1个人，估计这个客户满意的概率约为． 16．近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，常用身体质量指数BMI来衡量人体胖瘦程度.其计算公式是：，成年人的BMI数值标准是：BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<24为正常；24≤BMI<28为偏胖；BMI≥28为肥胖.某公司随机抽取了100个员工的体检数据，将其BMI值分成以下五组：，，，，，得到相应的频率分布直方图.    (1)求的值，并估计该公司员工BMI的样本数据的众数与中位数（精确到0.1）； (2)该公司共有1200名员工，用频率估计概率，估计该公司员工BMI数值正常的人数. 【答案】(1)a=0.08，众数为；中位数为 (2) 【分析】（1）根据频率之和为1可求得，从而可求得该公司员工的样本数据的众数为22 ；设设该公司员工的样本数据的中位数为， 则，求解即可； （2）根据题意可求得该公司员工数值正常的概率为，进而可求解. 【详解】（1）根据频率分布直方图可知组距为4， 所以，解得. 该公司员工的样本数据的众数为22 . 设该公司员工的样本数据的中位数为， 则，解得. 故该公司员工的样本数据的中位数约为. （2）因为成年人的数值为正常， 所以该公司员工数值正常的概率为 ， 所以该公司员工数值正常的人数为. 17．甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（先赢得三局比赛的队伍获胜，比赛结束）.根据两队比赛的历史数据分析，甲、乙两队在第一局比赛中取胜的概率均为，但受心理等因素的影响，前一局比赛的结果对后一场比赛会产生影响，若比赛结束时场次不超过四局，甲队在某一局比赛取胜，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率增加，反之，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率降低，若比赛进入第五局决胜局，则不论第四局胜负如何，该局甲取胜的概率为. (1)求比赛三局结束的概率； (2)求乙取胜，比赛结束的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知甲或乙均连胜3局，求各局获胜的概率，结合独立事件的概率乘法公式运算求解； （2）分析可知4局胜者依次为甲，乙，乙，乙、乙，甲，乙，乙和乙，乙，甲，乙，求各局获胜的概率，结合独立事件的概率乘法公式运算求解. 【详解】（1）记“比赛三局结束”为事件A，则甲或乙均连胜3局， 则每局获胜的概率依次为，，， 所以. （2）记“乙取胜，比赛结束”为事件B， 若4局胜者依次为甲，乙，乙，乙， 则乙每局的概率依次为，，，； 若4局胜者依次为乙，甲，乙，乙， 则乙每局的概率依次为，，，； 若4局胜者依次为乙，乙，甲，乙， 则乙每局的概率依次为，，，； 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章概率 10.2~10.3事件的相互独立性、频率与概率 【思维导图】 相互独立事件的含义 独立事件与对立事件 独立事件的乘法公式 对立事件的概率 10.2事件的相互独立性运算 频率的稳定性 随机模拟 10.3频率与概率 【知识点归纳】 1. 相互独立事件： 对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立, 简称为独立。 2. 相互独立事件性质： 如果事件A与B相互独立,那么A与 , 与B, 与也都相互独立. A, B同时发生 P=P(AB)=P(A)P(B) A, B至少有一个发生P=1-P( )=1-P()P()=1-(1-P(A))(1-P(B)) 3.频率的稳定性 大量试验表明,在任何确定次数的随机试验中,一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A),我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 4.随机模拟 用频率估计概率,需做大量的重复试验,我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验,这样就可以快速地进行大量重复试验了.我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法. 【典型例题】 例1．掷一枚硬币的试验中，下列对“伯努利大数定律”的理解正确的是（    ） A．大量的试验中，出现正面的频率为0.5 B．不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5 C．试验次数增大，出现正面的经验概率为0.5 D．以上说法均不正确 变式1．甲同学在数学探究活动中做抛硬币实验，共抛掷了2000次，其中正面朝上的有1034次，则下列说法正确的是（    ） A．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.517 B．甲同学的实验中，反面朝上的频率为0.483 C．抛掷一枚硬币，反面朝上的概率小于0.5 D．甲同学的实验中，正面朝上的频率接近0.517 例2．有4个分别标有数字1，2，3，4的相同小球，从中不放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是3”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则下列选项正确的是（   ） A．甲与乙互斥 B．丙与丁对立 C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 变式2．投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（    ） A．A与B 是互斥事件 B．A 与B 是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C 是独立事件 例3．已知事件A，B相互独立，且，，则（    ） A． B． C． D． 变式3．若 ，则关于事件 的关系正确的是（ ） A．事件 与 互斥 B．事件 与 不互斥 C．事件 与 不相互独立 D．事件 与 相互独立 例4.为了备战2024年法国巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运动会），中国射击队甲、乙两名运动员展开队内对抗赛.甲、乙两名运动员对同一目标各射击两次，且每人每次击中目标与否均互不影响.已知甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为. (1)求甲两次都没有击中目标的概率； (2)在四次射击中，求甲、乙恰好各击中一次目标的概率. 变式4．新高考实行“”模式，其中“3”为语文，数学，外语这3门必选科目，“1”由考生在物理，历史2门首选科目中选择1门，“2”由考生在政治，地理，化学，生物这4门再选科目中选择2门.已知武汉大学临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学，生物至少1门. (1)从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求的概率； (2)假设甲，乙，丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的，求这三人中恰好有一人的选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求的概率. 【强化练习】 一、单选题 1．设、是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（    ） A．事件，则 B．若和互斥，则和可能相互独立 C．若事件、满足，则与是对立事件 D．事件与事件中至少有一个发生的概率不一定比与中恰有一个发生的概率大 2．若事件与相互独立，且，则的值等于（    ） A．0 B． C． D． 3．在荷花池中，有一只蜻蜓在呈品字形的三片荷叶上飞来飞去（每次飞时，均从一叶飞到另一叶），而且逆时针方向飞的概率是顺时针方向飞的概率的3倍，如图所示，假设现在蜻蜓在叶上，则跳三次之后停在叶上的概率为（    ）    A． B． C． D． 4．在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为（    ） A．0.12 B．0.88 C．0.28 D．0.42 5．一袋中装有100只球．其中有20只白球，在有放回的摸球中，记“第一次摸得白球”，“第二次摸得白球”，则事件与是（   ） A．相互独立事件 B．对立事件 C．互斥事件 D．无法判断 6．某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生10组随机数：812，832，569，684，271，989，730，537，925，907.由此估计3例心脏手术全部成功的概率为（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 7．中国农历的二十四节气是中华民族的智慧与传统文化的结晶，二十四节气歌是以春、夏、秋、冬开始的四句诗.在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”.2016年11月30日，二十四节气被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.某小学三年级共有学生600名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校三年级的600名学生中，对二十四节气歌一句也说不出的有（    ） A．17人 B．83人 C．102人 D．115人 8．三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，且是互相独立的.若将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．高中某学校对一次高三联考物理成绩进行统计分析，随机抽取100名学生成绩得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，同时计划从样本中随机抽取个体进行随访，若从样本随机抽取个体互不影响，把频率视为概率，则下列结论正确的是（    ）    A．学生成绩众数估计为75分 B．考生成绩的第75百分位成绩估计为80分 C．在内随机抽取一名学生访谈，则甲被抽取的概率为0.01 D．从和内各抽1名学生，抽2名学生调研，又从他们中任取2人进行评估测试，则这2人来自不同组的概率为0.13 10．抛掷一枚质地均匀的骰子所得的样本空间为，令事件，，，则下列说法中错误的有（    ） A．A与B独立 B．A与C独立 C．B与C独立 D． 11．设A，B是两个概率大于的随机事件，则下列结论正确的是（    ） A． B．若A和B互斥，则A和B一定相互独立 C．若事件，则 D．若A和B相互独立，则A和B一定不互斥 三、填空题 12．对于下列说法： ①设有一批产品，其次品率为0.01，则从中任取200件，必有2件次品； ②抛掷骰子100次，得点数是1的结果是16次，则出现1点的频率是； ③做100次抛硬币的试验，有49次出现正面.因此出现正面的概率是0.49； ④随机事件发生的频率就是这个事件发生的概率； 其中正确的所有序号是__________ 13．已知小张每次射击命中十环的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定2，4，6，8表示命中十环，0，1，3，5，7，9表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：据此估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率约为__________. 14．、分别是事件、的对立事件，如果、两个事件独立，那么以下四个概率等式一定成立的是____________．（填写所有成立的等式序号） ① ② ③ ④ 15．某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表： 汽车型号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ 回访客户/人 250 100 200 700 350 满意率 0.5 0.3 0.6 0.3 0.2 其中，满意率是指某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值． (1)从Ⅲ型号汽车的回访客户中随机选取1人，求这个客户不满意的概率； (2)从所有客户中随机选取1个人，估计这个客户满意的概率． 16．近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，常用身体质量指数BMI来衡量人体胖瘦程度.其计算公式是：，成年人的BMI数值标准是：BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<24为正常；24≤BMI<28为偏胖；BMI≥28为肥胖.某公司随机抽取了100个员工的体检数据，将其BMI值分成以下五组：，，，，，得到相应的频率分布直方图.    (1)求的值，并估计该公司员工BMI的样本数据的众数与中位数（精确到0.1）； (2)该公司共有1200名员工，用频率估计概率，估计该公司员工BMI数值正常的人数. 17．甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（先赢得三局比赛的队伍获胜，比赛结束）.根据两队比赛的历史数据分析，甲、乙两队在第一局比赛中取胜的概率均为，但受心理等因素的影响，前一局比赛的结果对后一场比赛会产生影响，若比赛结束时场次不超过四局，甲队在某一局比赛取胜，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率增加，反之，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率降低，若比赛进入第五局决胜局，则不论第四局胜负如何，该局甲取胜的概率为. (1)求比赛三局结束的概率； (2)求乙取胜，比赛结束的概率. 学科网（北京）股份有限公司 $