10.2 事件的相互独立性讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

10.2 事件的相互独立性 目录 题型1：相互独立性的判断 2 题型2：相互独立事件概率的计算 7 题型3：复杂事件概率的计算 9 1. 事件的相互独立性 对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 提醒 (1)必然事件、不可能事件都与任意事件相互独立. (2)当事件相互独立，与，与，与也相互独立. 2. 相互独立事件的概率计算公式 (1) 对于个相互独立事件，有。这个公式叫作概率的和与积的互补公式. (2) 已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有 事件A，B的情形 概率计算公式 A，B同时发生 P()=P(A)P(B) A，B都不发生 A，B恰有一个发生 A，B中至少有一个发生 A，B中至多有一个发生 题型1：相互独立性的判断 方法提炼 判断事件是否相互独立的方法 (1) 直接法：若一个事件的发生对另一个事件的发生没有影响，则这两个事件是相互独立的. (2) 公式法：若对两事件有，则事件相互独立. 【例１.1】 已知，那么命题“事件与事件相互独立”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】独立事件的判断、充要条件的证明 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的定义，结合充分条件、必要条件的定义判断即可求解. 【详解】由事件 A 与事件 B 相互独立，可得 由，可得，则事件与事件相互独立， 故命题“事件与事件相互独立”是“”的充要条件. 故选：D. 【例１.2】 一枚质地均匀的正四面体的骰子如图所示，其四个面分别标有数字1，2，3，4.现抛掷该骰子两次，并记录骰子着地一面的数字.设事件A表示“第一次记录的数字为偶数”，事件B表示“第一次记录的数字为奇数”，事件C表示“两次记录的数字之和为5”，事件D表示“两次记录的数字之和为6”，则（   ）    A．C与D是对立事件 B．A与D是互斥事件 C．B与D是相互独立事件 D．A与C是相互独立事件 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、独立事件的判断 【分析】根据对立事件和独立事件的定义、公式进行逐项判断即可. 【详解】由题意知，， 事件有，共4个，， 事件有，共3个，. 易知与是互斥事件，但不是对立事件，与可同时发生，不是互斥事件， ，与不是相互独立事件， ，与是相互独立事件. 故选：D. 【例１.3】 甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以，表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（    ） A．事件不互斥 B．事件B与事件相互独立 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的判断、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】先画出树状图，由不可能同时发生可判断A； 求得的值，可判断C，D； 利用可判断B. 【详解】    由树状图可知， ，故C正确，D错误. 对于A：由于只从甲罐中取一个球，故只能取出红球或白球，故是互斥的，故A错误； 对于B：，故事件B与事件不相互独立，故B错误； 故选：C. 【例１.4】 若古典概型的样本空间，事件，事件，相互独立，则事件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】独立事件的判断 【分析】根据与是否相等判断事件是否独立，得到答案. 【详解】由题意得， A选项，，，故， 所以，故事件相互独立，A正确； B选项，，，故， 所以，故事件不相互独立，B错误； C选项，，，故， 所以，故事件不相互独立，C错误； D选项，，，故， 所以，故事件不相互独立，D错误； 故选：A 【例１.5】 （多选）有四张同样大小的卡片，上面标有数字，如图所示.从这四张卡片中随机抽取一张，设事件：“抽到的卡片上有数字”，，则下列事件相互独立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】独立事件的判断、计算古典概型问题的概率 【分析】明确基本事件，用独立事件定义逐一验证选项. 【详解】四张卡片的内容： 卡片1：包含数字1,2,3； 卡片2：包含数字1； 卡片3：包含数字2； 卡片4：包含数字3. 含有数字1的卡片：卡片1、卡片2，∴ 含有数字2的卡片：卡片1、卡片3，∴ 含有数字3的卡片：卡片1、卡片4，∴ 同时含有数字1和2的卡片：卡片1，∴ 同时含有数字1和3的卡片：卡片1，∴ 同时含有数字2和3的卡片：卡片1，∴ 同时含有数字1和2和3的卡片：卡片1，∴ ∵，∴事件相互独立，A选项正确； ∵，∴事件相互独立，B选项正确； ∵，∴事件相互独立，C选项正确； ∵，∴事件不相互独立，D选项不正确； 故选：ABC. 题型2：相互独立事件概率的计算 【例２.1】 若事件相互独立，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】独立事件的乘法公式 【详解】由题意得， 由独立事件性质得， 则，而， 可得，故C正确. 【例２.2】 已知事件和事件相互独立，，则_______． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】相互独立事件与互斥事件、独立事件的乘法公式 【分析】根据独立事件的性质可得事件和事件相互独立，再根据独立事件概率乘法公式求解即可. 【详解】因为事件和事件相互独立，所以事件和事件相互独立， 则. 故答案为：. 【例２.3】 设A，B是两个随机事件，且，则下列结论正确的是（ ） A．若A，B是互斥事件，则 B．若，则 C．若A，B是相互独立事件，则 D．若，则A，B是相互独立事件 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的判断 【分析】根据互斥事件、事件的包含关系、相互独立事件的概念及概率公式逐一分析即可. 【详解】若A，B是互斥事件，则A，B不可能同时发生，即，故A错误； 若，则，所以，故B错误； 若A，B是相互独立事件，则，所以，故C正确； 因为，所以，又，所以，即，所以A，B不是相互独立事件，故D错误. 故选：C. 【例２.4】 （多选）已知口袋中装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球，从中有放回地随机取2次，每次取1个球.记事件M为“第一次摸到红球”，N为“第二次摸到白球”，Q为“两次摸出的球颜色相同”，则下列说法正确的有（） A． B．M与Q互斥 C． D．M与N相互独立 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、有放回与无放回问题的概率、独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】根据互斥事件、独立事件、和事件概率的计算公式，依次计算、判断互斥性、计算、验证独立性，逐一判定选项正误. 【详解】每次取红球概率为，取白球概率为. 第二次取球与第一次无关，每次摸到白球的概率均为，因此，A正确. 第一次摸到红球且第二次摸到红球，和可以同时发生，不互斥，B错误. 因为. ，，=， 所以，C正确. ，，满足，因此与相互独立，D正确. 故选：. 【例２.5】 （多选）已知事件，且，则下列说法正确的是（    ） A．A与B是对立事件 B．若A与B相互独立，则 C．若A与B相互独立，则 D．若A与B相互独立，则P(A∪B)=0.76 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】确定所给事件的对立关系、独立事件的判断 【分析】先根据对立事件的定义排除A选项，再利用相互独立事件的概率公式分别计算B、C、D选项的概率，从而判断正误. 【详解】对于选项A，对立事件需满足 且 ， 仅 不满足互斥条件，故A错误. 若 与 相互独立，则 . ，故B错误，C正确. ，故D正确. 故选：CD 题型3：复杂事件概率的计算 方法提炼 求较复杂事件的概率的一般步骤如下： (1) 列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示． (2) 理清事件之间的关系（两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的），列出关系式． (3) 根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算． (4) 当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率． 【例３.1】 乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为，乙做对的概率为，两人做题互不影响，下列说法错误的是（ ） A．两人都做对的概率是 B．恰好有一人做对的概率是 C．两人都做错的概率是 D．至少有一人做对的概率是 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式 【分析】根据独立事件的乘法公式可判断A；根据对立事件的概率计算结合独立事件的概率公式可判断B，C，D. 【详解】设事件A表示“甲做对”，事件B表示“乙做对”，则，. 对于A，两人都做对的概率为，故A正确； 对于B，恰好有一人做对的概率为，故B正确； 对于C，两人都做错的概率为，故C错误； 对于D，至少有一人做对的概率为，故D正确． 【例３.2】 已知事件A，B满足，，若A与B互斥，记，若A与B相互独立，记，则（    ） A．0 B．0.1 C．0.14 D．0.24 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、相互独立事件与互斥事件 【详解】当A与B互斥，则， 当A与B相互独立，可知也相互独立，则， 所以. 【例３.3】 某班级举行套玩具趣味游戏，奖品只有拉布布盲盒，小熊玩偶，校庆吉祥物，分三堆摆放（每堆一个种类，个数足够），每人三个圈，一个圈只能在一堆奖品套一次．小麟同学套中拉布布盲盒，小熊玩偶，校庆吉祥物这三个奖品的概率依次为，则小麟同学恰好套中两个奖品的概率为______． 【答案】/0.25 【难度】0.75 【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式 【分析】恰有两个奖品被套中，对应三种组合（缺拉布布、缺小熊或缺吉祥物），分别计算每种组合的概率并相加即可. 【详解】记小麟同学套中拉布布盲盒，小熊玩偶，校庆吉祥物这三个奖品为事件,,, 所以小麟同学恰好套中两个奖品的概率为 【例３.4】 如图，已知开关闭合后是否正常工作是相互独立的，且正常工作的概率分别为，现在闭合，则灯亮的概率是_____________________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】首先确定灯亮时开关的闭合情况，再根据独立事件概率公式，即可求解. 【详解】若灯亮，则开关闭合，中至少一个闭合， 所以灯亮的概率为. 故答案为： 【例３.5】 在一次数学练习中，甲､乙两人同时独立做同一道数学题，已知甲､乙能做对的概率分别是0.7和0.6. (1)求两人都做对此数学题的概率； (2)求恰有一人做对此数学题的概率. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】（1）根据概率的乘法公式求解即可； （2）根据概率的加法与乘法公式求解即可. 【详解】（1）设事件：“甲做对”，事件：“乙做对”，则“两人都做对”为事件， 因为相互独立，故； （2）恰有一人做对为事件，事件互斥, 相互独立，相互独立， 所以. 【例３.6】 某商场开展促销活动，每消费300元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同.抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. (1)已知甲在该商场消费了300元，求甲获得一等奖的概率； (2)当顾客在该商场消费满600元时，顾客有两次抽奖且这两次抽奖相互独立，为加大促销力度，在原规则的基础上，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了600元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件，“乙恰好获得一个二等奖”为事件. （i）顾客乙中二等奖的概率； （ii）判断事件与是否相互独立，并说明理由. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）事件与事件不相互独立，理由见解析 【难度】0.4 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】（1）根据古典概型求解概率； （2）（i）根据事件的独立性计算事件的概率（ii）根据事件的独立性定义验证事件的相互独立 【详解】（1）记三个红球分别为，，，两个白球分别为，，蓝球为， 则6个球中一次摸出两球的样本空间为： ， 则，且每个样本点出现的可能性相等，所以这是一个古典概型. 记事件“甲获得一等奖”，则，， 所以，所以甲获得一等奖的概率为； （2）记事件“乙第次摸得两个红球”，事件“乙第次摸得一红一蓝两个球”， 事件“乙第次摸得一白一蓝两个球”，事件“乙第次未摸到蓝球”，其中 （i）先不考虑额外中奖情况，事件“乙中二等奖”， 由（1）知，；， 再考虑额外中奖的情况，事件“乙中二等奖”， 因为这两个事件为互斥事件，所以顾客乙中二等奖的概率为； （ii）由（1）知；，；，； ，. 则，，与相互独立. 所以. 因为，且事件，，两两互斥，两次抽奖相互独立， 所以 . 因为，且，互斥，两次抽奖相互独立， 所以 又 所以，所以事件与事件不相互独立. 【例３.7】 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； (1)求甲、乙两人共答对5道题目的概率． (2)若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、相互独立事件与互斥事件 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式，再结合互斥事件加法公式即可求解； （2）先求甲乙两人分别没通过面试的概率，再利用对立事件，即可得到甲乙两人分别通过面试的概率，然后利用两人中仅有一人通过，结合两相互独立事件概率乘法公式即可求解. 【详解】（1）设“甲答对3道题目”, “甲答对2道题目” “乙答对3道题目”， “乙答对2道题目”，根据独立事件的性质，可得， ，    ， ，     ， 设为 “甲、乙两人共答对5道题目”， 则，因为与互斥，与，与分别相互独立，， 所以甲、乙两人共答对5道题目的概率． （2）C=“甲通过面试”，D=“乙通过面试”，与相互独立， ， E=“甲、乙两人只有一人通过面试”，则，因为与互斥， 与，与分别相互独立， 所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率 【例３.8】 甲､乙两名同学在遵义会议会址“红色研学趣味挑战赛”中轮流进行“投弹模拟”（每人每次模拟投弹一次），约定甲先投且先击中目标者获胜，一直到有人获胜或每人都已投弹3次时挑战结束.设甲每次投弹命中的概率为，乙每次投弹命中的概率为，且各次模拟投弹互不影响. (1)求甲在本次挑战赛中获胜的概率； (2)求挑战结束时，乙只进行了2次投弹模拟的概率. 【答案】(1) (2) 【难度】0.62 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】（1）根据互斥事件和的概率公式及独立事件同时成立的概率公式求解即可； （2）写出投弹结束时乙只投了2个球的事件，由互斥事件的和的概率公式，独立事件概率公式求解. 【详解】（1）设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投弹时击中，， 则，， 记“甲在本次挑战赛中获胜”为事件C，则 ， 所以甲在本次挑战赛中获胜的概率为. （2）记“挑战结束时，乙只进行了2次投弹模拟”为事件D， 则 ， 所以挑战结束时，乙只进行了2次投弹模拟的概率为. 【例３.9】 为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对名青年选手进行专项成绩考核（满分分），考核成绩的频率分布直方图如图所示． (1)从得分在中，按，分层，采用分层随机抽样的方法抽取人，再从人中随机抽取人进行考核，求至少有人分数低于分的概率； (2)现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为三个等级．若在两项考核中，至少一项为级，且另一项不低于级，则获得参赛资格．已知甲、乙的考核结果互相不受影响，且甲在每项考核中取得等级的概率分别是；乙在每项考核中取得等级的概率分别是．求甲、乙能同时获得参赛资格的概率． 【答案】(1) (2) 【难度】0.66 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】（1）根据频率分布直方图计算得出，再利用分层抽样求出各层人数，利用古典概型计算公式可求得概率； （2）利用独立事件乘法公式计算可得结果. 【详解】（1）由题意得，， 解得． 因为按、分2层，采用分层随机抽样的方法抽取5人， 所以从成绩在中抽出的人数为，分别记为M、N、Q， 从成绩在中抽出的人数为：，分别记为m、n， 从5人中抽取2人进行考核，样本空间为， 则，记“至少有1人分数低于80分”为事件R， 则． 即，因此． 故5人中至少有1人分数低于80分的概率为． （2）记甲获得参赛资格的概率为，乙获得参赛资格的概率为， 由题意可得，， ． 由于甲、乙的考核结果互相不受影响，所以甲获得参赛资格与乙获得参赛资格相互独立． 则甲、乙能同时获得参赛资格的概率为． 【例３.10】 已知，，，四名选手参加某项比赛，其中，为种子选手，，为非种子选手，种子选手对非种子选手种子选手获胜的概率为，种子选手之间的获胜的概率为，非种子选手之间获胜的概率为．比赛规则：第一轮两两对战，胜者进入第二轮，负者淘汰；第二轮的胜者为冠军. (1)若你是主办方，则第一轮选手的对战安排一共有多少不同的方案？ (2)选手与选手相遇的概率为多少？ (3)以下两种方案，哪一种种子选手夺冠的概率更大？ 方案一：第一轮比赛种子选手与非种子选手比赛； 方案二：第一轮比赛种子选手与种子选手比赛． 【答案】(1)； (2) (3)方案一种子选手夺冠的概率更大 【难度】0.65 【知识点】写出样本空间、独立事件的乘法公式、独立事件的实际应用 【分析】（1）由题意分析知第一轮选手的对战情况分别为，，，即可得出答案； （2）设事件“选手与选手相遇”，分为对战情况分别为，，，求出其概率，相加即可得出答案. （3）设采用方案一，二种子选手夺冠的概率分别为，，由独立事件的乘法公式求出、，比较，的大小即可得出答案. 【详解】（1）第一轮选手的对战情况分别为，，，故总方案数3； （2）设事件“选手与选手相遇”， 当对战为时，，两选手相遇的概率为1； 当对战为时，，两选手相遇的概率为； 当对战为时，，两选手相遇的概率为； 抽到三种对战的概率均为，则. 综上可知选手与选手相遇的概率为. （3）设采用方案一，二种子选手夺冠的概率分别为，，则 采用方案一，假设分组为， 第一轮两种子选手获胜，则第二轮种子选手一定夺冠：， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 第一轮选手获胜，则种子选手不能获胜， 所以； 采用方案二：假设分组为， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 则，所以， 因此方案一种子选手夺冠的概率更大. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.2 事件的相互独立性 目录 题型1：相互独立性的判断 2 题型2：相互独立事件概率的计算 4 题型3：复杂事件概率的计算 5 1. 事件的相互独立性 对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 提醒 (1)必然事件、不可能事件都与任意事件相互独立. (2)当事件相互独立，与，与，与也相互独立. 2. 相互独立事件的概率计算公式 (1) 对于个相互独立事件，有。这个公式叫作概率的和与积的互补公式. (2) 已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有 事件A，B的情形 概率计算公式 A，B同时发生 P()=P(A)P(B) A，B都不发生 A，B恰有一个发生 A，B中至少有一个发生 A，B中至多有一个发生 题型1：相互独立性的判断 方法提炼 判断事件是否相互独立的方法 (1) 直接法：若一个事件的发生对另一个事件的发生没有影响，则这两个事件是相互独立的. (2) 公式法：若对两事件有，则事件相互独立. 【例１.1】 已知，那么命题“事件与事件相互独立”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【例１.2】 一枚质地均匀的正四面体的骰子如图所示，其四个面分别标有数字1，2，3，4.现抛掷该骰子两次，并记录骰子着地一面的数字.设事件A表示“第一次记录的数字为偶数”，事件B表示“第一次记录的数字为奇数”，事件C表示“两次记录的数字之和为5”，事件D表示“两次记录的数字之和为6”，则（   ）    A．C与D是对立事件 B．A与D是互斥事件 C．B与D是相互独立事件 D．A与C是相互独立事件 【例１.3】 甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以，表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（    ） A．事件不互斥 B．事件B与事件相互独立 C． D． 【例１.4】 若古典概型的样本空间，事件，事件，相互独立，则事件可以是（    ） A． B． C． D． 【例１.5】 （多选）有四张同样大小的卡片，上面标有数字，如图所示.从这四张卡片中随机抽取一张，设事件：“抽到的卡片上有数字”，，则下列事件相互独立的是（   ） A． B． C． D． 题型2：相互独立事件概率的计算 【例２.1】 若事件相互独立，，则（    ） A． B． C． D． 【例２.2】 已知事件和事件相互独立，，则_______． 【例２.3】 设A，B是两个随机事件，且，则下列结论正确的是（ ） A．若A，B是互斥事件，则 B．若，则 C．若A，B是相互独立事件，则 D．若，则A，B是相互独立事件 【例２.4】 （多选）已知口袋中装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球，从中有放回地随机取2次，每次取1个球.记事件M为“第一次摸到红球”，N为“第二次摸到白球”，Q为“两次摸出的球颜色相同”，则下列说法正确的有（） A． B．M与Q互斥 C． D．M与N相互独立 【例２.5】 （多选）已知事件，且，则下列说法正确的是（    ） A．A与B是对立事件 B．若A与B相互独立，则 C．若A与B相互独立，则 D．若A与B相互独立，则P(A∪B)=0.76 题型3：复杂事件概率的计算 方法提炼 求较复杂事件的概率的一般步骤如下： (1) 列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示． (2) 理清事件之间的关系（两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的），列出关系式． (3) 根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算． (4) 当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率． 【例３.1】 乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为，乙做对的概率为，两人做题互不影响，下列说法错误的是（ ） A．两人都做对的概率是 B．恰好有一人做对的概率是 C．两人都做错的概率是 D．至少有一人做对的概率是 【例３.2】 已知事件A，B满足，，若A与B互斥，记，若A与B相互独立，记，则（    ） A．0 B．0.1 C．0.14 D．0.24 【例３.3】 某班级举行套玩具趣味游戏，奖品只有拉布布盲盒，小熊玩偶，校庆吉祥物，分三堆摆放（每堆一个种类，个数足够），每人三个圈，一个圈只能在一堆奖品套一次．小麟同学套中拉布布盲盒，小熊玩偶，校庆吉祥物这三个奖品的概率依次为，则小麟同学恰好套中两个奖品的概率为______． 【例３.4】 如图，已知开关闭合后是否正常工作是相互独立的，且正常工作的概率分别为，现在闭合，则灯亮的概率是_____________________. 【例３.5】 在一次数学练习中，甲､乙两人同时独立做同一道数学题，已知甲､乙能做对的概率分别是0.7和0.6. (1)求两人都做对此数学题的概率； (2)求恰有一人做对此数学题的概率. 【例３.6】 某商场开展促销活动，每消费300元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同.抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. (1)已知甲在该商场消费了300元，求甲获得一等奖的概率； (2)当顾客在该商场消费满600元时，顾客有两次抽奖且这两次抽奖相互独立，为加大促销力度，在原规则的基础上，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了600元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件，“乙恰好获得一个二等奖”为事件. （i）顾客乙中二等奖的概率； （ii）判断事件与是否相互独立，并说明理由. 【例３.7】 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； (1)求甲、乙两人共答对5道题目的概率． (2)若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 【例３.8】 甲､乙两名同学在遵义会议会址“红色研学趣味挑战赛”中轮流进行“投弹模拟”（每人每次模拟投弹一次），约定甲先投且先击中目标者获胜，一直到有人获胜或每人都已投弹3次时挑战结束.设甲每次投弹命中的概率为，乙每次投弹命中的概率为，且各次模拟投弹互不影响. (1)求甲在本次挑战赛中获胜的概率； (2)求挑战结束时，乙只进行了2次投弹模拟的概率. 【例３.9】 为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对名青年选手进行专项成绩考核（满分分），考核成绩的频率分布直方图如图所示． (1)从得分在中，按，分层，采用分层随机抽样的方法抽取人，再从人中随机抽取人进行考核，求至少有人分数低于分的概率； (2)现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为三个等级．若在两项考核中，至少一项为级，且另一项不低于级，则获得参赛资格．已知甲、乙的考核结果互相不受影响，且甲在每项考核中取得等级的概率分别是；乙在每项考核中取得等级的概率分别是．求甲、乙能同时获得参赛资格的概率． 【例３.10】 已知，，，四名选手参加某项比赛，其中，为种子选手，，为非种子选手，种子选手对非种子选手种子选手获胜的概率为，种子选手之间的获胜的概率为，非种子选手之间获胜的概率为．比赛规则：第一轮两两对战，胜者进入第二轮，负者淘汰；第二轮的胜者为冠军. (1)若你是主办方，则第一轮选手的对战安排一共有多少不同的方案？ (2)选手与选手相遇的概率为多少？ (3)以下两种方案，哪一种种子选手夺冠的概率更大？ 方案一：第一轮比赛种子选手与非种子选手比赛； 方案二：第一轮比赛种子选手与种子选手比赛． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $