安徽滁州市定远县育才学校2026届高三考前模拟数学试卷

**基本信息** 定远育才学校2026届高三三模数学卷，以四色定理、长征纪念碑等情境融合集合、复数、立体几何等知识，突出数学眼光观察现实世界，适配高考冲刺阶段能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、向量等基础|第3题结合四色定理考排列组合，体现文化传承| |多选题|3/18|数据处理、双曲线性质|第10题将双曲线渐近线与圆相切结合，考查逻辑推理| |填空题|3/15|函数、不等式、直线与圆|第14题以直线和圆相交面积为载体，考查数学建模| |解答题|5/77|三角、概率统计、立体几何、抛物线、导数|第16题电梯运行概率模型，第18题抛物线点列构造，贴合高考综合应用趋势|

定远育才学校2026年高三高考第三次模拟 数学试卷答案和解析 1.【答案】D 【解析】集合A={-1<x<2},B={x≤2， 则CgA=（-o,-1]U{2.故选：D 2.【答案】A 21- 【解析】复数z=录==11， =2+(-=反.藏选：A 3.【答案】B 【解析】先给底面涂色，有4种涂法，设4个侧面为A、B、C、D, 然后给A面涂色，有3种；给B面涂色，有2种： 给C面，若C与A相同色，则D面可以涂2种；若C与A不同色，则D面可以涂1种， 所以共有4×3×2×(2+1)=72， 故选：B。 4.【答案】D 【解析】由向量言=(2,1)=(3，x), 可知i-=(3-2,x-1)=(1,x-1), 因为1(6-a), 所以言.(i-)=2×1+1×(x-1)=0,解得x=-1, 所以6=(3，-1，则：言+言=(2+3,1+(-1)=(5,0)， 所以言+=V52+02=5.故选：D. 5.【答案】C 【解析】：S7=S17 7a+29d=17a+17d 整理得，d=.受d 第1页，共12页 5a=a+2d=号-12dn=(r-24=n-12-144 又a1<0,÷d>0 ·当n=12时，Sn取最小值.故选：C 6.【答案】B 【解析】对于函数fx),因为a<0,由x2-ax≠0可得x≠a且x≠0， 故函数fx的定义域为(-o,a)U(a,0)U(0,+oo,排除AC, 当x<a时， )=>0,排除D.故选：B 7.【答案】C 【解析】将原图形补全为长方体，如图： F G C E B D C 因为每个三棱锥的底面为直角三角形， 且直角边分别为B1=1兰=3米，BH=号=3米， 所以每个三校锥的休积为V三传锥=青×生×3×3×4=6立方米， 4个三棱锥总体积：V=24立方米， 又因为该几何体侧面为等腰梯形，上底长4米，下底长10米，腰长5米， 所以梯形的高（即几何体的高）为 h=5-() 米， =4 所以长方体下底面长10米、宽6米，高为4米， 所以V长方体=10×6×4=240立方米， 所以该纪念碑基座的体积为240-24=216立方米，故选：C 8.【答案】D 第1页，共12页 【解析】因为双曲线C:普-器=1的一条渐近线方程为y=5x, 所以b=33,c=6, F1,F2分别为其左、右焦点，点M为双曲线C上一点，MF=8,则MF=2或14， MF≥c-a=3, 故MF=14.故选：D. 9.【答案】ACD 【解析】一组数据x1,x2,…,X2026的平均数、方差、第75百分位数、极差分别是X,S受，Fx,Mx, 对该组数据作线性处理y,=2x-31=12,2026得到另一组数据y1,y2,…,y2026 该组数据的平均数、方差、第75百分位数、极差分别是y,S子，Fy,My, 对于y,=2x3,则y=2X-3,故A正确； 对于y,=2x-3,则S子=4S,故B错误； 对于y,=2x-3,第75百分位数位置不变，即Fy=2Fx3,故C正确： 对于y,=2X-3,最大数和最小数的位置不变，y mx yn=(2xmx-3)-(2xmn3=2(ax ,即My=2Mx,故D正确.故选：ACD. 10.【答案】ABD 【解析】双曲线C:等-景=1的渐近线方程为y=士号x即bx士V=0 圆A:x2+y-2)=1的圆心为A0,2,半径为r=1· 由题意得，圆心A到渐近线的距离d=r,即头=是=1'：c=2a如图， √a4b3 对于选项4：c=2a可得双曲线的离心率：e=号=号=2故A选项正确。 对于选项B:c=2a,可得b=V2-2=5a'渐近线方程为y=±x=±V5x 故B选项正确。 第1页，共12页 对于选项C:F(-C0)Fc,0),:BF21F1F2'点B的横坐标为c, 代入双曲线方程多·学=1解得y=士号 取(c)则BF=号·FP=2c .ta-BP,F-器-盖=若-季故c选甜 对于选项D:若F1F=8,则c=4,a=2,b=23’F(-4,0B(4,6): 直线BF方程为y=料(x+4到=6+4到即3x4y+12=0 圆心A到直线BF,的距离 g+4 由垂径定理可得， MW=2r2-Agf=21-()- ,故D选项正确.故选：ABD· 11.【答案】ACD 【解析】对应A,在f(受-x)+f(☒)=2中 令x=买，可得2f(纤)=2. 故f()=1且f(x)关于（纤，1）中心对称，4正确： 对于B,因2-x≤受，f(x)-fx≤1恒成立， 不妨取x281=受时， 此时X1,X2之间的距离最长，求得的周期应为函数的最小周期， 所以军之受， 所以T≥2π，B错误； 对于C,g8=fx-)=sinw(x-岩)+p]+1=sim(ωx+1, 3m0≤m<n≤)，gm+g)=4, 即归m0≤m<n≤)，sinwm+1+sinw+1=4, 即sinwm+sinwn=2, 所以sinwm=1=sinωn, 即h(x)=sinωx在0，]内至少有两个最大值点， 第1页，共12页 故受-0≥买， 所以T≤晋，即恶≤， 所以ω≥5， 所以ω∈[5，+o∞)，故C正确； 对于D,因为fx)关于（纤，1）中心对称， 又f(x)在（五兀，刊单调递增， 所以子之π平=牙， 所以T≥π， 当T=π时，此时0=祭=2， 故fx)=sin(2x+p+1, 将（纤，）代入可得sim(钙+p)+1=1, 解得：受+p=2kπkeZ, 故p=-号π+2k,keZ, 不妨令p=晋，sm(2x+)+1=是， 解得：C0s2=支， 因为x∈0,2π)，所以2x∈[0,4π)： 故令2x=骨或受或号或号， 解得：x=晋或钙或或， 所以f(x)=是在0,2π)两个周期内存在四个根； 当T>π时，此时图象纵坐标不变，横坐标变大，整个函数图象拉伸， 故f(8=[0,2π)至多4个根，D正确.故选：ACD. 12.【答案】0. 【解析】已知(2x-1)°=a0+a1x+a2x2+ax3+…+a66, 当x=1时，1=a0十a1+a2十a3十…+a6, 第1页，共12页 当x=0时，0=(-1)°=1， a1+a2+a3+…+a6=(a0+a1+a2十a3十…+a6)-a0=1-1=0. 故答案为：0 13.【答案】[，+∞)， 【解析】由f(x)≤xgx,得去+2x2≤x21-nx, 显然x>0,所以2m≥+2x+mx=e2xl-（-2x-lx)在(0，+oo)有解， 令t=-2x-lnx,则teR,令h(t)=et-t,则h(t)=et-1, 当t<0时，h(t)<0,当t>0时，h(t)>0, 所以(t)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增， 所以49nn=4o=1, 即e-2x-lnx-(-2x-lnx)≥1， 所以2m≥1，则m≥专， 即m的取值范围为2，+o∞) 故答案为：[佳，+∞)， 14.【答案】反 【解折】设0到直线的距离为d,则S40B=号×21-dd≥卓。 解特≤ds号，即硅s≤与， 所以VR+1≤ms号V2+1, 因为kea以m>0时.(+可=VB+1,(停胶+)-9V保+7 n 所以生V厅+1≤m≤号V尿+1，因为有在m>0满足条件， 所以V+1≤号VP+1,化简得号.婴≤1,0≤a<b, 由号-号≤1得b≤V3a2+2,所以b-2a≤V3a2+2-2a=f间)， 第1页，共12页 因为a≥0， 解不等式=20无解 所以f(a)[0,+o)上单调递减，所以f(a)≤f0)=V2,故b-2a的最大值为V2 15.【解析】(1)因为(2c-b)cosA=acosB, 由正弦定理得(2sinC-sinB)cosA=sinAcosB, 2sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC, 且0<C<π，则sinC>0,可得2cosA=1,即c0sA=支， 又因为0<A<π，所以A=哥； (2)因为a=V5,b+c=2V5, 所以由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccosA-=(b+c2-2bc-2 bccosA, 即3=12-2bc-bc,解得bc=3, 所以△ABC面积S=bcsinA=×3×号=渠 16.【解析】(1)最终停在6楼说明3次运行中，有2次上升2层，1次上升1层，所以P=C()=告： (2)由题可知X=0,1,2,3, PX=0)=c)=是， P《=)=c)传)=告， P(X=2)=C)= PK=3)=c)3=克， 所以X的分布列为： X 0 2 心 P 品 品 EX)=0×号+1×告+2×号+3×京=1（次）， 因为Y=0.005X+0.010(3-X)=0.030-0.005X, 所以E(Y)=0.030-0.005EX=0.025(度)： (3)已知A上到6楼，则3次运行楼层情况为：(2,4,6)，(3,4,6，(3,5,6)， 因为要求一直同步，所以最后B停靠楼层只可能为5,6,7三种情况， 设事件C=“A最终在层，B最终在层且始终同步”， 第1页，共12页 事件C=“A、B始终同步”，事件A:=“电梯A停在6楼”， 下面逐个分析： 当B停留在7楼时，共3次运行楼层情况为：3,5,7)，此时和A始终同步， pc6)=c()2.c)-器： 当B停留在6楼时，其3次运行接层情况为：(2,4,6)，(3,4,6)，(3,5,6)，此时和A始终同步， pP(c6)=c().c()=: 当B停留在5楼时，其3次运行楼层情况为：(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，此时只有当A为(3,5,6)，B为 (2,3,5)时是不同步， pP(c)=c()2.c)号-)（传）号=骁 所以rC4g= (CotCutCo-皆造=， P(Ag) 即两部电梯3次运行时始终同步的概率为品 17.【解析】(1证明：连接BC1,如图所示： B 因为CF=FB1,且四边形BCC1B1为矩形， 所以C1F=BF, 又因为AE=EC1,所以EF//AB, 因为ABC平面ABC,EF￠平面ABC, 所以EF//平面ABC; (2)因为CA,CB,CC1两两垂直， 以C为坐标原点，CA,CB,CC所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示空间直角坐标系： 可得C0,0,0),A1,0,0,B(0,1,0),A1(1,0,2, B(0,1,2,C(0,0,2,E(3,0,1),F(0,,1, =（-,克，0)c=(,0,1,c=(0,,,A元=(-10,2)， 设平面CEF的一个法向量为应=(x,y,Z, （cE品=x+z=0 则品=y+z=0' 取x=2,可得y=2,z=-1, 所以品=(2,2，-1)， 第1页，共12页 设直线AC1与平面CEF所成角为6， 15, 所以直线AC与平面CBF所成角的正弦值为誓。 3)(1)知=（-方，，0,4，B,=(-11,0),A18=（-克，0，-1)， 因为A,B,=2京，所以A1B1//EP, 则直线EF与直线A1B1间的距离转化为点E到直线A1B1的距离， d-(--9 所以宜线EF与直线A8,间的距离为2萼 18.【解析】(1)易知F传，0D(-号，0) 所以DH=p=EF, 设点E在第一象限， 由抛物线定义知E到准线的距离为p, 所以E号， 因为S△ED=支p2=2 所以p=2: 则抛物线C的方程为y2=4x: 2(0设经过x轴上点(a,0)的直线为x=my+n, 直线与抛物线c的两交点记为(ky小(2y 联立(x=my+n，消去x并整理得y2-4my-4n=0, y2=4x 由韦达定理得yy2=4m, 因为直线ABn经过点(Pa0小 所以y4ya,=4Pn 因为直线Am1Bn+经过点气pr0小 第1页，共12页 所以yAyB,=4Pm1 因为直线AnB#1和BnA+1经过点(221,0)， 所以yA=-4×201=-201yaa.=-22 所以VAVA-（4p(4pn小=(-22(-2 则P41Pn=242, 因为p,=1P2=28PnPn1=2n6 所以P型=2产， 当n为偶数时， B,=4×倒=4 当n为奇数时， B,=1x倒到=4 综上所述，Pn=41, ()证明：设直线An3n与0Cn的交点为Mxoy 因为四点ABn0Cn共圆， 所MAMB=MO·MC 设直线AnBn为x=my-y+xo 联立x=y-y+xg,消去x并整理得y2.4my+4my。4x。=0, y2=4x 由韦达定理得y4,十ya,=4my4yg,=4my。4o, MAMB=+y=(1+my y+y)+y =(1+m24my。4x4my。+y日=(1+m4x+yg 设直线0Cn为x=ny-y。+xo 同理得Mo-MC=(1+n2-4o+y MAMB=|MO:MC且m≠n, 所以m+n=0, 第1页，共12页 所以y4,+yB,+yc,=4m+4n=0, 则△A,BnCn的重心纵坐标为0， 即△AnBnCn的重心在x轴上， a.+xa,=mV4.+yaJ-2my。+2=4m2-2my。+2xg 同理xc.=4m2+2my。+2xo 所以xA.十XBn十xc,=8m2+4x0' 联立∫x=my+Pn, x=-my 解得X=号 B A 所以4g=鳄+p。=呼+号-22>23 3 则△ABnCn的重心在Qn1的右侧. 19.【解析】(1)f'(x)=a-是=警，x>0, 当a≤0时，f'(x)<0,所以fx)在(0，+o上是减函数： 当a>0时，0<x<吉，f'(x)<0,所以f(x)在(0，)上单调递减， x>是，f'(x)>0,fx)在（台，+o∞）上单调递增. 综上所述，当a≤0时，fx)在(0，+o∞上是减函数： 当a>0时，fx)在(0，)上单调递减，在（合，+o∞）上单调递增. (2)不妨设<Vk, 当a≥1时，令F(8=f(8-f传)，x>0, F'8)=a-京+赞=巡， 第1页，共12页 令gx)=ax2-2x+a,4=4-4a2≤0， 所以g(x)=ax2-2x+a≥0，从而F(x)≥0， 所以Fx)在(0，+∞)上单调递增， (1)知0<<音≤1，所以F()<F1) 即f(小-f)<0,亦即f(小<f陆)， 又f(v小=f(,所以fv小<f(): 因为0<%<音≤1，所以品>a≥吉， 又Vk>音，且fx)在（合，+∞）上单调递增， 所以Vk<击，即Vk<1,符合题意； 当0<a<1时，取k=0,k=1,Vk>吉>，即归kVk>1,不符合题意， 当a≤0时，fx)在(O,十∞)上是减函数，不存在满足方程fx)=k的两个实根k,Vk,亦不符合题意： 综上所述，a的取值范围为[1，十∞). (i证明：由（①知，a≥1， 依题意得g--加以=k,所以=+型+1，同理vk=++1, 又因为ukVk<1,所以n(ukVk)<0, 所以+k=李++2<李+2， 即S%<登+2kEN, 所以S<∑（停+2头 因为（学+2习=学+2m, 所以5<4+2业 第1页，共12页 定远育才学校2026年高三高考第三次模拟 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.已知复数，则(    ) A. B. C. D. 3.四色定理又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一它是于年由毕业于伦敦大学的格斯里提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”某校数学兴趣小组在研究给四棱锥的各个面涂颜色时，提出如下的“四色问题”要求相邻面含公共棱的面不得使用同一颜色，现有种颜色可供选择，则不同的涂法有(    ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 4.已知向量，若，则(    ) A. B. C. D. 5.等差数列中，已知，前项之和为，且，则最小时的值为(    ) A. B. ， C. D. ， 6.当时，函数的图象大致是(    ) A. B. C. D. 7.今年为纪念红军长征胜利周年，某市计划在广场中央建造一座“长征颂”主题纪念碑该纪念碑的基座设计为一个稳重的四面坡式石墩如图所示已知该几何体是从长方体上底面向下底面顶点截去个完全一样的三棱锥后得到的几何体，经实地测量，下底面长米、宽米，一个侧面为上底长米，腰长米的等腰梯形，则该纪念碑基座的体积为(    ) A. B. C. D. 8.已知双曲线：的一条渐近线方程为，，分别为其左、右焦点，点为双曲线上一点，，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知一组数据，，，的平均数、方差、第百分位数、极差分别是，，，，对该组数据作线性处理得到另一组数据，，，，记该组数据的平均数、方差、第百分位数、极差分别是，，，，则(    ) A. B. C. D. 10.已知双曲线：的渐近线与圆：相切，记的左、右焦点分别为，，为上一点，且，与圆交于，两点，则(    ) A. 的离心率为 B. 的渐近线方程为 C. D. 若，则 11.已知函数满足，下列说法正确的是(    ) A. B. 当，都有，则函数的最小正周期为 C. 设，存在，，则 D. 若函数在上单调递增，则方程在上最多有个不相等的实数根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，则        ． 13.已知函数，，若关于的不等式有解，则的取值范围是        ． 14.设、是两个实数，且满足，直线和圆交于两点、，若对于任意的，均存在正数，使得的面积均不小于，则的最大值为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 在中，角，，的对边分别为，，，且． 求角的大小； 若，求的面积． 16.本小题分 某层高为楼的写字楼有两部独立运行的电梯和，初始都在楼每部电梯每次运行时，有的概率向上运行层、有的概率向上运行层两部电梯各自独立运行次每次运行后记录所在楼层设电梯，第次运行后所在楼层分别为和． 求电梯最终停在楼的概率； 若电梯每向上运行层消耗度电，向上运行层消耗度电记电梯这次运行中向上运行层的次数为，次运行总耗电量为，求的分布列及的数学期望； 若对任意，，都成立，则称两部电梯“同步”当电梯最终停在楼时，求两部电梯次运行时始终同步的概率． 17.本小题分 如图，在直三棱柱中，，，，点，分别为线段和的中点． 证明：平面； 求直线与平面所成角的正弦值； 求直线与直线间的距离． 18.本小题分 已知抛物线：的焦点为，其准线与轴的交点为，抛物线上存在点满足，且． 求的方程； 记，过的直线交于，，在抛物线上按如下方式构造点列，：连接，分别交于另一点，． 设直线与轴交点的横坐标为，求数列的通项公式； 为坐标原点，若的外接圆与抛物线交于第四点，试证明：的重心在轴上，且在的右侧． 19.本小题分 已知函数． 讨论的单调性； 关于的方程有两个实根，，对每一个满足条件的，． 求的取值范围； 当时，记，证明：． 第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $